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【高考领航】2017届(北师大版)高三数学(理)大一轮复习第十章 统计、统计案例第2课时


高三大一轮复习学案

主干回顾 考点研析 素能提升

夯基固源 题组冲关 学科培优

课时规范训练

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第2课时

统计图表、

数据的数字特征及用样本估计总体

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1.了解分布的意义和作用,会列频率分布表、会画频率分 布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点. 2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准 差. 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准 差),并给出合理的解释.

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4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数 字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想. 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一 些简单的实际问题.

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1.统计图表 统计图是表达和分析数据的重要工具,常用的统计图表有

茎叶图 等. 频率分布直方图 、扇形统计图、折线统计图、

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2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 众数:在一组数据中,出现次数 众数. 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在 最中间 位置的 一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的 中位数 . 1 平均数:样本数据的算术平均数.即 x = n(x1+x2+?+xn) 在 频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该 相等.

最多 的数据叫作这组数据的

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(2)样本方差、标准差 标准差s= 1 2 2 2 [ ? x 1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ] ,其中xn n

是 样本数据的第n项 ,n是 样本容量 , x 是 平均数 .

标准差 是反映总体波动大小的特征数,样本方差是标准差


平方

.通常用样本方差估计总体方差,当样本容量接近总

体容量时,样本方差很接近总体方差.

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3.用样本估计总体 (1)我们对总体作出的估计一般分成两种.一种是用样本的频 率分布估计 计

总体的分布


.另一种是用样本的数字特征估

频率 (2)在频率分布直方图中,纵轴表示 组距 ,数据落在各小组
等于1

总体的数字特征

内的频率用各小长方形的面积表示,各小长方形的面积总和 .

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(3)连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频 率分布折线图.随着 样本容量 的增加,作图时所分的 组数 增 加,相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线, 统计中称之为总体密度曲线,它能够更加精确地反映出总体在各 个范围内取值的百分比.

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[基础自测] 1.(教材改编题)某工厂生产滚珠,从某批产品中随机抽取8 粒,量得直径分别为(单位:mm): 14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9,则估计该厂生产的滚珠直 径的平均数为( A.14.8 mm C.15.0 mm ) B.14.9 mm D.15.1 mm

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1 解析:平均数 x = 8 (14.7+14.6+15.1+15.0+14.8+15.1+ 15.0+14.9)=14.9(mm).
答案:B

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2.(2016· 合肥月考)一个容量为100的样本,其数据的分组与 各组的频数如下:
组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] 12 13 24 15 16 13 7 频数
则样本数据落在(10,40]上的频率为( A.0.13 C.0.52 B.0.39 D.0.64 )

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解析:由列表可知样本数据落在(10,40]上的频数52. 故其频率为0.52.
答案:C

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3.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他 们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名 运动员的中位数分别为________.

解析:根据中位数的含义及茎叶图可知,甲的中位数是19, 乙的中位数是13.
答案:19、13
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4.已知一个样本为:1,3,4,a,7.它的平均数是4,则这个样 本的标准差是________.

1+3+4+a+7 解析:由平均数是4,得 =4, 5 ∴a=5,代入标准差的计算公式得s=2.
答案:2

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考点一 频率分布直方图的绘制与应用 [例1] 对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:
寿命(h) [100,200) 个 数 20 [200, 300) 30 [300, 400) 80 [400, 500) 40 [500, 600] 30

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(1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计电子元件寿命在[100,400)h以内的概率; (4)估计电子元件寿命在400 h以上的概率.
审题视点 分组及频数统计题中已给出,只需列表画图即

可,解答(3)(4)可用频率代替概率.

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解 (1)频率分布表如下:

寿命(h) 频 数 频 率 [100,200) 20 0.10 [200,300) 30 0.15 [300,400) 80 0.40 [400,500) 40 0.20 [500,600] 30 0.15 200 1 合 计

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(2)频率分布直方图如下:

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(3)由频率分布表和频率分布直方图可得,寿命在[100,400)h 内的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65,所以我们估 计电子元件寿命在[100,400)h内的概率为0.65. (4)由频率分布表可知,寿命在400 h以上的电子元件出现的 h以上

频率为0.20+0.15=0.35,故我们估计电子元件寿命在400 的概率为0.35.

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用频率分布直方图解决相关问题时,应正确理解图表中各个 量的意义,识图掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方 图有以下几个要点:(1)纵轴表示频率/组距;(2)频率分布直方图 中各长方形高的比也就是其频率之比;(3)直方图中每一个矩形的 面积是样本数据落在这个区间上的频率,所有的小矩形的面积之 和等于1,即频率之和为1.

