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2016高考数学(人教A版·文科)一轮:古典概型



课时提升作业 古 典 概 型 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡 送给同一人的概率是 A. B. ( ) C. D. 60 分)

【解析】选 A.(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁,乙送给丙)、(甲、乙都送给 丙)、(甲、乙都送给丁)共四种情况,其中甲、乙将贺年卡

送给同一人的情况有两 种,所以选 A. 2.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6), 骰子朝上的面的点数分别为 x,y,则满足 log2xy=1 的概率为 A. B. C. D. ( )

【解析】选 C.由 log2xy=1 得 2x=y.又 x∈{1,2,3,4,5,6},y∈{1,2,3,4,5,6},所 以满足题意的有 x=1,y=2 或 x=2,y=4 或 x=3,y=6,共 3 种情况.所以所求的概率为 = .

3.将一枚骰子连续抛掷两次,则向上点数之差的绝对值不大于 3 的概率 是 ( A. ) B. C. D.

【解析】选 B.抛掷骰子两次,有 36 种等可能的结果,如表: 1 1 2 3 4 5 6 √ √ √ √ 2 √ √ √ √ √ 3 √ √ √ √ √ √ 4 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 5 6

所求概率 P=

=

4.(2015 ·宿州模拟 ) 一颗质地均匀的正方体骰子 , 其六个面上的点数分别为 1,2,3,4,5,6,将这一颗骰子连续抛掷三次 ,观察向上的点数,则三次点数依次构 成等差数列的概率为 A. B. ( ) C. D.

【解析】选 A.基本事件总数为 6×6×6,事件“三次点数依次成等差数列”包含 的基本事件有(1,1,1),(1,2,3),(3,2,1),(2,2,2),(1,3,5),(5,3,1),(2,3,4), (4,3,2),(3,3,3),(2,4,6),(6,4,2),(3,4,5),(5,4,3),(4,4,4),(4,5,6), (6,5,4),(5,5,5),(6,6,6)共 18 个,所求事件的概率 P= = .

5.将号码分别为 1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余 完全相同,甲从袋中摸出一个小球 ,其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个 小球,其号码为 b,则使不等式 a-2b+4<0 成立的事件发生的概率为 A. B. C. D. ( )

【解析】选 C.由题意知(a,b)的所有可能结果有 4×4=16 个.其中满足 a-2b+4<0 的有(1,3),(1,4),(2,4),(3,4),共 4 个,所以所求概率为 . 【加固训练】甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6).设甲、 乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为 x,y,则满足复数 x+yi 的实部大于虚部的概率是 A. B. ( ) C. D.

【解析】选 B.总共有 36 种情况.当 x=6 时,y 有 5 种情况; 当 x=5 时,y 有 4 种情况;当 x=4 时,y 有 3 种情况; 当 x=3 时,y 有 2 种情况;当 x=2 时,y 有 1 种情况. 所以 P= = .

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.有一个奇数列,1,3,5,7,9,?,现在进行如下分组,第一组有 1 个数为 1,第二组 有 2 个数为 3,5,第三组有 3 个数为 7,9,11,?,依此类推,则从第十组中随机抽取 一个数恰为 3 的倍数的概率为 .

【解析】由已知可得前九组共有 1+2+3+…+9=45 个奇数,第十组共有 10 个奇数, 分别是 91,93,95,97,99,101,103,105,107,109 这 10 个数,其中恰为 3 的倍数的 数有 93,99,105 三个,故所求概率为 P= 答案: 7.如图,沿田字型的路线从 A 往 N 走,且只能向右或向下走,随机地选一种走法, 则经过点 C 的概率是 . .

【解析】按规定要求从 A 往 N 走只能向右或向下,所有可能走法有: A→D→S→J→N,A→D→C→J→N,A→D→C→M→N,A→B→C→J→N,A→B→C→M→ N,A→B→F→M→N 共 6 种,其中经过 C 点的走法有 4 种,所以所求概率 P= = . 【一题多解】本题还可以用如下方法解决: 由于从 A 点出发后只允许向右或向下走,记向右走为 1,向下走为 2,欲到达 N 点必 须两次向右,两次向下即有两个 2 两个 1. 所以基本事件空间Ω={(1122),(1212),(1221),(2112),(2121),(2211)}共 6 种 不同结果,而只有先右再下或先下再右两类情形经过 C 点,即前两个数字必须一 个 1 一 个 2, 所 以 事 件 “ 经 过 C 点 ” 含 有 的 基 本 事 件 为 (1212),(1221),(2112),(2121)共 4 个, 所以 P= = . 答案: 8.(2015·福州模拟)将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b,c,则方程 x2+bx+c=0 有实根的概率为 .

【解析】将一枚骰子抛掷两次共有 36 种结果:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2, 3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),属于古典 概型. 方程 x2+bx+c=0 有实根,则Δ=b2-4c≥0,即 b≥2 ,则 A 包含的结果有:(2,1),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),

(4,4),(5,4),(6,4),(5,5),(6,5),(5,6),(6,6),共 19 种. 由古典概型概率的计算公式可得 P(A)= 答案: .

