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立体几何复习专题(空间角)(学生卷)



高三下期数学(文科实验班)教案(一) (学生卷)2010.3.14

专题一:空间角
一、基础梳理
1.两条异面直线所成的角 (1)异面直线所成的角的范围: (0,

?
2

]。

(2)异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直。两条异面直

线 a , b 垂直,记作 a ? b 。 (3)求异面直线所成的角的方法: (1)通过平移,在一条直线上(或空间)找一点,过该点作另一(或两条)直线的平行线; (2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有:平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2.直线和平面所成的角(简称“线面角” ) (1) 定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面,所成的角是直角;一直线平行于平面或在平面内,所成角为 0?角。 直线和平面所成角范围:?0,

? ?。 2

(2)最小角定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

(3)公式:已知平面?的斜线 a 与?内一直线 b 相交成θ 角, 且 a 与?相交成?1 角,a 在?上的射影 c 与 b 相交成?2 角,

P
a

则有 cos?1 cos? 2 ? cos? 。 ?1 ? 由(3)中的公式同样可以得到:平面的斜线和它在平面 c A ? O 2 内的射影所成角,是这条斜线和这个平面内的任一条直 B b 线所成角中最小的角。 ? 3.二面角 (1)二面角的概念:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面 叫做二面角的面。若棱为 l ,两个面分别为 ? , ? 的二面角记为 ? ? l ? ? 。 (2)二面角的平面角: l ? 过二面角的棱上的一点 O 分别在两个半平面内 ...... 作棱的两条垂线 OA, OB ,则 ?AOB 叫做二面角

说明:①二面角的平面角范围是 ? 0, ? ? ,因此二面

? ? l ? ? 的平面角。

O O'

B B'

A A'

角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。 ②二面角的平面角为直角时,则称为直二面角, ? 组成直二面角的两个平面互相垂直。 (3)二面角的求法: (一)直接法:作二面角的平面角的作法:①定义法;②棱的垂面法;③ 三垂线定理或逆定理法; (注意一些常见模型的二面角的平面角的作法) (二)间接法:面积射影定理的方法。 (4)面积射影定理:
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高三下期数学(文科实验班)教案(一) (学生卷)2010.3.14 面积射影定理:已知 ?ABC 的边 BC 在平面 ? 内,顶点 A ? ? 。设 ?ABC 的面积为 S ,它在平 面 ? 内的射影面积为 S1 ,且平面 ? 与 ?ABC 所在平面所成的二面角为 ? (00 ? ? ? 900 ) ,则

cos ? ?

S1 。 S
S

A

注:①面积射影定理反映了斜面面积、射影面积 和这两个平面所成二面角的平面角间的关系; ?ABC 可以推广到任意的多边形。 ②在二面角的平面角不易作时,经常采用 “面积射影定理法” 。

?
B D

A1 S1
C

?

二、能力巩固
考点一:异面直线所成的角 例 1. 如图所示, A1B1C1 ? ABC 是直三棱柱,

?BCA ? 900 ,点 D1、F1 分别是 A1B1 和 AC 1 1
的中点,若 BC ? CA ? CC1 ,求 BD1 与 AF1 所 成角的余弦值。 (答案:

B1

D1

A1 C1 F1

30 ) 10
B A

变式训练 1: 三棱柱 OAB ? O1 A1 B1 ,平面 OBB 1O 1 ⊥平面 OAB,

C

O1 A1

B1

?O1OB ? 60? , ?AOB ? 90? ,且 OB ? OO1 ? 2,

OA ? 3 ,求异面直线 A1 B 与 AO1 所成角的余弦。
O
A

B

考点二:直线和平面所成的角 例 2. 如图,在三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,四 边形 A?ABB? 是菱形,四边形 BCC ?B? 是矩形,

C?

C ?B? ? AB , C?B? ? 2, AB ? 4, ?ABB? ? 600 , 求 AC ? 与平面 BCC ?B? 所成角的正切。

A?

B?

