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2015年四川省凉山州高考数学二诊试卷6(文科)


四川省高考数学二诊试卷 6(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分) (2015?凉山州模拟)化简 的结果是( )

A.sinα B.﹣cosα C.1 D.﹣1 2. (5 分) (2015?凉山州模拟)设 x0∈(0,6) ,按照如图程序框图运行后,能输出 x0 的概 率是( )

A.

B.

C.

D. )

3. (5 分) (2015?凉山州模拟)函数 f(x)=log2(x+1)+2 的零点所在区间是( A. (﹣ , ) B. ( ,1) C. (﹣1, ) D. (1, )

4. (5 分) (2015?凉山州模拟) 若一个正四棱锥的左视图是一个边长为 2 的正三角形 (如图) , 则该正四棱锥的体积是( )

A.1

B.

C.

D.2

5. (5 分) (2015?凉山州模拟) 设复数 z=1+ai (a∈R, i 是虚数单位) , 若 M{x|x>2}, 使|z|∈CRM 成立的 a 的取值范围是( ) A.[﹣ , ] B.[﹣ , ] C.[﹣1.1] D.[﹣2.2] 6. (5 分) (2015?凉山州模拟)下列命题正确的是( ) 2 A.?x∈R,都有 x ﹣3x+3>0 成立 2 2 B.?x0∈R,使 sin x0+cos x0<1 成立 2 2 C.“?x0∈R,使 x0 ﹣1<0”的否定是“?x∈R,都有 x ﹣1>0” D.若“p∨q”为假,则命题 p、q 中一个真另一个假 7. (5 分) (2015?凉山州模拟)设 A={(x,y)| 则 A∩B 的元素个数为( )个.
第 1 页(共 17 页)

},B={(x﹣y)|3x﹣y﹣11=0},

A.0 B.1 C.2 D.无数 8. (5 分) (2015?凉山州模拟)已知:α,β 是不同的平面,l,m,n 是不同的直线,则下列 说法正确的是( ) A. ?α⊥β B. ?l⊥α

C.

?l⊥α

D.

?α∥β

9. (5 分) (2015?凉山州模拟)设点 M(﹣3,2 过该抛物线焦点 F 的直线与它交于 A、B 两点,若

)是抛物线 y =2px(p>0)准线上一点, ? =0,则△ MAB 的面积为( )

2

A.32 B.20 C.24 D.16 10. (5 分) (2015?凉山州模拟) 在△ ABC 中, A, B, C 是三内角, 当 sinC (cosAcosB+sinAsinB) ﹣ cos(A+B)取得最大值时,则 A=( ) A. B. C. D.

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分) (2015?凉山州模拟)化简:8 +2 +log2 +log2
0 6

=



12. (5 分) (2015?凉山州模拟)一个社区中共有老年人 150 人,儿童和少年 200 人,中青 年人 150 人,现用分层抽样的方法从中抽出一个容量为 50 的样本调查身体状况,则抽出的 老年人的人数为 . 13. (5 分) (2015?凉山州模拟)正数 a,b 满足 ab=1,则 a+2b 的最小值是 . 14. (5 分) (2015?凉山州模拟)直线 2x+y﹣6=0 与 x 轴、y 轴的交点分别是 A、B,则向量 在 x 轴的正方向上的投影为 .

15. (5 分) (2015?日照二模)函数 y=f(x)图象上不同两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)处 的切线的斜率分别是 kA,kB,规定 φ(A,B)= 之间的“弯曲度”,给出以下命题: (1)函数 y=x ﹣x +1 图象上两点 A、B 的横坐标分别为 1,2,则 φ(A,B)> ; (2)存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数; 2 (3)设点 A、B 是抛物线,y=x +1 上不同的两点,则 φ(A,B)≤2; x (4)设曲线 y=e 上不同两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,且 x1﹣x2=1,若 t?φ(A,B)<1 恒成立,则实数 t 的取值范围是(﹣∞,1) ; 以上正确命题的序号为 (写出所有正确的) 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分)
3 2

