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2015-2016学年浙江省绍兴一中高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)



2015-2016 学年浙江省绍兴一中高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.) 1. (3 分)若全集 U=R,集合 M={x|x >4},N={x|
2

>0},则 M∩(?UN)等于(



A.{x|x<﹣2} B.{x|x<﹣2}或

x≥3} C.{x|x≥32} D.{x|﹣2≤x<3} 2 2 2. (3 分)已知“命题 p: (x﹣m) >3(x﹣m)”是“命题 q:x +3x﹣4<0”成立的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围为( ) A.m>1 或 m<﹣7 B.m≥1 或 m≤﹣7 C.﹣7<m<1 D.﹣7≤m≤1 3. (3 分)已知 b>a>1,t>0,如果 a =a+t,那么 b 与 b+t 的大小关系是( ) x x x x A.b >b+t B.b <b+t C.b ≥b+t D.b ≤b+t 4. (3 分)对两条不相交的空间直线 a 和 b,则( ) A.必定存在平面 α,使得 a? α,b? α B.必定存在平面 α,使得 a? α,b∥α C.必定存在直线 c,使得 a∥c,b∥c D.必定存在直线 c,使得 a∥c,b⊥c 2 2 5. (3 分)设点 A(1,0) ,B(2,1) ,如果直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点,那么 a +b ( A.最小值为 B.最小值为 C.最大值为 D.最大值为 )
x x



6. (3 分)已知函数 f(x)=sin(x﹣π) ,g(x)=cos(x+π)则下列结论中正确的是( A.函数 y=f(x)?g(x)的最小正周期为 2π B.函数 y=f(x)?g(x)的最大值为 2 C.将函数 y=f(x)的图象向左平移 D.将函数 y=f(x)的图象向右平移 单位后得 y=g(x)的图象 单位后得 y=g(x)的图象

7. (3 分)若双曲线

上不存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲线的 )

中心)的对称点在 y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为( A. B. C. k D.

8. (3 分)已知关于 x 的方程|x﹣k|= 范围是( ) A.0<k≤1 B.0<k≤ 二、填空题(共 28 分.)

在区间[k﹣1,k+1]上有两个不相等的实根,则实数 k 的取值

C.1≤k

D.k≥1

9. (3 分)设复数 z 满足关系 z?i=﹣1+ i,那么 z=

,|z|=

. ,表面积为 .

10. (3 分)已知几何体的三视图(如图) ,则该几何体的体积为

1页

11. (3 分)已知 12. (3 分)若 字作答) 展开式的各项系数之和为 32,则 n=

=

,S2015=



,其展开式中的常数项为

. (用数

13. (3 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z= + (a>0,b>0)的最大值为 10,则

5a+4b 的最小值为

. ? =1,求 ? 的取值范围 .

14. (3 分)边长为 2 的正三角形 ABC 内(包括三边)有点 P,
2

15. (3 分)若实数 x,y 满足 2cos (x+y﹣1)=

,则 xy 的最小值为



三、解答题(本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (8 分)在三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a、b、c 且 b +c =bc+a (1)求∠A;
2 2 2 2 2

(2)若 ,求 b +c 的取值范围. 17. (10 分) 如图, 在四棱锥 S﹣ABCD 中, 侧棱 SA⊥底面 ABCD, AD∥BC, ∠ABC=90°, SA=AB=BC=2, AD=1.M 是棱 SB 的中点. (1)求证:AM∥面 SCD; (2)设点 N 是线段 CD 上的一点,且 为何值时,sinθ 取最大值? 在 方向上的射影为 a,记 MN 与面 SAB 所成的角为 θ,问:a

18. (10 分)数列{an}满足 a1=2,an+1=

(n∈N+) .

2页

(1)设 bn= (2)设 cn=

,求数列{bn}的通项公式 bn; ,数列{cn}的前 n 项和为 Sn,求出 Sn 并由此证明: ≤Sn< .

19. (10 分)已知椭圆 E:

=1(a>b>0)的离心率为

,其长轴长与短轴长的和等于 6.

(1)求椭圆 E 的方程; (2)如图,设椭圆 E 的上、下顶点分别为 A1、A2,P 是椭圆上异于 A1、A2 的任意一点,直线 PA1、PA2 分别交 x 轴于点 N、M,若直线 OT 与过点 M、N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为定值.

