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重心、弹簧、摩擦角竞赛选讲



第1讲

重心、弹簧特性、摩擦角问题合集

重心: 物体的各个部分都要受到重力的作用,物体各部分所受重力的合力就是物体所受的重 力,物体所受重力的作用点叫做重心。物体的重心可以在物体上,也可以在物体外。 均匀物体的重心位置只跟物体的形状有关,有对称中心的物体的重心就在对称中心 上,有对称轴的物体的重心就在对称轴上。 不均匀物体的重心除了跟物

体的形状有关外,还跟物体内质量的分布有关 求物体的重心是竞赛中的一个重要课题,下面我们来详细讨论。 如图所示,A、B 两质点的质量分别为 mA、mB,用一质量不计的轻杆相连,若我们用细 线与 A 端相连将这一系统悬挂起来使其处于平衡状态,可发现杆沿竖直静止(为什么?), 从而可知该系统的重心必在通过杆的直线上(为什么?)。再用 A C B 细线与杆上某点 C 点相连,将系统悬挂可使其处于平衡状态, 则 C 点就是该系统的重心(为什么?),且有(为什么?) 思考:如何求不在同一条直线上的三个质量分别为 m1、m2、m3 质点的重心?请利用上面求 两质点重心的方法分别求解? 结论:设物体各部分的重力分别为 G1、G2??Gn,且各部分重力的作用点在 oxy 坐标系中 的坐标分别是(x1,y1) 2,y2)??(xn,yn),物体的重心坐标 xc,yc 可表示为 (x xc=

?G x ?G
i i

i

=

G1 x1 ? G2 x2 ? ? ? Gn xn ? Gi yi = G1 y1 ? G2 y2 ? ? ? Gn yn , yc= G1 ? G2 ? ? ? Gn G1 ? G2 ? ? ? Gn ? Gi

例: (2011 华约)一个有底无盖的圆柱形桶,底面质量不计,桶侧面质量为 a 克,桶的重 心在中轴线上的正中间位置,装满水后水的质量为 b 克。 (1)若 b=3a,水装到一半,求系统合重心到桶底面的距离与桶的高度之比。 (2)装入水的质量 m 为多少时,水和桶的合重心最低?

2、弹簧 胡克定律指出,在弹性限度内弹簧的弹力和弹簧的伸长(或压缩)成正比,即F=k x。其中k为劲度系数,决定于弹簧的材料、圈数、每圈的形状及大小等因素。 将劲度系数分别为 k1、k2、k3、?、kn 的几个弹簧串联,串联后等效弹簧的劲度系 数为 k,则

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? k k1 k 2 k 3 kn

将劲度系数分别为 k1、k2、k3、?、kn 的几个弹簧并联,并联后等效弹簧的劲度系 数为 k,则

k=k1+k2+k3+?+kn
思考:试证明上述两式 例 1、如图,弹簧秤外壳质量为 m0,弹簧及挂钩的质量忽略不计,挂钩吊着 一重物质量为 m,现用一方向竖直向上的外力 F 拉着弹簧秤,使其向上做匀 加速运动,则弹簧秤的读数为: A.mg; B. F

m0

m0 m m g ; C. F; m0 ? m m0 ? m

D.

m m0 ? m

F

例 2、如图,弹簧两端连接两个小球 A,B,质量分别为 m 和 2m,用轻绳 1 挂 在质量为 m 的箱子 C 中,箱子 C 又通过轻绳 2 挂在固定的杆上,现轻绳 2 剪 断,那么剪断 2 的瞬间,小球 A,B 和箱子 C 的加速度分别是多少?绳 1 中的张力是多大?

m

2 1 C A B

3 摩擦角: 摩擦角的意义:在某一接触面上,物体所受摩擦力 f 与弹力 N 的合力为 F,F 与弹力 N 的夹角 θ 就是摩擦角,且这个角不变,不管摩擦力或 弹力如何变化。设两接触面间的摩擦因数为μ ,则

tan ? ?

f ?? N

例、水平地面上有一质量为 m 的物体,受斜向上的拉力 F 作用而匀速移动,物体与地面间的 动摩擦因数为μ ,则为使拉力 F 最小,F 与水平地面间的夹角多大?F 的最小值为多少?

