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江苏省2015届高三数学一轮复习备考试题:圆锥曲线(含答案)


江苏省 2015 年高考一轮复习备考试题 圆锥曲线
一、填空题 1、(2013 年江苏高考)双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 16 9



2、(2012 年江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 的值为 ▲ .

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m m m ?4

3、 (2013 年江苏高考) 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2

右焦点为 F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距 离为 d 2 ,若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为 。

x2 y2 4、(2015 届江苏南京高三 9 月调研)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程 a b 为 y=± 3x,则该双曲线的离心率为 ▲

5、(2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点相 6、(2015 届江苏苏州高三 9 月调研)已知双曲线 m 5
同 , 则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 7、(南京市 2014 届高三第三次模拟)已知抛物线 y2=2px 过点 M(2,2),则点 M 到抛物线焦点的 距离为 ▲ 8、 (南通市 2014 届高三第三次调研) 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的离心率为 2 ,且过点 (1, 2) , 则曲线 C 的标准方程为 ▲ . 9、 (苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研(二))在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 的一个焦点为(5,0),则实数 m = ▲
x2 y 2 ? ?1 9 m

Y

10、(徐州市 2014 届高三第三次模拟)已知点 P(1,0) 到双曲线 C : 近线的距离为

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的一条渐 a2 b2

1 ,则双曲线 C 的离心率为 2





x2 11、(南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟(淮安三模))在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2- a y2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=4x 的准线相交于 A,B 两点.若△AOB 的面积为 2, b2 则双曲线的离心率为
南京清江花苑严老师


1

二、解答题
2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 1、 (2014 年江苏高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1、F2 分别是椭圆 2 a b2

的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连结 BF2 交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于 另一点 C,连结 F1C. (1) 若点 C 的坐标为 ( ,) , 且 BF2 = 求椭圆的方程; (2) 若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值。 F1 O F2 A x , y B C

2、(2012 年江苏高考)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别 a 2 b2

e) 和 ? e , 0) .已知 (1 , 为 F1 (?c , 0) , F2 (c ,
(1)求椭圆的方程;

? ? ?

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2 ? ?

(2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P.

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

2 南京清江花苑严老师

x2 y2 3、(2015 届江苏南京高三 9 月调研)给定椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),称圆 C1:x2+y2=a2+b2 a b 为椭圆 C 的“伴随圆”.已知椭圆 C 的离心率为 (1)求实数 a,b 的值; (2)若过点 P(0,m)(m>0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,且 l 被椭圆 C 的伴随圆 C1 所截得的弦长为 2 2,求实数 m 的值.
6 x2 y 2 . ? ? 1(a ? 2) 的离心率为 2 3 a 2

3 ,且经过点(0,1). 2

4、(2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研)已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程;

(2)若 P 是椭圆 C 上任意一点, Q 为圆 E : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 上任意一点,求 PQ 的最大值.

x2 y2 5、(南京市 2014 届高三第三次模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点 P(-1,-1),c 为椭圆 a b 的半焦距,且 c= 2b.过点 P 作 两条互相垂直的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于另两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l1 的斜率为-1,求△PMN 的面积; (3)若线段 MN 的中点在 x 轴上,求直线 MN 的方程.

2 y2 6、 (南通市 2014 届高三第三次调研) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 a b

离心率为 1 ,过椭圆右焦点 F 作 2 两条互相垂直的弦 AB 与 CD .当直线 AB 斜率为 0 时, AB ? CD ? 7 . (1)求椭圆的方程; (2)求 AB ? CD 的取值范围.

y
B
O C
(第 18 题)

D F
A
x

3 南京清江花苑严老师

7、 (苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研(二))在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 ? y2 ? 1 的 4

左、右焦点分别为 F ?与 F,圆 F : x ? 3

?

?

2

? y2 ? 5 .