20. (10 分)设函数 f(x)=alnx﹣bx (x>0) ; (1)若函数 f(x)在 x=1 处与直线 ①求实数 a,b 的值; ②求函数 上的最大值. 都成立,求实数 m 的取值 相切

2

(2)当 b=0 时,若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 范围.

3页

2015-2016 学年浙江省绍兴一中高三(上)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.) 1. (3 分) (2016 春?辛集市校级期中)若全集 U=R,集合 M={x|x >4},N={x|
2

>0},则 M∩(?UN)

等于( ) A.{x|x<﹣2} B.{x|x<﹣2}或 x≥3} C.{x|x≥32} D.{x|﹣2≤x<3} 【分析】分别求出 M 与 N 中不等式的解集,根据全集 U=R 求出 N 的补集,找出 M 与 N 补集的交集即可. 【解答】解:由 M 中的不等式解得:x>2 或 x<﹣2,即 M={x|x<﹣2 或 x>2}, 由 N 中的不等式变形得: (x﹣3) (x+1)<0, 解得:﹣1<x<3,即 N={x|﹣1<x<3}, ∵全集 U=R, ∴?UN={x|x≤﹣1 或 x≥3} 则 M∩(?UN)={x|x<﹣2 或 x≥3}. 故选:B. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (3 分) (2010?黄冈模拟)已知“命题 p: (x﹣m) >3(x﹣m)”是“命题 q:x +3x﹣4<0”成立的必要不 充分条件,则实数 m 的取值范围为( ) A.m>1 或 m<﹣7 B.m≥1 或 m≤﹣7 C.﹣7<m<1 D.﹣7≤m≤1 【分析】分别求出两命题中不等式的解集,由 p 是 q 的必要不充分条件得到 q 能推出 p,p 推不出 q,即 q 是 p 的真子集,根据两解集列出关于 m 的不等式,求出不等式的解集即可求出 m 的范围. 【解答】解:由命题 p 中的不等式(x﹣m) >3(x﹣m) , 因式分解得: (x﹣m) (x﹣m﹣3)>0, 解得:x>m+3 或 x<m; 由命题 q 中的不等式 x +3x﹣4<0, 因式分解得: (x﹣1) (x+4)<0, 解得:﹣4<x<1, 因为命题 p 是命题 q 的必要不充分条件, 所以 q?p,即 m+3≤﹣4 或 m≥1,解得:m≤﹣7 或 m≥1. 所以 m 的取值范围为:m≥1 或 m≤﹣7 故选 B 【点评】此题考查了一元二次不等式的解法,考查学生掌握两命题之间的关系,是一道综合题. 3. (3 分) (2012 秋?杭州期中)已知 b>a>1,t>0,如果 a =a+t,那么 b 与 b+t 的大小关系是( x x x x A.b >b+t B.b <b+t C.b ≥b+t D.b ≤b+t x 【分析】构造函数 f(m)=m .g(m)=m+t,在同一坐标系内作出两函数图象,通过图象解决. x x 【解答】解:构造函数 f(m)=m .g(m)=m+t.∵a>1,t>0,a =a+t>a>1,∴x>1.
x x 2 2 2 2



4页

在同一坐标系内作出两函数图象 ∵a =a+t,即是说,两图象交点的横坐标为 a,若 b>a>1,则 f(b)>g(b) ,即 b b+t. 故选 A. 【点评】本题考查函数图象(幂函数、一次函数)及性质,不等式大小比较,利用了函数思想,数形结合 的思想. 4. (3 分) (2012?湛江一模)对两条不相交的空间直线 a 和 b,则( ) A.必定存在平面 α,使得 a? α,b? α B.必定存在平面 α,使得 a? α,b∥α C.必定存在直线 c,使得 a∥c,b∥c D.必定存在直线 c,使得 a∥c,b⊥c 【分析】根据空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的性质与判定,对各 个选项依次加以判别,即可得到 B 项是正确的,而 A、C、D 都存在反例而不正确. 【解答】解:对于 A,若两条直线 a、b 是异面直线时,则不存在平面 α 使得 a? α 且 b? α 成立,故 A 不 正确; 对于 B,因为 a、b 不相交,所以 a、b 的位置关系是平行或异面: ①当 a、b 平行时,显然存在平面 α,使得 a? α 且 b∥α 成立; ②当 a、b 异面时,设它们的公垂线为 c,在 a、b 上的垂足分别为 A、B.则经过 A、B 且与 c 垂直的两个 平面互相平行, 设过 A 的平面为 α,过 B 的平面为 β,则 α∥β,且 a、b 分别在 α、β 内,此时存在平面 α,使得 a? α 且 b ∥α 成立. 故 B 正确; 对于 C,若两条直线 a、b 是异面直线时,则不存存在直线 c,使得 a∥c 且 b∥c 成立,故 C 不正确; 对于 D,当 a、b 所成的角不是直角时,不存在直线 c,使得 a∥c 且 b⊥c 成立,故 D 不正确. 综上所述,只有 B 项正确. 故选:B 【点评】本题给出空间直线不相交,要我们判定几个命题的真假性,考查了空间直线的位置关系、直线与 平面的位置关系和平面与平面的位置关系等知识,属于基础题. 5. (3 分) (2014?北京模拟)设点 A(1,0) ,B(2,1) ,如果直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点,那 2 2 么 a +b ( ) A.最小值为 B.最小值为 C.最大值为 D.最大值为
x x>

