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2013年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学试题



2013 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 数 学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如 需改动,

先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的 答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式:①柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高. ②锥体的体积公式 V ? ③标准差 s ?

1 Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为锥体的高. 3

1 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ] ,其中 x 为样本 x1 , x2 , ?, xn 的平均数. n

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A.

1 2 ? i 5 5

i 等于 2?i 1 2 B. ? ? i 5 5

C.

1 2 ? i 5 5

D. ?

1 2 ? i 5 5

2 2.命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 1 ,则 ? p 是

A. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

B. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

C. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

D. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

2

2

3.已知 a ? (1, 2) , b ? (0,1) , c ? (k , ?2) ,若 (a ? 2b) ? c ,则 k ? A. 2 C. ?2 B. 8 D. ?8
正视图

3

侧视图

4.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.9 B.10 C.11 D.

1

1 第 4 题图

23 2

俯视图

·1·

5.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将两人最近的 6 次数学测试的分数进行统计,甲乙 两人的得分情况如茎叶图所示,若甲乙两人的平均成绩分别是 x甲 , x乙 ,则下列说法正确的是 A. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 B. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 D. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛
第 5 题图

? y?x ? 6.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1 ?
A. ?3 B.

1 2

C. 5

D. 6

7.已知集合 M ? x | x ? 4 | ? | x ? 1|? 5 , N ? x a ? x ? 6 A. 6 B. 7 C. 8

?

?

?

?

,且 M ? N ? ? 2, b? ,则 a ? b ? D. 9

8.对于函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 [m, n] ,同时满足下列条件:① f ( x ) 在 [m, n] 内是单调的;②当 定义域是 [m, n] 时, f ( x ) 的值域也是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数的“和谐区间”.若函数

a ?1 1 ? (a ? 0) 存在“和谐区间”,则 a 的取值范围是 a x 1 5 A. (0,1) B. (0, 2) C. ( , ) 2 2 f ( x) ?
二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)

D. (1,3)

9.已知函数 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) = log 2 x ,则 f ( f ( )) 的值等于 10.已知抛物线 x ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5 ,则点 P 的横坐标是_____.
2

1 4



11.函数 y ? sin x ? sin ? x ?

? ?

??

? 的最小正周期为 3?

,最大值是



?
·2·

0

1

2

3

12.某学生在参加政、史、地 三门课程的学业水平考试中,取得

P

6 125

a

b

24 125

A 等级的概率分别为

4 3 2 、 、 , 5 5 5

且三门课程的成绩是否取得 A 等级相互独立.记 ? 为该生取得 A 等级的课程数,其分布列如表所示, 则数学期望 E? 的值为______________. 13.观察下列不等式: ①

1 1 1 1 1 1 ? 1 ;② ? ? 2 ;③ ? ? ? 3 ;? 2 2 6 12 2 6


则第 5 个不等式为

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线 l 过点 (1, 0) 且与直线 ? ?

?
3

( ? ? R )垂直,则直线

l 极坐标方程为

. D C B l
第 15 题图

15. (几何证明选讲)如图, M 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的 中点,直线 l 过点 M 分别交 AD, AC 于点 E , F . 若 AD ? 3 AE ,则 AF : FC ? . A

E

F M

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)
? 如图,在△ ABC 中, ?C ? 45 , D 为 BC 中点, BC ? 2 .

A

记锐角 ?ADB ? ? .且满足 cos 2? ? ? (1)求 cos ? ; (2)求 BC 边上高的值.

7 . 25

C

D

B

第 16 题图

·3·

17. (本题满分 12 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n?1 ? 2 ,数列 ?bn ? 是首项为 a1 ,公差为 d (d ? 0) 的等差数列,且

b1 , b3 , b11 成等比数列.
(1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

18. (本题满分 14 分) 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点, 且 AD ? P

1 DB ,点 C 为圆 O 上一点,且 BC ? 3 AC . 3

点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , PD ? DB . (1)求证: PA ? CD ; (2)求二面角 C ? PB ? A 的余弦值. A D C
第 18 题图

O

B

·4·

19. (本题满分 14 分) 某工厂生产某种产品,每日的成本 C (单位:万元)与日产量 x (单位:吨)满足函数关系式 C ? 3 ? x ,每日的销售额 S (单位:万元)与日产量 x 的函数关系式

k ? ? 5, (0 ? x ? 6) ?3x ? S ?? x ?8 ?14, ( x ? 6) ?
已知每日的利润 L ? S ? C ,且当 x ? 2 时, L ? 3 . (1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.

