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2009届广西柳州高中高三数学高考模拟考试试卷(理)


广西柳州高中 2009 届高三高考模拟考试 数学理试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、已知集合 M ? {x | x ? 2} , N{x | log3 x ? 1} ,则 M ? N ? ( A、 ? B、 {x | x ? 3} C、 {x | x ? 2} ) D、 {x | 2 ? x ? 3} )

2、设函数 f ( x) ? x ? ln x ,又 0 ? ? ? ? ? A、 a ? b B、 a ? b

?
4

,令 a ? f (? ), b ? f (? ) ,则下列关系正确的是( C、 2a ? 2b ) D、 log 1 a ? log 1 b
2 2

3、等差数列 {an } 中, a2 ? a3 ? 4, a6 ? 5 ,则 a10 ? (

A、 ?11 B、 13 C、 15 D、 20 ?( x) ,若 y ? f ?( x) 的图象如图,则 f ( x) 的图象可能是 4、函数 f ( x) 的定义域为 R 且可导,其导函数为 f ( )

5、 设函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的导函数为 f ?( x) , 要得到 f ?( x ?

3? 只需将 f ( x) 的图象向( ) 的图象, 4

)

? 个单位 4 ? C、右平移 个单位 2
A、右平移

? 个单位 4 ? D、左平移 个单位 2
B、左平移

6、已知向量 a 与 b 所成的角为 60?,| a |? 1, AB ? 2a ? 3b, AC ? a + b , D 为 BC 上的一点且 BD ? 2 DC , 则 | AD |? (

??? ?

????

??? ?

????

????

)

A、 3

B、

5 3

C、

3 2 5

D、

2 3 3

???? 3a x2 y 2 7、设 F1、F2 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,若椭圆上存在点 A ,使 | AF1 |? ,且 a b 2

???? ???? 1 2 ? AF1 ? AF2 ? a ,则椭圆的离心率为( 8 1 1 A、 B、 4 2

) C、

2 3

D、

3 4

8、 斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各棱均相等,A1 在面 ABC 上的射影是 AC 的中点 O , 则直线 OB1 与直线 AA1
用心 爱心 专心

所成角的正切值为( A、 3 9、已知函数 f ( x) ? B、

)

3 2

C、

5 3

D、 2

1 3 x ? x ? sin x, x ? R ,如果至少存在一个实数 x ,使 f (a ? x) ? f (ax 2 3 ) ?1) ? 0 ,成立,则实数 a 的取值范围为(
A、 (

1? 2 , ??) 2 1? 2 ) 2

B、 (?2, ]

5 4

C、 (??,

D、 (1, 2) ? (? 2, ?1)

10、 某班共有 55 人, 现根据学生的学号, 用系统抽样的方法, 抽取一个容量为 5 的样本, 已知 3 号、25 号、

47 号同学在样本中,那么样本中还有两个同学的学号为( A、 10、 B、 11 50 C、 12、 、 49 53
2

) D、 14、 36

11、已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,动圆⊙ P 过点 F 且与 y 轴交于 A、B 两点,若 ?APB ? 60? ,则 动圆 P 的圆心的轨迹方程为( A、 ( x ? 3) ? 3 y ? 12
2 2

) B、 ( x ? 3) ? y ? 4
2 2

C、 x ? ( y ? 2) ? 4
2 2

D、 ( y ? 3) ? 3( x ? 1)
2

12、口袋中装有大小质量相同的 5 个红球, 3 个白球,从中每次取出 2 个球,取出后不放回,如果取出是 两个白球则获胜,现在有甲、乙两人从中摸球,按甲、乙、乙、甲的顺序从口袋中取球,则甲获胜的概率 是( A、 )

1 2

B、

3 14

C、

5 14

D、

11 14

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

1 6 ) 展开式中的常数项恰好为曲线 y ? ax3 ? 3x 在 x ? 1 处的切线的斜率,则 a ? ____________。 x2 14、如图,矩形 ABCD 中, AB ? 4, AD ? 1, DE ? 3 , 以 AE 为折痕,将直角折起,使在面 ABC 上的射影 F 恰好在 AB 上,则四棱锥 D ? ABCE 的体积为__________。 x? y y?4 15、已知点 A(?3, 4) , O 是直角坐标原点,点 P( x, y ) 满足 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 的取 x?3 3x ? y ? 12 ? 0
13、 ( x ? 值范围是________。 16、设集合 U ? {2, 4,6,8,10} ,选择 U 的两个非空子集 A 和 B ,要使 B 中的最小的数大于 A 中最大的数, 则不同的选择方法共有___________种。

广西柳州高中 2009 届高三高考模拟考试
用心 爱心 专心

数学理答题卷
__________班_________号姓名__________ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、__________ 14、__________ 15、__________ 16、__________ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17、(10 分)在锐角三角形 ABC 中,内角 A B、C 的对边分别为 a、b、 c ,三角形外接圆半径 R , 、

R?

3 3a ,且 tan B ? tan C ? 3 cos C

(1)求角 B 的值; (2)若 c ?

