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《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第7章 立体几何-5



第七章
立体几何

第五节

直线、平面垂直的判定及其性质

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

自主园地 备考套餐

开卷速查

考 纲 导 学

1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点, 认

识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定 理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关 空间图形的垂直关系的简单命题.

课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义:如果直线l与平面α内的 ________一条直线都垂直,那么直线l与平面α垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理 1 □

文字语言 一条直线与 一个平面内 判定 定理 的两条相交 直线都垂 直,则该直 线与此平面 垂直.

图形语言

符号语言 2 __________,□ 3 ∵□ __________, 4 __________, □ 5 __________, □ 6 __________, □ ∴l⊥α.

垂直于同 性质定理 一个平面 的两条直 线平行.

7 __________, ∵□ 8 __________, □ ∴a∥b.

2.直线与平面所成的角

(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的

9 □

10 _______ ______,叫做这条直线和这个平面所成的角.如图, □ 就是斜线AP与平面α所成的角. 11 ________. (2)线面角θ的范围:θ∈□

3.平面与平面垂直

(1)二面角 ①定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的 12 □

13 ________或二面 __________.如图的二面角,可记作:二面角 □ 14 ________. 角□

②二面角的平面角:如图,过二面角α-l-β的棱l上一点O在 15 ______就叫做二面角 两个半平面内分别作BO⊥l,AO⊥l,则 □ α-l-β的平面角.

③平面角的范围:设二面角的平面角为θ,则θ∈ ________. (2)平面与平面垂直

16 □

17 __________, ①定义:如果两相交平面所成的二面角为 □ 那么这两个平面垂直. ②平面与平面垂直的判定定理

文字语言 一个平面经过 另一个平面的 18 ______,则 判定定理 □ 这两个平面垂 直

图形语言

符号语言

19 __________, ∵□ 20 __________ , □ ∴α⊥β.

③平面与平面垂直的性质定理

1 任意 答案:□

2 a?α □ 3 b?α □ 4 a∩b=O □ 5 l⊥a □

6 l ⊥b □ 7 a⊥α □ 8 b⊥α □ 9 锐角 □ 10 ∠PAO □ 11 □
? π? ?0, ? 2? ?

12 面 □ 13 α-l-β □ 14 α-AB-β □ 15 ∠AOB □

16 [0,π] □ 17 直二面角 □ 18 一条垂线 □ 19 l⊥α □ 20 l?β □ 21 交线 □ 22 α⊥β □ 23 α∩β=a □ 24 l?β □ 25 l⊥a □

1 个转化——三种垂直关系的转化

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线, 若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂 直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化 为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.

3 种方法——三种垂直关系的证明 (1)判定线线垂直的方法 ①定义:两条直线所成的角为 90° ; ②平面几何中证明线线垂直的方法; ③线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b; ④线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b.

(2)判定线面垂直的常用方法 ①利用线面垂直的判定定理; ②利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平 面垂直”; ③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个也 垂直”; ④利用面面垂直的性质. (3)判定面面垂直的方法 ①利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; ②判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β.

1.已知平面 α,β,直线 l,若 α⊥β,α∩β=l,则( A.垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B.垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C.垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D.垂直于直线 l 的平面一定与平面 α、β 都垂直

)

解析:A中平面可与α平行或相交,不正确. B中直线可与α垂直或斜交,不正确. C中平面可与直线l平行或相交,不正确.

答案:D

2.如图,O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心, 则下列直线中与B1O垂直的是( A.A1D C.A1D1 B.AA1 D.A1C1 )

解析:易知A1C1⊥平面BB1D1D. 又B1O?平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O.

答案:D

3.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不重合的直 线,则下列命题中正确的是( A.若m∥α,α∩β=n,则m∥n B.若m⊥α,m⊥n,则n∥α C.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n D.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β )

解析:对于选项A,若m∥α,α∩β=n,则m∥n,或m,n是 异面直线,所以A错误;对于选项B,n可能在平面α内,所以B错 误;对于选项D,m与β的位置关系还可以是m?β,m∥β,或m 与β斜交,所以D错误;由面面垂直的性质可知C正确.