叫曲线 y=f(x)在点 A 与点 B

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16. (12 分) (2015?凉山州模拟)已知:向量 =(2cosx,﹣ 函数 f(x)= (1)设 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<φ< 正周期;

) , =(sinx+

cosx,1) ;

) ,求 f(x)的解析式及最小
2 2 2

(2)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对边分别是 a,b,c,若 b +c =a +bc,求 f(C)的取值 范围. 17. (12 分) (2015?凉山州模拟)春节过后购物旺季随之转向淡季,商家均采用各种促销方 法促销,某商场规定:凡购物均可获得一次抽奖机会,抽奖方法为:从编号 1﹣6 的相同小 球中任意抽取一个小球记下编号后放回, 若抽到编号为 6 的小球则再获一次机会, 最多抽取 二次. (1)求顾客恰有两次抽奖机会的概率; (2)若抽得小球编号之和大于 10 为中奖,求中奖概率. 18. (12 分) (2015?凉山州模拟)在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,且 PD=AB. (1)点 M 是 PC 的中点,求证:PA∥平面 MBD; (2)求点 D 到平面 PBC 的距离.

19. (12 分) (2015?凉山州模拟)设数列{

}是等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,若 a1=1,

a2a3a4=64. (1)求数列{an}的通项; (2)当数列{Sn+λ}也是等比数列时,求 λ 的值. 2 2 2 x 20. (13 分) (2015?凉山州模拟)已知 f(x)=(ax +(a﹣1) x﹣a +3a﹣12)e ,a≥0;g (x)=lnx﹣x﹣3. (1)求 g(x)的最大值; (2)若函数 f(x)在(2,3)上单调,求 a 的取值范围. 21. (14 分) (2015?凉山州模拟)设⊙O:x +y =36,内切于椭圆
2 2

=1(a>1,b>0) ,

F1、F2 分别是椭圆的左焦点、右焦点,点 P 在该椭圆上,且△ PF1F2 的周长为 36. (1)求椭圆的方程; (2)若过点 F2 的直线 l 与⊙O 相交于 A,B 两点,与椭圆相交于 C、D 两点,若|AB|=4 求|CD|的值.



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2015 年四川省凉山州高考数学二诊试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分) (2015?凉山州模拟)化简 的结果是( )

A.sinα B.﹣cosα C.1 D.﹣1 【考点】运用诱导公式化简求值. 【专题】三角函数的求值. 【分析】直接利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求解即可.
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【解答】解: = =1. 故选:C. 【点评】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用,是基础题. 2. (5 分) (2015?凉山州模拟)设 x0∈(0,6) ,按照如图程序框图运行后,能输出 x0 的概 率是( )

A.

B.

C.
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D.

【考点】程序框图. 【专题】图表型;算法和程序框图. 【分析】程序框图的功能是当 x0 的取值为 3,4,5,6 时有 当 x0 的取值为 3,4,5,6 时的概率 P 即可. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得当 x0 的取值为 3,4,5,6 时有 出 x0. 当 x0 的取值为 3,4,5,6 时的概率 P= = .
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>1,从而输出 x0.求出

>1,从而输

故选:B. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,考查了概率的基本知识,属于基本知识的考查. 3. (5 分) (2015?凉山州模拟)函数 f(x)=log2(x+1)+2 的零点所在区间是( A. (﹣ , ) B. ( ,1) C. (﹣1, )
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D. (1, )

【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】函数 f(x)=log2(x+1)+2 的零点即方程 log2(x+1)+2=0 的解,从而解方程的解 即可. 【解答】解:函数 f(x)=log2(x+1)+2 的零点即方程 log2(x+1)+2=0 的解, ∵log2(x+1)+2=0, ∴log2(x+1)=﹣2; ∴x+1= ; 故 x=﹣ ; 故选:C. 【点评】本题考查了函数的零点与方程的解的关系及应用,属于基础题. 4. (5 分) (2015?凉山州模拟) 若一个正四棱锥的左视图是一个边长为 2 的正三角形 (如图) , 则该正四棱锥的体积是( )

A.1

B.

C.

