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解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)



专题二:圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题
【焦半径——椭圆】 取弦与焦点轴的锐角为?
结论 : 长半焦 :?1 ? ep ep 2ep ; 短半焦?2 ? ;焦点弦:| AB | = 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? 1 ? e 2 cos 2 ?

左焦半径:?1 ? a ? ex; 右焦半径? 2 ? a ? ex; 左焦弦:| AB | =2a ? e( x1 ? x2 ); 右焦弦:| AB | =2a ? e( x1 ? x 2 )

【焦半径——双曲线】 取弦与焦点轴的锐角为? (1) 单支焦点半径
结论 : 长半焦 :?1 ? ep ep 2ep ; 短半焦?2 ? ;焦点弦: | AB | = 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? 1 ? e 2 cos 2 ?

左焦半径:?1 ? ?( a ? ex );左焦弦 :| AB | =-2a ? e( x1 ? x2 ); 右焦半径:?1 ? ex ? a; 右焦弦:| AB | =e( x1 ? x2 ) ? 2a;

(2) 双支焦点半径
结论 : 长半焦 :?1 ? ep ep 2ep ; 短半焦?2 ? ;焦点弦: | AB | = 2 e cos ? ? 1 e cos ? ? 1 e cos 2 ? ? 1

异支左焦半径:?1 ? a ? ex;异支左焦弦:| AB | = 2a ? e( x1 ? x2 ); 异支右焦半径:?1 ? a ? ex;异支右焦弦:| AB | =2a ? e( x1 ? x2 );

【焦半径——抛物线】 取弦与焦点轴的锐角为?

结论 : 长半焦 :?1 ?

p p 2p ; 短半焦?2 ? ;焦点弦: | AB | = 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ?

焦点在x轴上:| AB | =x1 ? x2 ? p;焦点在y轴上:| AB | =y1 ? y2 ? p
【焦点弦有关推论——椭圆】 取弦与焦点轴的锐角为? 1、过椭圆、双曲线的一焦点 F 交椭圆或双曲线(单支)于 A,B 两点,则
1 1 2a 2 ? ? 2 ? | AF | | BF | b ep

2、 过双曲线的焦点 F 的直线分别与两支交于 A,B, 与焦点轴夹角为 ? (? )
2
1 1 2 cos ? 2a ? cos ? ? ? ? | AF | | BF | p b2

?

3、 过抛物线的焦点 F 直线交抛物线于 A,B 两点, 与焦点轴夹角为 ? (? )
2
1 1 2 ? ? | AF | | BF | p

?

4、已知点 是离心率为 的椭圆或双曲线 的焦点,过点 的弦 的焦点所在的轴的夹角为 ? ,且 (1) 当焦点 内分弦 (2) 当焦点 外分弦 时,有 时(此时曲线为双曲线),有 。



【椭圆焦三角形 面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长, ? 为弦夹角

2 2 【椭圆】 ( 1 )S ? ( a ? c )tan

?
2

? b2 tan

?
2

( 2 )S ? b mn ? b 2

( 3 )S ? ( a ? c )( a ? c )( a ? q )( a ? q )
【双曲线焦△ 面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长, ? 为弦夹角

( 1 ) S?

b2 tan 2

?

( 2 )S ? b mn ? b 2

( 3 )S ? ( a ? c )( a ? c )( a ? q )( a ? q )
【抛物线焦点弦与原点△ 面积】 取弦与焦点轴的锐角为?

p( x1 ? x2 ? p ) P2 焦点在 x 轴上:S ? ;S ? sin ? 2 sin ? 4 p( y1 ? y2 ? p ) P2 焦点在x轴上:S ? ;S ? sin ? 2 sin ? 4
【焦点△ 顶角】
a 2 a 2 c ? b2 ? x ? c ? b2时顶角为钝角 c c a a 双曲线: 当- c 2 ? b2 ? x ? ?a或 a ? x c 2 ? b2时顶角为钝角 c c

椭 圆: 当 c > b时,-

一、焦半径与焦点弦

取弦与焦点轴小于 的夹角? 2

?

x2 y2 ? ? 1焦点弦,准线图 a 2 b2

b p? c

2

M
?

