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余弦定理的联袪应用



 

中学生数学 ? 2 0 1 2 年 3月 上 ? 第4 3 7期 ( 高中)  

弦定理的联 
乡  
苍 付   
山东省 高 青县教 研 室 ( 2 5 6 3 0 0 )   董林 



础 
岔 口  
- ; 口 
t 

J 

有时 , 将 正 弦 定 理 和 余 弦定 理 联 袂 应 用 ,  
常 常能 够证 明 三角 形 中 的一 些重 要 结 论 , 现举  例说 明.    ̄AA B C , 求证 :   =   .  

评注

在 证 明与 三 角 形 的 边 和 角 相 关 相 

关 的恒 等 式时 , 我 们 常 常 利 用 正 弦 定 理 或余 弦 
定 理把 边 化成 角或 把 角化 成边 .  
例 2   已 知 A、 B、 C 是 △ AB C 的 三 个 内 

角, 且 满足 ( s i n A+s i n B)   一s i n 。 C一3 s i n As i n B,  
求证 : A+ B一 1 2 O 。 .  

分 析  左 右两 边 分 别是 角 和 边 的 表达 式 ,  

要证 明它们 相等 , 要 利 用 正 弦 或 余 弦 定 理将 它 
们都 化 为边 或都 化 为角 的表达 式 .   证法 1   由正弦定 理得  一   ,  

分析

要 证 A + B: 1 2 0 。 , 由 于 A + B+ C  

= = = 1 8 0 。 , 只 要 证 明 C= : = 6 0 。 , 而 已 知 条 件 为 三 角  函数 关 系 , 故 应 考 虑 向 三 角 函数 的转 化 , 又 在 

0 。 ~1 8 0 。 之间 , 余 弦 值 所对 应 角 惟 一 , 故 可 证 明  由余 弦定理 得 c o s B= 
a  + b   ~f 。  
。  一 —   ,  

,  

c o s C z寺 , 由余弦定理 c o s c 一   2 a b  
.  

1  



所 以 

应 考虑 把 已知 的角 的关 系式 转化 为 边 的关 系.  
证 明  由 ( s i n A+ s i n B) 。   s i n   C 一 
3 s i n As i n B 可 得 

则 左边 一   SI n L/  



 

? 

s1 nL /  

co  S 

s i n 。 A+ s i n   B— s i n。 C— s i n As i n B.  

又 由正 弦定 理与合 比定 理 得 
24 - ^  一 r 2   6   C   2 a b   C 。 上 a 。 — — b   2 c a  

口+ b+ f   s i n A+s i n B+ s i n C’  
i nA 一  ,  

n   +b   一C  
口  一 b  + C 0  
== =

s i n A+ s i n B + si n C) 同理 有 s i n B一 — b (






r 五







,  

右边 ,  
  .

所 以原等 式成 立.  

S1 n  一

6 ( s i n A+ s i n B+ s i n C)  
— — —   一

’  

证法 2   由正弦 定理  ̄ 侍 .  s i n B:   : = 鱼
Sl n L,   f 

,  

则 s i n 。 A十 s i n   B— s i n   C— s i n As i n B 变 为 
口  + b  一 f  = a b,  

由余 弦定 理得 a   +6   一c   一2 a b c o s C,  
口   一b   +C   一2 a c c o s B。  

所 以 … c 一  
评注

一 专 .  

则 右 边 一  a 2



+   b 2 - c 2   警  一  ?  
s i n B 
一   =  

又 0 。 < C< 1 8 0 。 , 所 以 C一 6 O 。 ,  

故 A+B一1 8 0 。 一C一1 2 0 。 .  

C O S B  s i n C  C O S B  s i n   C   t 一 左  ,   a n C  工 .   ’  
一   ?  

t a n B

有 关三角形 内角 的证 明 , 选择余 弦值‘  

与正 弦值相 比较 , 要 省去 取舍 的麻烦 .但 注 意在 

C O S C 

● 

根据三 角 函数值求 角时 , 应先 确定角 的范 围.  
( 责审   王 雷)  

● 

所 以原等 式成 立.  

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● 

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