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率 1 0.05 2 m 3 0.15 4 0.35 5 n

(1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n. (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个 零件等级恰好相同的概率. 【解析】(1)由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1,即 m+n=0.45.由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,得 n= =0.1,所以 m=0.45-0.1=0.35.

(2)由(1)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1,x2,x3;等级为 5 的零件有 2 个,记作 y1,y2. 从 x1,x2,x3,y1,y2 中 任 意 抽 取 2 个 零 件 , 所 有 可 能 的 结 果 为 (x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1, y2),共 10 种.记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相同”.则 A 包 含 的 基 本 事 件 有 (x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2), 共 4 种 . 故 所 求 概 率 为 P(A)= =0.4. 【加固训练】将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字 0,1,2,3,4,5)和 一个正四面体(四个面分别标有数字 1,2,3,4)同时抛掷 1 次,规定“正方体向上 的面上的数字为 a,正四面体的三个侧面上的数字之和为 b”.设复数为 z=a+bi. (1)若集合 A={z|z 为纯虚数},用列举法表示集合 A. (2)求事件“复数在复平面内对应的点(a,b)满足 a2+(b-6)2≤9”的概率. 【解析】(1)A={6i,7i,8i,9i}. (2)基本事件的个数为 24. 设“复数在复平面内对应的点(a,b)满足 a2+(b-6)2≤9”的事件为 B. 当 a=0 时,b=6,7,8,9 满足 a2+(b-6)2≤9; 当 a=1 时,b=6,7,8 满足 a2+(b-6)2≤9; 当 a=2 时,b=6,7,8 满足 a2+(b-6)2≤9; 当 a=3 时,b=6 满足 a2+(b-6)2≤9. 即 B 为(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(2,6),(2,7),

(2,8),(3,6)共计 11 个. 所以所求概率 P= .

10.一个袋中有 4 个大小相同的小球,其中红球 1 个,白球 2 个,黑球 1 个,现从袋 中有放回地取球,每次随机取一个. (1)求连续取两次都是白球的概率. (2)假设取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,取一个黑球记 0 分,若连续取三次, 则分数之和为 4 分的概率是多少? 【解析】 (1) 连续取两次的基本事件有 :( 红 , 红 ),( 红 , 白 1),( 红 , 白 2),( 红 , 黑);(白 1,红),(白 1,白 1),(白 1,白 2),(白 1,黑);(白 2,红),(白 2,白 1), (白 2,白 2),(白 2,黑),(黑,红),(黑,白 1),(黑,白 2),(黑,黑),共 16 个. 连续取两次都是白球的基本事件有:(白 1,白 1),(白 1,白 2),(白 2,白 1),(白 2, 白 2),共 4 个, 故所求概率为 = . (2)连续取三次的基本事件有:(红,红,红),(红,红,白 1),(红,红,白 2),(红,红, 黑);(红,白 1,红),(红,白 1,白 1),(红,白 1,白 2),(红,白 1,黑),…,共 64 个. 因为取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,取一个黑球记 0 分,若连续取三次, 则分数之和为 4 分的基本事件如下: (红,白 1,白 1),(红,白 1,白 2),(红,白 2,白 1),(红,白 2,白 2),(白 1,红, 白 1),(白 1,红,白 2),(白 2,红,白 1),(白 2,红,白 2),(白 1,白 1,红),(白 1, 白 2,红),(白 2,白 1,红),(白 2,白 2,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红), 共 15 个, 故所求概率为 . (20 分钟 40 分)

1.(5 分)从 2 名男生和 2 名女生中,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益 活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为 ( A. B. C. D. )

【解析】选 A.设两名男生为 A1,A2,两名女生为 B1,B2,依题意任意选择两人在星期

六、星期日参加某公益活动的情况有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2), (B1,B2),(A2,A1),(B1,A1),(B2,A1),(B1,A2),(B2,A2),(B2,B1),共 12 种,其中星期六安 排一名男生、星期日安排一名女生的情况有(A1,B2),(A1,B1),(A2,B1),(A2,B2),共 4 种,所以概率为 . 2.(5 分)(2015·六安模拟)如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可 以是 1,2,3,4 中的任何一个,允许重复.则填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的 概率为 ( ) A B A. B. C. D.

【解析】选 D.只考虑 A,B 两个方格的排法.不考虑大小,A,B 两个方格有 4× 4=16(种)排法.要使填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则从 1,2,3,4 中选 2 个数字,大的放入 A 格,小的放入 B 格,有(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1), (2,1),共 6 种,故填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的概率为 = .

3.(5 分)(2015·福州模拟)投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,第一次出现向 上的点数为 a,第二次出现向上的点数为 b,直线 l1 的方程为 ax-by-3=0,直线 l2 的 方程为 x-2y-2=0,则直线 l1 与直线 l2 有交点的概率为 .