????? ???? ? (1)设 M 为圆 F 上一点,满足 MF' ? MF ? 1 ,求点 M 的坐标;
(2)若 P 为椭圆上任意一点,以 P 为圆心,OP 为半径的圆 P 与圆 F 的公共弦为 QT, 证明:点 F 到直线 QT 的距离 FH 为定值.
y

F'

Q

O H

F x

P
T

(第 17 题)

8、 (徐州市 2014 届高三第三次模拟) 如图, 已知 A1 ,A2 , B1 , B2 分别是椭圆 C : 的四个顶点,△ A1 B1 B2 是一个边长为 2 的等边三角形,其外接圆为圆 M . (1)求椭圆 C 及圆 M 的方程;

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) a 2 b2

(2)若点 D 是圆 M 劣弧 ? A1B2 上一动点(点 D 异于端点 A1 , B2 ),直线 B1D 分别交线段 A1 B2 , 椭圆 C 于点 E , G ,直线 B2G 与 A1B1 交于点 F . (i)求

GB1 的最大值; EB1

(ii)试问: E , F 两点的横坐标之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理 由. D F
A1

y
B2

G

E M

O

A2 x

B1 (第 18 题图)

4 南京清江花苑严老师

x2 9、 (南京、 盐城市 2014 届高三第二次模拟 (淮安三模) ) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C∶ 2 a y2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2,一条准线方程为 x=2.P 为椭圆 C 上一点, b 直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 P 的坐标为(0,b),求过 P,Q,F2 三点的圆的方程; 1 → → → → (3)若 F1P =λ QF1 ,且 λ∈[ ,2],求 OP · OQ 的最大值. 2

10、(2014 江苏南通二模)在平面直角坐标系 xOy 中,设曲线 C1: 成的封闭图形的面积为

x y ? a b

? 1(a ? b ? 0) 所围

4 2 ,曲线 C1 上的点到原点 O 的最短距离为 2 2 .以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆记 3

为 C2. (1)求椭圆 C2 的标准方程; (2)设 AB 是过椭圆 C2 中心 O 的任意弦,l 是线段 AB 的垂直平分线.M 是 l 上的点(与 O 不 重合). ①若 MO=2OA,当点 A 在椭圆 C2 上运动时,求点 M 的轨迹方程; ②若 M 是 l 与椭圆 C2 的交点,求△AMB 的面积的最小值.

参考答案
一、填空题

5 南京清江花苑严老师

3 1\、 y ? ? x 4
6、 y ? ?

2、2

3 ?b? 3、 e ? 1 ? ? ? ? 3 ?a?
8、 y 2 ? x2 ? 1

2

4、2

5、(1,0)

5 x 2

5 7、 2

9、16

10、

11、 5

二、解答题 1、 (1)∵BF2 = ,
2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 2 b2 )代入椭圆 a ,

将点 C( ,



16 ? 1 ? 1(a ? b ? 0) , 9a 2 9b2

且 c?+b?=a?

∴a=

,b=1, ∴椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 2

(2)直线 BA 方程为 y=

2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 2 b2 x+b,与椭圆 a 联立得

x?

x=0. ∴点 A(



) ,∴点 C(





F1(



直线 CF1 斜率 k=

,又∵F1C⊥AB ,∴

·

=



=1,∴e=

2、解:(1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e=

c e) 在椭圆上,得 ,由点 (1 , a
=1 ? b 2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1 ,∴ c 2 =a 2 ? 1 。

12 a
2

?

e2 b
2

?1?

1 a
2

?

c2 a b
2 2

由点 ? e ,

? ? ?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
6

南京清江花苑严老师

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? e c a2 ? 1 3 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 1 4 a2 b2 a4 a4
∴椭圆的方程为

2

2

x2 ? y2 ? 1 。 2

0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , (2)由(1)得 F1 (?1 , 0) , F2 (1,
∴ 设

AF1



BF2













my =x ? 1,my =x ? 1



A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 。
? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 。 m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 =

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0? = ? my1 ? ? y12 = m2 ? 1 ?
2 2 2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 。 ① ? m2 ? 2 m2 ? 2

同理, BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2

。②

(i)由①②得, AF1 ? BF2 ?

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 。解 得 m 2 =2。 = 2 2 m ?2 m ?2 2

∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 。 ∴直线 AF1 的斜率为 ( ii ) 证 明

1 2 = 。 m 2
: ∵

AF1



BF2





PB BF2 ? PF1 AF1





BF PB ? PF 1 BF ? AF PB 2 ?1 ? 2 ?1? ? 。 PF1 AF 1 PF AF 1 1
∴ PF1 =

1

AF1 BF1 。 AF1 ? BF2 AF1 2 2 ? BF2 。 AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF 1= 1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF

?

?

同理。 PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 。 AF1 ? BF2
7

?

?

