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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 第5节 对数函数课件 理



第5节

对数函数

最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性 质,知道用换底公式将一般对数 转化成自然对数或常用对数;了 解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念及其单 调性,掌握对数函数图象通过的

特殊点,会画底数为 2,10, 图象.

1 的对数函数的 2

3

.体会对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)与对数 函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反函数.
x

编写意图 对数函数是一种十分重要的基本初等函数,其图象与性 质也是高考重点考查的内容,将指数函数、对数函数及幂函数综合

起来一起命题,一直是高考的一大亮点,颇受命题者的青睐.本节重
点突出对数函数概念的理解、对数函数图象与性质的简单应用、对 数函数图象与性质的综合应用(如比较对数值的大小、解简单的对

数不等式、确定参数的取值或取值范围)、分类讨论思想、转化与
化归思想及数形结合思想的应用.多维审题栏目突破了与不等式有 关的综合问题的求解方法,充分体现了方程思想的灵活应用.

夯基固本

考点突破 多维审题

夯基固本
知识梳理
1.对数 见附表

抓主干

固双基

2.对数函数的概念、图象与性质
概念 底数 函数 a>1

y=logax

(a>0,a≠1)叫做对数函数 0<a<1

图象

定义域 值域 性质 过定点

(0,+∞)

R
(1,0)
,即 x= 1 时,y= 0 在(0,+∞)上是 减 函数 在(0,+∞)上是 增 函数

质疑探究:如图是对数函数①y=logax;②y=logbx;③y=logcx;④ y=logdx 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系是什么.

(提示:图中直线 y=1 与各图象交点的横坐标即为它们各自底数 的值,即 0<a<b<1<c<d) 3.指数函数与对数函数的关系 x 指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)
互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.

基础自测
2 1.lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2) 等于( B

)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:原式=2lg 5+lg 2·(1+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 5+lg 2(1+lg 5+lg 2) =2lg 5+2lg 2 =2.

2.若函数 y=f(x)是函数 y=2x 的反函数,则 f(2)的值是 ( C ) (A)4 (B)2 (C)1 (D)0

解析:由题意得 f(x)=log2x,所以 f(2)=1.

3.在同一坐标系内,函数 y=x+a 与 y=logax 的图象可能是( C

)

解析:选项 A 图中,由 y=x+a 的图象可知 a>1,由 y=logax 的图象可知 0<a<1,故 矛盾; 选项 B 图中,由 y=x+a 的图象可知 0<a<1,由 y=logax 的图象可知 a>1,故矛盾; 选项 C 图中,由 y=x+a 的图象可知 0<a<1,由 y=logax 的图象可知 0<a<1,故正确; 选项 D 图中,由 y=x+a 的图象可知 a<0,由 y=logax 的图象可知 a>1,故矛盾.应 选 C.

4.给出下列命题: 2 ①logax =2logax ②函数 y=log2(x+1)是对数函数 ③函数 y=ln
1? x 与 y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同 1? x

④若 logam<logan,则 m<n. 其中正确的命题有( B ) (A)①③ (B)③ (C)②③ (D)④
解析:由 logax2=2loga|x|知①错误,②中函数不符合对数函数定义,故错误.函数 y=ln
1? x 的定义域为(-1,1),而函数 y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域亦为(-1,1), 1? x

故③正确.当 a>1 时④中不等式成立,而 0<a<1 时不成立.④错误.故选 B.

2 5.函数 y= log 1 (3x-a)的定义域是( ,+∞),则 a= 3 2
解析:由 3x-a>0 得 x>
a , 3

.

a 因此,函数 y= log 1 (3x-a)的定义域为( ,+≦), 3 2

所以

a 2 = , 3 3

所以 a=2.
答案:2

考点突破
考点一 对数的基本运算
【例 1】 (1) (A)1

剖典例

找规律

?

3? 2

?

2 log

?

3? 2

?

