9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中文科数学函数复习



第二讲、函数
二. 函数概念与基本初等函数 I(指数函数、对数函数、幂函数) (一)函数 1.了解函数、映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域。 2.理解函数的三种表示法:解析法、图想法和列表法。 3.了解简单的分段函数,并能简单应用。 4.理解函数的单调性, 会讨论和证明函数的单调性; 理解函数的奇偶性, 会判断函数的奇偶 5. 理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求函数的最大(小)值。 6.会运用函数图像理解和讨论函数的性质。 (二)指数函数 1.了解指数函数模型的实际背景。 2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 3.理解指数函数的概念,会解决与指数函数性质有关的问题。 (三)对数函数 1.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数 在简化运算中的作用。 2.理解对数函数的概念,能解决与对数函数性质有关的问题。 (四)幂函数 1.了解幂函数的概念。 2.结合函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ?
2 3

性。

1 x

, y ? x 2 的图象,了解它们的变化情况。

1

(五)函数与方程 了解函数零点的概念,能判断函数在某个区间上是否存在零点。 (六)函数模型及其应用 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征。 2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

1.函数的定义:y=f(x) x∈A,其中 x 叫做自变量。 ,

x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;
与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 2.函数的相等:函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当函数的定 义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定 因此,定义域和对
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

应法则为函数的两个基本条件, 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时, 这两 个函数才是同一个函数
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

3.映射的定义:一般地,设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的 任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合 A、B, 以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B
由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求 A、B 非空且皆为数集
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

4.映射的概念中象、原象的理解:(1) A 中每一个元素都有象且唯一;(2)B 中每一个元素不

一定都有原象,不一定只一个原象 5.函数的三种表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析 表达式,简称解析式
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系 (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系 6.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(2)已知 f ( x ) 求 f [ g ( x )] 或已知 f [ g ( x )] 求 f ( x ) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x ) 满足某个等式,这个等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组 法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 题型讲解
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

例 1(1)已知 f ( x ?

1 x

) ? x ?
3

1 x
3

,求 f ( x ) ; (配凑法)

(2)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 1 7 ,求 f ( x ) ; (3)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) (方程组法)
x 1

7 求函数定义域一般有三类问题:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

(1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意 义; (3)已知 f ( x ) 的定义域求 f [ g ( x )] 的定义域或已知 f [ g ( x )] 的定义域求 f ( x ) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知 f ( x ) 的定义域 ? a , b ? ,其复合函数 f ? g ( x ) ? 的定义域应由 a ? g ( x ) ? b 解出 8 求函数值域的各种方法
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 其类型依解析式的特点分可分三类:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

(1)求常见函数值域; (2)求由常见函数复合而成的函数的值域; (3)求由常见函数作某些 “运

算”而得函数的值域

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

①直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ? 二次函数
k x
f ( x ) ? ax
2

( k ? 0 ) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0};

? bx ? c ( a ? 0 ) 的定义域为

R,

当 a>0 时,值域为{ y | 当 a<0 时,值域为{ y |

y ?

( 4 ac ? b )
2

}; }

4a
y ? ( 4 ac ? b )
2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

4a

②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:
f ( x ) ? ax
2

? bx ? c , x ? ( m , n ) 的形式;

③分式转化法(或改为“分离常数法” ) ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: y ? x ?
k x ( k ? 0 ) ,利用平均值不等式公式来求值域;
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

⑨逆求法(反求法) :通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式, 得出 y 的取值范围;常用来解,型如: y ? 函数单调性 1
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

ax ? b cx ? d

, x ? (m , n)

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

证明函数单调性的一般方法:
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

①定义法:设 x 1 , x 2 ? A 且 x 1 ? x 2 ;作差 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,判断正负号


特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

( ②用导数证明: 若 f ( x ) 在某个区间 A 内有导数,则 f ( x ) ? 0 , x ? A )

? f ( x ) 在 A 内为增函数; f ( x ) ? 0 ,( x ? A ) ?