答案:C

4.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角 形的个数为__________.

解析:由线面垂直知,图中直角三角形为4个.

答案:4

5.如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥ 平面ABC,PA=2AB.则下列命题正确的有__________.

①PA⊥AD;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面 PAE;④直线PD与平面ABC所成角为30° .

解析:由PA⊥平面ABC,∴PA⊥AD,故①正确;②中两平 面不垂直,③中AD与平面PAE相交,BC∥AD,故不正确;④中 PD与平面ABC所成角为45° .
答案:①

课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

考点一 【例1】

直线与平面垂直的判定及性质 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,

AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E是PC的中 点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE.

证明:(1)在四棱锥 P-ABCD 中,∵PA⊥底面 ABCD,CD? 平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD, PA∩ AC= A, ∴ CD⊥平面 PAC.而 AE?平面 PAC, ∴CD⊥ AE. (2)由 PA=AB=BC,∠ ABC=60° ,可得 AC=PA. ∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 由(1),知 AE⊥CD,且 PC∩CD= C, ∴AE⊥平面 PCD. 而 PD?平面 PCD,∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥ AD 且 PA∩ AD=A, ∴AB⊥平面 PAD,而 PD?平面 PAD, ∴AB⊥PD.又∵AB∩ AE= A, ∴PD⊥平面 ABE.

?名师点拨

证明线面垂直的解题策略

证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面 面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个 平面,则另一条也垂直于这个平面).解题时,注意线线、线面与面 面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的 垂直关系,如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三 线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、 直角三角形(或给出线段长度, 经计算满足勾股定理)、 直角梯形等等.

通关特训 1 已知直角△ABC 所在平面外一点 S ,且 SA=SB =SC,D 为斜边 AC 中点.

(1)求证:SD⊥面 ABC; (2)若 AB=BC,求证: BD⊥面 SAC.

证明:(1)如图,取AB中点E,连接SE、DE, 在Rt△ABC中,D、E分别为AC、AB的中点, 故DE∥BC,且DE⊥AB,

∵SA=SB,∴△SAB为等腰三角形.∴SE⊥AB. ∵SE⊥AB,DE⊥AB, SE∩DE=E, ∴AB⊥面SDE. 而SD?面SDE,∴AB⊥SD. 在△SAC中,∵SA=SC,D为AC中点,∴SD⊥AC. ∵SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,∴SD⊥面ABC.

(2)方法一,若 AB=BC,则 BD⊥ AC, 由(1)可知,SD⊥面 ABC,而 BD?面 ABC, ∴SD⊥BD, ∵SD⊥BD、BD⊥ AC,SD∩ AC=D,∴BD⊥ 面 SAC. 方法二,若 AB=BC,则 BD⊥ AC.由(1)知 SD⊥平面 ABC, 又 SD?平面 SAC, ∴平面 ABC⊥平面 SAC, 又平面 ABC∩平面 SAC= AC. ∴BD⊥平面 SAC.

考点二

平面与平面垂直的判定及性质

【例 2】 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,A1B1=A1C1,D, E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

证明:(1)∵ABCA1B1C1 是直三棱柱, ∴CC1⊥平面 ABC. 又 AD?平面 ABC,∴CC1⊥AD. 又∵AD⊥DE,CC1,DE?平面 BCC1B1, CC1∩DE=E, ∴AD⊥平面 BCC1B1.又 AD?平面 ADE, ∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1.

(2)∵A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点, ∴A1F⊥B1C1. ∵CC1⊥平面 A1B1C1,且 A1F?平面 A1B1C1, ∴CC1⊥A1F. 又∵CC1,B1C1?平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, ∴A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1, ∴A1F∥AD. 又 AD?平面 ADE,A1F?平面 ADE, ∴A1F∥平面 ADE.

