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2015中国西部数学邀请赛



32

? ? ?中 等 数 学

20 1 5

中 国 西 部 数 学 邀 请 赛 ? ?
G4 24


中 图分 类 号



79

? 文献 标 识 码



A?

文 章 编 号





0 05 ?



?

6 4 16



20 1 5 )



2?

- ?

00 3 2?


?

07 ? ?

1.

给 定正 整 数




实数



?




冯志刚

供题

? ? )

为 整 数 记 ?6


k?

对 数列



















定义 集合 ? ?

mi n




^?



?





?(



^k ^

n)



?4

?=

?







1?

S 矣






? ? ,

6Z ? ?




?B

?



?

?



+ 2a









<“

?



? ? 矣






的 最大 值





冷岗松



供题



?设




为给定 的 大于 2 的 整数



橫有 由 ? ?

? ? ,

如图




圆 尸









内切 于点


M J V 为? 正 整 数 组 成 的 严格 递 增 的 等 差 数 列 % &



圆 厂 上不 同于



的 两 点 圆 尸 的 两 条 弦?

、 i

求集 合 a A s 的 元 素 个数 的 最 小 值
?
?=

? ? ,

CD

分别过点









若线 段
?

4C



肋 丽



其中 j A 5


?(





i) Uf





4 n5 )


? ? .

交 于同







证 明 汉 平 分 z AH W ? 王 广 廷


供题

? ? )




?
















? ? ,

/( ^

?







z ?+ ?a



z?

G?C

? ? .








i\



/ ?/


/ /?

纖壯 V V? 跡 对 任 的




? ? 雜
供题










y^ ?满 足




4?

=? 1

复数








使得 ? ?
( ? ? )






N f J ? /U \y ^






矣/W

? 张新 泽
, /1





\ ?X






? ? 个大 于 ” 的 素 因 子 其 中 以 幻 为 《 ?的 所 有 正 约 数 之 和 ? 牟 晓 生 供 题




? 少有







设 A 为正整数





证明








n)

? ? 至







? ? )



? ? 1



羊明亮



? ? 参 考 答 案
? ? )






设 整数




彡2



正 实数















满 ?1 不 妨 设
























?6












否则

? ? ,







?




证明

nn

?对 七










… ,

a r





个 整数 的 平 移 变 换

? ? ,

?不 影 _ 题 的 结 论
i己

? ? .



?于 是








_
? ? ,

?

e? z

+ )

? ? ?



羊明亮


顿生


供题








已 知 平 面上有

〇〇

条 直线 用


表示 ?



?不 妨 设 ?




. .







% 矣|
? ? 2

由 这些 直 线 中 的 某 三条 直线 围 成 的 直 角 三 角 ?%

& +2

… , ,

&?
? ? n

? ? .

形 的 集合 求 m 的 最 大值




5. a

设 凸 四 边形 仙 CZ





供题 ? ? ? 的 面 积 为 s 仙 ?则 2 < 2 七 + 2?
















?

?







七) ? ?

i?

? l =

?

i ?



?



?
? ? a

i?



左 +

?

? ? 1



SC

?= ?

C Z) ? =

?










? =?c ? ?

证明 对 a















f?



任意



个排 歹













2, 《





?

?+ ?




?

+ U? L ? ?

?






?

20 1 5

年第





? ? 期 ?3 3

注意到



i?

香 “? 2 ?, z MA K


?




?
?



?

/? /?/ ? ? BAC K DN Z BDC Z Z
?= ?
?

?=?

?

? ? .



?



名,

宁 ?< mz


? ? -



故 ?+? 类 似 地
mm n









?

? ? .










?


[ 1

^ y ?② ? ? ?故 ?W ? ? 2 ? ? D N N C ? NK
l J
_

AM





裡 啦






其中





^ n







? ? ? 由 式 ① ②知 为 奇 数 时 取? TM MK ?TM


表 亦 不超 过 实 数 * 的 最 大整 数






? ? MK
?
_

?

_

?










?=









n?





?

77 V



? ? ?NK ? TN ?NK

? ? .

当 彐

偶数 时 取 4 邏 腦 取?




m Z MTN
注意到
? ? ,

?








?

?2 ?^


?=

?



?< y < n?

, E?U S?

(?



?





?j _

? ? ) ? ? *



均有

?




