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高中数学 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像



函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像
(一)复习指导 单调性:
设函数 y=f(x)定义域为 A,区间 M ? A,任取区间 M 中的两个值 x1,x2,改变量Δ x=x2-x1>0,则当Δ y =f(x2)-f(x1)>0 时,就称 f(x)在区间 M 上是增函数,当Δ y=f(x2)-f(x1)<0 时,就称 f(x)在区间 M 上是减函数.

如果 y=f(x)在某个区间 M 上是增(减)函数,则说 y=f(x)在这一区间上具有单调性,这一区间 M 叫做 y=f(x) 的单调区间. 函数的单调性是函数的一个重要性质,在给定区间上,判断函数增减性,最基本的方法就是利用定义:在 所给区间任取 x1,x2,当 x1<x2 时判断相应的函数值 f(x1)与 f(x2)的大小. 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法,教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到 的. 对于 y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性,可通过换元,令 u=φ(x),然后分别根据 u=φ(x),y=f(u)在相 应区间上的增减性进行判断,一般有“同则增,异则减”这一规律. 此外,利用导数研究函数的增减性,更是一种非常重要的方法,这一方法将在后面的复习中有专门的讨论, 这里不再赘述.

奇偶性:
(1)设函数 f(x)的定义域为 D,如果对 D 内任意一个 x,都有-x∈D,且 f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函 数;设函数 f(x)的定义域为 D,如果对 D 内任意一个 x,都有-x∈D,且 f(-x)=f(x),则这个函数叫做偶函数. 函数的奇偶性有如下重要性质: f(x)奇函数 ? f(x)的图象关于原点对称. f(x)为偶函数 ? f(x)的图象关于 y 轴对称. 此外,由奇函数定义可知:若奇函数 f(x)在原点处有定义,则一定有 f(0)=0,此时函数 f(x)的图象一定通过 原点.

周期性:
对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x)成立,则函 数 f(x)叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. 关于函数的周期性,下面结论是成立的. (1)若 T 为函数 f(x)的一个周期,则 kT 也是 f(x)的周期(k 为非零整数). (2)若 T 为 y=f(x)的最小正周期,则
T |? |

为 y=Af(ωx+φ)+b 的最小正周期,其中 ω≠0.

对称性:
若函数 y=f(x)满足 f(a-x)=f(b+x)则 y=f(x)的图象关于直线 x
? a?b 2 a?b 2

对称,若函数 y=f(x)满足 f(a-x)=-f(b+x)则 y=f(x)的图象关于点(

,0)对称.

函数的图象:
函数的图象是函数的一种重要表现形式,利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质,我们首先 要熟记一些基本初等函数的图象,掌握基本的作图方法,如描点作图,三角函数的五点作图法等,掌握通过一 些变换作函数图象的方法.同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用. (1)利用平移变换作图:
? ?? y=f(x) ? 左右平移 ? y=f(x+a) ? ?? y=f(x) ? 上下平移 ? y=f(x)+b

1

(2)利用和 y=f(x)对称关系作图: y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称;y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称 y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点对称;y=f-1(x)与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称 (3)利用 y=f(x)图象自身的某种对称性作图 y=|f(x)|的图象可通过将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分关于 x 轴旋转 180° ,其余部分不变的方法作出. y=f(|x|)的图象: 可先做出 y=f(x), x≥0 时的图象, 当 再利用偶函数的图象关于 y 轴对称的性质, 作出 y=f(x)(x <0)的图象. 此外利用伸缩变换作图问题,待三角的复习中再进行研究. 还要记住一些结论:若函数 y=f(x)满足 f(a-x)=f(b+x)则 y=f(x)的图象关于直线 x 对称,若函数 y=f(x)满足 f(a-x)=-f(b+x)则 y=f(x)的图象关于点(
a?b 2 ? a?b 2

,0)对称.

(二)解题方法指导
例 1.设 a≠0,试确定函数 f ( x ) ?
ax 1? x
2

在(-1,1)上的单调性.