D.2
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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥,求出底面面积,正四棱锥的高,即可求出体积. 【解答】解:如图据条件可得几何体为底面边长为 2 的正方形,侧面是等腰三角形, 斜高为 2,棱锥的高为 故其体积 V= ×4× 故选:C. = 的正四棱锥, .

【点评】本题是基础题,考查几何体的三视图,几何体的体积的求法,准确判断几何体的形 状是解题的关键.

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5. (5 分) (2015?凉山州模拟) 设复数 z=1+ai (a∈R, i 是虚数单位) , 若 M{x|x>2}, 使|z|∈CRM 成立的 a 的取值范围是( ) A.[﹣ , ] B.[﹣ , ] C.[﹣1.1] D.[﹣2.2] 【考点】复数求模;补集及其运算. 【专题】数系的扩充和复数.
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【分析】由 M={x|x>2},可得 CRM=(﹣∞,2].由于|z|∈CRM 成立,可得 出即可. 【解答】解:∵M={x|x>2},∴CRM=(﹣∞,2]. ∵|z|∈CRM 成立, ∴ ≤2,

≤2,解

解得 , 故选:B. 【点评】本题考查了复数模的计算公式、几何的运算、不等式的解法,考查了计算能力,属 于中档题. 6. (5 分) (2015?凉山州模拟)下列命题正确的是( ) 2 A.?x∈R,都有 x ﹣3x+3>0 成立 2 2 B.?x0∈R,使 sin x0+cos x0<1 成立 2 2 C.“?x0∈R,使 x0 ﹣1<0”的否定是“?x∈R,都有 x ﹣1>0” D.若“p∨q”为假,则命题 p、q 中一个真另一个假 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑.
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【分析】由方程 x ﹣3x+3=0 的判别式小于 0 说明 A 正确;结合三角函数的平方关系说明 B 错误; 写出命题的否定说明 C 错误;由复合命题的真值表说明 D 错误. 【解答】解:对于 A,∵方程 x ﹣3x+3=0 的判别式△ =(﹣3) ﹣4×1×3=﹣3<0, 2 ∴?x∈R,都有 x ﹣3x+3>0 成立,A 正确; 2 2 对于 B,由同角三角函数的基本关系式可知,?x0∈R,使 sin x0+cos x0<1 成立,B 正确; 2 2 对于 C,“?x0∈R,使 x0 ﹣1<0”的否定是“?x∈R,都有 x ﹣1≥0”,C 错误; 对于 D,若“p∨q”为假,则命题 p、q 中至少有一个假,D 错误. 故选:A. 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了复合命题的真假判断,考查了命题的否 定,是基础题.
2 2

2

7. (5 分) (2015?凉山州模拟)设 A={(x,y)| 则 A∩B 的元素个数为( )个. A.0 B.1 C.2 D.无数 【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;不等式的解法及应用;集合.
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},B={(x﹣y)|3x﹣y﹣11=0},

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【分析】由已知作出集合 A 所表示的可行域,作出集合 B 表示的直线,由图求得两集合的 交集组成一条线段得答案. 【解答】解:由已知作出平面区域与直线如图,

联立

,解得

,∴B(

) ,

对于直线 3x﹣y﹣11=0,取 y=1,得 x=4< ;取 x= ,得 y=



∴直线 3x﹣y﹣11=0 在可行域内的部分为一条线段, ∴A∩B 的元素个数为无数个. 故选:D. 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 8. (5 分) (2015?凉山州模拟)已知:α,β 是不同的平面,l,m,n 是不同的直线,则下列 说法正确的是( ) A. ?α⊥β B. ?l⊥α

C.

?l⊥α

D.