C

A
变式训练 2:

B

(1) 在 120 的二面角 P ? a ? Q 的两个面 P 与 Q 内分别有两点 A、B , 已知点 A 和点 B 到棱的
0

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高三下期数学(文科实验班)教案(一) (学生卷)2010.3.14 距离分别为 2cm, 4cm ,且线段 AB ? 10cm 。求: ①直线 AB 和棱 a 所成角的正弦值;②直线 AB 和平面 Q 所成角的正弦值。

ABC 内的 (2) (08 全国Ⅰ11)已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A 1 在底面
射影为 △ ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于( A. )

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

(3)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 3, BC ? 3 ,沿对角线 BD 将 ?BCD 折起,使点 C 移到 C ? 点,且 C ? 点在平面 ABD 上的射影 O 恰在 AB 上。求直线 AB 与平面 BC ?D 所成角的大小。

B

3 3

A

3
C
(4)① AB 为平面 ? 的斜线,则平面 ? 内过 A 点的直线 l 与 AB 所成的最小角为_____________, 最大角为__________________。平面内过 A 点的 直线 l 与 AB 所成角 ? 的范围为_______________。 ② AB 与平面 ? 内不过 A 点的直线所成的角的范围 为_______________________。
0

?
? ??
?
0

C?(C )
B

O
D B

A

D

??
A

l

B?

③直线 l1 与平面 ? 所成的角为 30 ,直线 l2 与 l1 所成角为 60 ,则 l2 与平面 ? 所成角的取值范围 是______________________。 ④(08 四川卷9)设直线 l ? 平面 ? ,过平面 ? 外一点 A 与 l , ? 都成 30 角的直线有且只有 ( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
0

⑤过正方体的顶点 A 作截面,使正方体的 12 条棱所在直线与截面所成的角皆相等。试写出满足 条件的一个截面________________________(注:只须任意写出一个) ,并证明。 考点三:平面和平面所成的角——二面角的求法

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高三下期数学(文科实验班)教案(一) (学生卷)2010.3.14 例 3. (07 全国Ⅱ)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为 正方形,侧棱 SD ⊥ 底面 ABCD,E,F 分别为 AB,SC 的中点。 (1)证明 EF ∥平面 SAD ; (2)设 SD ? 2DC ,求二面角 A ? EF ? D 的大小。

S

F

D A E B

C

变式训练 3: (2008 海淀区高三年级第一学期期末练习)如图所示, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 900 , CB ? 1,

C1 A1
M

CA ? 3, AA1 ? 6 , M 为侧棱 CC1 上一点,
AM ? BA1 。 (1)求证: AM ? 平面A 1BC ; (2)求二面角 B ? AM ? C 的大小; (3)求点 C 到平面 ABM 的距离。

B1

C
A B

变式训练 4: (1) ( 08 全国Ⅰ 18 )四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面

A

ABC ? 底面 BCDE , BC ? 2 , CD ? 2 , AB ? AC 。 ①证明: AD ? CE ;
②设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 ,求二面角 C ? AD ? E 的大小。 C

B D

E

(2) S 为直角梯形 ABCD 所在平面外一点 , ?ABC ? 90 , SA ?
0

S

第 4 页(共 11 页)

高三下期数学(文科实验班)教案(一) (学生卷)2010.3.14 面 ABCD, SA ? AB ? BC ? 1 , AD ?

1 ,求平面 SCD 与平面 2

SAB 所成二面角的大小。

(3) (08 全国Ⅰ16)等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ,二面角 C ? AB ? D 的 余弦值为

3 , M ,N 分别是 AC,BC 的中点,则 EM ,AN 所成角的余弦值等于 3



(4)三棱锥 A ? BCD 中, AC ? BD, AD ? BC , AB ? CD ,三个侧面与底面所成的二面角分 别为 ?、?、? ,则 cos ? ? cos ? ? cos ? ? ____________________。

例 4.如图所示,已知平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 ABCD 是矩形,且侧面 ABB1 A1 ? 底面

D1

C1 B1
M D F A E

ABCD , AB1 ? BB1 , AN ? 3NB,
M 、 E 分别是 B1C 、 AB 的中点, F 是 EC 的中点, AB ? 4, MN ? 2 ,
0