例 2.讨论 f ( x ) ? x ?

2 x

的增减性.

例 3. 性.

f(x)在(-∞,2)上是增函数,且对任意实数 x 均有 f(4-x)=f(x)成立,判断 f(x)在(2,+∞)上的增减

例 4*.已知函数 f(x)的定义域为 R,对任意实数 m,n,都有 f ( m ? n ) ? f ( m ) ? f ( n ) ? f(x)>0.又 f ( ) ? 0 .
2
1 2 1 2

1 2

且当 x ?

1 2

时,

1

(Ⅰ)求证 f ( 0 ) ? ?

, f (?

) ? ? 1;

(Ⅱ)判断函数 f(x)的单调性并进行证明

例 5.在 R 上求一个函数,使其既是奇函数,又是偶函数
2

例 6.判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x ) ? lg( x ? x ? 1) ?
a a
x x

2

(2) f ( x ) ? ? ( x ) ?

?1 ?1

(其中 φ(x)为奇函数,a>0 且 a≠1).

例 7.设函数 f ( x ) ?
x

x? a
2

? bx ? 1

( x ? [ ? 1,1]) 是奇函数,判断它的增减性.

例 8.设 f(x)是定义域为 R 且以 2 为一个周期的周期函数,也是偶函数,已知当 x∈[2,3]时 f(x)=(x-1)2+1, 求当 x∈[1,2]时 f(x)的解析式.

例 9.作出 y ?

2x ? 1 x ?1

的图象,并指出函数的对称中心,渐近线,及函数的单调性.

例 10.作出函数的图象
2

(1) y ? ( x ? 1) 3 ? 1

(2)y=|lg|x||

3

例 11.(1)作出方程|x|+|y|=1 所表示的曲线.

(2)作出方程|x-1|+|y+1|=1 所表示的曲线.

例 12.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x2+2x. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|.

例 题 解 析
例 1 解:任取 x1,x2∈(-1,1),且Δ x=x2-x1>0, 则 ? y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ?
ax 2
2 1? x 2

?

ax 1
2 1? x 2

?

a ( x 2 ? x1 )(1 ? x1 x 2 ) (1 ? x1 )(1 ? x 2 )
2 2

?

2 由于-1<x1<x2<1,所以Δ x=x2-x1>0,1+x1x2>0,1- x12 >0,1- x 2 >0.

因此当 a>0 时,Δ y=f(x2)-f(x1)>0,当 a<0 时,Δ y=f(x2)-f(x1)<0. 所以当 a>0 时 f(x)在(-1,1)上是增函数,当 a<0 时,f(x)在(-1,1)上是减函数. 例 2 分析:可先在(0,+∞)上研究 f(x)的增减性,然后根据 f(x)的奇偶性判断其在(-∞,0)上的增减性,而 当 x>0 时, f ( x ) ? x ? 有
2 x ? 2 2 , 当且仅当 2 x ? x 即x ?

2 时“=”成立, 即当 x ?

2 时, f(x)取得最小值 2 ,

由此可知 x= 2 是函数单调区间的一个分界点. 解:任取 x1,x2∈(0,
2

],且Δ x=x2-x1>0

4

则 ?y ? f (x 2 ) ? f (x 1 ) ? (x 2 ?

2 x2

) ? (x 1 ?

2 x1

) ? (x

2

? x 1 )( 1 ?

2 x1 x
2

)

因为 0 ? x1 ? x 2 ?

2 , Δ x=x2-x1>0,且 1 ?

2 x1 x 2

? 0 ,因此Δ y=f(x2)-f(x1)<0,故 f(x)在 ( 0 ,

2 ] 上是减

函数.同理可证 f(x)在 [ 2 , ?? ) 是增函数.
2 ? x

又由 f ( ? x ) ? ? x ?

? ? f ( x ), 可知 f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,所以可知 f(x)在 ( ?? , ?