?名师点拨 证明面面垂直的解题策略 证明两个平面垂直,首先要考虑直线与平面的垂直,也可简单 地记为“证面面垂直,找线面垂直”,是化归思想的体现,这种思 想方法与空间中的平行关系的证明非常类似,这种转化方法是本讲 内容的显著特征, 掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键.

通关特训2

如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面

ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E,F分别是AP,AD的中点.求 证:

(1)直线EF∥平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD.

证明:(1)如图,在△PAD中, ∵E,F分别为AP,AD的中点, ∴EF∥PD. 又∵EF?平面PCD, PD?平面PCD, ∴直线EF∥平面PCD. (2)连接BD.∵AB=AD,∠BAD=60° , ∴△ABD为正三角形. ∵F是AD的中点,∴BF⊥AD.

∵平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD= AD, ∴BF⊥平面 PAD. 又∵BF?平面 BEF, ∴平面 BEF⊥平面 PAD.

考点三

空间垂直的探索性问题

【例 3】 如图所示, 已知长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形,E 为线段 AD1 的中点,F 为线段 BD1 的中点, (1)求证:EF∥平面 ABCD; D1D (2)设 M 为线段 C1 C 的中点,当 AD 的比值为多少时,DF⊥平 面 D1MB?并说明理由.

解析:(1)证明:∵E 为线段 AD1 的中点,F 为线段 BD1 的中点, ∴EF∥AB. ∵EF?平面 ABCD, AB?平面 ABCD, ∴EF∥平面 ABCD. D1D (2)当 AD = 2时,DF⊥平面 D1MB. ∵ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD. ∵D1D⊥平面 ABC, ∴D1D⊥AC.

∴AC⊥平面 BB1D1D, ∴AC⊥DF. ∵F,M 分别是 BD1,CC1 的中点, ∴FM∥AC.∴DF⊥FM. ∵D1D= 2AD,∴D1D=BD. ∴矩形 D1DBB1 为正方形. ∵F 为 BD1 的中点, ∴DF⊥BD1. ∵FM∩BD1=F, ∴DF⊥平面 D1MB.

?名师点拨 空间垂直的探索性问题求解方法 (1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明; (2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明 其充分性; (3)把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件.

通关特训3

如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD⊥平面

ABCD.四边形ABCD为正方形,且P为AD的中点,Q为SB的中点. (1)求证:CD⊥平面SAD; (2)求证:PQ∥平面SCD; (3)若SA=SD,M为BC的中点,在棱SC上是否存在点N,使得 平面DMN⊥平面ABCD?并证明你的结论.

解析:(1)证明:因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 CD⊥ AD. 又平面 SAD⊥平面 ABCD,且平面 SAD∩平面 ABCD= AD, 所以 CD⊥平面 SAD.

(2)证明:取 SC 的中点 R,连接 QR,DR. 1 由题意知,PD∥BC 且 PD=2BC. 在△SBC 中,Q 为 SB 的中点,R 为 SC 的中点, 1 所以 QR∥BC 且 QR= 2BC. 所以 QR∥PD 且 QR=PD, 则四边形 PDRQ 为平行四边形, 所以 PQ∥DR. 又 PQ?平面 SCD,DR?平面 SCD, 所以 PQ∥平面 SCD.

(3)存在点 N 为 SC 的中点,使得平面 DMN⊥平面 ABCD.

连接 PC、DM 交于点 O,连接 PM、SP、NM、ND、NO, 因为 PD∥CM, 且 PD=CM,

所以四边形 PMCD 为平行四边形, 所以 PO=CO. 又因为 N 为 SC 的中点, 所 NO∥SP. 易知 SP⊥AD, 因为平面 SAD⊥平面 ABCD,平面 SAD∩平面 ABCD= AD, 且 SP⊥AD,

所以SP⊥平面ABCD, 所以NO⊥平面ABCD. 又因为NO?平面DMN, 所以平面DMN⊥平面ABCD.

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