南京清江花苑严老师

∴ PF1 +PF2 =

AF1 BF2 2 AF ?BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

?

?

?

?

由①②得, AF1 ? BF = ∴ PF1 +PF2 =2 2 ?

2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

? , AF ?BF = m

2

?1

m ?2

2



2 3 = 2。 2 2

∴ PF1 ? PF2 是定值。 3、解:(1)记椭圆 C 的半焦距为 c. c 3 由题意,得 b=1, = ,c2=a2+b2, a 2 解得 a=2,b=1. ?????????????????? 4 分

x2 (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 +y2=1,圆 C1 的方程为 x2+y2=5. 4 显然直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,即 kx-y+m=0. ?????????????? 6 分 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, kx+m, ?y= ? 2 故方程组?x 2 ? 4 +y =1 ? (*) 有且只有一组解.

由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 从而△=(8km)2-4(1+4k2)( 4m2-4)=0. 化简,得 m2=1+4k2.① ???????????????? 10 分

因为直线 l 被圆 x2+y2=5 所截得的弦长为 2 2, 所以圆心到直线 l 的距离 d= 5-2= 3. 即 |m| = 3. k2+1 ② ??????????????? 14 分

由①②,解得 k2=2,m2=9. 因为 m>0,所以 m=3. 4、解:(1)由题设知 e ? ∴ e2 ?
6 , 3

??????????????? 16 分

c 2 a 2 ? b2 a 2 ? 2 6 2 ? ? ? ? . ???????????????????3 分 a2 a2 a2 9 3

解得 a 2 ? 6 . ∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 6 2

????????????????????6 分
8

南京清江花苑严老师

(2)圆 E : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 的圆心为 E (0, 2) ,点 Q 在圆 E 上, ∴ PQ≤EP ? EQ ? EP ? 1 (当且仅当直线 PQ 过点 E 时取等号).????????9 分 设 P( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上的任意一点, 则
x0 2 y0 2 ? ? 1 ,即 x02 ? 6 ? 3 y02 . 6 2

∴ EP2 =x02 +(y0 ? 2)2 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 12 . ??????????????????13 分
2 ? 因为 y0 ? ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, EP 取得最大值 12,即 PQ≤2 3 ? 1 .

所以 PQ 的最大值为 2 3+1 . ?????????????????16 分 1 1 4 5、解:(1)由条件得 2+ 2=1,且 c2=2b2,所以 a2=3b2,解得 b2= ,a2=4. a b 3 x2 3y2 所以椭圆方程为: + =1. 4 4 ???????3 分

(2)设 l1 方程为 y+1=k(x+1), ?y=kx+k-1, 联立? 2 消去 y 得(1+3k2)x2+6k(k-1)x+3(k-1)2-4=0. 2 ?x +3y =4, -3k2+6k+1 3k2+2k-1 因为 P 为(-1,1),解得 M( , ).?????????5 分 1+3k2 1+3k2 k2-6k-3 -k2-2k+3 1 当 k≠0 时,用- 代替 k,得 N( 2 , ). ?????????7 分 k k +3 k2+3 将 k=-1 代入,得 M(-2,0),N(1,1). 因为 P(-1,-1),所以 PM= 2,PN=2 2, 1 所以△PMN 的面积为 × 2×2 2=2. 2

?????????9 分

(3)解法一:设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 ?x12+3y12=4, ? 2 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0, 2 ?x2 +3y2 =4, 因为线段 MN 的中点在 x 轴上,所以 y1+y2=0,从而可得(x1+x2)(x1-x2)=0.???12 分 若 x1+x2=0,则 N(-x1,-y1). → → 因为 PM⊥PN,所以PM·PN=0,得 x12+y12=2. 又因为 x12+3y12=4,所以解得 x1=±1,所以 M(-1,1),N(1,-1)或 M(1,-1),N(-1, 1). 所以直线 MN 的方程为 y=-x. ?????14 分 若 x1-x2=0,则 N(x1,-y1), → → 因为 PM⊥PN,所以PM·PN=0,得 y12=(x1+1)2+1. 1 又因为 x12+3y12=4,所以解得 x1=- 或-1, 2 1 经检验:x=- 满足条件,x=-1 不满足条件. 2
9 南京清江花苑严老师