2]上

是增函数,在 [ ? 2 , 0 ) 上是减函数. 综上所述,
f (x) ? x ? 2 x

在 ( ?? , ? 2 ] 和 [ 2 , ?? ) 上是增函数,在 [ ? 2 , 0 ) , ( 0 , 2 ] 上是减函数.

例 3 解:任取 x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2,则由 2<x1<x2 得 2>4-x1>4-x2 因为 f(x)在(-∞,2)上是增函数,所以有 f(4-x1)>f(4-x2) 而由已知又有 f(4-x1)=f(x1),f(4-x2)=f(x2),所以 f(x1)>f(x2),故 f(x)在(2,+∞)上是减函数. 小结:注意体会解题中的划归思想.此题若是一个小题,由 f(4-x)=f(x)可知 f(x)的图像关于 x=2 对称,立 即就可以判断出 f(x)在(2,+∞)上是减函数.

例 4 分析:判断这类抽象函数的单调性,关键是根据已知去创造条件,利用单调性的定义进行和判断,可 以采用分析法寻求解题思路. 解:(Ⅰ)由 f(m+n)=f(m)+f(n) ? 又由
1 2

得 f(0)=f(0+0)=2f(0) ?

1 2

有 f(0)=-

1 2

及 f ( ) ? 0 得 f (?
2

1

1 2

) ? ?1 1 2 ? 1 2

(Ⅱ)任取 x1,x2∈R 且Δ x=x2-x1>0 则 x 2 ? x1 ?

根据已知可得 f ( x 2 ? x1 ?
1 2 1 2 1 2

1 2

)?0

则有 f ( x 2 ) ? f ( x 2 ? x 1 ? x 1 ) ? f ( x 2 ? x 1 ) ? f ( x 1 ) ?

? f (x
1 2

2

? x1 ?

1 2

?

1 2

) ? f (x 1 ) ?

1 2

? f (x

2

? x1 ?

) ? f (?

)?

1 2

? f (x 1 ) ?

1 2

? 0 ? f (?

) ? f ( x1 ) ? 1 ? ? 1 ? f ( x1 ) ? 1 ? f ( x1 ).

函数 f(x)在 R 上为增函数. 例 5 解:设所求的 R 上的函数为 f(x),则由函数奇偶性定义得 f(-x)=-f(x)①,f(-x)=f(x)②,联立①②, 消去 f(-x),得 f(x)=0.
5

显然函数 f(x)=0 既是奇函数又是偶函数,所以 f(x)=0 就是所求的函数.

例 6 解:(1)因为对任意 x∈R,都有 x 任取 x∈R,则-x∈R 且有 f ( ? x ) ? lg( ? x ? 所以 f ( x ) ? lg( x ?
2

2

?1 ? x ?

x

2

? x ? | x | ? x ? 0 ,所以函数定义域为 R

x ? 1 ) ? lg( x ?
2

x ? 1)
2

?1

? ? lg( x ?

x ? 1) ? ? f ( x)
2

x ? 1 ) 是奇函数

(2)函数的定义域为 R. 任取 x∈R,则-x∈R, 且有 f ( ? x ) ? ? ( ? x ) ?
a a
?x ?x

?1 ?1

? ?? ( x ) ?

1? a a ?1 ? ? (x) ? x . x 1? a a ?1
x x

所以 f ( x ) ? ? ( x ) ?

a ?1
x

a ?1
x

是偶函数.

例 7 解:显然 x∈[-1,1],-x∈[-1,1],因为 f(x)为奇函数,所以对区间[-1,1]内任意实数 x 均有 f(- x)=-f(x)成立,即
? x?a x ? bx ? 1
2

? ?

x?a x ? bx ? 1
2

,也就是

x?a x ? bx ? 1
2

?

x?a x ? bx ? 1
2

这是关于 x 的恒等式,比较

两端分子分母对应项的系数,可得 a=b=0. 所以 f ( x ) ?
x x ?1
2

?

