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七宝中学高二期末综合复习三及答案



高二期末综合复习三
一、填空题

(1 ? 3i) 2 1. 复数 的模是___________. (1 ? i) 4
2.直线 l1 : x ? 3 ? 0 与直线 l2 : x ? 3 y ? 1 ? 0 的夹角的大小为 .

3.已知复数 z1 ? 3 ? i , z 2 ? 2 ,则 z 2 ? z1 的最大值为

_______________. 4、已知复数 Z 满足|Z|=1,则 W=1+2Z 所对应的点的轨迹是_________________. 5、已知双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则 12 4

此直线的斜率的取值范围是__________________.

x2 y2 ? ? 1 上点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 距离的最小值为 6.曲线 4 9
则实数 m 的范围____________. 8、设复数 Z 满足|Z|=2,且(Z-a) =a,则实数 a 的值为________________ 9.若将方程
2



7. 直线 2(k ? 1) x ? (k ? 6) y ? k ? 4 ? 0 与曲线 x2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? m ? 0 都相交, k 取任意实数时,

( x ? 4) 2 ? y 2 ? ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 6 化简为
.

x2 y2 ? ? 1 的形式,则 a2 b2

a2 ? b2 ?

10.定义直线关于圆的圆心距单位 ? 为圆心到直线的距离与圆的半径之比.若圆 C 满足:①与 x 轴相切于点 A(3, 0) ;②直线 y ? x 关于圆 C 的圆心距单位 ? ? 2 ,试写出一个满足条件的圆 C 的方程 二、选择题 11、若 Z1,Z2 为复数,则 Z12+Z22=0 是 Z1=0 且 Z2=0 的 A、充分非必要条件 C、充要条件 B、必要非充分条件 D、既非充分又非必要条件 ( ) .

高二数学

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12、曲线 y ? 1 ? 4 ? x2 与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点时,实数 k 的取值范围是(
5 3 A、 ( , ] 12 4 5 B、 ( , ??) 12



C、 (0,

5 ) 12

1 3 D、 ( , ) 3 4

13. 已知直线 l 的方程为 ax ? by ? c ? 0, (ab ? 0) 且 l 不经过第二象限, 则直线 l 的倾斜角大小为 ( )

(A) arctan

a a a ; (B) arctan( ? ) ; (C) arctan ; b b b

(D) ? ? arctan

a . b

14.给出下列三个命题: ①若 z 1 、 z 2 ? C 且 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 . ②如果复数 z 满足 z ? i ? z ? i ? 2 ,则复数 z 在复平面上所对应点的轨迹是椭圆.

③已知曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 和两定点 E ? ?5,0?、F ?5,0? ,若 P?x, y ? 是 C 上的动点, 则 9 16

PE ? PF ? 6 .
上述命题中正确的个数是( (A) 0; 三、解答题 15.已知虚数 z 1 、 z 2 是方程 x ? 4 x ? m ? 3m ? 0 , m ? R 的两根,且满足 z1 ?
2 2

) 1 ; (C) 2 ; (D) 3.

(B)

5.

(1)求实数 m 的值; (2)设虚数 z 1 、 z 2 对应在复平面上的点分别为 F1 、 F2 ,求以 F1 、 F2 为焦点且过原点的椭圆 的焦距、长轴的长和短轴的长.

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第2页

16.已知抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,点 A 在抛物线 C 上运动.

P 满足 AP ? ?2FA 时,求动点 P 的轨迹方程; (1)当点 A、
(2)设 M (m, 0) ,其中 m 为常数, m ? R ,点 A 到 M 的距离记为 d ,求 d 的最小值.
?

17.已知点 A(?2 , 0) , B(2 , 0) . (1)过点 A 作直线 m 交以 A 、 B 为焦点的双曲线于 M 、 N 两点,若线段 MN 的中点到 y 轴 的距离为 1 ,且直线 m 与圆 x ? y ? 1 相切,求该双曲线的方程;
2 2

(2)以 A 、 B 为顶点的椭圆经过点 C (1,

3 ) ,过椭圆的上顶点 G 作直线 s 、 t ,使 s ? t ,直 2

线 s 、 t 分别交椭圆于点 P 、 Q .求证: PQ 必过 y 轴上一定点.