?α∥β

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 利用面面垂直、 面面平行、 线面垂直的判定定理对四个选项分别分析选择正确答案. 【解答】 解: 对于 A, 因为过 m 的平面与 β 交于直线 n, 则 m∥n, 又 l∥m, 则 l∥n, 又 l⊥α, 所以 n⊥α,n?β,所以 α⊥β;故 A 正确; 对于 B,l⊥m,m?α,直线 l 有可能在 α 内,所以 B 错误; 对于 C,如果直线 m,n 平行,直线 l 可能在 α 内;故 C 错误; 对于 D,如果直线 m,n 平行,平面 α,β 可能相交;故 D 错误;
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故选 A. 【点评】本题考查了面面垂直、面面平行、线面垂直的判定定理的运用;熟练掌握定理的条 件是关键. 9. (5 分) (2015?凉山州模拟)设点 M(﹣3,2 过该抛物线焦点 F 的直线与它交于 A、B 两点,若 )是抛物线 y =2px(p>0)准线上一点, ? =0,则△ MAB 的面积为( )
2

A.32 B.20 C.24 D.16 【考点】抛物线的简单性质;平面向量数量积的运算. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

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【分析】 由题意求出抛物线的方程, 求出焦点 F 的坐标, 由

?

=0 得



, 即 kFM?kAB=

﹣1 求出直线 AB 的斜率和方程, 联立抛物线方程消去 y, 由韦达定理和焦点弦公式求出|AB|, 再求出三角形边 AB 的高 FM,即可求出△ MAB 的面积. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 因为点 M(﹣3,2 )是抛物线 y =2px(p>0)准线上一点, 所以 ,解得 p=6,
2

则抛物线的方程是 y =12x,焦点 F 的坐标是(3,0) , 因为 ? =0,所以 = ⊥ ,则 kFM?kAB=﹣1, ,
2

由 kFM=

得,kAB=

所以直线 AB 的方程是 y= (x﹣3) ,代入 y =12x 得, 2 x ﹣10x+9=0,则 x1+x2=10,所以|AB|=x1+x2+6=16, 由 ⊥ 得,FM⊥AB,且 FM= = = =32 , ,

所以△ MAB 的面积 S=

故选:A. 【点评】本题考查抛物线的方程及性质,韦达定理和焦点弦公式,数量积的运算等,属于中 档题. 10. (5 分) (2015?凉山州模拟) 在△ ABC 中, A, B, C 是三内角, 当 sinC (cosAcosB+sinAsinB) ﹣ cos(A+B)取得最大值时,则 A=( ) A. B. C. D.
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【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值. 【专题】三角函数的图像与性质;解三角形. 【分析】 由题意根据三角函数中的恒等变换应用可得 (A+B+φ)≤2,从而解得 A=B,由原式=2sin(2A﹣ 【解答】解:原式=sin(A+B)cos(A﹣B)﹣

sin (A+B+φ) ≤2sin )=2,结合角 A 的范围即可得解.

cos(A+B) ,再根据辅助角公式,

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=

sin(A+B+φ)≤2sin(A+B+φ)≤2.

当且仅当 cos(A﹣B)=1 取得最大,所以 A=B, 此时,原式=2sin(A+B﹣ 从而可得:2A﹣ 即可解得:A= =2k . )=2sin(2A﹣ )=2,

,k∈Z,由 A 为三角形内角,

故选:D. 【点评】 本题主要考查了辅助角公式, 三角函数中的恒等变换应用, 考查了三角函数的最值, 属于基本知识的考查. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分) (2015?凉山州模拟)化简:8 +2 +log2 +log2
0 6

=



【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质即可求出.
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【解答】解:8
2

+2 +log2 +log2

0

6

=

+1+

=2



+1+

= +1﹣1=

故答案为: 【点评】本题考查了对数和指数幂的运算性质,属于基础题. 12. (5 分) (2015?凉山州模拟)一个社区中共有老年人 150 人,儿童和少年 200 人,中青 年人 150 人,现用分层抽样的方法从中抽出一个容量为 50 的样本调查身体状况,则抽出的 老年人的人数为 15 . 【考点】分层抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.
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【解答】解:由分层定义的知,抽出的老年人的人数为

=15,

故答案为:15. 【点评】本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键.比较基 础. 13. (5 分) (2015?凉山州模拟)正数 a,b 满足 ab=1,则 a+2b 的最小值是 2 【考点】基本不等式. 【专题】计算题.
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【分析】由题意可得 a= ,a+2b= +2b,利用基本不等式即可. 【解答】解:∵a,b∈R ,ab=1, ∴a+2b= +2b≥2 故答案为:2 . (当且仅当 =2b,即 b= 时取“=”) ,
+

【点评】本题考查基本不等式,将 ab=1 变形为 a= 是关键,也可以直接应用基本不等式 a+2b≥2 (当且仅当 a=2b 时取“=”) ,属于基础题.