f ( x ) 在 A 内为减函数

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

3 复合函数 y ? f ? g ( x ) ? 在公共定义域上的单调性:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

①若 f 与 g 的单调性相同,则 f ? g ( x ) ? 为增函数;

②若 f 与 g 的单调性相反,则 f ? g ( x ) ? 为减函数 注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集 4 一些有用的结论:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f ( x ) ? 增函数 g ( x ) 是增函数; 减函数 f ( x ) ? 减函数 g ( x ) 是减函数; 增函数 f ( x ) ? 减函数 g ( x ) 是增函数; 减函数 f ( x ) ? 增函数 g ( x ) 是减函数
b
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

④ 函 数 y ? ax ?

? (a ? 0, b ? 0) 在 ? ? ? , ? ? x ?

? b ? ?或 ? a ? ?

b

? , ?? ? 上 单 调 递 增 ; 在 ? a ?

? ?? ?

b

? ,0?或 ? a ?

? b ? ? 0 , ? 上是单调递减 ? a ? ?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

函数奇偶性 1 奇偶函数的性质:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

(1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; 2 f ( x ) 为偶函数 ? f ( x ) ? f (| x |)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

3 若奇函数 f ( x ) 的定义域包含 0 ,则 f (0 ) ? 0
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

4 判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

使定义域不受影响; 5 牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性;
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

6 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 ,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

f (x) f (? x)

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

? ?1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

7 设 f ( x ) , g ( x ) 的定义域分别是 D 1 , D 2 ,那么在它们的公共定义域上:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定义的等价
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

形式:f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0; 2 讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,要重视这一点;
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

3 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因此根据图象的对称性可以判
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

断函数的奇偶性 函数周期性

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x ) 恒成立,则 f(x)叫做 周期函数,T 叫做这个函数的一个周期 反函数 1 反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数;
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

2 定义域、值域:反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域,若 y ? f ( x ) 与
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

y ? f
?1

?1

(x) 互 为 反 函 数 , 函 数 y ? f (x) 的 定 义 域 为 A 、 值 域 为 B , 则 x ?( x B) ,f
?1

f[ f
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

( x )? ]

[ f ( x )] ? x ( x ? A ) ;
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

3 单调性、图象:互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图象关于 y ? x 对称
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

4 求反函数的一般方法:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

(1)由 y ? f ( x ) 解出 x ? f

?1

( y) , (2)将 x ? f
?1

?1

( y ) 中的 x , y 互换位置,得 y ? f

?1

(x) ,

(3)求 y ? f ( x ) 的值域得 y ? f 二次函数

( x ) 的定义域

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 二次函数的图象及性质:二次函数 y ? ax
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

2

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

? bx ? c 的图象的对称轴方程是 x ? ?

b 2a

,顶

点坐标是 ? ? ?
?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

?

4 ac ? b , 2a 4a b

2

? ? ? ?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2 二次函数的解析式的三种形式:用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

种 形 式 , 即 f ( x ) ? ax
f (x) ? a(x ? m )
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

2

? bx ? c (一般式)

) , f ( x ) ? a ( x ? x 1 ) ? ( x ? x 2(零点式)



2

? n (顶点式)

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题,用图象
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

求解,有如下结论:令 f(x)=ax2+bx+c (a>0)

?? ? 0 ? (1)x1<α,x2<α ,则 ? ? b /( 2 a ) ? ? ; ? af (? ) ? 0 ?
?? ? ? f (3)α<x1<?,α<x2<?,则 ? ? f ?? ? ? 0 (? ) ? 0 (? ) ? 0 ? ? b /( 2 a ) ? ?

?? ? 0 ? (2)x1>α,x2>α,则 ? ? b /( 2 a ) ? ? ? af (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? (4)x1<α,x2>? (α<?),则 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ?