20. (本题满分 14 分)

x2 y 2 3 设椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 A(?2, 0), B(2, 0) ,离心率 e ? . a b 2
过该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | . (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 RB 的中点,试判断直 线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

21. (本题满分 14 分)
x 设 g ( x) ? e , f ( x) ? g[?x ? (1 ? ?)a] ? ?g ( x) ,其中 a, ? 是常数,且 0 ? ? ? 1 .

(1)求函数 f ( x ) 的极值;

ex ?1 ? 1 ? a 成立; (2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式 x
(3)设 ?1 , ?2 ? R ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,
+

证明:对任意正数 a1 , a 2 都有: a1 1 a2 2 ? ?1a1 ? ?2 a2 .
·5·

?

?

2013 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 B 8 A 12 . A C B C D C 答案 二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9 . ?1 10 . ?4 11 . 2? ( 2 分 ),

3

( 3 分 )

9 5

13.

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 5 2 6 12 20 30

14. 2 ? sin(? ?

?

) ? 1 (或 2 ? cos(? ? ) ? 1 、 ? cos? ? 3? sin ? ? 1 ) 6 3

?

15. 1 : 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解析: (1)∵ cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ?
2

∵ ? ? (0,

?
2

7 9 2 ,∴ cos ? ? , 25 25
-----------------5 分
2

) ,∴ cos ? ?

3 . 5 4 , 5

(2)方法一、由(1)得 sin ? ? 1 ? cos ? ? ∵ ?CAD ? ?ADB ? ?C ? ? ? 45 ,
?

∴ sin ?CAD ? sin(? ?

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?
4

?

2 , 10

-----------------9 分

在 ?ACD 中,由正弦定理得:

CD AD ? , sin ?CAD sin ?C

∴ AD ?

CD ? sin ?C ? sin ?CAD

1?

2 2 ? 5, 2 10

-----------------11 分

A

4 ? 4. 5 方法二、如图,作 BC 边上的高为 AH
则高 h ? AD ? sin ?ADB ? 5 ? 在直角△ ADH 中,由(1)可得 cos ? ?

-----------------12 分

DB 3 ? , AD 5

C

D

B

第 16 题图

H

则不妨设 AD ? 5m, 则 DH ? 3m, AH ? 4m
? 注意到 ?C =45 ,则 ?AHC 为等腰直角三角形,所以 CD ? DH ? AH ,

-----------------8 分

·6·

则 1 ? 3m ? 4m 所以 m ? 1 ,即 AH ? 4

-----------------10 分 -----------------12 分

17. (本题满分 12 分) 解析: (1)当 n ? 2 ,时 an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? 2n ? 2n , 又 a1 ? S1 ? 21?1 ? 2 ? 2 ? 21 ,也满足上式, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2n . -----------------3 分 -----------------2 分

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b11 成等比数列,
得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ? 10d ) , 解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 , 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ? 1 . (2)由(1)可得 Tn ? -----------------4 分 ----------------5 分 -----------------6 分

2 5 8 3n ? 1 b b1 b2 b3 ? ? ??? n ? 1 ? 2 ? 3 ?? ? n , 2 a1 a2 a3 an 2 2 2

-----------------7 分

2Tn ? 2 ?
两式式相减得

5 8 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 , 1 2 2 2

-----------------8 分

Tn ? 2 ?


3 3 3 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n , 1 2 2 2 2

-----------------11

3 1 (1 ? n?1 ) 3n ? 1 3n ? 5 2 Tn ? 2 ? 2 ? n ? 5? n , 1 2 2 1? 2
分 18. (本题满分 14 分) 解析: (Ⅰ)法 1:连接 CO ,由 3AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 由 3AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,
?