【分析】由题意得:点 A(1,0) ,B(2,1)在直线 ax+by=1 的两侧,那么把这两个点代入 ax+by﹣1,它 们的符号相反,乘积小于等于 0,即可得出关于 a,b 的不等关系,画出此不等关系表示的平面区域,结合 2 2 线性规划思想求出 a +b 的取值范围. 【解答】解:∵直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点, ∴点 A(1,0) ,B(2,1)在直线 ax+by=1 的两侧,
5页

∴(a﹣1) (2a+b﹣1)≤0, 即 或 ;

画出它们表示的平面区域,如图所示. a +b 表示原点到区域内的点的距离的平方, 由图可知,当原点 O 到直线 2x+y﹣1=0 的距离为原点到区域内的点的距离的最小值, ∵d=
2 2 2 2


2

那么 a +b 的最小值为:d = . 故选 A.

【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题、函数的最值及其几何意义,是基础题.准确把握点 与直线的位置关系,找到图中的“界”,是解决此类问题的关键. 6. (3 分) (2015 秋?越城区校级期中)已知函数 f(x)=sin(x﹣π) ,g(x)=cos(x+π)则下列结论中正 确的是( ) A.函数 y=f(x)?g(x)的最小正周期为 2π B.函数 y=f(x)?g(x)的最大值为 2 C.将函数 y=f(x)的图象向左平移 D.将函数 y=f(x)的图象向右平移 单位后得 y=g(x)的图象 单位后得 y=g(x)的图象

【分析】将 f(x) ,g(x)化简,得 f(x)=sin(x﹣π)=﹣sinx,g(x)=cos(x+π)=﹣cosx,再对 4 个 选项逐一判断即可. 【解答】解:由题意得 f(x)=sin(x﹣π)=﹣sinx,g(x)=cos(x+π)=﹣cosx, A,y=f(x)?g(x)= sin2x,最小正周期是 π,故不正确. B,y=f(x)?g(x)= sin2x,最大值为 ,故不正确. C,f(x)=sin(x﹣π)=﹣sinx=﹣sin(x+ )=﹣cosx=g(x) ,故正确.

6页

D,f(x)=sin(x﹣π)=﹣sinx=﹣sin(x﹣

)=cosx,故不正确.

故选:C. 【点评】本题主要考察函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角函数的化简与应用,属于基础题.

7. (3 分) (2015?赫章县校级模拟)若双曲线

上不存在点 P 使得右焦点 F 关于 )

直线 OP(O 为双曲线的中心)的对称点在 y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为( A. B. C. D.

【分析】 由于双曲线得对称性, 只讨论第一象限即可. 根据双曲线方程, 设其上一点 P 的坐标为 P ( btanθ) ,其中为 θ 锐角,求出直线 OP 方程:y=



x.设右焦点 F(c,0)关于直线 OP 的对称点为 Q

(x1,y1) ,根据点关于直线对称的知识,列方程组并化简消去 y1,可得

.因为不存

在点 P 使得对称点 Q 在 y 轴上,所以不存在 θ,使 x1=0 满足该方程,讨论这个方程解的情况,得 可得 c ≤2a ,离心率满足 .得到正确答案. 【解答】解:由于双曲线得对称性,只讨论第一象限即可. 设双曲线位于第一象限内一点 P 的坐标为( ∴直线 OP 的斜率为 k= = ,btanθ) ,其中为 θ 锐角, x,
2 2