(5)若 f(x)=0 在区间(α,?)内只有一个实根,则有 f (? ) f ? ? ) ? 0 4 最值问题:二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间[α,?]上的最值一般分为三种情况讨论,即:(1)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

对称轴?b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调性;;(2)对称轴?b/(2a)在区间之内;(3) 对称轴在区间右边 要注意系数 a 的符号对抛物线开口的影响
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

5 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

① ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴无交点 ? ax2+bx+c=0 无实根 ? ax2+bx+c>0(<0)的 解集为 ? 或者是 R; ② ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的 图 像 与 x 轴 相 切 ? ax2+bx+c=0 有 两 个 相 等 的 实 根
? ax +bx+c>0(<0)的解集为 ? 或者是 R;
2

③ ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ? ax2+bx+c=0 有两个不等的实 根 ? ax2+bx+c>0(<0)的解集为 ( ? , ? ) (? ? ? ) 或者是 ( ? ? , ? ) ? ( ? , ? ? ) 指数对数函数 1 根式的运算性质:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

①当 n 为任意正整数时,( n a ) n =a

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ?

?a (a ? 0)
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?? a (a ? 0)

⑶根式的基本性质:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

np

a

mp

?

n

a

m

, ? 0) (a

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2 分数指数幂的运算性质:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

a

m

?a
m

n

? a ? a

m?n

(m , n ? Q )

(a

)

n

mn

(m , n ? Q )
n

( ab )
x
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

n

? a

n

? b (n ? Q )

3 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的图象和性质
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

王新敞
奎屯

新疆

a>1

0<a<1

y
图 象

y 1

1 o
(1)定义域:R

x

o

x

性 质

(2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

b 4 指数式与对数式的互化: a ? N ? lo g a N ? b
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

5 重要公式: log a 1 ? 0 , log
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

a

a ?1

王新敞
奎屯

新疆

对数恒等式 a

log

a

N

? N

王新敞
奎屯

新疆

6 对数的运算法则
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

如果 a ? 0 , a ? 1, N ? 0 , M ? 0 有 lo g a ( M N ) ? lo g a M ? lo g a N ,
lo g a
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

M N

? lo g a M ? lo g a N , lo g

a

n

M

m

?

m n

lo g a M

7 对数换底公式:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

log

a

N ?

log log

m m

N a

( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0)

王新敞
奎屯

新疆

8 两个常用的推论:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

① log ② log
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

a

b ? log
n

b

a ? 1,

log

a

b ? log

b

c ? log

c

a ?1

王新敞
奎屯

新疆

a

m

b

?

n m

log

a

b ( a, b > 0 且均不为 1)

王新敞
奎屯

新疆

9 对数函数的性质:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

a>1

0<a<1

y
图 象

y
x

o

1

o

1

x

定义域: (0,+∞) 值域:R 过点(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0
x ? ( 0 ,1 ) 时 y ? 0 x ? ( 0 ,1 ) 时 y ? 0

性 质

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1, ?? ) 时 y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1, ?? ) 时 y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

在(0,+∞)上是增函数
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

王新敞
奎屯

新疆

在(0,+∞)上是减函数
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

王新敞
奎屯

新疆

x 10 同底的指数函数 y ? a 与对数函数 y ? lo g a x 互为反函数
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

11 指数方程和对数方程主要有以下几种类型:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

(1) af(x)=b?f(x)=logab, logaf(x)=b?f(x)=ab(定义法) (2) af(x)=ag(x)?f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)?f(x)=g(x)>0(转化法) (3) af(x)=bg(x)?f(x)logma=g(x)logmb (取对数法) (4) logaf(x)=logbg(x)?logaf(x)=logag(x)/logab (换底法) 幂函数
y ? x (定义域与 ? 有关) ? ? R ) (
?

