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高三复习直线与圆锥曲线的位置关系练习答案



高三复习直线与圆锥曲线的位置关系练习答案
[解析] 显然斜率存在不为 0,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),代入抛物线方程消去 x 得 ky2-5y+5k 5 =0,由 Δ=(-5)2-4×5k2=0,得 k=± .故选 C. 2 b b 2.A [解析] 因为直线 y= x+3 与双曲线的渐近线 y= x 平行,所以它与双曲线只有 1 个交点.故选 a a A.

y0 3. [解析] 设切点为 P(x0, 0), C y 则切线斜率为 k=y′=2x0, 依题意有 =2x0.又 y0=x2+1, 解得 x0=± 1, 0 x0 b b2 所以 =2x0=2,b=2a,所以 e= 1+ 2= 5.故选 C. a a 1 4.m< 且 m≠0 [解析] 首先 m≠0,m≠1,根据已知,m2<(m-1)2,即 m2-(m2-2m+1)<0, 2 1 1 解得 m< .所以实数 m 的取值范围是 m< 且 m≠0. 2 2 1 5.A [解析] 将直线方程代入抛物线方程,得 x2-2x-2m=0,由 Δ=4+8m=0,得 m=- .故选 A. 2 |C| 6.B [解析] 如果两曲线有公共点,可得椭圆中心到直线的距离 d= 2 ≤a;反之不一定成立.故 A +B2 选 B. 3 7.A [解析] 抛物线的准线为 y=-4,双曲线的两条渐近线为 y=± x,这两条直线与 y=-4 的交点是 3 A(-4 3,-4),B(4 3,-4),故围成三角形的面积为 1 1 S= |AB|×4= ×8 3×4=16 3.故选 A. 2 2 c2 4c2 8.D [解析] 依题意直线 y=2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c),所以 2+ 2 =1,消去 b 整理得 a2-2ac a b 2 2 -c =0,所以 e +2e-1=0,解得 e=-1± 2.又 e∈(0,1),所以 e= 2-1.故选 D. x2 y2 b 9. [解析] 双曲线 2- 2=1 的渐近线为 y=± x, B 由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 a b a p p b (-2,-1)得- =-2,即 p=4.又∵ +a=4,∴a=2,将(-2,-1)代入 y= x 得 b=1, 2 2 a 1.C ∴c= a2+b2= 4+1= 5,∴2c=2 5. 1 10.(k2p+p,-kp) [解析] 因为两直线互相垂直,所以直线 l2 的斜率为- ,只需将弦 PQ 中点坐标中的 k 1 k 替换为- ,就可以得到弦 MN 的中点坐标,于是得弦 MN 的中点坐标为(k2p+p,-kp). k ? ?y=?a+1?x-1, 4 11.0 或-1 或- [解析] 由? 2 得(a+1)y2-ay-a=0.当 a≠-1 时,令 Δ=a2+4a(a+1) 5 ?y =ax ? 4 4 =0,解得 a=0 或 a=- ;当 a=-1 时,方程仅有一个根 y=-1,符合要求.所以 a=0 或-1 或- . 5 5 x2 y2 x2 y2 12. - =1 [解析] 椭圆方程为 + =1,则 c2=a2-b2=7,即 c= 7,又双曲线离心率为椭圆离心率 4 3 16 9 7 的 2 倍,所以双曲线的离心率为 e= ,又 c= 7,所以 a=2,所以 b2=c2-a2=7-4=3,所以双曲线方程 2 x2 y2 为 - =1. 4 3 p 13 . 2 [ 解 析 ] 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x = - , 过 点 M 的 直 线 方 程 为 y = 3 (x - 1) , 所 以 交 点 2 p?? p p p → → A?-2,- 3?1+2? .因为AM=MB,所以点 M 是线段 AB 的中点,由中点公式得 B?2+2, 3?1+2??.又点 B ? ? ?? ? ? ? p?2 p? 在抛物线上,于是 3?1+2? =2p×?2+2?,即 p2+4p-12=0,解得 p=-6(舍去)或 p=2. ? ?
高三复习直线与圆锥曲线的位置关系练习答案 - 1 -

1 1 14.[解答] (1)由已知,点 P 到点 F?0,4?的距离等于到直线 y=- 的距离,根据抛物线的定义,可得动 ? ? 4 圆圆心 P 的轨迹 C 为抛物线,其方程为 x2=y. (2)证明:设 A(x1,x2),B(x2,x2). 1 2 ∵y=x2,∴y′=2x, ∴AN,BN 的斜率分别为 2x1,2x2, 故 AN 的方程为 y-x2=2x1(x-x1), 1 BN 的方程为 y-x2=2x2(x-x2), 2 2 ? ?y=2x1x-x1, 即? 2 ?y=2x2x-x2. ? x1+x2 两式相减,得 xN= . 2 x1+x2 又 xM= , 2 所以 M,N 的横坐标相等,于是 MN⊥x 轴. 2 15.[解答] (1)由 b= 得 b= 2, 1+1 ∴又 2a=4,a=2,a2=4,b2=2, c2=a2-b2=2, ∴两个焦点坐标为( 2,0),(- 2,0). (2)由于过原点的直线 l 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称, 不妨设:M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y), y2-y2 x2 y2 x2 y2 b2 0 0 0 M,N,P 在椭圆上,则它们满足椭圆方程,故有 2+ 2=1, 2+ 2=1,两式相减得: 2 2=- 2. a b a b a x -x0 y-y0 y+y0 由题意它们的斜率存在,则 kPM= ,k = , x-x0 PN x+x0 y-y0 y+y0 y2-y2 b2 0 kPM·PN= k · = 2 2=- 2, a x-x0 x+x0 x -x0 b2 1 x2 则- 2=- ,由 a=2 得 b=1,故所求椭圆的方程为 +y2=1. a 4 4 2 c 2 16.[解答] 由 e= ,得 = ,得 a2=2c2,b2=c2. 2 a 2 x2 y2 设椭圆 C2 方程为 2+ 2=1,A(x1,y1),B(x2,y2). 2b b 由圆心为(2,1),得 x1+x2=4,y1+y2=2. 2 2 x1 y2 x2 y2 1 2 又 2+ 2=1, 2+ 2=1, 2b b 2b b 2 2 2 x1-x2 y2-y2 1 两式相减,得 + 2 =0. 2b2 b y1-y2 x1+x2 所以 =- =-1,所以直线 AB 的方程为 y-1=-(x-2),即 x+y-3=0. x1-x2 2?y1+y2? x2 y2 将上述方程代入 2+ 2=1,得 3x2-12x+18-2b2=0,(*) 2b b 又直线 AB 与椭圆 C2 相交,所以 Δ=24b2-72>0. 且 x1,x2 是方程(*)的两根, 2b2 所以 x1+x2=4,x1x2=6- . 3 由|AB|= 2|x1-x2|= 2 ?x1+x2?2-4x1x2 20 =2× , 3 8b2-24 20 x2 y2 得 2× =2× .解得 b2=8,故所求椭圆方程为 + =1. 3 3 16 8
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