,可得直线 OP 方程为 y=

设右焦点 F(c,0)关于直线 OP 的对称点为 Q(x1,y1) ,



,消去 y1 得:

…(*) ,

接下来讨论方程(*)的根的问题, 当 x1=0 时, ∵0<sin θ<1 ∴ 而根据题意,不存在点 P 使得对称点 Q 在 y 轴上,所以不存在 θ,使 x1=0 满足(*)式成立. 综上所述,可得 ∵双曲线中,c>a
7页
2

,将此方程进行变量分离,得:

,即

,可得 c ≤2a ,离心率

2

2

∴离心率 e>1,可得 . 故选 C 【点评】本题给出双曲线上不存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲线的中心)的对称点在 y 轴 上,求双曲线离心率的取值范围,着重考查了双曲线的简单性质和点关于直线对称等知识点,属于中档题.

8. (3 分) (2015?株洲一模) 已知关于 x 的方程|x﹣k|= 则实数 k 的取值范围是( A.0<k≤1 B.0<k≤ 【分析】|x﹣k|= k ) C.1≤k
2 2

k

在区间[k﹣1, k+1]上有两个不相等的实根,

D.k≥1
2

可化为 x ﹣(2k+ k )x+k =0;从而由方程的根求解. k 可化为

【解答】解:由题意,|x﹣k|= x ﹣(2k+ k )x+k =0;
2 2 2





解得,0<k<8; 再由(k+1) ﹣(2k+ k ) (k+1)+k ≥0,得 0<k≤1; 2 此时,k >0; 故选 A. 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的联系与应用,属于基础题. 二、填空题(共 28 分.) 9. (3 分) (2015 秋?越城区校级期中)设复数 z 满足关系 z?i=﹣1+ i,那么 z= +i ,|z|= .
2 2 2

【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解,以及复数的模的求法求解即可. 【解答】解:复数 z 满足关系 z?i=﹣1+ i,可得 z= |z|= = . =﹣ = +i.

故答案为: +i; . 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,复数的模的求法,考查计算能力. 10. (3 分) (2015 秋?越城区校级期中)已知几何体的三视图(如图) ,则该几何体的体积为 面积为 4 +4 . ,表

8页

【分析】根据三视图分析可知,该几何体为一底面边长为 2 的正四棱锥,其高 h= 何体的体积、表面积. 【解答】解:根据三视图分析可知,该几何体为一底面边长为 2 的正四棱锥,其高 h= ∴体积 V= 故答案为 ;4 = +4. ,表面积 S=4× +4=4 +4.

=

,即可求出几

=



【点评】本题考查利用三视图求体积、表面积,考查学生的计算能力,属于中档题. 11. (3 分) (2015 秋?越城区校级期中)已知 = 5 ,S2015= 15 .

【分析】根据题意推知数列{an}(n≥7)是周期为 3 的周期数列,由此进行解答. 【解答】解:∵ a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,a6=6, a7=﹣a4=﹣4,a8=﹣a5=﹣5,a9=﹣a6=﹣6, a10=﹣a4=﹣4,a11=﹣a8=a5=5,a12=﹣a9=a6=6, a13=﹣a4=﹣4,a14=﹣a8=a5=5,a15=﹣a9=a6=6, ∴数列{an}(n≥7)是周期为 3 的周期数列, ∵2015=671×3+2, ∴a2015=a5=5. ∴S2015=a1+a2+a3+a2010+a2011+a2013+a2014+a2015, =a1+a2+a3﹣a4+a5+a6﹣a4+a5, =1+2+3﹣4+5+6﹣4+5, =15. 故 a2015=5.S2015=15. 故答案为 5;15. 【点评】本题考查了数列递推式、数列的周期性,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题. 12. (3 分) (2008?北京)若 为 10 . (用数字作答) 展开式的各项系数之和为 32,则 n= 5 ,其展开式中的常数项

9页

【分析】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和,也即 n=5;将 5 拆分成“前 3 后 2”恰好出现常数 项,C5 =10. 【解答】解:∵展开式的各项系数之和为 32 n ∴2 =32 解得 n=5 展开式的通项为 Tr+1=C5 x
2 r 10﹣5r 2

当 r=2 时,常数项为 C5 =10. 故答案为 5,10. 【点评】本题主要考查了二项式定理的应用,课本中的典型题目,套用公式解题时,易出现计算错误,二 项式的考题难度相对较小,注意三基训练.