过定点: (1,1) 图形的形状位置:在第一象限

正抛负双 ? >0, ( 抛物线;? <0, 双曲线) 大竖小横( ? >1,竖抛;0< ? <1,横抛

函数图象变换
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

1 作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:①确定函数的定义
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化 趋势) ;④描点连线,画出函数的图象
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2 三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等;
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

3 识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

4 平移变换: (1)水平平移:函数 y ? f ( x ? a ) 的图像可以把函数 y ? f ( x ) 的图像沿 x 轴方
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

向向左 ( a ? 0 ) 或向右 ( a ? 0 ) 平移 | a | 个单位即可得到; (2)竖直平移:函数 y ? f ( x ) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x ) 的图像沿 x 轴方向向上

( a ? 0 ) 或向下 ( a ? 0 ) 平移 | a | 个单位即可得到
左移 h 右移 h

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

① y=f(x) ? y=f(x+h); ② y=f(x) ? y=f(x?h);
上移 h 下移 h
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

③y=f(x) ? y=f(x)+h; ④y=f(x) ? y=f(x)?h
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

5 对称变换: (1)函数 y ? f ( ? x ) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像关于 y 轴对称即可得
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

到; (2)函数 y ? ? f ( x ) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像关于 x 轴对称即可得到; (3)函数 y ? ? f ( ? x ) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像关于原点对称即可得到; (4)函数 y ? f
x轴
?1

( x ) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称得到
y轴

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

①y=f(x) ? y= ?f(x);
直线 x ? a

②y=f(x) ? y=f(?x);
直线 y ? x

③y=f(x)

?
原点

y=f(2a?x);
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

④y=f(x)

?

y=f?1(x);

⑤y=f(x) ? y= ?f(?x)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

6 翻折变换: (1)函数 y ? | f ( x ) | 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x ) 的 x 轴上方部分即可得到; (2)函数 y ? f ( | x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代 原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x ) 在 y 轴右边部分即可得到
y
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

y=f(x)

y

y=|f(x)|

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

7 伸缩变换: (1)函数 y ? a f ( x ) ( a ? 0 ) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像中的每一点横
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

坐标不变纵坐标伸长 ( a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到; (2)函数 y ? f ( a x ) ( a ? 0 ) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像中的每一点纵坐标不变横 坐标伸长 ( a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的
1 a

倍得到
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

①y=f(x) ? y=f(

x ??

x

?

)

② y=f(x) ? y=ω f(x)

y ??

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

函数及其表示 例 1 判断下列对应是否为函数 ⑴ x?
2 x

,x≠0,x ? R;⑵ x ? y,这里 y 2 = x,x ? N,y? R

指数函数 例 1 求下列各式的值 ⑴
3

(?2)

3

=



4

(?2)

4

=



6

(3 ? ? )

6

=



x

2

? 2 xy ? y

2

=

例 2 ⑴ 把下列各式中的 a 写成分数指数幂的形式(a>0) ; ① a 5 =256 ② a ? 4 =28 ③ a ? 7 =5 6 ④ a ? 3 n =3 5 m (m, ? N * ) n

3

⑵ 计算:① 9 2 ② 16
? 3 2

2

例 3 化简
a

a
?

3 1 2

b ?
3

÷?
b
? ?

?a

?1

b a

?1

b

? ? ? ?

?

2 3

例 4 化简(式中字母都是正数) ⑴ (x
2

y

3



6

⑵ (2x

2

+ 3y

?

3

)(2x

2

- 3y

?

3

)

1

?

1 2

⑶ 4x

2

·3x

(- y

3

)·y

?

3 3

例 化简下列各式 ⑴
x x
?2 2 3

? y ? y

?2 2 3

-

x x

?2 2 3

? y ? y

?2 2 3

?

?

?

?

4

1


a

a
2 3

3

? 8a 3b
2 3

÷(1 – 2 3

b a

)× 3 a

? 2

ab ? 4 b

3

典型例题
题型一、根式的性质 例1 求值
a a ?
2

(a>0).
3

a

2

例 2 计算:⑴

5? 2

6 ?

5? 2

6



3

2?

5 ?

3

2?

