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选修4-4第一讲-柱坐标系与球坐标系


问题情境
右图是一个圆形体育场,自正东方向 起,按逆时针方向等分为十二个扇形区域, 顺次记为一区,二区……十二区.我们设圆 形体育场第一排与体育中心O的距离为300m, 每相邻两排的间距为1m,每层看台的高度 为0.6m.现在需要确 定第九区第三排正 中的位置A,如何描 述这个位置?

问题情境

GPS系统包括三大部分:空间部分-----GPS 卫星星座;地面控制部分-----地面监控系 统;用户设备部分-----GPS信号接收机。

问题情境 GPS的空间部分是由24 颗工作卫星组成, 它位于距地表20 200km的上空,均匀分布在6 个轨道面上(每个轨道面4 颗) ,轨道倾角为 55°。此外,还有4 颗有源备份卫星在轨运 行。卫星的分布使得在全球任何地方、任何 时间都可观测到4 颗以上的卫星,并能保持 良好定位解算精度的几何图象。这就提供了 在时间上连续的全球导航能力。 问题: 那么怎样确定它们在空间的位置呢?

阅读课本P16---17

了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.

z 设P是空间任意一点, 在oxy平面的射影为Q, P(ρ,θ,Z) 用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π) 表示点Q在平面oxy上的极坐标, o 点P的位置可用有序数组 y (ρ,θ,z)表示. θ 把建立上述对应关系的 Q x 坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫P的柱坐标,记作(ρ,θ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ < 2π , Z∈R
柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空 间直角坐标系中的一部分建立起来的.

柱坐标系又称半极坐标系,它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ? ? z?z ?

设点的直角坐标为(1,1,1),求它 在柱坐标系中的坐标. ?1 ? ? cos? ? ? ?1 ? ? sin ? 解得ρ= 2 ,θ= 4 ? 1? z ? ? 点在柱坐标系中的坐标为( 2 , ,1)
4

注:求θ时要注意角的终边与点的射影所在 位置一致

给定一个底面半径为r,高为h的圆 柱,建立柱坐标系,利用 柱坐标描述圆柱侧面以及 底面上点的位置. 注:坐标与点的位置有关

z

o x

y

阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标
系中点的确定

z
设P是空间任意一点, 在oxy平面的射影为Q, 记| OP |=r, 连接OP, OP与OZ轴正向所夹的角为φ.

P(r,φ,θ) o θ r φ
Q

y

x 设P在oxy平面上的射影为Q , Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角
为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表 示.

z
空间的点与有序数组(r,φ,θ) 之间建立了一种对应关系. 我们把建立上述

P(r,φ,θ)

o θ

r φ
y
Q

对应关系的坐标系 x 叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .

有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标, 其中 r ? 0, 0 ? ? ? ? , 0 ? ? ? 2?

空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为

? x ? r sin? cos? ? ? y ? r sin? sin? ? z ? r cos? ?

数学运用
? ?

例1、建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体。
z
D E O F C B G

O(0,0,0)
A(1,

?

C (1,

2

, 0)

, ) 2 2 D(1, 0, 0) E ( 2,

B( 2,

? ?

x

A

3 ? F ( 3, arccos , ) 3 4 ? ? G ( 2, , ) 4 2

, ) 2 4

?
4

, 0)

建构数学

空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r, q, z j )之间的变换关系: P ( r, ? , ? )

x ?y ?z ?r
2 2 2

2

? x ? r sin ? cos ? ? ? y ? r sin ? sin ? ? z ? r cos ? ?

?
O x

r

z

?

y

Q
r ≥ 0, 0≤? ≤?, 0 ≤? < 2 ?

3 ? 3 ? 设点的球坐标为(2, , ),求 4 4 它的直角坐标.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2 3 ?   3 ? x ? 2sin cos ? 2? ? (- ) ?-1 4 4 2 2 2 2 3 ? 3 ? y ? 2sin sin ? 2? ? ?1 4 4 2 2 2 3 ? z ? 2 cos ? 2? ( - ) ?- 2 4 2
,- 2 ).

点在直角坐标系中的坐标为( -1 ,1

小结
数轴 平面直角坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系

坐标系

坐标系是联系形与数的桥梁,利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化,从而产生了坐标法.


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