5

等于(
1 (D) 5

)

1 (B) 2

1 (C) 4

(2)

? lg3?

2

? lg9 ? 1 lg 27 ? lg8 ? lg 1000 lg 0.3 ? lg1.2

?

?=
.

.

(3)若 log147=a,14b=5,则用 a,b 表示 log3528=

解析:(1)原式=

?

3? 2

?

log

?

3? 2

?

5

=

?

3? 2

?

log

?

3? 2

?

1 5

1 = . 5

3? 2 ?3 lg3 ? 2lg3 ? 1 lg3 ? 3lg 2 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? (2)原式= ? lg3 ? 1? ? ? lg3 ? 2lg 2 ? 1?
3 ?1 ? lg 3? ? ? lg 3 ? 2lg 2 ? 1? 3 2 = =- . 2 ? lg 3 ? 1? ? ? lg 3 ? 2lg 2 ? 1?

(3)≧14 =5, ?log145=b, 又 log147=a,
14 2 log14 log14 28 2?a 7 ?log3528= = = . log14 35 log14 5 ? log14 7 a ? b

b

3 答案:(1)D (2)2

2?a (3) a?b

反思归纳

对数运算的依据是对数恒等式、对数的运

算性质、对数的换底公式,要善于根据题目的特点选用合

适的计算公式.

【即时训练】 (1)

1 2 +log = log 5 ? 4log 5 ? 4 2 ? 2 ? 2 5
a b

. .

1 1 (2)(2014 保定模拟)设 2 =5 =m,且 + =2,则 m= a b

解析:(1)原式=|log25-2|+log25-1=log25-2-log25=-2.
(2) 因为 2a=5b=m,所以 a=log2m,b=log5m,
1 1 1 1 所以 + = + =logm2+logm5=logm10=2, a b log 2 m log 5 m

所以 m2=10,m= 10 .

答案:(1)-2 (2)

10

考点二 对数函数的图象及应用 【例 2】 (1)(2015 大连月考)已知 lg a+lg b=0(a>0 且 a≠1,b>0 且
b≠1),则函数 f(x)=a 与 g(x)=-logbx 的图象可能是(
x

)

(2)设方程 10 =|lg(-x)|的两个根分别为 x1,x2,则( (A)x1x2<0 (B)x1x2=0 (C)x1x2>1 (D)0<x1x2<1

x

)

解析:(1)因为 lg a+lg b=0,所以 lg ab=0,所以 ab=1,
1 即 b= , a

故 g(x)=-logbx=- log 1 x=logax,
a

则 f(x)与 g(x)互为反函数,其图象关于直线 y=x 对称,结合图象 知 B 正确.故选 B.

(2)作出 y=10 ,与 y=|lg(-x)|的大致图象,如图. 显然 x1<0,x2<0.不妨设 x1<x2, 则 x1<-1<x2<0, 所以 10 x =lg(-x1), 10 x =-lg(-x2),
1 2

x

此时 10 x < 10 x ,即 lg(-x1)<-lg(-x2),
1 2

由此得 lg(x1x2)<0, 所以 0<x1x2<1, 故选 D.

反思归纳

在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函

数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不
符合要求的选项.在研究方程的根时,可把方程的根看作两个函数

图象交点的横坐标,通过研究两个函数图象得出方程根的关系.

【即时训练】 (1)函数f(x)=ln|x-1|的图象大致是(

)

(2)已知函数 f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所 示,则 a、b 满足的关系是( (A)0<a <b<1 -1 (B)0<b <a <1 (C)0<b-1<a<1 -1 -1 (D)0<a <b <1
-1

)

解析:(1)当 x>1 时,f(x)=ln(x-1), 又 f(x)的图象关于 x=1 对称, 故选 B.