A

p?

b2 c

M A

a2 x?? c

F N B 1

F 2

a2 x?? c

F1 N

?

F2 B

【焦半径——椭圆】 分析:如上左图,
根据椭圆第二定义: | F1 A | |FB| a2 b2 ? e; 1 ? e;准线与对应焦点距离 p = -c = | AM | | BN | c c

设焦点弦与 x 轴成?角;

| F1 A | ep ? e ?| F1 A |? e | AM |? e( p ? | F1 A | cos ? ) ?| F1 A |? | AM | 1 ? e cos ?

| F1B | ep ? e ?| F1B |? e | BN |? e( p ? | F1B | cos ? ) ?| F1B |? | BN | 1 ? e cos ?

小结 : 长半焦 :?1 ?

ep ep 2ep ; 短半焦?2 ? ;焦点弦 :| AB | = 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? 1 ? e 2 cos 2 ?

分析:如上右图,
根据椭圆第二定义: | F1 A | a2 b2 ? e;准线与对应焦点距离 p = -c = | AM | c c

设焦点弦与 x 轴成?角;

| F1 A | ep ? e ?| F1 A |? e | AM |? e( p ? | F1 A | cos ? ) ?| F1 A |? | AM | 1 ? e cos ?

| F1B | ep ? e ?| F1B |? e | BN |? e( p ? | F1B | cos ? ) ?| F1B |? | BN | 1 ? e cos ?

焦点在 x 轴上结论 : 长半焦 :?1 ?

ep ep 2ep ; 短半焦?2 ? ;焦点弦:| AB | = 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? 1 ? e 2 cos 2 ?

y2 x2 ? ?1 a 2 b2

y2 x2 ? ?1 a 2 b2

N
b2 p? c

M

a2 y? c

N
p? b c
2

M
y? a2 c

A

B

?
F1 A F2

?
B

F1 F2

分析:如上左图,
根据椭圆第二定义: | F1 A | a2 b2 ? e;准线与对应焦点距离 p = -c = | AM | c c

设焦点弦与x轴成?角;

| F1 A | ep ? e ?| F1 A |? e | AM |? e( p ? | F1 A | cos ? ) ?| F1 A |? | AM | 1 ? e cos ?

| F1B | ep ? e ?| F1B |? e | BN |? e( p ? | F1B | cos ? ) ?| F1B |? | BN | 1 ? e cos ?

分析:如上右图,
根据椭圆第二定义: | F1 A | a2 b2 ? e;准线与对应焦点距离 p = -c = | AM | c c

| F1 A | ep ? e ?| F1 A |? e | AM |? e( p? | F1 A | cos ? ) ?| F1 A |? | AM | 1 ? e cos ?
| F1B | ep ? e ?| F1B |? e | BN |? e( p ? | F1B | sin ? ) ?| F1B |? | BN | 1 ? e sin ?

结论 : 长半焦:?1 ?

ep ep 2ep ; 短半焦?2 ? ;焦点弦:| AB | = 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? 1 ? e 2 cos 2 ?

A

A

M
a2 x?? c
F1 F2 F1 F2

M

N B B
x?

N
a2 c

a a2 | F2 A |? e | AM |? e( ? xa ) ? a ? exa | F1 A |? e | AM |? e( ? xa ) ? a ? exa c c 2 a a2 | F1B |? e | BN |? e( ? xb ) ? a ? exb | F2 B |? e | BN |? e( ? xb ) ? a ? exb c c 左焦半径:?1 ? a ? ex;右焦半径?2 ? a ? ex;左焦弦:| AB | =2a ? e( x1 ? x2 ); 右焦弦:| AB | =2a ? e( x1 ? x2 )

2

【焦半径——双曲线】 内部焦点半径
取弦与x( 或y轴)小于 的夹角? 2
y2 x2 ? ?1 a 2 b2

?

M A

x?

a2 c

?
N
p? b2 c

M

A

?
N
b2 p? c

B
a2 c

x?