§






? ? 1

综 上 所求最大 值 为




? ? y ?故原 不 等 式 等 价 于






如图






分 别延 长
EF








7 7V



与圆 厂 交


于点



J 联结

? ?^巧 ?“ 不妨设
0 ?<

?





? ? S & ?①
( 1

巧 矣


? ^ 彡1 尤 ? 彡 ?^ 矣 ?^


? ? .











^br







j? 由 于 对 任 意











? ? ^i



? ? 则

y V\p?

+x


^i ^

KX

Kx




?











i?



^)







i?






? ? )

=>

?

A(

1?







1?



at

2 )

? ? ( 1?



*n )

? ? .







i^ r ^




r b:
? ? _



由 切 比雪 ? ?

? ? ?夫 不 等 式得
/? \



^M mn / / ef ? i ? v ? i ?




?r





?、

me ? ?
tm






tn

nf

结合 相交 弦 定 理 知?
T M TN

? ?a?



? ? 、



M T^J



















? ? L

\ TM


ME



AM



MB



T N ? NF
/:


DN NC


?① ?从 而 ?U 因此

?

式 ① 成立

? ? .



原 不 等式成 立

_?

? ? .

在 △ AM 和 A W








中 由 正 弦 定 理知 ?4 ?m
, .

62 ? 5 00

? ? .

先 证 ii 角 三 角 形 的 个数 不 超过 位


5〇 〇

? ? .

D N ?M


?任 取


sm

Z D KN

?

?

sm

Z KDN

条 直线 将 所 有 与 之 平 行 的 直 线 ? ? ? ? ?组 成 的 集合 记 为 岑 包括这条直 线 本 身 所










34

? ? ?中 等 数 学

有 与 之 垂直 的 直线 组 成 的 集 合 记 为



若 不? 5 注 意 到 凸 四 边 形
. ,
?

的边 长

a、 6

? ? 、

存 在 直 线 与 之垂 直 则 孕
, ,









?c

j 的 排列 有




!?

=? 2 4



? ? .

此时 从 剩 下 的 直 线 中 任取



条 将 所 有? 事实 上


由 边长
? ? .

是 否 相 邻 只 要 考虑 ? ?


与 之 平 行 的 直线 的 集 合 记 为 4 所 有 与 之 垂? 如 下 两种 情 形


直 的 直线 组 成 的 集合 记为
再 考 虑剩 下 的 直 线 类 似定 义 4 均 于 是 这 00 条 直 线 被 分 成 彼 此不 交 的

















为 凸 四 边形

? ? :

A B a?

相 邻 的两 ? ?







边长 不失




般性 只 要 证
? ? .





集 合? 设 义 ? a B J? 则 ?注 意 到
? ? 2



? ^






ab + c d )





? ? ,

?











?

= i〇〇



? 5a


4b c





a b B C s n?

?



^ AB C ^?
?
?

? ? ?

^到




每个 直 角 三 角 形 的 三 边 必 有


?=

组 互相 垂 直 的 直线 和 另

条 与前 者不 平行 或 ?
S ?= S
?

n Z CZ ZM ? ? + 2?2 ? ?



si

?

垂直 的 直线 ?故 ? ? 故 所 有 直 角 三 角 形 的 总 个 数 不超过

- -

_c ? +

?d


?

+ of )
?

? ? .

? A 00 a ?的 长
?







若x





为 凸 四 边形



S CD

两 相 对边 ? ?





?

?



?

?









只 要证


? ? :

1?

= ?1 ? ?

^ ^








00















? ^



ac + b d



? ? .

设点 4 关于 S


Z)

的 中 垂线 的 对称 点 为 ,
? ? 四 边形 f膽
? ? '

? ? .

^2








^)










) (

1 〇〇







^)



?则

?


?

四 边形雌


? ? =









[ (
?







a? + b ? ) a
i i










10 °

?= S













BC

+ S

A CD A

4 “

? 4? ^





A B BC +






CD DA


? ? '

=?6

2 5?













?



62 ? 5 00 ? i? i ? ?




下面 给 出

6 2 ? 50 0

个直 角 三 角 形 的 构 造 ?


^ AD

B C ?+ CD A B ? ? ^ 2 ?2 ? ?





?

在 坐 标平 面 上 取





00

条 直 线 分别 为?