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18. 过 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p? 0)上 一 定 点 P( x0 , y0 ) 作 两 条 直 线 分 别 交 抛 物 线 于 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y2 ) ,
(Ⅰ) 若横坐标为

p 的点到焦点的距离为 1,求抛物线方程; 2

(Ⅱ) 若 P( x0 , y0 ) 为抛物线的顶点, ?APB ? 点 (2 p, 0) ;

?

2

,试证明:过 A 、 B 两点的直线必过定

(Ⅲ) 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 是非零常数。

y1 ? y2 的值,并证明直线 AB 的斜率 y0

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高二期末综合复习三(答案)
一、填空题

(1 ? 3i) 2 1. 复数 的模是___________. 1 (1 ? i) 4
2.直线 l1 : x ? 3 ? 0 与直线 l2 : x ? 3 y ? 1 ? 0 的夹角的大小为 .

? 3

3.已知复数 z1 ? 3 ? i , z 2 ? 2 ,则 z 2 ? z1 的最大值为_______________. 10 ? 2 4、已知复数 Z 满足|Z|=1,则 W=1+2Z 所对应的点的轨迹是_________________园_ w ?1 ? 2 。 5、已知双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则 12 4
3 3 , ]。 3 3

此直线的斜率的取值范围是__________________ [?

x2 y2 ? ? 1 上点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 距离的最小值为 6.曲线 4 9
2 2



3 5 5

7. 直线 2(k ? 1) x ? (k ? 6) y ? k ? 4 ? 0 与曲线 x ? y ? 2 x ? 1 ? m ? 0 都相交, k 取任意实数时, 则实数 m 的范围____________. (1, ??) 8、设复数 Z 满足|Z|=2,且(Z-a) =a,则实数 a 的值为__________________1 或 4 或
2

1 ? 17 2

9.若将方程

( x ? 4) 2 ? y 2 ? ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 6 化简为
.2

x2 y2 ? ? 1 的形式,则 a2 b2

a2 ? b2 ?

10.定义直线关于圆的圆心距单位 ? 为圆心到直线的距离与圆的半径之比.若圆 C 满足:①与 x 轴相切于点 A(3, 0) ;②直线 y ? x 关于圆 C 的圆心距单位 ? ? 2 ,试写出一个满足条件的圆 C 的方程 二、选择题 11、若 Z1,Z2 为复数,则 Z12+Z22=0 是 Z1=0 且 Z2=0 的 A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
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. ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 1 或 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 .
2 2 2 2

( B )

C、充要条件

D、既非充分又非必要条件 )

12、曲线 y ? 1 ? 4 ? x2 与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点时,实数 k 的取值范围是(A
5 3 A、 ( , ] 12 4 5 B、 ( , ??) 12

C、 (0,

5 ) 12

1 3 D、 ( , ) 3 4

13.已知直线 l 的方程为 ax ? by ? c ? 0, (ab ? 0) 且 l 不经过第二象限,则直线 l 的倾斜角大小 为………………………………………………………………………………………………( B (A) arctan )

a a a ; (B) arctan( ? ) ; (C) arctan ; b b b

(D) ? ? arctan

a . b

14.给出下列三个命题: ①若 z 1 、 z 2 ? C 且 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 . ②如果复数 z 满足 z ? i ? z ? i ? 2 ,则复数 z 在复平面上所对应点的轨迹是椭圆.

③已知曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 和两定点 E ? ?5,0?、F ?5,0? ,若 P?x, y ? 是 C 上的动点, 则 9 16

PE ? PF ? 6 .
上述命题中正确的个数是 ………………………………………………………( (A) 0; 三、解答题 15.已知虚数 z 1 、 z 2 是方程 x ? 4 x ? m ? 3m ? 0 , m ? R 的两根,且满足 z1 ?
2 2

A )

(B)

1 ;

(C) 2 ;

(D) 3.