5

题型二、分数指数幂及运算性质
9

1. 计算问题:例 3 计算: a 2

3

a

?3

?

3

a

?7 3

a

13

7

2. 化简问题:例 4 化简下列各式:⑴

3

a

2

a

?3

?

3

a

?8 3

a

15

?

3

a

?3

a

?1

⑵ (x ? x ? x ) (x
0

?1

?

1 2

1

?x2)

3. 带附加条件的求值问题
1

例 5 已知 a + a
2

?

1 2

= 3,求下列各式的值:

⑴ a + a

?1

⑵ a 2 + a ?2
3 ? 3 2 1 2



a a

2 1 2

? a ? a

?

数学思想方法
一、化归与转化思想
a
2

例 6 化简:

b

3

a b
3

(a>0,b>0).

b

a

二、整体代换思想 例 7 ⑴ 已知 2 ? 2
x ?x

? a (常数) ,求 8 ? 8
x

?x

的值。

1

1

⑵ 已知 x + y = 12, xy = 9,且 x<y,求

x x

2 1 2

? y ? y

2 1 2

的值。

创新、拓展、实践
1. 数学与科技 例 8 已知某两星球间的距离 d 1 = 3.12×10
34

千米, 某两分子间的距离 d 2 = 3.12×10

? 32

米,请问两星球间距离是两分子间距离的多少倍?

2. 创新应用题 例 9 已知 a、b 是方程 x - 6x + 4 = 0 的两根,且 a>b>0,求
2

a ? a ?

b b

的值。

3. 开放探究题
? 8?r 例 10 已知 a>0,对于 0≤r≤8,r ? N ,式子( a ) (

1
4

) 能化为关于 a 的整数指
r

a

数幂的可能情形有几种?

一、巧用公式
1 1 2 1 2 1

(a ? a

?1

) =a ? 2+a
2 2
1 1 2

?2


1 1 2

a – b = (a + b )(a - b 2 );
2

a + b = (a 3 + b 3 )· 3 - a 3 b 3 + b 3 ) (a 例 1 化简 (x ? + x + 1)(x
? 1 2 1

- x2 )

二、整体带入
1

例 2 已知 x 2 + x

?

1 2

=3 求

x x

2 3 2

? x ? x

?2 3 2

? 2 ? 3

的值。

?

例 3 计算(1 +
2

1
2048

) + (1
2

1
1024

)?(1 +

1 2
4

) + (1

1 2
2

) + (1

1 2

).

三、根式、小数化为指数幂 例 4 计算(0.0081)
? 1 4

- [3×(

7 8

) 0 ] ? 1 ·[81 ? 0 . 25 +(3

3 8

)

?

1 3

]

?

1 2

.

指数函数及其性质 例 1 指出下列函数哪些是指数函数
x 4 x x 2 ⑴ y = 4 ;⑵ y = x ;⑶ y = - 4 ;⑷ y = (-4) ;⑸ y = ? ;⑹ y = 4x ;
x

⑺ y = x ;⑻ y = (2a - 1) (a>
x x

1 2

,且 a ≠ 1)

例 2 比较下列各题中两个值的大小。 ⑴ 1.7
2 .5

,1.7 ;
3

⑵ 0.8

? 0 .1

,0.8

? 0 .2



⑶ 1.7

0 .3

,0.9

3 .1

例 3 求下列函数的定义域和值域:
1

⑴ y=

1? 2

x



⑵ y = 2 x ?1

⑶ y = (

1 2

)

x ?2 x?3

2

教材问题探究
1. 函数图像的变换 例 1 画出下列函数的图像,并说明他们是由函数 f (x) = 2 x 的图像经过怎样的变换得 到的。 ⑴ y = 2 x ? 1 ; ⑸ y = -2 x ; 2.图像变换的应用 例 2 设 f (x) = 3 x ? 1 ,c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的 是( ) B. 3 c >3 b C. 3 c + 3 a >2 D. 3 c + 3 a <2 ⑵ y = 2 x ?1 ; ⑹ y = -2 ? x ⑶ y = 2
x



⑷ y = 2x ?1 ;

A. 3 c <3 b

探究学习 例 3 选取底数 a (a>0,且 a ≠ 1)的若干个不同的值, 在同一平面直角坐标系内作出 相应的指数函数的图像. 观察图像, 你能发现他们有哪些共同特征?