A1

侧棱与底面 ABCD 成 45 的角。 (1)求证: MF ? 底面 ABCD ; (2)求二面角 M ? AB ? C 的大小; (3)求 MN 与平面 B1CE 所成角的大小。

C

N

B

课后作业(一) :
第 5 页(共 11 页)

C A

B

高三下期数学(文科实验班)教案(一) (学生卷)2010.3.14 1. (1)已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,A1B⊥CB1,则 A1B 与 AC1 所成的角为( (A)450 (C)900 ) (B)600 (D)1200

(2) (08 全国Ⅱ10)已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等, E 是 SB 的中点, 则 AE,SD 所成的角的余弦值为( ) A.

(3) Rt ?ABC 的斜边在平面 ? 内,顶点 A 在 ? 外, ?BAC 在平面 ? 内的射影是 ?BA?C ,则 ?BA?C 的范围是________________。 (4)从平面 ? 外一点 P 向平面 ? 引垂线和斜线, A 为垂足, B 为斜足,射线 BC ? ? ,这时 ?PBC 为钝角,设 ?PBC ? x, ?ABC ? y ,则( ) A. x ? y B. x ? y C. x ? y D. x, y 的大小关系不确定 (5)相交成 60°的两条直线与一个平面 ? 所成的角都是 45°,那么这两条直线在平面 ? 内的 射影所成的角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° (6)一条与平面相交的线段,其长度为 10cm,两端点到平面的距离分别是 2cm,3cm,这条线 段与平面?所成的角是 ; 若一条线段与平面不相交, 两端点到平面的距离 分别是 2cm,3cm,则线段所在直线与平面?所成的角是 。 (7)PA、PB、PC 是从 P 点引出的三条射线,每两条夹角都是 60°,那么直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是( )

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

2 6 C. 2 3 (8)如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M , N 分别是 A1 A, AB 上的点,若 ?NMC1 ? 900 ,
A. B. 那么 ?NMB1 的大小是( A.大于 90 C. 90
0 0

1 2

D.

D1

3 3

C1


0

A 1 1 B
M
A D

B.小于 90

D.不能确定

C
B

(9)已知 SO ? ?ABC 所在平面于 O 点,且 S 到 A, B, C 三点等距离,若 ?ABC 中,有

N

(10)如果直角三角形的斜边与平面 ? 平行,两条直角边所在直线与平面 ? 所成的角分别为 ) ? 1和? 2 ,则( A. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 C. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 (11) (08 陕西卷 9)如图, ? ? ?,? B. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 D. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1

cos A cos B ? sin A sin B ,则 O 点( ) A.必在 ?ABC 的某一边上 B.必在 ?ABC 外部(不含边界) C.必在 ?ABC 内部(不含边界) D.以上都不对

? ? l,A ??,B ? ?,

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?
A l a b B ?

高三下期数学(文科实验班)教案(一) (学生卷)2010.3.14 A,B 到 l 的距离分别是 a 和 b , AB 与 ?,? 所成的角分别 是 ? 和 ? , AB 在 ?,? 内的射影分别是 m 和 n ,若 a ? b , 则( ) A. ? ? ?,m ? n B. ? ? ?,m ? n C. ? ? ?,m ? n D. ? ? ?,m ? n (12)与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________。 2.已知直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 , AB ? AC, F 为 BB1 上一点, BF ? BC ? 2a, FB 1 ? a。 (1)若 D 为 BC 的中点, E 为 AD 上不同于 A、D 的任意一点,证明: EF ? FC1 ; (2)若 A 1B 1 ? 3a ,求 FC1 与平面 AA 1B 1B 所成角的正弦值。

B

D E A

C

F

B1 A1

C1

3. 已知直角三角形 ABC 的两直角边 AC ? 2, BC ? 3 , P 为斜边 AB 上的一点,现沿 CP 将

?ACP 折起,使 A 点到 A? 点,且 A? 在面 BCP 内的射影在 CP 上。当 A?B ? 7 时,求二面角 P ? A?C ? B 的大小。 A?( A) A
P