1 综上,直线 MN 的方程为 x+y=0 或 x=- . 2

????????16 分

3k2+2k-1 -k2-2k+3 解法二: 由 (2) 知, 当 k≠0 时, 因为线段 MN 的中点在 x 轴上, 所以 =- , 1+3k2 k2+3 化简得 4k (k2-4k-1)=0,解得 k=2± 5. ??????????12 分 1 5 1 5 1 若 k=2+ 5,则 M(- , ),N(- ,- ),此时直线 MN 的方程为 x=- . 2 2 2 2 2 1 5 1 5 1 若 k=2- 5,则 M(- ,- ),N(- , ),此时直线 MN 的方程为 x=- .?14 分 2 2 2 2 2 当 k=0 时,M(1,-1),N(-1,1),满足题意,此时直线 MN 的方程为 x+y=0. 1 综上,直线 MN 的方程为 x=- 或 x+y=0. ???????16 分 2 6、【解】(1)由题意知, e ? c ? 1 , CD ? 7 ? 2a , a 2 所以 a2 ? 4c2 , b2 ? 3c2 . ???????????2 分

2 因为点 (c, 7 ? 4c ) 在椭圆上,即 c 2 ? 2 4c

( 7 ? 4c )2 2 ? 1, 3c2

所以 c ? 1 .
2 y2 所以椭圆的方程为 x ? ?1. 4 3

???????????6 分

(2)① 当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 由题意知 AB ? CD ? 7 ; ???????????7 分

② 当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 且设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 则直线 CD 的方程为 y ? ? 1 ( x ? 1) . k 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中,并整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,
4k 2 ? 6 k 2 ? 1 x ? 4k 2 ? 6 k 2 ? 1 所以 x1 ? , 2 , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以 AB ? k 2 ? 1 | x1 ? x2 |?

12(k 2 ? 1) . 3 ? 4k 2

???????????10 分

12( 12 ? 1) 12(k 2 ? 1) k ? 同理, CD ? . 3k 2 ? 4 3 ? 42 k

所以 AB ? CD ?

12(k 2 ? 1) 12(k 2 ? 1) 84(k 2 ? 1) 2 ? ? , 3 ? 4k 2 3k 2 ? 4 (3 ? 4k 2 )(3k 2 ? 4)

?????????12 分

令 t ? k 2 ? 1 ,则 t ? 1 , 3 ? 4k 2 ? 4t ? 1 , 3k 2 ? 4 ? 3t ? 1 ,
10 南京清江花苑严老师

设 f (t ) ?

(4t ? 1)(3t ? 1) ?? 1 ? 1 ? 12 ? ?(1 ? 1 )2 ? 49 , t 2 4 t2 t2 t

因为 t ? 1 ,所以 1 ? (0,1) , t 所以 f (t ) ? (12, 49 ] , 4 所以 AB ? CD ? 84 ?[ 48 ,7) . f (t ) 7 综合①与②可知, AB ? CD 的取值范围是 [ 48 ,7] . 7 7、 ???????????16 分

11 南京清江花苑严老师

8.(1)由题意知, B2 (0,1) , A1 (? 3,0) , 所以 b ? 1 , a ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为 易得圆心 M (?

x2 ? y2 ? 1 , 3

?????????2 分

3 2 3 3 2 4 ,0) , A1M ? ) ? y 2 ? .?4 分 ,所以圆 M 的方程为 ( x ? 3 3 3 3 3 ), (2)证明:设直线 B1D 的方程为 y ? kx ? 1(k ? ? 3 2 3 3k ? 1 3 , ) , ?????6 分 x ? 1 联立,解得点 E ( 与直线 A1 B2 的方程 y ? 3 3k ? 1 3k ? 1 ? y ? kx ? 1 6k 3k 2 ? 1 ? 2 2 G ( , ), (1+3 k ) x ? 6 kx ? 0 联立 ? x 2 ,消去 并整理得, ,解得点 y 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? ? y ?1 ?3
?????9 分 (i)

GB1 ? ? EB1 xE

xG

6k 3k 2 ? 1 2 3 3k ? 1
1 ?

?

3k 2 ? 3k 3k ? 1 1 ? 1? 2 ? 1? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 ?( 3k ? 1) ? ?2 ?( 3k ? 1)

2 2?2 2 ?1 GB1 所以 的最大值为 . 2 EB1

≤1 ?