-----------------12

P

∴?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO .-----------------3 分
·7·

A

D O

B

∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴PA ? CD . -----------------6 分 (注:证明 CD ? 平面 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分. ) 法 2:∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 在 Rt?ABC 中设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, DB ? 3 , AB ? 4 , BC ? 2 3 ,



BD BC 3 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ? ? BC AB 2
-----------------3 分

∴?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO . ∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD , 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴PA ? CD . 法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 在 Rt?ABC 中由 3AC ? BC 得, ?ABC ? 30 ,
?

-----------------5 分

-----------------6 分

设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 ,
2 2 2 ? 2 2 2 ∴CD ? DB ? BC ,即 CD ? AO .

-----------------3

分 ∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD , 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴PA ? CD . 分
·8·

-----------------5

-----------------6

(Ⅱ)法 1: (综合法)过点 D 作 DE ? PB ,垂足为 E ,连接 CE . 分 由(1)知 CD ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB , ∴CD ? PB ,又 DE ? CD ? D , ∴PB ? 平面 CDE ,又 CE ? 平面 CDE , ∴CE ? PB ,-----------------9 分 ∴?DEC 为二面角 C ? PB ? A 的平面角. -----------------10 分 由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , A

-----------------7 P

E

D

O

B

(注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要设出线段的长度,酌情给分. ) C ∴PB ? 3 2 ,则 DE ?

PD ? DB 9 3 2 , ? ? PB 2 3 2

∴ Rt?CDE 中, tan ?DEC ? 在

CD 3 6 , ? ? DE 3 2 3 2

15 15 ,即二面角 C ? PB ? A 的余弦值为 . -----------------14 分 5 5 ???? ??? ??? ? ? 法 2: (坐标法)以 D 为原点, DC 、 DB 和 DP 的方向分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正向,建立如图
∴cos ?DEC ? 所 示 的 空 间 直 角 坐 系. -----------------8 分 CD ? AB ,酌情给分. (注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明 ) 设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, PD ? DB ? 3 , CD ? 3 , ∴D(0,0,0) , C( 3,0,0) , B(0,3, 0) , P(0, 0,3) , ∴PC ? ( 3,0, ?3) , PB ? (0,3, ?3) , CD ? (? 3,0,0) , 由 CD ? 平面 PAB ,知平面 PAB 的一个法向量为 CD ? (? 3,0,0) . 分 设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 z P 标

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

-----------------10

??? ? ?n ? PC ? 0 ? 3x ? 3 y ? 0 ? ? ,即 ? ,令 y ? 1 ,则 x ? 3 , z ? 1 , ? ? ??? ?3 y ? 3 z ? 0 ?n ? PB ? 0 ? ?
∴n ? ( 3,1,1) ,-----------------12 分 设二面角 C ? PB ? A 的平面角的大小为 ? ,
·9·

A

D O C B y

??? ? n ? CD ?3 15 ??? ? ? 则 cos ? ? ,-----------------13 分 ?? 5 | n | ? | CD | 5? 3
∴ 二面角 C ? PB ? A 的余弦值为 19. (本题满分 14 分)

15 .-----------------14 分 5

k ? ? 2, 0 ? x ? 6 ?2 x ? 解析: (Ⅰ)由题意可得: L ? ? , x ?8 ?11 ? x, x ? 6 ?
因为 x ? 2 时, L ? 3 ,所以 3 ? 2 ? 2 ? 解得 k ? 18 . (Ⅱ)当 0 ? x ? 6 时, L ? 2 x ?

-----------------2 分

k ? 2. 2?8

-----------------4 分 -----------------5 分

18 ? 2 ,所以 x ?8

L ? (x ? 8) 2 ?