5.

(1)求实数 m 的值; (2)设虚数 z 1 、 z 2 对应在复平面上的点分别为 F1 、 F2 ,求以 F1 、 F2 为焦点且过原点的椭圆 的焦距、长轴的长和短轴的长.
2 解: (1)由 z 1 是虚数,得 ? ? 16 ? 4(m ? 3m) ? 0 ? m ? 4 或 m ? ?1 ,

且 z1 ? z 2 , z1 ?

5 ,所以 z1 ? z 2 ? z1 ? m 2 ? 3m ? 5 ? m ?
2

2

3 ? 29 2

(2)由(1)可知 x ? 4 x ? 5 ? 0 ? z1 ? z 2 ? 2 ? i ,

所以

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F1 (2, ?1), F2 (2,1), F1F2 ? 2c ? 2
又椭圆经过原点,所以 2a ? OF1 ? OF2 ? 2 5

b2 ? a2 ? c2 ? ( 5)2 ?12 ? 4 ,? 2b ? 4
答:椭圆的焦距是 2c ? 4 、长轴的长是 2a ? 2 5 、短轴的长是 2b ? 4 16.已知抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,点 A 在抛物线 C 上运动.

P 满足 AP ? ?2FA 时,求动点 P 的轨迹方程; (1)当点 A、
(2)设 M (m, 0) ,其中 m 为常数, m ? R ,点 A 到 M 的距离记为 d ,求 d 的最小值.
?

y) ,点 A 的坐标为 ( xA, 解: (1)设动点 P 的坐标为 ( x, y A ) ,则 AP ? ( x ? xA, y ? yA ) ,
因为 F 的坐标为 (1, 0) , 所以 FA ? ( xA ?1 , yA ) ,

由 AP ? ?2 FA 得 ( x ? xA, y ? yA ) ? ?2( xA ?1 , yA ) 。 即?

? x ? x A ? ?2( x A ? 1) 解得 ? y ? y A ? ?2 y A
2

? xA ? 2 ? x ? ? yA ? ? y
2

代入 y ? 4 x ,得到动点 P 的轨迹方程为 y ? 8 ? 4 x .
2 (2)因为 y ? 4 x ,设 A( x , y ) , ( x ? 0)

则d ?

( x ? m) 2 ? y 2 ? ( x ? m) 2 ? 4 x ? [ x ? (m ? 2)]2 ? 4m ? 4

当 m ? 2 ? 0, m ? 2 时, dmin ? 2 m ?1 , (x ? m?2) 当 m ? 2 ? 0, m ? 2 时, dmin ?| m |? m , (x ? 0) 所以 d min ? ?

? ?m(0 ? m ? 2) ? ?2 m ? 1( m ? 2)

17.已知点 A(?2 , 0) , B(2 , 0) . (1)过点 A 作直线 m 交以 A 、 B 为焦点的双曲线于 M 、 N 两点,若线段 MN 的中点到 y 轴 的距离为 1 ,且直线 m 与圆 x ? y ? 1 相切,求该双曲线的方程;
2 2

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(2)以 A 、 B 为顶点的椭圆经过点 C (1,

3 ) ,过椭圆的上顶点 G 作直线 s 、 t ,使 s ? t ,直 2

线 s 、 t 分别交椭圆于点 P 、 Q .求证: PQ 必过 y 轴上一定点. 解: (1)由题意,直线 m 的斜率存在.设 m 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 由直线 m 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,得

| 2k | k 2 ?1

? 1, k 2 ?