2 ?1 6? 3 ,当且仅当 k ? ? 时,取“=”, 3 2
??????????12 分

12 南京清江花苑严老师

3k 2 ? 1 ?1 2 1 3 k ? 1 y ? x ? 1 ? ? x ? 1, (ii)直线 B2G 的方程为 6k 3k 3k 2 ? 1 ?6k 3k ? 1 3 , ), x ? 1 联立,解得点 F ( 与直线 A1B1 的方程 y ? ? 3 3k ? 1 3k ? 1
所以 E 、 F 两点的横坐标之和为

??14 分

2 3 3k ? 1

+

?6k 3k ? 1

? ?2 3 .
???????16 分

故 E 、 F 两点的横坐标之和为定值,该定值为 ?2 3 .

=2, ?2c ? 2 a 9、(1)解:由题意得? 解得 c=1,a2=2,所以 b2=a2-c2=1. = 2 , ? ?c x2 所以椭圆的方程为 +y2=1. 2 ???????????2 分

(2)因为 P(0,1),F1(-1,0),所以 PF1 的方程为 x-y+1=0. y+1=0, x=- , ? ?x+ ?x=0, ? 3 4 1 2 由?x 解得? 或? 所以点 Q 的坐标为(- ,- ). ?????4 分 2 1 3 3 y = 1 , + y = 1 , ? ?2 ? ?y=- , 3 解法一:因为 kPF1· kPF2=-1,所以△PQF2 为直角三角形. 1 1 5 2 因为 QF2 的中点为(- ,- ),QF2= , 6 6 3 1 1 25 所以圆的方程为(x+ )2+(y+ )2= . 6 6 18 解法二:设过 P,Q,F2 三点的圆为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, +E+F=0, ?1 1+D+F=0, 则? 17 4 1 ? 9 -3D-3E+F=0, ?????8 分 ??????6 分 4

? 解得? ?

1 D= , 3 1 E= , 3 4 F=- . 3 ??????8 分

1 1 4 所以圆的方程为 x2+y2+ x+ y- =0. 3 3 3

→ → (3)解法一:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则F1P=(x1+1,y1),QF1=(-1-x2,-y2).
?x1+1=λ(-1-x2), ?x1=-1-λ-λx2, → → 因为F1P=λQF1,所以? 即? ?y1=-λy2, ?y1=-λy2,

λ-λx ) +λ y =1, ?(-1-2 1-3λ 所以?x 解得 x = . 2λ + y = 1 , ?2
2 2 2
2 2 2

2

2

????????????12 分

2 2

λ 2 → → 所以 OP ·OQ=x1x2+y1y2=x2(-1-λ-λx2)-λy2 2=-2x2 -(1+λ)x2-λ
13 南京清江花苑严老师

1-3λ λ 1-3λ 2 7 5 1 =- ( ) -(1+λ)· -λ= - (λ+ ) . 2 2λ 2λ 4 8 λ 1 1 因为 λ∈[ ,2],所以 λ+ ≥2 2 λ

????????????14 分

1 1 λ· =2,当且仅当 λ= ,即 λ=1 时,取等号. λ λ ?????????????16 分

1 → → 1 → → 所以 OP ·OQ≤ ,即 OP ·OQ最大值为 . 2 2 解法二:当 PQ 斜率不存在时, x2 2 在 +y2=1 中,令 x=-1 得 y=± . 2 2 所以 OP ? OQ ? ?1? (?1) ?

??? ? ????

2 2 1 1 ? ? (? ) ? ,此时 ? ? 1? ? , 2 ??????????2 ? 2 2 2 ?2 ? ?

当 PQ 斜率存在时,设为 k,则 PQ 的方程是 y=k(x+1), k(x+1), ? ?y= 2 由?x 得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0, 2 + y = 1 . ?2 ? 韦达定理

x1 ? x2 =

?4k 2 2k 2 ? 2 , x x = ???????????????4 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

设 P(x1,y1),Q(x2,y2) , 则 OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

??? ? ??? ?

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2 ? (k 2 ? 1) ?
2 2k 2 ? 2 2 ?4k ? k ? k2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

k2 ? 2 ??????????????? 6分 1 ? 2k 2 1 5 1 ? ? ? 。 2 2 2(1 ? 2k ) 2

? ? ?? ? ? ?? 1 ?1 ? 的最大值为 ,此时 ? ? 1? ? , 2 ? O P? O Q 2 ?2 ?