(2)令 g(x)=2 +b-1,这是一个增函数, 而由图象可知函数 y=logag(x)是单调递增的, 所以必有 a>1. 又由图象知函数图象与 y 轴交点的纵坐标介于-1 和 0 之间, 即-1<f(0)<0,所以-1<logab<0, 故 a <b<1,因此 0<a <b<1.故选 A.
-1 -1

x

考点三 对数函数的性质及应用
【例 3】 (1)设函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),
1 值域为[0,1],若 n-m 的最小值为 ,则实数 a 的值为( 3

)

(A)

1 4

(B)

1 2 或 4 3

2 (C) 3

2 3 (D) 或 3 4

x2 ? 1 (2)(2014 衡水模拟)关于函数 f(x)=lg (x≠0),有下列结论: x
①其图象关于 y 轴对称; ②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是 lg 2; ④f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数. 其中所有正确结论的序号是 .

解析:(1)作出 y=|logax|(0<a<1)的大致图象如图, 令|logax|=1,得 x=a 或 x= 又 1-a-(
1 1? a -1)=1-aa a 1 , a

1 ? a ?? a ? 1? ? = <0, a

故 1-a<

1 -1, a

1 2 所以 n-m 的最小值为 1-a= ,a= .故选 C. 3 3

(2)因为函数 f(-x)=lg

? ? x ? ? 1 =lg x
2

2

?x

?1 =f(x),所以函数为偶函数,即图象关于 x

y 轴对称,故①正确.因函数 y=x+ 以函数 y=|x|+

1 在(0,1)上单调递减,在(1,+≦)上单调递增,所 x

1 在(-≦,-1)和(0,1)上单调递减,在(-1,0)和(1,+≦)上单调递增, x

从而函数 f(x)在区间(-1,0)和(1,+≦)上是增函数,在区间(-≦,-1)和(0,1)上是

1 x2 ? 1 减函数,故②错,④正确.③因为 =|x|+ ≥2 x x
即最小值为 lg 2,故③正确.

x?

1 =2,所以 f(x)≥lg 2, x

答案: (1)C

(2)①③④

反思归纳 优先原则.

应用对数函数性质解决相关问题时一定要注意定义域

(1)利用对数性质比较大小的解题策略 ①能化为同底数的对数值可直接利用其单调性进行判断 . ②既不同底数,又不同真数的对数值,先引入中间量(如-1,0, 1等), 再利用对数函数的性质进行比较. ③底数不同,真数相同的对数值,可利用函数图象或比较其倒数大小 来进行. (2)解简单的对数不等式的解题策略 先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单 调性转化为一般不等式求解.

【即时训练】 (1)(2014 石家庄模拟)若 x∈(e-1,1),a=ln x,
?1? b= ? ? ?2?
ln x

,c=e

ln x

,则 a,b,c 的大小关系为(

)

(A)c>b>a (B)b>c>a (C)a>b>c (D)b>a>c (2)(2014 中山模拟)已知函数 f(x)=loga(8-ax)(a>0,a≠1),若 f(x)>1 在区间[1,2]上恒成立,则实数 a 的取值范围为 .

?1? 解析:(1)依题意得 a=ln x∈(-1,0),b= ? ? ?2?

ln x

∈(1,2),c=x∈(e-1,1),

因此 b>c>a.故选 B. (2)当 a>1 时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,
由 f(x)>1,x∈[1,2]恒成立,则 f(x)min=loga(8-2a)>1,
8 解之得 1<a< . 3

若 0<a<1 时,f(x)在 x∈[1,2]上是增函数, 由 f(x)>1 恒成立,则 f(x)min=loga(8-a)>1, 且 8-2a>0,所以 a>4,且 a<4,故不存在.
8 综上可知,实数 a 的取值范围是(1, ). 3 8 答案:(1)B (2)(1, ) 3

助学微博
1.对数函数的定义域及单调性 在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y=logax的定义域 应为{x|x>0}.对数函数的单调性和底数a的值有关,因而,在研究对 数函数的单调性时,要按0<a<1和a>1进行分类讨论.