(?

ac ? + ?



? ? .







?





\ 25 ?

?^
?




?=

- ;

y? = ^ ? + 2 〇? y? =
? ?



=?





^? + 0 + y


a ?+

27



知 原 问 题成 立 ?由 情形 ? ? ? 注 当 q 为 凸 四 边 形 仙⑶ 的 两相 对






、 (

2)

? ? .





? ?

,?

?,

r? =

a; ?





=?







m 1 02


边的 长时 ? 5
- - -

+ 5U ?




? ? _







=?

?

x ?+ Y 2
?

可 用 托勒密 不 等式 证 明 结论成 立

? ? .

? ? .

此时 这
, ,



〇〇

条 直 线分 为 四 组 每组


25 ? ?



条相互平 行 倾斜 角 分 别 为
13






45




90

?S

?

=?



m mA B CD






A C B Ds i u d ? ?







易 知 前 两组 直 线相 互 垂 直 后两组 直 线?气



?i ? ^ 抑


? ? j





? ? -

仙 CD




iO Z M ) f ? ?

也 相 互 垂 直 且 任 意 三线 不 共 点




故 此 时 直 角 三 角 形 的 总 个数 等 于?
2 5 ?x 2 5? x 5 0 ? + 2 5 ?x 2 5? x 50 ? = 62 ? 5 0 0
?
? ?

?= j
_

? ? _  ̄



〇C +

?


3?

?

?

?



? 6 当? r a


?=

时 所 求 最 小值 为
, ,



? ? ;

综 上 所 求 最 大值 为


62? 5 0 0



?当

/I

多4

时 所 求 最小 值 为 2

? ? /i .

20 1 5

年第

12

? ? 期 ?3 5

先证 明
引 理



个 引 理 ?时 有 4

















2n






? ? .





时 对 公差 为




的 等差 数 ?而 由 引 理 得



? ? .









" ,





6n








此时

? ? ,



?a



















有 ?A


?

/ \ B ? = 2n







3 a


+ kd



^k^3











e Z





a ?当 r
?

?

=?3

?

时 设


?

















?

为 正整 数组 成 ? ?

? ? .

证明



对任 意 幻


有? 的 严 格递增 等差 数 列 则 刈





?

+ 2〇
?


?

j?

3 a ? +? (




i?





d? + 2 (
?



j?







?由 2a ?+ a
?



2?

< 2a


?+



3?

< 2a



?



%? < 2a

3?

+〇

? ? 2



?

3 a ? + ?(


i?

+2 j












? =>?





?

^4


? ? .

而 K
S C?


?

+2
?

y?

?



矣 3n




?

?





故? 又 由









i 知 不属 于 f




A Hf i



?







? ? .

3 〇


?+





1?

^A ^3

7i?




e ?6 ? Z f





?因 此
一■





/l

?








?

彡5


? ? .



一 ■

方面 对






?






可 证 明 存 ?另


方面 当




^?

?1






2?







3?







? ? ,

在 ? 使得
( 1 )

?



+ 2/
_









?A






, ,




i f

? ? .










l l








? ? ,







2/1



2?

时 取


?i

?

=? i

+ 3?

?

2n



?U A
?

i f



?





由 此即得






的 最小 值 为
? ? .



? ? .

2)













为偶数 时 取


i?



?1



?7 先证 明




个引 理


_

/?


?

#有






?为
_

W<? 且




+2















?引 理



若 复数


在单位 圆 外 则 存 在模 ? ?
, ,

的 复数

对单 位 圆 内 的 任意 复 数


? ? 有











A心
^?





且 以 奇数 时 取


?U





? ? W L








?j ?



?





<j < n





+2 j










?证 明


令z
?




? ? 丄




? ? 1



4)




& ?= ? 1


时 取

















?则 Z 为点




与圆 心



的 连 线 段与 圆 的 ? ?



A ?=

时 取



i?







? /?



?1

由 上讨 论 知 总 存 在





?交 点 如 图 ? ? 7 矣0 勺 使





? ? .



?

“ 2y







? ? k






3 〇 ? + kd




^ k ^ 3n







k? 6? Z ? C






回 到原 题



??


?


? ? (




先讨论

/i

彡4

的 情形 ? V


设 由 正 整 数 组 成 的 等差 数 列














?



