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正切函数的图像与性质



正切函数的图象与性质

一.知识回顾 我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 正弦函数的图象的?
1.作直角坐标系和单位圆 2.平分单位圆 3.确定横坐标 4.作出正弦线并平移,确定纵坐标. 5.连线

思考: 类比此方法我们又该如何作正切函 数的图象呢?

二.正切函数图象的画法
1.回忆正切线的画



思考:正切函数是周期函数吗?为什么?
是 , tan (x +kπ) = tan x , 周期为kπ , ( k ? Z ) ,

最小正周期为π

π π 2.利用正切线画出y ? tan x , x? ( ? , )的图象 2 2

课件

三.正切函数的性质

π 1.定义域: {x|x ? ? k π , k ? Z} 2 2.值 域: y ? R
3.周期性: 周期为?

y=tan(ωx+φ)

π T? |ω|

4.奇偶性: tan( ? x) ? ? tan x 图象关于原点对称 5.单调性:

正切函数是奇函数

π π 在(? ? k π , ? k π ),k ? Z内都是增函数 2 2 kπ 6.对称中心: ( ,0) ,k ? Z 课件 2
应用 图

四.图象与性质的应用
1.求定义域

π 求函数y ? tan(x? )的定义域. 4

整体法

解: 函数y=tan(x ? π )的定义域是 4 π π x ? ? ? kπ 4 2 π 即 x ? ? kπ 4 π ∴ 函数y ? tan(x? )的定义域是 4
π {x | x ? ? kπ, k ? Z } 4

2.求单调区间及对称中心 (整体法) x π 求函数y ? tan( ? ) ? 1的单调区间及对称中心 2 6
? x π ? k ? ? ? ? ? k ? ? ,k ?Z 得 解: 由 2 2 6 2 2? 4? 2k? ? ? x ? 2k? ? ,k ?Z 3 3

x π 所以 函数y ? tan( ? )的单调增区间为 2 6 2? 4? (2k? ? , 2k? ? ) k ?Z 3 3

x ? kπ ? ? ? , k ? Z 由 得 x ? ? k? ,k ? Z 2 6 2 3 x π 所以 函数y ? tan( ? ) ? 1的对称中心为 2 6 ? ( ? k? ,1)k? Z 3

3.比较大小
(1) tan167°与tan173° ;
3π 7π (2) tan 与 tan . 10 6

正切函数单调性

注意: 要将角通过诱导公式转化为同一单调区间上进 行比较.

4.解不等式 (图象法)

解不等式 3tanx? 1
3 解:由题意可知tanx ? 3
由图象可知 , 满足不等式的x集合为

? ? ? ? x | ? ? k ? ? x ? ? k ? , k ? Z ? ? 2 6 ? ?



小 结:
1.画正切函数的图象 2.正切函数的性质 正切线平移 观察正切函数图象

定 值 义 域 域

周 期 性

奇 偶 性

单 调 性

3.数学思想:类比法、换元法、数形结合等

作业: (1)书P80 1,2(附加单调性与对称中心),

4,5
(2)白皮P19 (舍7,9)



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