2.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量
结合函数单调性. 3.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过图象与直线y=1 交点的横坐标进行判定.

多维审题

拓思维
对数型不等式的解法

明思路

2 ? ? ? x ? 2 x, x ? 0, 【典例】 (2013 高考新课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)= ? ? ?ln ? x ? 1? , x ? 0.

若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( (A)(-∞,0] (B)(-∞,1]

)

(C)[-2,1] (D)[-2,0] ?审题? 视角一:已知函数是分段的,分段得出不等式,在各个段上把 不等式恒成立问题转化为函数最值问题求解. 视角二:在同一个坐标系中画出函数 y=|f(x)|,y=ax 的图象,通过分析 图象的变化趋势或借助特殊值得出答案.

解析:法一 若 x≤0,|f(x)|=|-x +2x|=x -2x,x=0 时不等式恒成立,x<0 时,不等式可 化为 a≥x-2,而 x-2<-2,可得 a≥-2; 若 x>0,|f(x)|=|ln(x+1)|=ln(x+1),由 ln(x+1)≥ax,
x ? ln ? x ? 1? ln ? x ? 1? ln ? x ? 1? x ? 1 可得 a≤ 恒成立,令 h(x)= ,则 h′(x)= , 2 x x x

2

2

再令 g(x)=

x -ln(x+1),则 g′(x)= x ?1

?x

? x ? 1?

2

<0,故 g(x)在(0,+≦)上单调递减,

x ? ln ? x ? 1? 所以 g(x)<g(0)=0,可得 h′(x)= x ? 1 2 <0, x

故 h(x)在(0,+≦)上单调递减,x→+≦时,h(x)→0,所以 h(x)>0,a≤0, 综合以上可知,-2≤a≤0.故选 D.

法二

2 ? ? x ? 2 x, x ? 0, 函数 y=|f(x)|= ? 在同一坐标系中画出 ? ?ln ? x ? 1? , x ? 0,

y=|f(x)|,y=ax 的大致图象如图,问题等价于直线 y=ax 不在函数 y=|f(x)|图象的上方,显然 a>0 时,根据对数函数图象与直线的关系, 不可能满足条件,故 a≤0; 由于直线 y=ax 与曲线 y=x -2x 均过坐标原点, 所以满足条件的直线 y=ax 的边界位置是曲线 y=x2-2x 在点(0,0)处 的切线, 因为 y′=2x-2,所以当 x=0 时 y′=-2. 所以-2≤a≤0.故选 D.
2

法三 作出函数 y=|f(x)|的图象(如法二中图),取 a 的特殊值进行 检验,如取 a=1 不满足不等式,可排除选项 B、C,取 a=-5,不满足不 等式,可排除选项 A.故选 D.

点评 本小题是选择题因此一般不用法一直接推理计算,多利用 数形结合思想,借助选项排除求解,但作图一定要准确.

【即时训练】 (2014 长沙模拟)已知 a= 5log
则( )

2

3.4

,b= 5log

4

?1? 3.6 ,c= ? ? ?5?

log3 0.3

,

(A)a>b>c (B)b>a>c (C)a>c>b (D)c>a>b

解析:法一 由图象知,

在同一坐标系中分别作出函数

y=log2x,y=log3x,y=log4x 的图象,如图所示.

10 log23.4>log3 >log43.6. 3

所以 a>c>b.故选 C.

法二 ≧log3 ?log3

10 10 >log33=1,且 <3.4, 3 3

10 <log33.4<log23.4. 3 10 >1, 3

≧log43.6<log44=1,log3 ?log23.4>log3
x

10 >log43.6. 3

由于 y=5 为增函数, ?5
log 2 3.4

>5

log3

10 3

> 5log

4

3.6

.
4

即 5log

2

?1? 3.4 >? ? ?5?

log3 0.3

> 5log

3.6

,故 a>c>b.故选 C.



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