典型例题精析
题型一 指数函数的定义 例 1 函数 y = (a + 3a + 3) a 是指数函数, a 的值为___________________________ 则
2 x

题型二 指数函数的图像和性质 1. 过定点问题 例 2 函数 y = 2 2. 指数函数的单调性 例 3 讨论函数 f (x) = (
1 3
x?3

+ 3 恒过定点________________.

)

x ?2x

2

的单调性,并求其值域。

例 4 已知函数 f (x) =

a a

x x

?1 ?1

( a >1)

⑴ 求该函数的值域;⑵ 证明 f (x)是 R 上的增函数

3. 指数函数的图像 例 5 若函数 y = a x + b – 1(a>0,且 a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则一定 有( ) A. a>1,且 b<1 C. 0<a<1,且 b>0

B. 0<a<1,且 b<0 D. a>1,且 b<1

变试训练 1:当 a ≠0 时,函数 y = ax + b 和 y = b ax 的图象只可能是下列中的(



题型三 指数函数图像和性质的综合应用 1. 比较大小 例 6 右图是指数函数:① y = a x ,② y = b x ,③ y = c x , ④ y = d x 的图象,则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是( A. a<b<1<c<d C. 1<a<b<c<d 2. 解不等式 例7
?1 ? ⑴ 解不等式 ? ? ?2?
x ?2
2



B. b<a<1<d<c D. a<b<1<d<c

≤2.

⑵ 已知 ?a 2 ? a ? 2 ? > ?a 2 ? a ? 2 ?
x

1? x

,则 x 的取值范围是________________。

?2 ? 1 ? x ? 0 ?, ? 1 ⑶ 设函数 f(x)= ? 若 f (x 0 )>1,则 x 0 的取值范围是( ? x 2 ? x ? 0 ?, ?
?x



变试训练 2:设 y 1 = a 有:⑴ y 1 = y 2 ;

3 x ?1

,y 2 = a

?2 x

,其中 a>0,a≠1,确定 x 为何值时, ⑵ y1 > y 2 .

3. 定义域和值域 例 8 求下列函数的定义域与值域
1

⑴ y = 2 x?4 ;

⑵ y = ?

?2? ? ?3?

? x

.

例 9 已知 -1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2·3 x ? 1 ? 9 x 的值域

4. 指数方程 例 10 解方程:3 x ? 2 -3 2 ? x =80

例 11

?1? 若方程 ? ? ?4?

x

?1? ? ? ? ?2?

x ?1

? a ? 0 有正数解,则实数 a 的取值范围是(



A. ? ? ,1) ( 5. 单调性问题

B. ( ? ? ,2)

C. (-3,-2)

D.(-3,0)

例 12 已知 a>0 且 a≠1,讨论 f(x)=a

? x ?3x?2

2

的单调性

例 13 设 a >0,f(x)= ⑴ 求 a 的值

e

x

?

a e
x

在 R 上满足 f(-x)=f(x)。 ⑵ 证明:f(x)在(0,+ ? )上是增函数

a

6. 奇偶性问题 例 14 已知函数 f(x)= ? ⑴ 求 f(x)的定义域 ⑵ 讨论 f(x)的奇偶性 ⑶ 证明 f(x)>0
? ?2
x

1 ?1

?

1 ? 3 ?? x , 2?

题型四 指数函数的实际应用 例15 截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿。如果今后能将人口平均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口约为多少?(精确到亿)

数学思想方法
一、数形结合思想 1. 比较大小 例 16 比较 3 ? 1 . 5 和 4 ? 1 . 7

2. 求参数的取值范围 例 17
?3? 关于 x 的方程 ? ? ?4?
x

?