【习题 1.1】 1. (2009 年同济)如图所示,一根细长的硬棒上有 3 个小球,每 个小球之间相距 a,小球质量为 m、2m 和 3m,棒的质量分布均 匀, 总长为 4a, 质量为 4m, 求整个体系的重心位置 。 2. (2002 交大)如图 1—4(a)所示,边长为 a 的均匀正方形木 板,被挖去一个半径为

a 的圆孔,圆孔的边缘和正方形的右边 4

缘相切,圆心在对称轴 PQ 上,求该木板剩余部分的重心的位 置 。

3.长度均为 L 的长方形匀质木块堆放在水平地面上,每一块都相 对下面一块伸出 而刚好不翻到。

L ( n ? 2) ,如图,问最多可以堆几块同样的木块 n

4. 放在粗糙水平面上的物块 A、B 用轻质弹簧秤相 图所示, 物块与水平面间的动摩擦因数均为μ , 今对 施加一水平向左的恒力 F,使 A、B 一起向左匀加速 设 A、B 的质量分别为 m、M,则弹簧秤的示数( )

错误!未找到引用源。

连,如 物块 A 运动,

MF A. m

MF B. M ? m

F ? ? (m ? M ) g M m C.

F ? ? (m ? M ) g M m?M D.

5、两个质量分别为 m1 错误!未找到引用源。2kg、m2=3kg 的物体置于光滑的水平面上,中间用轻质 弹簧秤连接。 两个大小分别为 F1=30N、2=20N 的水平拉力分别作用在 m1、2 上, F m 则 ( ) A.弹簧秤的示数是 25N B.弹簧秤的示数是 50N 2 C.在突然撤去 F2 的瞬间,m1 的加速度大小为 5m/s 2 D.在突然撤去 F1 的瞬间,m1 的加速度大小为 13m/s 6、一个劲度系数为 k=600N/m 的轻弹簧,两端分别连接着质量均为 m =15kg 的物体 A、 将它们竖直静止地放在水平地面上, B, 如图 1 所示, 现加一竖直向上的外力 F 在物体 A 上,使物体 A 开始向上做匀加速运 动,经 0.5s,B 物体刚离开地面(设整个加速过程弹簧都处于弹性限 度内,且 g=10m/s ) 。求此过程中所加外力的最大和最小值。 7、已知弹簧劲度系数为 k,物块重为 m,弹簧立在水平桌面上,下端固
2

定,上端固定一轻质盘,物块放于盘中,如图所示。现给物块一向下的压力 F,当物块静 止时,撤去外力。在运动过程中,物块正好不离开盘,求: (1)给物块所受的向下的压力 F。 (2)在运动过程中盘对物块的最大作用力。

8、如图所示,水平面上固定着带孔的两个挡板,一平板穿过挡板的孔匀速向右运动,槽 中间有一木块置于平板上, 质量为 m, 已知木板左、 右两侧面光滑, 底面与平板之间摩擦因数为 μ0,当用力 F 沿槽方向匀速拉动物体 时,拉力 F 与摩擦力 μmg 大小关系是( ) V0 A、F>μmg B、F=μmg C、F<μmg D、无法确定 F

9、如图所示,在倾角θ = 30 的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为 G,现用与斜面底边平行的水平作用力 F(F=G/2)推物体,物体恰好在斜 面上作匀速直线运动,则物体与斜面的动摩擦因数为 .

0

10、物体放在水平面上,用与水平方向成 30°的力拉物体时,物体匀速前进。若此力大小 不变, 改为沿水平方向拉物体, 物体仍能匀速前进, 求物体与水平面之间的动摩擦因素μ 。

11、对于放在水平面上静止的物体,如果用一与竖直方向成 θ 角斜向下的力 F 推物体,若 θ≤ ? S ( ? S 为摩擦角)则不管推力 F 多大,物体都不会被推动,这一现象叫做“自锁” 。 思考:试分析自锁的原因。 F θ

12、压延机由两轮构成,两轮直径各为 d=50cm,轮间的间隙为 a=0.5cm.两轮按反方向转动, 如图上箭头所示.已知烧红的铁板与铸 铁轮之间的动摩擦因数 μ=0.1,问能压延的铁板厚度是多少?



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