13. (3 分) (2016 春?湖北期末)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z= + (a>0,b>0)

的最大值为 10,则 5a+4b 的最小值为 8 . 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识先求出 a,b 的关系,然后利用基本不等式求 5a+4b 的最小值. 【解答】解:由 z=ax+by(a>0,b>0)得 y= 作出可行域如图: ∵a>0,b>0, ∴直线 y= 平移直线 y= 的斜率为负,且截距最大时,z 也最大. ,由图象可知当 y= 经过点 A 时, ,

直线的截距最大,此时 z 也最大. 由 ,解得 ,即 A(4,5) .

此时 z= + =10, 即 + =1, + )=2+2+ + ≥4+2 =4+4=8,

则 5a+4b=(5a+4b) ( 当且仅当 =

,即 4b=5a 时,取等号,

故 5a+4b 的最小值为 8, 故答案为:8;

10 页

【点评】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用 方法.

14. (3 分) (2015 秋?越城区校级期中) 边长为 2 的正三角形 ABC 内 (包括三边) 有点 P, ? 的取值范围 [3﹣2 ,5﹣ ? ] .

=1, 求

?

【分析】 先建立坐标系, 根据 ﹣x﹣ y+4,设 x+

=1, 得到点 P 在 (x﹣1)+y =2 的半圆上, 根据向量的数量积得到 ?

2

2

?

=

y=t,根据直线和圆的位置关系额判断 t 的范围,即可求出

的取值范围.

【解答】解:以 B 为原点,BC 所在的直线为 x 轴,建立如图所示的坐标系, ∵正三角形 ABC 边长为 2, ∴B(0,0) ,A(1, ) ,C(2,0) , 设 P 的坐标为(x,y) , (0≤x≤2,0≤y≤ ) , ∴ ∴ =(﹣x,﹣y) , ?
2

=(2﹣x,﹣y) ,

=x(x﹣2)+y =1,
2 2

即点 P 在(x﹣1) +y =2 的半圆上, ∵ ∴ =(﹣1,﹣ ? =﹣x﹣ ) y+4,

设 x+ y=t, 则直线 x+ y﹣t=0 与圆交点, ∴d= ≤ ,

解得 0≤t≤2 +1, 当直线 x+ y﹣t=0 过点 D( ∴ ﹣1=t, 即 t≥ ﹣1, ∴ ﹣1≤t≤2 +1, ∴3﹣2 ≤4﹣t≤5﹣ ,

﹣1,0)时开始有交点,

11 页



?

的取值范围为[3﹣2 ,5﹣

,5﹣ ].

].

故答案为:[3﹣2

【点评】本题考查了数量积运算,直线和圆的位置关系,培养了学生的运算能力和转化能力,属于中档题.

15. (3 分) (2012?慈溪市模拟)若实数 x,y 满足 2cos (x+y﹣1)= 最小值为 .

2

,则 xy 的

【分析】配方可得 2cos (x+y﹣1)= + ≤2,或(x﹣y+1)+

2

=(x﹣y+1)+

,由基本不等式可得(x+y+1) ,由此可得 xy

≤﹣2,进而可得 cos(x+y﹣1)=±1,x=y=

的表达式,取 k=0 可得最值. 【解答】解:∵ ,

∴2cos (x+y﹣1)=

2

∴2cos (x+y﹣1)=

2



故 2cos (x+y﹣1)= 由基本不等式可得(x﹣y+1)+
2

2

=(x﹣y+1)+

, ≤﹣2,

≥2,或(x﹣y+1)+
2

∴2cos (x+y﹣1)≥2,由三角函数的有界性可得 2cos (x+y﹣1)=2, 2 故 cos (x+y﹣1)=1,即 cos(x+y﹣1)=±1,此时 x﹣y+1=1,即 x=y ∴x+y﹣1=kπ,k∈Z,故 x+y=2x=kπ+1,解得 x= ,

12 页

故 xy=x?x= 故答案为:

,当 k=0 时,xy 的最小值 ,

【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用,余弦函数的单调性,得出 cos(x+y﹣1)=±1 是解决 问题的关键,属中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 2 2 2 16. (8 分) (2011?钟祥市校级模拟) 在三角形 ABC 中, ∠A , ∠B, ∠C 的对边分别为 a、 b、 c 且 b +c =bc+a (1)求∠A; (2)若 ,求 b +c 的取值范围. 【分析】 (1)由余弦定理表示出 cosA,把已知的等式代入即可求出 cosA 的值,由 A 的范围,利用特殊角 的三角函数值即可求出 A 的度数; (2)由 a 和 sinA 的值,根据正弦定理表示出 b 和 c,代入所求的式子中,利用二倍角的余弦函数公式及 两角差的余弦函数公式化简,去括号合并后再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个 角的正弦函数,根据角度的范围求出正弦函数的值域,进而得到所求式子的范围. 【解答】解: (1)由余弦定理知: cosA= ∴∠A= (2)由正弦定理得: ∴b=2sinB,c=2sinC ∴b +c =4(sin B+sin C)=2(1﹣cos2B+1﹣cos2C) =4﹣2cos2B﹣2cos2( =4﹣2cos2B﹣2cos( ﹣B) ﹣2B) sin2B)
2 2 2 2 2 2

= ,又 A∈(0,π)

=4﹣2cos2B﹣2(﹣ cos2B﹣ =4﹣cos2B+ =4+2sin(2B﹣ 又∵0<∠B< sin2B ) , ,∴ )≤2

<2B﹣



∴﹣1<2sin(2B﹣
2 2

∴3<b +c ≤6. 【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值,灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式及 二倍角的余弦函数公式化简求值,掌握正弦函数的值域,是一道中档题. 17. (10 分) (2015 秋?越城区校级期中)如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,侧棱 SA⊥底面 ABCD,AD∥BC, ∠ABC=90°,SA=AB=BC=2,AD=1.M 是棱 SB 的中点. (1)求证:AM∥面 SCD;
13 页

(2)设点 N 是线段 CD 上的一点,且 为何值时,sinθ 取最大值?



方向上的射影为 a,记 MN 与面 SAB 所成的角为 θ,问:a

【分析】 (1)根据已知条件容易发现,取 BC 中点 E,连接 AE,ME,则能够证明平面 AME∥平面 SCD, 所以 AM∥面 SCD; (2)先找到 MN 与面 SAB 所成的角 θ,根据已知条件,过 N 作 NF∥AD,则 NF⊥平面 SAB,连接 MF, MN,则∠FMN=θ,而 sinθ= ,而根据已知条件知 NF=a.所以根据条件求出 MN 即可,可以用 a 来表示 ,所以可求出 GA=2,而根据 ,可以用

MN.分别延长 BA,CD 相交于 G,则有:

a 表示出 BF,这时候在△MBF 中可根据余弦定理求出 MF,所以在 Rt△MNF 中,可求出 MN,即用 a 表 示出 MN= , 所以 sinθ= = , 显然当 , 即 a= 时,

sinθ 最大. 【解答】解: (1)证明:如图,取 BC 中点 E,连接 AE,ME,则:

ME∥SC,CE=1; ∵AD=1,AD∥CE; ∴四边形 ADCE 是平行四边形; ∴AE∥CD; 又 SC,CD? 平面 SCD,ME,AE?平面 SCD; ∴ME∥平面 SCD,AE∥平面 SCD,ME∩AE=E; ∴平面 AME∥平面 SCD,AM? 平面 AME; ∴AM∥平面 SCD; (2)过 N 作 NF∥AD; ∵SA⊥底面 ABCD,∴SA⊥AD,即 AD⊥SA; 又 AD⊥AB,SA∩AB=A; ∴AD⊥平面 SAB;
14 页

∴NF⊥平面 SAB; 连接 MF,MN,则:∠FMN 是 MN 与面 SAB 所成的角; ∴∠FMN=θ; 由题意知 NF=a,延长 BA 交 CD 延长线于 G,则: ; ∴GA=2; 由 得: ;

∴FB=4﹣2a; 在△MBF 中, 2 2 2 2 MF =FB +BM ﹣2FB?BM?cos45°=4a ﹣12a+10; ∴在 Rt△MNF 中,MN= ∴sinθ= ; = ; ,由余弦定理得:



,即 a= 时,sinθ 取最大值



【点评】考查线面平行的判定定理,面面平行的判定定理,面面平行的性质,以及余弦定理,配方法求二 次函数的最值.