2

?
3
B

P B

C

C

D
4.如图正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面边长为 a ,侧棱

C1 B1 E G C B

A1

F

2 a ,若经过对角线 AB1 且与对角线 BC1 平行的平 2 \面交上底面于 DB1 。 (1)试确定 D 点的位置,并证明你
长为 的结论; (2)求平面 AB1D 与侧面 AB1 所成的角及平面 (3)求 A1 到平面 AB1D 的距离。 AB1D 与底面所成的角;

A

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高三下期数学(文科实验班)教案(一) (学生卷)2010.3.14 5.如图, 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=2,DC=2 3 ,AA1= 3 ,AD⊥DC, AC⊥BD, 垂足为 E。 (I)求证:BD⊥A1C; (II)求二面角 A 1-BD-C 1 的大小; (III)求异面直线 AD 与 BC 1 所成角的大小。

6.(08 四川卷 19)如图,平面 ABEF ? 平面 ABCD ,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,

?BAD ? ?FAB ? 90 , BC ∥

1 1 AD , BE ∥ AF 。 2 2

(Ⅰ)证明: C,D,F,E 四点共面; (Ⅱ)设 AB ? BC ? BE ,求二面角 A ? ED ? B 的大小。 F

E B A C D

7. (08 江西 20)如图,正三棱锥 O ? ABC 的三条侧棱 OA,OB,OC 两两垂直,且长度均为 2。 E,F 分别是 AB,AC 的中点,H 是 EF 的中点,过 EF 的一个平面与侧棱 OA,OB,OC 或其延长线分别相交于 A ,B1,C1 ,已知 OA1 ? 1 (1)证明: B1C1 ? 平面 OAH ; (2)求二面角 O ? A 1B 1 ? C1 的大小。 O A1 A E F H B B1 C C1

3 。 2

O 分别为上、下底面的中 8.如图,已知平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面为正方形, O 1、
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高三下期数学(文科实验班)教案(一) (学生卷)2010.3.14

ABCD 上的射影是 O 。 心,且 A 1 在底面
(1)求证:平面 O1DC ? 平面 ABCD ;

F 在何处时, EF ? AD ? (2)若点 E , F 分别在棱 AA1 , BC 上,且 AE ? 2EA 1 ,问点
0 (3)若 ?A 。 1 ? B 的大小(用反三角函数表示) 1 AB ? 60 ,求二面角 C ? AA

D1 A1

O1
B1

C1

E
D C A O B

F

E 是棱 BC 的中点。 9.如图,正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,侧棱长为 3,底面边长为 2,
(1)求证: BD1 // 平面 C1DE ; (2)求二面角 C1 ? DE ? C 的大小; (3)在侧棱 BB1 上是否存在点 P ,使得 CP ? 平面 C1DE ?证明你的结论。 D1 A1 B1 C1

D A 10.(08 山东卷 20)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形, PA⊥平面 ABCD,?ABC ? 60? ,E, F 分别是 BC, PC 的中点。 (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正 切值为 B

C

E

6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值。 2

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高三下期数学(文科实验班)教案(一) (学生卷)2010.3.14

课后作业(一)答案:
1. (1)C; (2)C; (3) (900 ,1800 ] ; (4)C; (5)D; (6)略; (7)D; (8)C; (9)B; (10)B; (11)D; D1 C1 (12)解:如图中,截面 ACD1 和截面 ACB1 均符 合题意要求,这样的截面共有 8 个。 2.(1)转证线面垂直; (2) sin ? ? A1 B1 D A B C

4 10 。 15

6 3 3. arctan 2 (或 arcsin ) 。 , arccos 3 3
4.(1) D 为 AC (2) 450 ;arctan 2 ; (3) 1 1 的中点; 5.(1)三垂线定理; (2) 90 ; (3) arccos
0