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1.(2016· 厦门质检)某工厂对一批产品进行了抽样检测,如 图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布 直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为 [96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中 产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克 并且小于104克的产品的个数是( )

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A.90 C.60

B.75 D.45

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解析:产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2= 36 0.300,设样本容量为n,则 n =0.300,所以n=120,净重大于或 等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)× 2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品 的个数是120×0.75=90. 答案:A

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2.(2016· 高考安徽卷)某企业为了解下属某部门对本企业职 工的服务情况,随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的 评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间 为:[40,50)[50,60),?,[80,90),[90,100].

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(1)求频率分布直方图中a的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率; (3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的 评分都在[40,50)的概率.

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解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所 以a=0.006. (2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的 频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以该企业职工对该部门评分 不低于80的概率的估计值为0.4. (3)受访职工中评分为[50,60)的有:50×0.006×10=3(人), 记为A1,A2,A3; 受访职工中评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人),记为 B1,B2.
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从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10 种,它们是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2, A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}.又 因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B1,B2},故 1 所求的概率为10.

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考点二 [例2] 茎叶图的应用

从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其

销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示).设甲、乙两组
- -

数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m甲,m乙,则(
- -

)

A.x 甲<x 乙,m甲>m乙
- -

B.x 甲<x 乙,m甲<m乙
- -

C.x 甲>x 乙,m甲>m乙
- -

D.x 甲>x 乙,m甲<m乙
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审题视点 根据茎叶图分析得出数据后直接用公式求解.
解 1 x 甲= 16 (41+43+30+30+38+22+25+27+10+10+

345 14+18+18+5+6+8)= 16 , 1 x 乙= 16 (42+43+48+31+32+34+34+38+20+22+23+ 457 23+27+10+12+18)= 16 .∴ x 甲< x 乙. 又∵m甲=20,m乙=29,∴m甲<m乙. 答案 B
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由于茎叶图完全反映了所有的原始数据,解决由茎叶图给出 的统计图表试题时,就要充分使用这个图表提供的数据进行相关 的计算或者是对某些问题作出判断,这类试题往往伴随着对数据 组的平均值或者是方差的计算等.

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1.(2015· 高考重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据 的茎叶图如下:( )

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则这组数据的中位数是( A.19 C.21.5 ) B.20 D.23

解析:由茎叶图可知这组数据由小到大依次为 8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32, 20+20 所以中位数为 2 =20.
答案:B

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2.(2016· 济南模拟)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地 种植的同一种树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了10株树 苗,用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树苗的高度的平 均数 x 甲、 x 乙和中位数y甲、y乙进行比较,下面结论正确的是( )

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A. x 甲> x 乙,y甲>y乙 C. x 甲< x 乙,y甲>y乙

B. x 甲< x 乙,y甲<y乙 D. x 甲> x 乙,y甲<y乙

解析:从茎叶图看出乙地树苗高度的平均数大于甲地树苗高 度的平均数,乙地树苗高度的中位数是35.5,甲地树苗高度的中 位数是27.
答案:B

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考点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征

[例3] 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个 品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地, 每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植 品种甲,另外n小块地种植品种乙. (1)假设n=2,求第一大块地都种植品种甲的概率; (2)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品 种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下 表:
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品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方 差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种? 1 附:样本数据x1,x2,?,xn的样本方差s = n [(x1- x )2+(x2
2

- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为样本平均数.
审题视点 (1)列举出基本事件,然后利用公式求解. (2)利用公式求出平均数、方差,再分析产量,作出评价.
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(1)设第一大块地中的两小块地编号为1,2,第二大块地

中的两小块地编号为3,4.令事件A为“第一大块地都种植品种 甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个, 分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4). 1 而事件A包含1个基本事件:(1,2),所以P(A)=6.

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(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 1 x 甲=8(403+397+390+404+388+400+412+406)=400, s 57.25. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 1 x 乙=8(419+403+412+418+408+423+400+413)=412, 1 2 s乙=8[7 +(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12]=56.
2
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2



1 2 = 8 [3 +(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62]=

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由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样 本平均数,且品种乙的样本方差小于品种甲的样本方差,故应该 选择种植品种乙.

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平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简单的 描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位 数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述其波动大小.

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1.(2015· 高考课标卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意 度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品 的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B地区用户满意度评分的频数分布表.

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图①

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B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 2 8 14 10 6

(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图, 并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求 计算出具体值,给出结论即可).

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图②

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(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级: 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理 由.

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解:(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看 出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分 的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意 度评分比较分散.

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(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记CA表示事件;“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB 表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6, P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25.所以A地区用户的 满意度等级为不满意的概率大.