18. (10 分) (2015 秋?越城区校级期中)数列{an}满足 a1=2,an+1=

(n∈N+) .

(1)设 bn= (2)设 cn=

,求数列{bn}的通项公式 bn; ,数列{cn}的前 n 项和为 Sn,求出 Sn 并由此证明: ≤Sn< .

【分析】 (1)根据已知条件中的数列{an}的递推公式,以及 bn=

,可将其转化为数列{bn}的一个递推公

式,利用“累加求和”方法即可得出. (2)由(1)可求得数列{an}的通项公式,进而求得{cn}的通项公式,可将其转化为一个等比数列与一个 可用裂项相消法求和的数列的形式,即可得证. 【解答】解: (1)由 an+1= (n∈N+) ,可得: = ,

取倒数可得:



=n+ ,又 bn=



∴bn+1﹣bn=n+ .
15 页

∴bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1 = = = ∴bn= . . + + +…+ +1 +1

(2)证明:由(1)可得:

=

,可得 an=



cn=

=

= ,

=

=

∴数列{cn}的前 n 项和为

Sn=

+

+

+…+

= = ﹣ ﹣

+ . ﹣ = .

∵cn>0,∴Sn≥S1= ∴ ≤Sn< .

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和方法”、数列递推关系、数 列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

19. (10 分) (2015?路南区校级模拟)已知椭圆 E:

=1(a>b>0)的离心率为

,其长轴长与

短轴长的和等于 6. (1)求椭圆 E 的方程; (2)如图,设椭圆 E 的上、下顶点分别为 A1、A2,P 是椭圆上异于 A1、A2 的任意一点,直线 PA1、PA2 分别交 x 轴于点 N、M,若直线 OT 与过点 M、N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为定值.

16 页

【分析】 (1)利用椭圆的标准方程及其性质即可得出; (2)利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理即可得出.

【解答】解: (1)由题意可得

,解得



∴椭圆 E 的方程为



(2)有(1)可知:A1(0,1) ,A2(0,﹣1) ,设 P(x0,y0) ,则



则直线 PA1 的方程为

,令 y=0,得 xN=



直线 PA2 的方程为

,令 y=0,得



由切割线定理可得:|OT| =|OM||ON|=

2

=

=4,

∴|OT|=2,即线段 OT 的长为定值 2. 【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理是解题的 关键. 20. (10 分) (2014?重庆模拟)设函数 f(x)=alnx﹣bx (x>0) ; (1)若函数 f(x)在 x=1 处与直线 ①求实数 a,b 的值; ②求函数 上的最大值. 都成立,求实数 m 的取值 相切
2

(2)当 b=0 时,若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 范围. 【分析】 (1)①先求出原函数的导数:

,欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先

利用导数求出在 x=1 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.列出关于 a,b 的方程
17 页

求得 a,b 的值.②研究闭区间上的最值问题,先求出函数的极值,比较极值和端点处的函数值的大小, 最后确定出最大值. (2)考虑到当 b=0 时,f(x)=alnx 若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 转化为 alnx≥m+x 对所有的 都成立,

恒成立问题,再令 h(a)=alnx﹣x,则 h(a)为

一次函数,问题又转化为 m≤h(a)min 最后利用研究函数 h(x)的单调性即得. 【解答】解: (1)①

∵函数 f(x)在 x=1 处与直线

相切∴



解得

(3 分)

② 当 时,令 f'(x)>0 得 ;

令 f'(x)<0,得 1<x≤e ∴ ∴ 上单调递增,在[1,e]上单调递减, (7 分) (8 分)

(2)当 b=0 时,f(x)=alnx, 若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 则 alnx≥m+x,即 m≤alnx﹣x 对所有的 令 h(a)=alnx﹣x,则 h(a)为一次函数,m≤h(a)min 2 ∵x∈(1,e ], ∴lnx>0,∴ 上单调递增 都成立, 都成立. (8 分)

∴h(a)min=h(0)=﹣x, 2 ∴m≤﹣x 对所有的 x∈(1,e ]都成立, 2 ∵1<x≤e , 2 ∴﹣e ≤﹣x<﹣1, 2 ∴m≤(﹣x)min=﹣e . (13 分) 【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值 问题中的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.

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