14. (5 分) (2015?凉山州模拟)直线 2x+y﹣6=0 与 x 轴、y 轴的交点分别是 A、B,则向量 在 x 轴的正方向上的投影为 ﹣3 .
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【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由题意画出图形,直接由数量积的几何意义得答案. 【解答】解:如图,

直线 2x+y﹣6=0 在 x 轴上的截距为 3, 则向量 在 x 轴的正方向上的投影为 =﹣3.

故答案为:﹣3. 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,考查了数量积的几何意义,是基础题. 15. (5 分) (2015?日照二模)函数 y=f(x)图象上不同两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)处 的切线的斜率分别是 kA,kB,规定 φ(A,B)= 叫曲线 y=f(x)在点 A 与点 B

之间的“弯曲度”,给出以下命题: 3 2 (1)函数 y=x ﹣x +1 图象上两点 A、B 的横坐标分别为 1,2,则 φ(A,B)> ; (2)存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数; 2 (3)设点 A、B 是抛物线,y=x +1 上不同的两点,则 φ(A,B)≤2; x (4)设曲线 y=e 上不同两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,且 x1﹣x2=1,若 t?φ(A,B)<1 恒成立,则实数 t 的取值范围是(﹣∞,1) ;
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以上正确命题的序号为 (2) (3) (写出所有正确的) 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】函数的性质及应用;简易逻辑. 3 2 2 【分析】由新定义,利用导数逐一求出函数 y=x ﹣x +1、y=x +1 在点 A 与点 B 之间的“弯 x 曲度”判断(1) 、 (3) ;举例说明(2)正确;求出曲线 y=e 上不同两点 A(x1,y1) ,B(x2, y2)之间的“弯曲度”,然后结合 t?φ(A,B)<1 得不等式,举反例说明(4)错误. 3 2 2 【解答】解:对于(1) ,由 y=x ﹣x +1,得 y′=3x ﹣2x,
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则 y1=1,y2=5,则



, ,

φ(A,B)=

, (1)错误;

对于(2) ,常数函数 y=1 满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数, (2)正确; 对于(3) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,y′=2x, 则 kA﹣kB=2x1﹣2x2, = = .

∴φ (A, B) = 正确; 对于(4) ,由 y=e ,得 y′=e ,φ(A,B) = =
x x

=

, (3)



t?φ(A,B)<1 恒成立,即

恒成立,t=1 时该式

成立,∴(4)错误. 故答案为: (2) (3) . 【点评】本题是新定义题,考查了命题的真假判断与应用,考查了利用导数研究过曲线上某 点的切线方程,考查了函数恒成立问题,关键是对题意的理解,是中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分) (2015?凉山州模拟)已知:向量 =(2cosx,﹣ 函数 f(x)= (1)设 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<φ< 正周期;
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) , =(sinx+

cosx,1) ;

) ,求 f(x)的解析式及最小

(2)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对边分别是 a,b,c,若 b +c =a +bc,求 f(C)的取值 范围. 【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)利用数量积性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、周期公式即可得出;
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2