????????????8

?2ab ? 4 2, ? 10、【解】(1)由题意得 ? ab 又 a ? b ? 0 ,解得 a 2 ? 8 , b 2 ? 1 . 2 2 ? . ? 2 2 3 ? a ?b
因此所求椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 . 8

?????????? 4 分

??? ? ???? ? ???? ? ??? ? (2)①设 M ( x ,y ) , A(m ,n) ,则由题设知: OM ? 2 OA , OA ? OM ? 0 .

14 南京清江花苑严老师

?m2 ? 1 y 2 , ? x 2 ? y 2 ? 4(m2 ? n2 ) , ? 4 即? 解得 ? 2 1 mx ? ny ? 0 , ? ?n ? x 2. ? 4

?????????8 分

因为点 A(m ,n) 在椭圆 C2 上,所以
y 2 即 ? x 8 2
2

m2 ? n2 ? 1 , 8

? ? ? ? ? 1 ,亦即 x ? y ? 1 . 4 32
2

2

2

所以点 M 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 32

?????????10 分

? ? x)(? ? R,? ? 0) , ②(方法 1)设 M ( x,y ) ,则 A(? y,

因为点 A 在椭圆 C2 上,所以 ? 2 ( y 2 ? 8x2 ) ? 8 ,即 y 2 ? 8 x 2 ? 又 x2 ? 8 y2 ? 8 (ii)

8

?2

(i)

(i)+(ii)得 x2 ? y 2 ? 8 1 ? 12 , 9 ?

?

?

?????????13 分

所以 S?AMB ? OM ? OA ?| ? | ( x 2 ? y 2 ) ? 8 | ? | ? 1 ≥ 16 . 9 9 ? 当且仅当 ? ? ?1 (即 k AB ? ?1 )时, ? S?AMB ?min ?

?

?

16 . 9

?????????16 分

(方法 2)假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为 y=kx(k≠0).
? x2 2 8k 2 8 ? ? y ? 1, 2 解方程组 ? 8 得 xA 2 ? , , y ? A 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 ? y ? kx , ?

所以 OA2 ? xA2 ? yA2 ?

8 8k 2 8(1 ? k 2 ) 32(1 ? k 2 ) , AB2 ? 4OA2 ? . ? ? 2 2 2 1 ? 8k 1 ? 8k 1 ? 8k 1 ? 8k 2

? x2 ? y 2 ? 1, ? 8k 2 8(1 ? k 2 ) 8 ?8 又? 解得 xM 2 ? 2 , yM 2 ? 2 ,所以 OM 2 ? 2 .????? 12 分 k +8 k +8 k +8 ? y ? ? 1 x, ? k ?

(解法 1)由于 S△ AMB 2 ?

64(1 ? k 2 ) 2 1 32(1 ? k 2 ) 8(1 ? k 2 ) 1 ? AB2 ? OM 2 ? ? ? (1 ? 8k 2 )(k 2 +8) 4 4 1 ? 8k 2 k 2 +8



?

64(1 ? k 2 )2 1 ? 8k 2 ? k 2 +8 2

?

2

?

64(1 ? k 2 ) 2 256 ? , 81 (1 ? k 2 ) 2 81 4

当且仅当 1 ? 8k 2 ? k 2 ? 8 时等号成立,即 k=±1 时等号成立, 此时△AMB 面积的最小值是 S△AMB= 16 . 9 当 k=0,S△AMB ? 1 ? 4 2 ? 1 ? 2 2 ? 16 ; 2 9
15 南京清江花苑严老师

????? 15 分

当 k 不存在时,S△AMB ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? 16 . 2 9 综上所述,△AMB 面积的最小值为 16 . 9 (解法 2)因为
1 ? 8k 2 ? k 2 +8 9 1 1 1 1 ? ? , ? ? ? 8(1 ? k 2 ) 8 OA2 OM 2 8(1 ? k 2 ) 8(1 ? k 2 ) 2 2 1 ? 8k k +8

????? 16 分



1 1 2 16 ,于是 OA ? OM ≥ , ? ≥ 2 2 OA OM OA ? OM 9

当且仅当 1 ? 8k 2 ? k 2 ? 8 时等号成立,即 k=±1 时等号成立.(后同方法 1)

16 南京清江花苑严老师


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