6 ,求 ?ABC 的面积。 3

18、(12 分)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机 抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品。 (1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8 ,从中任意取出 4 件进行检验。求至少有1 件是合格品的概 率; (2)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件进行检 验,只有 2 件都合格时才接收这批产品,否则拒收。求该商家可能检验出不合格产品数 ? 的分布列及期望

E? ,并求该商家拒收这批产品的概率。

用心

爱心

专心

19、(12 分)如图,直角梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AB ? AD ,且 CD ? 2 AB ? 2 AD ? 4 , ?ADP 为 等边三角形,二面角 P ? AD ? B 的大小为 arccos (I)求证: AM ∥面 PBC ; (2)求直线 AM 与 BC 所成的角。 (3)求二面角 A ? PB ? C 的大小。

3 , M 为 PD 的中点。 3

20、(12 分)数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1, an ?1 ? 2Sn ? n ? 1(n ? 1) 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设等差数列 {bn } 各项均为正数,满足 b1 ? b2 ? b3 ? 18 ,且 a1 ?b2 ? 2,a2 ?b2 ,a3 ?b3 ? 3 ,成等比数列。 证明:

1 1 1 1 ? ??? ? 。 a2b2 a3b3 anbn 6

x2 y 2 21、(12 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以 F2 (c, 0) 为圆心, a ? c 为半 a b
径作圆,过椭圆上一点 P ,作此圆的切线,切点为 T ,若 | PT |max ? (1)求椭圆的离心率的取值范围; (2)若直线 y ? ? x ? 2 与椭圆相交于 A、B 两点,且 OB ? OA ,求证:此椭圆过第一象限一定点 Q ; (3)在题设(2)的条件下,设四边形 OAQB 的面积为 S ,求 S 的取值范围。

2 2 ( a ? c) 。 3

22、(12 分)已知函数 f ( x) ? x ln( x ? 1) 。 (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若不等式 f ( x ? 1) ? ax ? 1 对 x ? (0,1] 恒成立,求 a 的取值范围; (3)若 n ? N + 且 n ? 2 ,证明: n ? N + , n ? 2, ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln n ?
用心 爱心 专心

2 。 n(n ? 1)

广西柳州高中 2009 届高三高考模拟考试 参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 D 2 B 3 A 4 C 5 A 6 D 7 D 8 B 9 C 10 D 11 A 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、 4 14、

5 2 9

15、 [? , ? ]

3 4

1 6

16、 49

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17、(10 分) 解:(1)由 tan B ? tan C ? 整理得 sin A ?

3a sin B sin C 3a sin( B ? C ) 3a ? ? , ? ? 得 cos C cos B cos C cos C cos B cos C cos C

3a cos B ? 3 ? 2 R sin A ? cos B ,? cos B ?

1 2

??B ?

?
3

(5 分)

(2) b ? 2 R sin B ? 2 ?

3 3 c 2 ? ? ? 1,sin C ? ? ??C ? 3 2 2R 2 4 6? 2 4

? sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

? S?ABC ?

1 1 6 6 ? 2 3? 3 bc sin A ? ? 1 ? ? ? (10 分) 2 2 3 4 12

18、(12 分) 解:(1)记“任抽 4 件产品,其中至少有一件事合格品”为事件 A ,则

1 624 (4 分) P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ( ) 4 ? 5 625 (2) ? 的可能取值为 0 、 1 、 2 ,其分布列是

?

0
136 190

1
51 190

2
3 190

P
57 3 ? (8 分) 190 10 又:记“商家任取 2 件产品都合格”为事件 B 136 27 ∴拒收这批产品的概率是 P ? 1 ? P( B) ? 1 ? (12 分) ? 190 95 ? E? ?
19、(12 分)

// 证明:(1)设 PC 的中点为 N ,连结 MN、BN ,则 MN ?

1 // DC ? AB 2 ? AM //BN ,而 BN ? 面 PBC , AM ? 面 PBC ,? AM // 面 PBC (4 分)
用心 爱心 专心

(2)设 AD 的中点 O ,建立如图的空间直角坐标系。由条件可得

1 1 2 P(0,1, 2), M ( ? , , ) 2 2 2 ???? ? ? 3 1 2 ??? ? AM ? ( ? , , ), BC ? ( ?2, 2,0) 2 2 2
???? ??? ? ? ???? ??? ? ? AM ? BC 6 ? ? ? cos ? AM , BC ?? ???? ??? ? , 3 | AM | ? | BC |

? AM 与 BC 所成的角为 arccos
??? ? ??? ?

6 (8 分) 3
?