? ? ? J ? ? ’
? ? 3

?

? ? °

)?

严格 递增 即 公 差


心 〇 ?图


显然















? 注意到 点




在圆 的 内 部


? ? .

由 引 理知


j ,

?则


^>





1 ?=



2。

? ? .

? 3 o ? + kd



^ k ^ 3n








k?

G ?Z

. \

?^ Z


?

〇 Z0 W < 9 0
?


°
?,




?

WZQ Z


?

> 90

°
? ? .

于是
又由









?= 3 / i



a 2? =



? 因此 k 〈 3 a ?+ 知 a a 不 属?回 到原题






y ?<








? ? .

??











? ? _

于 于是


先证 明 /U 的 两 个 根 在 单位 圆 内


? ? ?

下 面分 两 种 情 形


? ? .

故?
^ n ?+ ? (
3 /i



)?



?+







?





Mnf i




















?



⑴ 当 0?时 因 为 2n ?
?


?
2n ?


? ? ,

?

A ?=

?1

?



4a

?

彡0

? ? ,





方 面 当 等差 数列 为






3?

… ,



?1

?所 以








均为实数

? ? .

36

? ? ?中 等 数 学

由 韦 达定 理 知 A
2 (








?

?













?从而
















m od

P)

? ? .

当{

z2

? 于是


< a <

l?

时 因



为?A ? =?1 ?

4a < 0

?

则 2 ?三











m 〇d





? ? .


?(


?





这 与 p 为 奇 素 数矛 盾
? ? ?

? ? .

所以





互 为 共扼 复 数 ?故 2


* ?


p?







由 韦 达定 理知



?因 此







?2



?

+? 1











/!







个大于 2

? ? *




?



?=

? z2




?= z



2?

a ?6




由 情形 ( 1




、 (

2)



財 均 在 单位 圆 内 ?

=?


知/





?的 素 因 子 z 的两个 根










? ? .







? ? 2






? ? 雇 4精 赛 顏 达数


/⑴





=? |





Z ? + ?a



l ? 设f







为 素数 且满 足




















? ? ,





















2 )



?其中

l !



6 ? +? C

为 完全 平方 数 求 也 的 最小值


? ? .





z?










z?







2?

?9

?







?









?

时 取
, ,


?



=z



z (



l l












?

2?

设0< ^
?



?1 ?



=?1



















证明

? ? 、

? ? :

?











时 由 引 理知存 在






? ^ ?J
a)










? ? 2



? ? '








z〇 ?







?








; ? <? 2?



2?





?
z )?


?S
( \
*?












?



??





?

a S?








1?

= ?1

] ? ? J

于是 用





/(



0 )



? <?



/(



? 3 已 知正实数


?









c?

满足

?







= ?+ 6 ? + c ?





? ? .

综 上 原 题 成立




证明


? ? :













表示


的 标准分解式 中



的?

_



_

幕次?
则 “

=? 2





4?




?



?4


?




?




?

?



?4

?



_





_

?



? ? ? ?




?



?

? ? 2



a ?+ ? b ? +







〇?











?

? +
?




2S








? +




\ 1




祠?圆

?




如图



已知





i、 C f

为圆 尸 上的点
F 仙


? ? ,



在点 S






处 的 切线 交 于 点
lD f

? ? 与 ⑶



+ 2









+?














?交 于点


瓦 仏



? ? .

交 于点

与 W 交于 ? ?
C)


所以


… , ,








/i





?点

. .

GC

与圆

交 于 点 汛 异 于点

证明

? ? :

/1







力¥

7^



其 中 < ?Z









尸好
l ,

为 圆 的切线



为互 不 相 同 的 奇 素 数
? ? .

ar a














?a

? ? ?

为 正整数



?(














?


?(





t"

























? ?


\?




其中



+?



于是 素数







“ 2

则对 2
? ? .





?+

?T \ T \A ? ? ? / ? ? V V ? ? 1 的 任意 个 因 子 为 奇?
? ? \







? ? \

?+ 1

)?

























? ? E ?G ?P

由 费 马小 定 理









? ? 4

由?








m od p



?





m 〇d p



? ? ?参 考 答 案




知? ^?
?1

- l



? ? .?_

故zO





U m od


?



1 ? 95



? ? .

若 2M
?