【解析】投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次 , 向上的点数的结果有 36 种情 况:(1,1),(1,2),…,(6,6),直线 l1 与直线 l2 有交点即两直线斜率不相等,b≠2a, 所以除(1,2),(2,4),(3,6)这 3 种情况外,其余都符合题意,即直线 l1 与直线 l2 有 交点的情况有 33 种,故所求概率为 答案: 4.(12 分)已知集合 P={x|x(x2+10x+24)=0},Q={y|y=2n-1,1≤n≤2,n∈N*},M= P∪Q.在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(x′,y′),且 x′∈M,y′∈M,试计算: (1)点 A 正好在第三象限的概率. (2)点 A 不在 y 轴上的概率. (3)点 A 正好落在区域 x2+y2≤10 上的概率. 【解析】由集合 P={x|x(x2+10x+24)=0}可得 P={-6,-4,0},由 Q={y|y=2n-1,1≤n = .

≤2,n∈N*}可得 Q={1,3},则 M=P∪Q={-6,-4,0,1,3},因为点 A 的坐标为(x′, y ′ ), 且 x ′ ∈ M,y ′ ∈ M, 所 以 满 足 条 件 的 点 A 的 所 有 情 况 为 (-6,-6),(-6,-4),(-6,0),(-6,1),(-6,3),…,(3,3),共 25 种. (1)点 A 正好在第三象限的可能情况为(-6,-6),(-4,-6),(-6,-4),(-4,-4),共 4 种,故点 A 正好在第三象限的概率 P1= .

(2)点 A 在 y 轴上的可能情况为(0,-6),(0,-4),(0,0),(0,1),(0,3),共 5 种,故点 A 不在 y 轴上的概率 P2=1(3) 点 A = . x +y ≤ 10
2 2

正 好 落 在 区 域

上 的 可 能 情 况 为

(0,0),(1,0),(0,1),(3,1),(1,3),(3,0),(0,3),(1,1),共 8 种,故点 A 落在区域 x2+y2≤10 上的概率 P3= .

5.(13 分)(能力挑战题)某人抛掷一枚硬币,出现正面、反面的概率均为 ,构造数

?1 当第n次出现正面时, 列{an},使得 an= ? 记 Sn=a1+a2+a3+?+an(n∈N*). ??1 当第n次出现反面时,
(1)求 S4=2 的概率. (2)若前两次均出现正面,求 2≤S6≤6 的概率. 【解析】(1)某人抛掷一枚硬币 4 次,共有 24 种可能. 设 S4=2 为事件 A,则 A 表示抛硬币 4 次,恰好三次正面向上,一次反面向上,包含 4 种可能,所以 P(A)= = .

(2)抛 6 次,若前两次均出现正面,则可能结果有 24 种. 设 2≤S6≤6 为事件 B,S6=2 表示 4 次中 2 次正面向上,2 次正面向下,有 6 种可 能;S6=4 表示 4 次中恰好 3 次正面向上,1 次反面向上,有 4 种可能;S6=6 表示都是 正面向上,有 1 种可能,则 B 包含 6+4+1=11(种)可能,所以 P(B)= = .

【加固训练】为了提高食品的安全度,某食品安检部门调查了一个海水养殖场养 殖的鱼的有关情况,安检人员从这个海水养殖场中的不同位置共捕捞出 100 条鱼, 称得每条鱼的质量(单位:kg),并将所得数据进行统计得下表.若规定超过正常生 长速度(1.0~1.2kg/年)的比例超过 15%,则认为所饲养的鱼有问题,否则认为所 饲养的鱼没有问题.

鱼的质量 鱼的条数

[1.00, 1.05) 3

[1.05, 1.10) 20

[1.10, 1.15) 35

[1.15, 1.20) 31

[1.20, 1.25) 9

[1.25, 1.30) 2

(1)根据数据统计表,估计数据落在[1.20,1.30)中的概率约为多少,并判断此养 殖场所饲养的鱼是否存在问题? (2)上面捕捞的 100 条鱼中间,从质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)的鱼中,任取 2 条鱼来检测,求恰好所取得的鱼的质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有 1 条 的概率. 【 解 析 】 (1) 捕 捞 的 100 条 鱼 中 间 , 数 据 落 在 [1.20,1.25) 的 概 率 约 为 P1= =0.09; =0.02;

数据落在[1.25,1.30)的概率约为 P2=

所以数据落在[1.20,1.30)中的概率约为 P=P1+P2=0.11. 由于 0.11×100%=11%<15%, 故饲养的这批鱼没有问题. (2)质量在[1.00,1.05)的鱼有 3 条,把这 3 条鱼分别记作 A1,A2,A3, 质量在[1.25,1.30)的鱼有 2 条,分别记作 B1,B2,那么所有的可能结果有: {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2}, {A2,B1}{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共 10 种, 而 恰 好 所 取 得 的 鱼 的 质 量 在 [1.00,1.05) 和 [1.25,1.30) 各 有 1 条 有:{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共 6 种,所以恰好所取得的 鱼的质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有 1 条的概率为 = .



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