B

结论 : 长半焦 :?1 ?

ep ep 2ep ; 短半焦?2 ? ;焦点弦: | AB | = 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? 1 ? e 2 cos 2 ?

外部焦点半径 取弦与焦点轴小于 的夹角?
2

?

M‘

M A M A N N B M’ B

N’

?

?

N‘

分析:如上左图, 根据第二定义:
设焦点弦与x轴成?角;

| F1 A | a 2 b2 ? e;准线与对应焦点距离 p = c ? = | AM | c c

| F1 A | ? e ?| F1 A |? e | AM |? e(| AM ' | ? p ) | AM | ep e cos ? ? 1

? e(| F1 A | cos ? ? p ) ?| F1 A |?

| F1B | ep ? e ?| F1B |? e | BN |? e( p ? | F1B | cos ? ) ?| F1B |? | BN | e cos ? ? 1

?| AB |?| AF1 | ? | BF1 |?

ep ep 2ep ? ? 2 e cos ? ? 1 e cos ? ? 1 e cos 2 ? ? 1

分析:如上右图,
| F2 A | ep ? e ?| F2 A |? e | AM |? e(| AM' | ? p ) ? e(| F2 A | cos ? ? p ) ?| F2 A |? | AM | e cos ? ? 1
| F2 B | ep ? e ?| F2 B |? e | BN |? e( p ? | F2 B | cos ? ) ?| F2 B |? | BN | 1 ? e cos ?

ep ep 2ep ? ? 2 e cos ? ? 1 e cos ? ? 1 e cos 2 ? ? 1 ep ep 2ep 焦点在 x 轴上结论 : 长半焦:?1 ? ; 短半焦?2 ? ;焦点弦:| AB | = 2 e cos ? ? 1 e cos ? ? 1 e cos 2 ? ? 1 ?| AB |?| AF1 | ? | BF1 |?

同理可以推出:(也可从旋转的角度得出以下结论)
焦点在 y 轴上结论 : 长半焦 :?1 ? ep ep 2ep ; 短半焦?2 ? ;焦点弦: | AB | = 2 e cos ? ? 1 e cos ? ? 1 e cos 2 ? ? 1

M‘

M A B

N’

?

N

| F1 A |? e | AM |? e( xa ?

a2 ) ? a ? exa c

| F2 A |? e | AM |? e( ? xa ?

a2 ) ? a ? exa c

异左焦半径:?1 ? a ? ex;异右焦半径? 2 ? a ? ex 异左 | AB | =a ? exa ? a ? exb ? e( xa ? xb ) 异右 | AB | =a ? exa ? a ? exb ? 2a ? e( xa ? xb )
【焦半径——抛物线】 取弦与x( 或y轴)小于 的夹角?
2

?

从上图容易得出以下结论
结论 : 长半焦 :?1 ? p p 2p ; 短半焦?2 ? ;焦点弦: | AB | = 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ?

从上图分析
定义 焦点在x轴上:| AB | ??? ? ?| A M | ? | B N |? (| A M' | ? | M' M |) ? (| BN ' | ? | N ' N |) ?| AB | =x1 ? x2 ? p 定义 焦点在y轴上:| AB | ??? ? ?| A M | ? | B N |? (| A M' | ? | M' M |) ? (| BN ' | ? | N ' N |) ?| AB | =y1 ? y2 ? p

【焦半径与焦点弦有关推论】 【推论 1】——常用来求定值

过椭圆、双曲线的一焦点 F 交椭圆或双曲线(单支)于 A,B 两点,则
1 1 2a 2 ? ? 2 ? | AF | | BF | b ep

过双曲线的一焦点 F 的直线分别与两支交于 A,B, 与焦点轴夹角为 ? (? )
2
1 1 2 cos ? 2a ? cos ? ? ? ? | AF | | BF | p b2

?

过抛物线的一焦点 F 直线交抛物线于 A,B 两点,与焦点轴夹角为 ? (? )
2
1 1 2 ? ? | AF | | BF | p

?

【推论 2】 取弦与焦点轴小于 的夹角? ————常用来求定角或斜率
2

?