(3) BC ? ( ?2, 2,0), BP ? ( ?1, ?1, 2) 可得平面 BPC 的一个法向量 n ? (1,1, 2)

?? ? ?? ? ?? m?n 6 ? ? 同理可得平面 ABD 的一个法向量 m ? ( 2,0,1) ,? cos ? m, n ?? ?? 3 |m |?| n |

?二面角 A ? PB ? C 的大小为 ? ? arccos 6 (12 分)
3
20、(12 分) 解:(1)由

an ?1 ? 2 S n ? n ? 1 an ? 2 S n ?1 ? n (n ? 2)

得 an ?1 ? 3an ? 1 (n ? 2) (2 分)

1 1 1 ? 3(an ? ) ,又 a2 ? 4 ? 3(a1 ? ) 也满足上式(4 分) 2 2 2 1 3 ?数列 {an ? } 是首项为 公比为 3 的等比数列 2 2 ? an ?1 ?
? an ? 1 3 n ?1 3n 1 ? ? 3 ? ,? an ? (3n ? 1)(n ? N*) (6 分) 2 2 2 2

(2)由 b1 ? b2 ? b3 ? 18 可得 b2 ? 6 ,设 {bn } 的公差为 d 且 d ? 0 ,依题意可得

9 ? d ,10,16 ? d 成等比数列,?(9 ? d )(16 ? d ) ? 100 ,
解得 d ? 4 或 d ? ?11 (舍去) ? bn ? 4n ? 2(n ? N*) (9 分) ,

?当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ), n anbn (2n ? 1)(3 ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ( ? ? ? ??? ? ) a2b2 a3b3 anbn 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1

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1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ? ? , ?原不等式成立(12 分) 2 3 2n ? 1 2 3 6
20、(12 分) 解:(1)设⊙ F2 的方程为 ( x ? c) ? y ? (a ? c)
2 2 2

切线长 | PT |? | PF2 | ?( a ? c )
2

2

∴当且仅当 | PF2 | 取得最大值时 | PT | 取得最大值,(2 分) 设 ?TPF2 ? ? ,则 | PT |max ?| PF2 |max cos ? ? ( a ? c ) cos ? ?

2 2 (a ? c) 3

? cos ? ?

2 2 1 a?c 1 1 c ,? sin ? ? ,即 ? ,从而解得 ? ? 1 (4 分) 3 3 a?c 3 2 a

故离心率 e 的取值范围是 [ ,1)

1 2

y ? ?x ? 2
(2)联立方程组 x 2
2 2 2 2 2 2 得 (a ? b ) x ? 2 2a x ? a (2 ? b ) ? 0 y2 ? ?1 a 2 b2

2 2a 2 a 2 (2 ? b2 ) , x1 ? x2 ? 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? 2 (6 分) a ? b2 a ? b2
? OA ? OB,? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 即 2 x1 ? x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? 0 ,
代入得 a ? b ? a b ,即
2 2 2 2

1 1 ? 2 ? 1 ,∴定点 Q 的坐标为 (1,1) (8 分) 2 a b

(3) | AB |?

2?

8a 4 ? 4a 2 (2 ? b2 )( a 2 ? b2 ) 8a 2b2 ( a 2 ? b2 ? 2) 2 ? ? 8(1 ? 2 2 ) 2 2 2 4 4 (a ? b ) ab ab

? a 2 ? b2 ? a 2b2 ,? b2 ?

a2 1 c ,又 ? ? 1 2 a ?1 2 a

?0 ?

b2 3 3 4 ? ,即 b2 ? a 2 ? a 2 ? 1 ? , 2 a 4 4 3

a4 1 4 3 49 ?a b ? 2 ? a2 ? 1 ? 2 ?2? ? ?2? , a ?1 a ?1 3 4 12
2 2

从而可以得到

10 2 ?| AB |? 2 2 (10 分) 7
2 ? 1,

又?O 点到直线 AB 的距离 d1 ? 1 , Q 点到直线 AB 的距离 d 2 ?
用心 爱心 专心

?S ?

1 2 | AB | (d1 ? d 2 ) ? | AB | 2 2

?

10 10 ? S ? 2 即面积 S 的取值范围是 [ ,2) (12 分) 7 7 x (2 分) x ?1

21、(12 分) 解:(1) f ?( x ) ? ln( x ? 1) ?

f ??( x ) ?

x?2 ,?当 x ? 2 时 f ??( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 2 时 f ??( x) ? 0 ( x ? 1)2

? f ?( x) ? f ?(2) ? 2 ? 0 ,? f ( x) 在定义域 (1, ??) 为增函数(4 分) ( x ? 1) ln x ? 1 (2) ( x ? 1)ln x ? ax ? 1 对 x ? (0,1] 恒成立,即 a ? ,(6 分) x ( x ? 1) ln x ? 1 x ? ln x 令 h( x ) ? , ,? h?( x ) ? x x2 1 x ?1 ? ( x ? ln x )? ? 1 ? ? ? 0 ,? y ? x ? ln x 在 (0,1] 为减函数,? y ? 1 x x ?h?( x) ? 0,?h?( x) 在 (0,1] 为增函数,? h( x ) max ? h(1) ? 1,? a ? 1 (9 分)
(3)令 a ? 1 由上式可得 ( x ? 1)ln x ? x ? 1

ln x ?

x ?1 1 1 1? n n ?1 ,取 x ? ,则 ln ? 即 ln n ? x ?1 n n 1? n n ?1

1 2 3 n ?1 2 (12 分) ? ln 2 ? ln 3 ? ln 4?ln n ? ? ? ? ? 3 4 5 n ? 1 n(n ? 1)
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