1 , 3

x2 y2 ? 1( 0 ? a ? 2 ) 设双曲线的方程为 2 ? , a 4 ? a2 1 ? y ?? x?2 , ? 1 2 4 2 4 2 3 ? 2 2 4 2 由? 2 得 ( a ? a ? 4) x ? a x ? a ? a ? 4a ? 0 . 2 3 3 3 ?x ? y ?1 , 2 2 ? a ?4 ?a 3 4 2 2 2 2 得 (3 ? a ) x ? a x ? 4a ? a ? 0 . 4 a2 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) , 则 x1 ? x 2 ? . 又 线 段 MN 中 点 到 y 轴 的 距 离 3 ? a2 x1 ? x2 a2 ? ? 1 ,所以 a 2 ? 2 . 2 2 2(3 ? a )

x2 y2 ? ? 1. 2 2 x2 y2 ? ?1 (2)设以 A 、 B 为顶点椭圆的方程为 4 b2 x2 3 ? y2 ? 1 又椭圆经过点 C (1, ) ,所以椭圆的方程为 4 2 2 2 可 知 G(0 , 1) , 设 直 线 s : y ? kx ? 1 , 代 入 椭 圆 方 程 得 x ? 4(kx ? 1) ? 4 , 即
所以所求双曲线的方程为

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 0 ,

8k 1 ? 4k 2 ? ?. , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ? ? 8k k2 ?4? 1 ? ? , 2 同理,直线 t 的方程为 y ? ? x ? 1 , Q ? 2 ?. k k ? 4 k ? 4 ? ? 2 2 3 k ? 4 k ?1? 8k ? 故直线 PQ 的方程为 y ? 2 ? ?x ? 2 ? ,令 x ? 0 ,得 y ? ? . 5 5k ? k ?4 k ? 4? 3? ? 所以,直线 PQ 经过定点 ? 0 , ? ? . 5? ?
解得 P? ??
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?

18. 过 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p? 0)上 一 定 点 P( x0 , y0 ) 作 两 条 直 线 分 别 交 抛 物 线 于 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y2 ) ,
(Ⅰ) 若横坐标为

p 的点到焦点的距离为 1,求抛物线方程; 2

(Ⅱ) 若 P( x0 , y0 ) 为抛物线的顶点, ?APB ? 点 (2 p, 0) ;

?

2

,试证明:过 A 、 B 两点的直线必过定

(Ⅲ) 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 是非零常数。 解: (Ⅰ)横坐标为

y1 ? y2 的值,并证明直线 AB 的斜率 y0

p p p 且到焦点距离为 1,则 ? ? 1 ? p ? 1 2 2 2
2

∴抛物线方程为: y ? 2 x (Ⅱ)根据条件可知, PA ? PB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 设过 A 、 B 的直线方程为: x ? my ? c , (若 m 不存在,则直线平行于 x 轴,与抛物线不可能有两个交点。 ) 则? ①

? y 2 ? 2 px ? x ? my ? c

? y 2 ? 2 pmy ? 2 pc ? 0
y12 y22 ( y1 y2 )2 ? ? ? c2 , 2 2p 2p 4p

∴ y1 y2 ? ?2 pc , x1 x2 ?
2

代入式①得: c ? 2 pc ? 0 , ? c ? 2 p , c ? 0 (舍) , ∴直线方程为: x ? my ? 2 p ,过定点 (2 p, 0) ,命题得证。 (Ⅲ)设直线 AP 为: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,直线 BP 为: y ? y0 ? ?k ( x ? x0 ) , 则?

? y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 2 ? y ? 2 px
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? y2 ?

y 2p y ? 2 p( x0 ? 0 ) ? 0 k k 2p ? y1 ? y0 ? k

? y ? y0 ? ?k ( x ? x0 ) ? 2 ? y ? 2 px
y 2p y ? 2 p( x0 ? 0 ) ? 0 k k 2p ? y 2 ? y0 ? ? k ? y2 ?

2p 2p ? ? 2 y0 y1 ? y2 y1 ? y0 ? y2 ? y0 ? 2 y0 k ? ? k ? ?2 ∴ y0 y0 y0


k AB ?

y1 ? y2 y ?y 2 p( y1 ? y2 ) 2p p ? 21 2 2 ? ? ? ? (定值) , 2 2 y2 x1 ? x2 y1 y1 ? y2 y1 ? y2 y0 ? 2p 2p


∴命题得证.

高二数学

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