2

2

(2)利用余弦定理可得 cosA= , . 出. 【解答】解: (1)f(x)= =sin2x+ = ∴T= =π.
2 2 2

.可得 .可得 ∈[﹣1,1],即可得



=2cosx(sinx+

cosx)﹣

﹣ = ,

(2)∵b +c =a +bc, ∴ ∵A∈(0,π) , ∴ ∴ ∴ ∴ ∈ ∈[﹣1,1], . . . = ,

∴f(C)∈[﹣2,2],∴f(C)的取值范围是[﹣2,2]. 【点评】本题考查了数量积性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、周期公式、三角函数的 图象与性质、余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 17. (12 分) (2015?凉山州模拟)春节过后购物旺季随之转向淡季,商家均采用各种促销方 法促销,某商场规定:凡购物均可获得一次抽奖机会,抽奖方法为:从编号 1﹣6 的相同小 球中任意抽取一个小球记下编号后放回, 若抽到编号为 6 的小球则再获一次机会, 最多抽取 二次. (1)求顾客恰有两次抽奖机会的概率; (2)若抽得小球编号之和大于 10 为中奖,求中奖概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】概率与统计.
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【分析】 (1)顾客恰有两次抽奖机会则第一次必须抽到编号为 6 的小球; (2)由题意知第一次必须抽到编号为 6 的小球,则第二次抽到的号码只能是 5 或者 6,问 题得以解决. 【解答】解: (1)设事件 A=“顾客恰有两次抽奖机会”, 则第一次必须抽到编号为 6 的小球, 所以 P(A)= ; 故顾客恰有两次抽奖机会的概率为 . (2)设事件 B=“小球编号之和大于 10”, 则事件 B 表示顾客第一次抽到编号为 6 的小球,第二次抽到的号码只能是 5 或者 6, 所以 P(B)= 故顾客中奖概率为 = . .

【点评】本题考查列举法计算基本事件数及概率问题,找出隐含条件是关键. 18. (12 分) (2015?凉山州模拟)在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,且 PD=AB. (1)点 M 是 PC 的中点,求证:PA∥平面 MBD; (2)求点 D 到平面 PBC 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)连接 AC 交 BD 于点 O,由 MO∥PA,又 MO?面 MBD,PA?面 MBD,即可 证明 PA∥面 MBC. (2)由 PD⊥面 ABCD,可知 PD⊥BC,又 BC⊥CD,可证面 PBC⊥面 PDC,PC 为交线, 又在等腰直角△ PDC 中,有 DM⊥PC,可知 DM⊥面 PBC,在 Rt△ PDC 中,根据 PD,DC 即可求 DM 的值. 【解答】证明: (1)连接 AC 交 BD 于点 O, 在△ PAC 中,MO 是中位线, ∴MO∥PA, 又 MO?面 MBD,PA?面 MBD, ∴PA∥面 MBC.
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(2)∵PD⊥面 ABCD, ∴PD⊥BC, 又 BC⊥CD,PD∩CD=D,
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∴BC⊥面 PDC,又 BC?面 PBC, ∴面 PBC⊥面 PDC,PC 为交线, 又在等腰直角△ PDC 中,有 DM⊥PC, ∴DM⊥面 PBC, ∴DM 即为所求距离, 在 Rt△ PDC 中,PD=2,DC=2,故 DM= 即点 D 到平面 PBC 的距离等于 .



【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算,考查了空间想 象能力和转化思想,属于中档题. 19. (12 分) (2015?凉山州模拟)设数列{ }是等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,若 a1=1,

a2a3a4=64. (1)求数列{an}的通项; (2)当数列{Sn+λ}也是等比数列时,求 λ 的值. 【考点】等比数列的前 n 项和;等比关系的确定. 【专题】等差数列与等比数列.

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【分析】 (1)易得数列{an}也是等比数列,由题意易得公比 q=±2,分别可得通项公式; n﹣1 (2)当 q=2 时,Sn+λ=2?2 +λ﹣1,当且仅当 λ﹣1=0 即 λ=1 时为等比数列;同理当 q=﹣2 时可得 λ=﹣ ,综合可得. 【解答】解: (1)∵数列{ }是等比数列,∴数列{an}也是等比数列,
3

设数列{an}的公比为 q,则 a3 =a2a3a4=64,解得 a3=4, ∴q =
2

=4,解得 q=±2,
n﹣1

当 q=2 时,an=2

;当 q=﹣2 时,an=(﹣2)

n﹣1



(2)当 q=2 时,Sn+λ=

+λ=2?2

n﹣1

+λ﹣1,

当且仅当 λ﹣1=0 即 λ=1 时数列{Sn+λ}是 2 为首项 2 为公比的等比数列; 同理当 q=﹣2 时,Sn+λ= +λ= ?(﹣2)
n﹣1

+λ+ ,

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当且仅当 λ+ =0 即 λ=﹣ 时数列{Sn+λ}是 为首项﹣2 为公比的等比数列, ∴λ 的值为 1 或 .