3a ? 2 5? a

有负根,求 a 的取值范围。

3. 研究函数的单调性
x ?1 2x ? 2 例 18 求函数 y = 1 ? 2 的单调区间

二、分类讨论思想 例 19 根据下列条件确定实数 x 的取值范围: a < ?
?1 ? ? ?a ?
1? 2 x

(a>0 且 a≠1)

三、函数与方程思想 例 20 已知 x,y ? R,且 3 +5 >3
x y ? y

+ 5

?x

,求证 x + y>0.

创新、拓展、实践 1. 数学与科技 例 21 家用电器(如冰箱等)使用的氟化物的释放破坏了大气中的臭氧层。臭氧含量 Q 呈指数函数型变化,满足关系式 Q = Q 0 e
? 0 . 0025 t

,其中 Q 0 是臭氧的初始量,t 为时间。

⑴ 随着时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少? ⑵ 多少年以后将会有一半的臭氧消失?

例 22 某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后 每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足右图所示的曲线。 ⑴ 写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y = f(t); ⑵ 据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗疾病有效。求服药 一次治疗疾病有效的时间。

2. 数学与生产 例 23 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品的数量分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件,为了估测以后各月的产量,以这三个的月产量为依据,用一个函数模拟产品月产量 y (万件)与月份数 x 的关系,根据经验,模拟函数可以选用二次函数或 y=ab x +c(其中 a、 b、c 为常数) ,已知 4 月份该产品产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较 好?并求此函数的解析式。

3. 创新应用 例 24 设 f(x)=
4 4
x x

? 2

,若 0<a<1,试求:f(a)+ f(1-a)的值



更多相关文章:
高二文科一轮复习函数汇编
高二文科一轮复习函数汇编_高二数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高二文科一轮复习函数汇编_高二数学_数学_高中教育_教育专区。...
高三文科函数复习
高三文科函数复习_数学_高中教育_教育专区。预备知识 1.完全平方公式: a2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2 a2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2 2 常见函数: 反...
高中文科数学函数复习
高中文科数学函数复习_数学_高中教育_教育专区。第二讲、函数二. 函数概念与基本初等函数 I(指数函数、对数函数、幂函数) (一)函数 1.了解函数、映射的概念,会...
2015年高考文科数学函数专题训练(附答案)
2015年高考文科数学函数专题训练(附答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。最新高考函数复习训练题,适合基础巩固与提升2015 年高考文科数学复习试题——函数一、选择...
高考复习文科函数知识点总结
高考复习文科函数知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高考文科复习函数知识点一、映射与函数 1、映射 f:A→B 概念 (1)A 中元素必须都有象且唯一; (2)B 中...
高中文科函数一轮复习资料
高中文科函数一轮复习资料_数学_高中教育_教育专区。高中文科函数一轮复习资料 1. 某食品的保鲜时间 y (单位: 小时) 与储藏温度 x(单位: ℃) 满足函数关系 y...
高二文科数学函数测试题
高二文科数学函数测试题_数学_高中教育_教育专区。函数测试题(高二文) 一、选择题。 1. 函数 y ? f (2 x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的对...
高中数学函数专题复习
高中数学函数专题复习_数学_高中教育_教育专区。高中数学函数专题复习 ...) ,则实数 a 的值为 2 2 . 10.(理科)若 a>0,求函数 f ( x) ? x...
高三文科数学重要知识点及公式
高三文科数学重要知识点及公式_数学_高中教育_教育专区。高三文科数学重要知识点及公式高三文科数学重要知识点及公式一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设 x1、x...
高中数学文科函数导数综合复习
高中数学文科函数导数综合复习题_数学_高中教育_教育专区。高三数学 函数导数复习检测高三数学周末自助餐(文科 317) 1、下列四个图象中,函数 f ( x) ? x ? 1...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图