18 18 18 ? 18= ? [2(8 ? x) ? ] ? 18 ≤ ?2 (8 ? x) 2 ? ? 18 ? 6 . -----------------8 x ?8 8? x 8? x

18 ,即 x ? 5 时取得等号. 8? x 当 x ? 6 时, L ? 11 ? x ? 5 .
当且仅当 2(8 ? x) ? 分 所以当 x ? 5 时, L 取得最大值 6 . 所以当日产量为 5 吨时,每日的利润可以达到最大值 6 万元. 分

-----------------10 分 -----------------12

-----------------14

20. (本题满分 14 分) 解析: (1)由题意可得 a ? 2 , e ? 分 ∴ b ? a ? c ? 1,
2 2 2

c 3 ? ,∴ c ? 3 , a 2

-----------------2

x2 ? y 2 ? 1. 所以椭圆的方程为 4


-----------------4

·10·

? x0 ? x ? x ? x0 ? (2)设 C ( x, y) , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , ? y ? 2 y0 ? y0 ? 2 x ?

2 x0 x2 1 2 2 ? y0 ? 1,代入得 ? ( y) ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 4 . 又 4 4 2

-----------------6

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 . (3)设 C (m, n) ,点 R 的坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR , 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) , ∴t ?

-----------------8 分

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

4n , m?2 4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), m?2 m?2
-----------------10 分

∴点 R 的坐标为 (2,

∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4

而 m2 ? n2 ? 4 ,∴ m2 ? 4 ? ?n2 , ∴k ?

mn m ?? , 2 ?n n
m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

-----------------12 分

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 所以直线 CD 与圆 O 相切.

4 m2 ? n 2

?

4 ?2?r, 4
-----------------14 分

21. (本题满分 14 分) 解析: (1)∵ f ?( x) ? ? g ?[? x ? (1 ? ? )a] ? ? g ?( x) , -----------------1 分

·11·

由 f ?( x) ? 0 得, g ?[? x ? (1 ? ? )a] ? g ?( x) , ∴ ? x ? (1 ? ? )a ? x ,即 (1 ? ? )( x ? a) ? 0 ,解得 x ? a ,-----------------3 分 故当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ; ∴当 x ? a 时, f ( x ) 取极大值,但 f ( x ) 没有极小值.-----------------4 分

(2)∵

ex ?1 ex ? x ?1 ?1 ? , x x

又当 x ? 0 时,令 h( x) ? e x ? x ? 1 ,则 h?( x) ? ex ?1 ? 0 , 故 h( x) ? h(0) ? 0 , 因此原不等式化为 分 令 g ( x) ? e ? (1 ? a) x ?1 ,则 g?( x) ? e ? (1 ? a) ,
x x

ex ? x ?1 ? a ,即 ex ? (1 ? a) x ?1 ? 0 , x

-----------------6

由 g ?( x) ? 0 得: e ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a) ,
x

当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a) 时, g ?( x) ? 0 . 故当 x ? ln(1 ? a) 时,g ( x) 取最小值 g[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) , 分 -----------------8

a 1 1 a ? ln(1 ? a ), a ? 0 ,则 s?(a) ? ? ?? ? 0. 2 1? a (1 ? a) 1 ? a (1 ? a) 2 故 s(a) ? s(0) ? 0 ,即 g[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ? 0 . 因此, 存在正数 x ? ln(1 ? a) , 使原不等式成立.
令 s(a) ? 分 (3)对任意正数 a1 , a2 ,存在实数 x1 , x2 使 a1 ? e 1 , a2 ? e 2 ,
x x

-----------------10

则 a1 1 a2 2 ? e 1 1 ? e
? ?

?

?

?x

?2 x2

? e?1x1 ??2 x2 , ?1a1 ? ?2a2 ? ?1ex1 ? ?2ex2 ,
? x ? ?2 x2

原不等式 a1 1 a2 2 ? ?1a1 ? ?2a2 ? e 1 1

? ?1ex1 ? ?2ex2 ,

? g (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 g ( x1 ) ? ?2 g ( x2 )
-----------------14 分 由(1) f ( x) ? (1 ? ? ) g (a) 恒成立, 故 g[? x ? (1 ? ? )a] ? ? g ( x) ? (1 ? ? ) g (a) , 取 x ? x1 , a ? x2 , ? ? ?1 ,1 ? ? ? ?2 ,
·12·

即得 g (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1g ( x1 ) ? ?2 g ( x2 ) , 即 e?1x1 ??2 x2 ? ?1ex1 ? ?2ex2 , 故所证不等式成立. 分 -----------------14

·13·



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