任取 x1,x2∈[-1,1],且Δ x=x2-x1>0 则 ?y ? f (x 2 ) ? f (x 1 ) ?
x2
2 x2 ?1

?

x1 x 12 ? 1

?

( x 2 ? x 1 )( 1 ? x 1 x 2 ) ( x 1 ? 1)( x 2 ? 1)
2 2

?

因为-1≤x1 <x2≤1,所以Δ x=x2-x1>0,1-x1x2>0,因此Δ y=f(x2)-f(x1)>0,所以当 x∈[-1,1]时
f (x) ? x x
2

?1

为增函数.

注:此题也可以通过 f(0)=0,f(-1)=-f(-1)求得 a=b=0 例 8 分析: 此题的解答要抓住两个关键点, 一个是 f(x)为偶函数,再一个是 f(x)为周期函数, 通过画出草图, 就会发现可以先求出当 x∈[-3,-2]时函数的解析式,在利用周期性求出当 x∈[1,2]时 f(x)的解析式,要注意 体会划归的思想方法. 解:当 x∈[-3,-2]时-x∈[2,3]所以 f(-x)=(-x-1)2+1=(x+1)2+1,因为 f(x)是偶函数,因此当 x∈[- 3,-2]时,f(x)=(x+1)2+1 当 x∈[1,2]时,x-4∈[-3,-2],有 f(x-4)=(x-4+1)2+1=(x-3)2+1,因为 2 为 f(x)的周期,可知-4 也为 f(x)一个周期,有 f(x-4)=f(x) 故 x∈[1,2]时 f(x)=(x-3)2+1.

例 9 解:因为 y ?

2x ?1 x ?1

? 2?

1 x ?1

6

所以将 y ? ?

1 x

的图象向左平移一个单位,再向上平移两个单位,即可得到 y ?

2x ? 1 x ?1

的图象,如图

由图象可以得到:对称中心为(-1,2) 渐近线分别为 x=-1,y=2 函数在(-∞,-1)和(-1,+∞)上都是增函数.
2

2

例 10 解:(1)将函数 y ? x 3 的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位,即可的得到 y ? ( x ? 1) 3 ? 1 , 如图.

(2)y=|lg|x||为偶函数,当 x>0 时先作出 y=lgx 的图象,在根据奇偶性作出 y=lg|x|的图象,最后将 y=lg|x|在横轴下面的图象关于 x 轴旋转 180° ,其余部分不变.即可得到 y=|lg|x||的图象,如图.

例 11 分析,曲线|x|+|y|=1 是关于 x 轴,y 轴和原点的对称图形,利用对称性可以很快的作出曲线, 至于曲线|x-1|+|y+1|=1,只需通过将曲线|x|+|y|=1 适当平移即可得到. 解:(1)先作出线段 x+y=1(x≥1,y≥1),再作出该线段分别关于 x 轴,y 轴和原点分别对称的线段,就得 到方程|x|+|y|=1 所表示的曲线,如图.

(2)将(1)中方程|x|+|y|=1 所表示的曲线右移一个单位, 下移一个单位就得到方程|x-1|+|y+1| =1 所表示的曲线,如图.

7

例 12 解:(1)设 f(x)上任意一点 P(x0,y0)关于原点的对称点为 P ? (x,y)
? x0 ? x ? 0 ? ? x0 ? ? x ? 2 则? 即? ? y0 ? ? y ? y0 ? y ? 0 ? 2 ?

因为点 P(x0,y0)在 f(x)=x2+2x 的图像上,所以 y 0 ? x 0 ? 2x0,即-y=(-x)2+2(-x)
2

故 g(x)=-x2+2x. (2)由 g(x)≥f(x)-|x-1|得 2x2≤|x-1| 当 x≥1 时,不等式化为 2x2-x+1≤0,此式无实数解. 当 x<1 时,不等式化为 2x2+x-1≤0 解得 ? 1 ? x ?
1 2

,因此 g(x)≥f(x)-|x-1|解集为 [ ? 1, ].
2

1

8



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