6 a。 6

15 。 5
1 AD 得 2
F

6.解: (Ⅰ)延长 DC 交 AB 的延长线于点 G ,由 BC ∥

GB GC BC 1 ? ? ? ,延长 FE 交交 AB 的延长线于点 G ? , GA GD AD 2 E N M G?E G?B BE 1 G ?B GB D A ? ? ? .故 ? 同理可得 ,即 G ? 与 G 重合, B C G?F G?A AF 2 G ?A GA G( G ? ) 因此直线 CD,EF 相交于点 G ,即 C,D,F,E 四点共面。 (Ⅱ)设 AB ? 1 ,则 BC ? BE ? 1 , AD ? 2 .取 AE 中点 M ,则 BM ? AE ,又由已知得, AD ? 平面 ABEF ,故 AD ? BM , BM 与平面 ADE 内两相交直线 AD,AE 都垂直, 所以 BM ? 平面 ADE ,作 MN ? DE ,垂足为 N ,连结 BN ,由三垂线定理知 BN ? ED ,

2 1 AD ? AE 3 , ,MN ? ? 2 2 DE 3 BM 6 6 ? 故 tan ?BNM ? ,所以二面角 A ? DE ? B 的大小为 arctan 。 MN 2 2 7.解: (1)依题设, EF 是 △ ABC 的中位线,所以 EF ∥ BC ,则 EF ∥ 平面 O OBC ,所以 EF ∥ B1C1 .又 H 是 EF 的中点,所以 AH ? EF , 则 AH ? B1C1 .因为 OA ? OB , OA ? OC , M C A1
?BNM 为二面角 A ? ED ? B 的平面角, BM ?
所以 OA ? 平面 OBC ,则 OA ? B1C1 , 因此 B1C1 ? 平面 OAH 。 (2)作 ON ? A1B1 于 N ,连 C1 N .因为 OC1 ? 平面 OA 1B 1, 根据三垂线定理知, C1 N ? A 1B 1 , ?ONC1 就是二面角 F A N H E B B1 C1

O ? A1B1 ? C1 的平面角,作 EM ? OB1 于 M ,则 EM ∥ OA ,则 M 是 OB 的中点,则
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高三下期数学(文科实验班)教案(一) (学生卷)2010.3.14

x 3 OB1 OA1 ? ,解得 x ? 3 , 得 ? x ?1 2 MB1 EM 3 OA1 OB1 3 2 2 5, 即 OB1 ? OC1 ? 3 , 在 Rt△OA1B1 中,A1 B1 ? OA1 ? OB1 ? 则 ON ? , ? 2 A1B1 5 OC1 ? 5 ,故二面角 O ? A1B1 ? C1 的大小为 arctan 5 。 所以 tan ?ONC1 ? ON 6 8. (1)略; (2) F 为 BC 棱上靠近 B 的三等分点时满足; (3) arcsin 。 3 3 5 9. (1)略; (2) arctan ; (3)不存在这样的点 P 。 2
EM ? OM ? 1,设 OB1 ? x ,由
10.解: (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形。因 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC。 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD。因为 PA⊥平面 ABCD,AE ? 平 面 ABCD,所以 PA⊥AE。而 PA ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A,所以 AE⊥平面 PAD,又 PD ? 平面 PAD,所 以 AE⊥PD。 (Ⅱ)解:设 AB=2,H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH. 由(Ⅰ)知 AE⊥平面 PAD,则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所 成的角,在 Rt△EAH 中,AE= 3 ,所以当 AH 最短时, ∠EHA 最大,即当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大, 此时 tan∠EHA=

又 AD=2,所以∠ADH=45°,所以 PA=2.因为 PA⊥平面 ABCD,PA ? 平面 PAC, 所以平面 PAC⊥平面 ABCD, 过 E 作 EO⊥AC 于 O, 则 EO⊥平面 PAC, 过 O 作 OS⊥AF 于 S, 连接 ES, 则∠ESO 为二面角 E-AF-C 的平面角,

AE 3 6 ? ? , 因此 AH= 2 , AH AH 2

3 3 ,AO=AE·cos30°= ,又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中, 2 2 3 8 30 3 2 2 2 SO=AO·sin45°= ,又 SE ? EO ? SO ? ? ? , 4 4 9 4 3 2 SO 15 15 ? 4 ? , 即所求二面角的余弦值为 在 Rt△ESO 中,cos∠ESO= 。 SE 5 5 30 4
在 Rt△AOE 中,EO=AE·sin30°=

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