【点评】本题考查等比数列的求和公式和性质,涉及分类讨论的思想,属中档题. 20. (13 分) (2015?凉山州模拟)已知 f(x)=(ax +(a﹣1) x﹣a +3a﹣12)e ,a≥0;g (x)=lnx﹣x﹣3. (1)求 g(x)的最大值; (2)若函数 f(x)在(2,3)上单调,求 a 的取值范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的综合应用;不等式的解法及应用.
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2

2

2

x

【分析】 (1)由已知可求 g′(x)=

,由于当 x∈(0,1)时,g′(x)>0,g(x)为增

函数;当 x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,可得 g(x)max 的值. 2 2 x (2)可求得:f′(x)=(ax +(a +1)x+a﹣11)e ,当 a=0 时,2<x<3,f′(x)<0,符 合要求;当 a>0 时,记 m(x)=ax +(a +1)x+a﹣11,对称轴为:x=﹣
2 2

<0,则要使

f(x)在区间(2,3)上单调,只需 m(2)≥0 或 m(3)≤0,从而解得 a 的取值范围. 【解答】解: (1)∵g′(x)= …2 分

∴当 x∈(0,1)时,g′(x)>0,g(x)为增函数;当 x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x) 为减函数. ∴g(x)max=g(1)=﹣4…6 分 2 2 x (2)f′(x)=(ax +(a +1)x+a﹣11)e , 当 a=0 时,2<x<3,f′(x)<0,符合要求;…8 分 2 2 当 a>0 时,记 m(x)=ax +(a +1)x+a﹣11, 对称轴为:x=﹣ <0…9 分

则要使 f(x)在区间(2,3)上单调,只需 m(2)≥0 或 m(3)≤0 即 或 …11 分

解得:a≥

或0 ,+∞)…13 分

综上,a 的取值范围为:a∈[0, ]∪[

【点评】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性, 导数在最大值、 最小值问题中的应用, 考查了不等式的解法及应用,属于中档题.

21. (14 分) (2015?凉山州模拟)设⊙O:x +y =36,内切于椭圆

2

2

=1(a>1,b>0) ,

F1、F2 分别是椭圆的左焦点、右焦点,点 P 在该椭圆上,且△ PF1F2 的周长为 36.
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(1)求椭圆的方程; (2)若过点 F2 的直线 l 与⊙O 相交于 A,B 两点,与椭圆相交于 C、D 两点,若|AB|=4 , 求|CD|的值. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)通过椭圆的第一定义及题意,计算即得结论; (2)分直线 l 不存在斜率与存在斜率两种情况讨论,利用点到直线的距离公式、韦达定理 及焦点弦长公式,计算即得结论.
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【解答】解: (1)由题意,有

,解得



∴椭圆的方程为



(2)由(1)可知 F2(8,0) , 当直线 l 不存在斜率时,直线与⊙O 无交点,不满足条件; 当直线 l 存在斜率时,令直线 l:y=k(x﹣8) ,C(x1,y1) ,D(x2,y2) , 则圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 d= ,

∵在圆 x +y =36 中,d =36﹣ ∴ =16,解得 k = ,
2

2

2

2

=16,

又∵
2 2


2 2

∴(9+25k )x ﹣400k x+1600k ﹣900=0, 由韦达定理,得 x1+x2= ,

由焦点弦长公式有|CD|=2a﹣e(x1+x2)= 代入 k = ,可得|CD|=
2





【点评】本题考查椭圆的简单性质,圆与椭圆的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系,注 意解题方法的积累,属于中档题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;w3239003;炫晨;孙佑中;sxs123;changq;gongjy; whgcn;maths;wfy814;cst;lincy(排名不分先后) 菁优网 2016 年 4 月 24 日

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