已知点 是离心率为 的椭圆或双曲线 的焦点,过点 的弦 焦点所在的轴的夹角为 ? ,且 (3) 当焦点 内分弦 (4) 当焦点 外分弦 时,有 时(此时曲线为双曲线),有 。

与 的

M
p? b c
2

M
?

A

A

?
F N B 1 F 2 N
p? b2 c

B
a2 c

a2 x?? c

x?

【(1)分析证明】
AF BF ? AM ? NB AM ? NB e e ? ( ? ? 1 )BF ? e cos ? ? ( ? ? 1 ) cos ? ? ? ? AB AF ? BF ( 1 ? ? )BF e( 1 ? ? )BF (1? ? )

【(2)分析证明】
M‘ B M

A

?

N

AF BF ? AM' AM ? NB e ? ( ? ? 1 )BF ? e cos ? ? ( ? ? 1 ) cos ? ? ? ? e AB AF ? BF ( ? ? 1 )BF e( ? ? 1 )BF ( ? ?1 )

【焦半径与焦点弦有关例题】 例 1 (2009 年高考福建卷理科第 13 题) 过抛物线 作倾斜角为 ___ 【解】 由抛物线焦点弦的弦长公式为 。 例 2(2010 年高考辽宁卷理科第 20 题)已知椭圆 焦点为 , 经过 且倾斜角为 知 。 ,求椭圆方程。 的直线 与椭圆相交于不同两点 的右 , 已 得, ,解得 的直线, 交抛物线于 两点, 若线段 的焦点 的长为 8, 则

(1)求椭圆的离心率;(2)若

【解】 (1)这里 得 。



,由定理 1 的公式得

,解

(2)将

,代入焦点弦的弦长公式得,

,解得 ,设

,即 ,代入①得

,所以 ,所以 。

①,又 ,所以

,故所求椭圆方程为 例 3(2007 年重庆卷第 16 题)过双曲线 为 的直线,交双曲线于 两点,则

的右焦点 作倾斜角 的值为___ ,离心率 。 由焦半径公式得, 。 ,点准

【解】 易知 距

均在右支上,因为 , 所以

, 因倾斜角为

例 4 (由 2007 年重庆卷第 16 题改编)过双曲线 倾斜角为 的直线,交双曲线于 ,离心率 。注意到 两点,则 ,点准距

的右焦点 作 的值为___ ,因倾斜

【解】 因为 角为 式得, ,所以

分别在双曲线的两支上,由焦半径公 。

例 5 (2010 年高考全国卷Ⅰ理科第 16 题) 已知 是椭圆 的一个焦点, 是短轴的一个端点, 线段 离心率为___ 【解】 设直线 与焦点所在的轴的夹角为 ,则 ,所以 。 的离心率为 两点。若 ,过左 ,则 ,又 的延长线交 于点 , 且 , 则 的

,代入公式得

例 6(自编题)已知双曲线 焦点 且斜率为 ___ 【解】 这里 式 所以 , ,因直线 的直线交 的两支于

与左右两支相交,故应选择公 ,所以 所以 ,

,代入公式得 。

例7 (2009 年高考全国卷Ⅱ理科题) 已知双曲线 右焦点为 ,过 且斜率为 的离心率为( ) 的直线交 于 两点。若

的 ,则

【解】 这里 所以 ,故选 。

, 所以

, 又

, 代入公式得



例8

(2007年高考全国卷Ⅰ)如图6,已知椭圆 ,过 的直线交椭圆于 两点,过

的左、右 的直线交椭圆于

焦点分别为 两点,且

。求四边形面积的最小值。

图6

【解】 由方程可知, 设直线 的夹角为 与 轴的夹角为 ,因为 。代入弦长公式得,

,则 ,所以直线

。 与 轴



。故四边形的

面积为,



所以四边形面积的最小值为



二、圆锥曲线中的焦点三角形面积
【椭圆焦三角形】

M E m F1 P

?

F n F2

【分析】

S?