则 dp

D f ?当























1 1



89





? ? ,

20 1 5

年第


12

? ? 期 ?3 7








l l



89





^ ?= 00





















? ? \

此时
?



1 1?

+ 8 9?
?



?1

为 完 全平方 数 ?此 时




6 ? + ?c

不 为 完 全 平方数

? ? .

故 ak




2? x



l?

x 89 ? =


1? 9 5 8



?



ii



6 ?> c



? ? .

下画明
















1?

95 8



?当


?






?

1 1

?






9 58

? ? .



?a



2?



32










c )

?

因 狀 为素 数 所以 ?






?




?,



时 心 7#


?^ ? ?

> 90 7

? ? .

⑴当


?






c?

时 由?则


?











#>




28

? ? .



? =?













25



a o d ?3 2 r





?又






G? Z
?

于是







?



6 9?



?

2 ? =? 1 67

? ? .





的 可 能 取值 为? 此 时 如 多 2


x 7 ? x? 1 67 ? > ? 1 ? 9 5 8
?

? ? .





41



73 7



89



97













?当

1 ? 9 58


?

a ?= 5?







〇 = 6
? ?















m od ? 5



? ? .

当 当


£? = ? 1



41



73

时 经 验证 如


?若









25






? ? .

?c



8 9?

时 ? 于是




c = ?l
?







m〇d ? 5



?4 ? c



?

11

? ? .

a6c )

mi ?

= l ?95







^ / 89





u)


97



6?













?此 时 无 时 均 符合 要 求 的
1 1 )


+ 3 2? =







?

>5


?

?

x?1

1?

>? 1 ? 95 8

? ? .

?当
?

? ?= 3

时>

> 3


? ? ?









? ? .


vr

当 p ?<



时 类似地 知
, ,



的 可能取 ? ?


?C


?/
















?/



41



73



89



97



1 1










?若
否则

c ?=





?

d OO ^ Lo d


?

27



? ? ,

若也
3 2 ? > 89







?9 5 8



32




?平施 ?若 于是

C =



则 “








^ …… ^




? ? 均 不 为完 全
mod ? 27

1 1



? ? .













m 〇d 8











?

c? =? 1 3



?

6 ?< 5 0





l l











? ? .









6? = 3







队? ? 方数 9 6 + 4 mo d 8



此时
? ? .



6 ? =? 1

43




6? + C

均 不 为 完 全平 ? ?





( 2









?

6? +? c =


























22

〇 V ?若
. .










6 < 34

? ? .

经检 验 于是

8 6






彡 26


?



3 ?> 5 00



a6c


2 x 3c >

l?

95 8

? 于是 ?^ ±







?

< 5? x 24 3


验证 知 不 成 立

? ? .





〇b c )


ma


? ? l ?9 5 8 .









?






? ? 原 不 等式 等 价 于
2 ? ? 2


K6
?





32









则 “c 于是



?



?1








a6c ?



2 ? x 7 c?

^ a ?? 2 20 ?^? > 9 ? S° ^
49




?n





l f







?-







? ? 1

?1

?

58





?









a多 3


时 同样 地






V ?
c.




?





?
_





1?



?





? ? )

? ? '

mk a b




\?

95 8



?



?:



?
? ? 2

A y? ?


? ? >











〇.

当 当

a> 5? ?






^ ? ?U












a6 c > 5 ? >



1 ?9 5 8 .

? ? i

?

3?



? S?


[?

〇?

_




_

)?

?

Q?


? ? 2
_








ab c? > 3 b
=>





c?






?
1? 9 5 8



^?

? ? ?

36









)?



?
?S
( !?

? 2 心?


? ? 2



1?







? ? )





=>

?b











^ 2? ^

_

°





?^
?(



?

°

? ? ?





?

? ? i

38

?中 等 数 学 ? ?






柯 西 不 等 式 得? i M
?
2 2


FG E C ? ?


? =?


? ? .





?+ b









a ?+

1? +









a? +?b +

c )



?H T E G

?


FC








? ?
_



?a




+ 2

? 再对 A 处 F 及 点


利 用 塞 瓦 定 理得 ? ?






?

2 \









?



a + b + c



?
? ? G E? M ?C F f g ? ba


_

?i ? ?

类 似地





?




?
?





9 ?二?


cf ? ?
AC ? ?

—  ̄


4?

_



?




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