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2.某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水 平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下: (a,b),(a, b ),(a,b),( a ,b),( a , b ),(a,b),(a, b),(a, b ),( a ,b),(a, b ),( a , b ),(a,b),(a, b ),( a , b),(a,b). 其中a, a 分别表示甲组研发成功和失败;b, b 分别表示乙 组研发成功和失败.

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(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0 分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比 较甲、乙两组的研发水平; (2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰 有一组研发成功的概率.

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解析:(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1, 10 2 1,0,1,其平均数为 x 甲=15=3;
? 2 ? 2?2 1 ?? 2?2 方差为s甲=15??1-3? ×10+?0-3? ×5?=9. ? ? ? ?? ?
2

乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1, 9 3 其平均数为 x 乙=15=5;
? ? 3?2 1 ?? 3?2 6 方差为s乙=15??1-5? ×9+?0-5? ×6?=25. ? ? ? ?? ?
2 2 因为 x 甲> x 乙,s2 甲<s乙,所以甲组的研发水平优于乙组.
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(2)记 E={恰有一组研发成功}. 在所抽得的 15 个结果中, 恰有一组研发成功的结果是(a,b ), ( a ,b),(a, b ),( a ,b),(a, b ),(a, b ),( a ,b),共 7 个. 7 故事件 E 发生的频率为15. 7 将频率视为概率,即得所求概率为 P(E)=15.

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统计综合题的解答 [典例] 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时,则视为合格品,否则视为不合格品.在近期一次产品抽 样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5 000件进行检

测,结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与 标准值的差(单位:mm),将所得数据分组,得到如下频率分布 表:
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分组 [-3,-2) [-2,-1) (1,2] (2,3]

频数 频率 0.10 8 0.50 10 50 1.00

(3,4]
合计

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(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置; (2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值 的差落在区间(1,3]内的概率; (3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件 不合格品.据此估算这批产品中的合格品的件数.
解题指南 (1)根据题目中的数据可完成频率分布表

(2)用频率估计概率 (3)根据总体中不合格件数的比例列方程求解.
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【解】 (1)如下表所示. 频率分布表
分组 频数 频率 5 0.10 [-3,-2) 8 0.16 [-2,-1) (1,2] 25 0.50 (2,3] 10 0.20 (3,4] 合计 2 50 0.04 1.00
6分

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(2)由频率分布表知,该厂生产的此种产品中,不合格品的直 径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为 0.50+0.20=0.70.9分 50 20 (3)设这批产品中的合格品数为x件,依题意有5 000= , x+20 5 000×20 解得x= -20=1 980. 50 所以该批产品的合格品件数估计是1 980件.12分

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【思维流程】 完成频率分布表. 用频率估计概率. 估算合格品的件数.

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阅卷点评 频率分布表和直方图是表示样本数据的图表,

在频率分布表中我们可以看出样本数据在各个组内的频数以及频 率,利用这些数据可以绘制频率分布直方图,也可以根据题目的 具体情况解决一些其他问题;而频率分布直方图则更加直观地表 示了样本数据的分布情况,从中我们可以直观地看出样本数据分 布的集中与分散程度、各组数据在整个样本中所占有的比例等信 息,值得注意的是频率分布直方图中纵轴上的点表示频率除以组 距.解答频率分布图表的关键就是弄清楚其含义.
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失分警示

(1)对常用的统计图表和数字特征反映的总体特

征理解不透彻致误. (2)与其他知识,特别是概率结合时,不会用频率估计概率致 误.

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备考建议 (1)明确频率分布直方图的意义,即图中的每一

个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率,所有小矩形的面积 之和为1; (2)在频率分布直方图中,如果两个小矩形的高相等,说明数 据落在这两个区间上的频率相等,在进行计算时,不能漏掉其中 的任何一个; (3)对于统计图表类的题目,求解时,最重要的就是认真观察 图表,从中发现有用的信息和数据.

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◆两个异同 (1)众数、中位数与平均数的异同 ①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量, 平均数是最重要的量. ②由于平均数与每一个样本数据有关,所以,任何一个样本 数据的改变都会引起平均数的改变,这是中位数、众数都不具有 的性质.
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③众数考查各数据出现的频率,其大小只与这组数据中的部 分数据有关.当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数 往往更能反映问题. ④某些数据的变动对中位数可能没有影响.中位数可能出现 在所给数据中,也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数 据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.

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(2)标准差与方差的异同 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准 差、方差越大,数据的离散程度就越大;标准差、方差越小,数 据的离散程度则越小,因为方差与原始数据的单位不同,且平方 后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数 据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标 准差.

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◆两个特征 利用频率分布直方图估计样本的数字特征: (1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方 图的面积相等,由此可以估计中位数值. (2)平均数:平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形 底边中点横坐标之和.

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课时规范训练

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