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数学归纳法典型例题分析


数学归纳法
用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当 n 取第一个值 n0 (如 n0 ? 1 或 2 等)时结论正确; (2)假设当 n ? k (k ? N? , k ? n0 ) 时结论正确,证明 n ? k ? 1 时结论也正确. “综合(1)、(2),……”不可少! 注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。 高考题型归纳: 题型 1.证明代数恒等式
例 1.用数学归纳法证明: 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ?1) ? n2 .

例 2.用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?
2 2 2 2 2

n ? (n ? 1) ? (2n ? 1) ( n ? N * ). . 6

1

练习 1:用数学归纳法证明 (1) 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ... ? n ? n ? 1? ?

1 n ? n ? 1?? n ? 2 ? 3

(2) 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? ? ... ? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

题型 2.证明不等式
例 3. 用数学归纳法证明:

n2 ? n ? n ? 1( n? ? N) .

2

练习 2:用数学归纳法证明:

1 1 1 1 5 ? ? ? ... ? ? (n ? N ? , n ? 2). n ?1 n ? 2 n ? 3 3n 6

1 1 1 n?2 , ? n ? N , n ? 2? 练习 3:用数学归纳法证明: 1 ? ? ? ... ? n ? 2 3 2 2

1 1 1 1 m ? ? ? ... ? ? 对一切正整数 n 都成立,求正 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 24 整数 m 的最大值,并证明你的结论。

例 4. 若不等式

3

题型 3.证明数列问题
例 3. 已知数列 {an } 满足 a1

? a, an?1 ?

1 , 2 ? an

(1) 求 a2 , a3 , a4 ;( )由(1)猜想数列 {an } 的通项公式,并用数学归纳法证明。

练习:在各项均为正数的数列 {an } 中,数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn (1)求 a1 , a2 , a3 ;

1 1 ? (an ? ). 2 an

(2)由(1)猜想数列 {an } 的通项公式,并用数学归纳法证明。

4


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