1 1 ? n ?2 a (m ? n ? 2c) ? r ?m ? ? ?? S ? (2a ? 2c) ? r ? (a ? c)r 2 2

r ? ? tan ;? MF1 ? MF2 ? 2a;? ME ? EF1 ? MF ? FF2 ? 2a ME 2 EF1 ? F1 P ; FF2 ? F2 P ;? F1 P ? F2 P ? 2c;? ME ? 2a ? 2c 2

( 1 )S ? ( a ? c )ME ? tan

?
2

ME ?a ?c ???? ? S ? ( a 2 ? c 2 )tan

?
2

? b 2 tan

?
2

( 2 )S ? b mn ? b 2

自己证明 设|OM|=q ( 3 )S ? ( a ? b )( a ? b )( a ? q )( a ? q )

提示:S ?

2c | ym |? c | ym |; xm 2 ? ym 2 ? q 2 2

【双曲线焦点三角形】

m 2 ? n2 ? 4c 2 ( m ? n )2 ? 4c 2 ? 2mn 4a 2 ? 4c 2 ? 2mn 2b 2 cos ? ? ? ? ? 1? 2mn 2mn 2mn mn

2b 2 1 b 2 sin ? b2 ? mn ? ? ( 1 )S ? mn ? sin ? ? ? 1 ? cos ? 2 1 ? cos ? tan ? 2
( 2 )S ? b mn ? b 2 ( 同椭圆证明)

( 3 )S ? ( a ? b )( a ? b )( a ? q )( a ? q )(同椭圆证明)
【抛物线原焦弦三角形】

? OF ?

p 2P ;| AB |? ; 2 sin2 ?

1 P2 ? S ? OF ? | AB | sin? ? ; 2 2 sin?

?| AB |? x1 ? x2 ? p;? S ?
p( x1 ? x2 ? p ) sin? 4

1 | OF | ? | AB | sin ? 2

S?

同样焦点在 y 轴上时

p( y1 ? y2 ? p ) P2 S? ;S ? sin? 2 sin? 4

三、圆锥曲线中的焦点三角形顶角问题
【椭圆】

当c < b时, 顶角为锐角

当c > b时,以两焦点为直径以原点为圆心的圆交MNPQ ? PQ( ? 不含此四点)上的顶角为钝角, 其它为锐角 顶点在弧 MN,

【分析】 利用 x 2 + y 2 = c 2 ;

x2 y2 ? ?1 ;可求出MN的坐标 a 2 b2

当 c > b 时,-

a 2 a 2 c ? b2 ? x ? c ? b2时顶角为钝角 c c

也可利用向量来证明 x 的取值范围
????? ????? ? ????? ????? ? F1 M ? F2 M > 0时顶角为锐角; F1 M ? F2 M < 0时顶角为钝角 ????? ????? ? ????? ????? ? ( 注意:F1 M ? F2 M与F1 M ? MF2结果是不同的!!!)

【双曲线】原理同椭圆,可求出 x 的取值范围
当a 2 a 2 c ? b2 ? x ? ?a或 a ? x ? c ? b2时顶角为钝角 c c

【启发例题】 例 点 M 是椭圆
x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)上的点,以 M a 2 b2

为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F, 圆 M 与 y 轴相交于 P, Q 两点, 若△PQM 是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是 ________.

P M F1
M’

Q

【解一】若等腰△PQM 是直角三角形,则△PM’M 是等腰直角三角形
MM ' ? c; MP ? 2c; 是使?为钝角?,则半径MF1一定 ? 2c

因此

b2 ? 2c就保证?PMQ为钝角? ? a 2 ? 2ac ? c 2 ? 0 ? e 2 ? 2e ? 1 ? 0 a ?2? 6 ? 2 ? 6 0?e?1 ?2? 6 ? ?e? ?? ?? 0 ? e ? 2 2 2

【解二】若等腰△PQM 是直角三角形则 PQ=2c
圆M : ( x ? c ) 2 ? ( y ? r ) 2 ? r 2 ? 4 b ? 2 2 2 ; ? y ? r ? r ? c ? PQ ? | y ? y | ? 2 ? c2 ? 1 2 b 2 a x ? 0; 其中r ? ? a ?
PQ ? 2C时?为钝角?, ? b b ? c2 ? c ? 2 a a
4 2

? 2c;方法和结果同上



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