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§2.1数列的概念与简单表示法


§2.1 数列的概念与简单表示法 教材分析
数列可以看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数,是一类离散函数,是刻画离散过程的重要数学模 型。同时,数列问题在日常生活中有大量应用,如存款利息,购房贷款等。本节课是数列第一节可借助现 代教育技术手段向学生展示生动的大自然场景,激发学生的求知欲。让学生了解数列的通项公式,并会用 通项公式写出数列的任意一项。对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式。了解数列的 递推公式,明确递推公式与通项公式的异同,会根据数列的递推公式写出数列的前几项。理解数列的前 n 项和与 an 的关系。通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣,培养学生的观察能力 和抽象概括能力。

教学目标
重点:理解数列及其有关概念,探索并掌握数列的几种简单表示法。 难点:根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式,理解递推公式与通项公式的关系。 知识点: 数列和函数之间的关系,数列的通项公式,根据通项公式写出数列的任意一项,数列的递推公 式,递推公式与通项公式的异同;根据数列的递推公式写出数列的前几项。 能力点: 通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概括 能力. 考试点:根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项。根据 数列的递推公式写出数列的前几项。 易错点易混点:数列 ?an ? 不是集合。 拓展点: 如何根据已知条件求数列通项公式。

教具准备 课堂模式

多媒体课件和三角板 学案导学

一、 引入新课
三角形数:1,3,6,10,? 正方形数:1,4,9,16,? 【设计意图】 (1)体会用数刻画图形特征的性质。 (2)体会这些数的排列的顺序性。 (3)体会数列中的项与它的序号的对应关系。 【师生活动】 教师提问 思考:这些数按什么顺序排列? 每一个数有什么特点? 若按此规律下去,第十个数是多少? 学生分组讨论,并回答问题。

二、探究新知

⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列。 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它 们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现。 举例说明 数列: 4,5,6,7,8,9,10。改为数列: 10,9,8,7,6,5,4。 它们不是同一数列。 数列 : -1,1,-1,1,···。改为数列 : 1,-1,1,-1,···。 则它们也不是同一数列。 2.数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项) ,第 2 项,?,第 n 项,?。 3.数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,或简记为 ?an ? ,其中 an 是数列的第 n 项。 结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义。 4. 教学数列的表示方法: ① 讨论下列数列中的每一项与序号的关系: 1,

1 1 1 6 3 ,1 , , ,、;0 、、 1 2 4 8

,、; 1, 4,9,16 ,、 、、 、、.

(数列的每一项都与序号有关,即数列可以看成是项数与项之间的函数.) ② 数列的通项公式:如果数列的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做 这个数列的通项公式. (作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项.) ③ 数列的表示方法:列表法、图象法、通项公式法. 例题讲解: 例 1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: ①0.5,0.5,0.5,、 、、②1,-1,1,-1,、(可用分段函数表示)③-1, 、、

1 1 1 ,- , ,、 、、 2 4 8

思考:是不是所有的数列都存在通项公式?根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗? 答:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式。 ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,?它的通项公式可以是

an ?

n ?1 1 ? (?1) n ?1 ? |. ,也可以是 a n ?| cos 2 2

5.数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 N+(或它的有限子集{1,2,3,?,n})为定义域的函数 an ? f (n) ,当自变量 从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来,对于函数 y=f(x),如果 f(i)(i=1、2、3、4?)有意义,那么我们可以得到一个数列 f(1)、 f(2)、

f(3)、 f(4)?,f(n),?
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 为横坐标,相应的项 为纵坐标,即



为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列

为例,做出一个数列的图 轴的右侧,而点的个

象) ,所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在

数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势. 6. 教学数列的递推公式:

知识都来源于实践,最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题. 观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型. 模型一:自上而下: 第 1 层钢管数为 4;即:1 ? 4=1+3 第 2 层钢管数为 5;即:2 ? 5=2+3 第 3 层钢管数为 6;即:3 ? 6=3+3 第 4 层钢管数为 7;即:4 ? 7=4+3 第 5 层钢管数为 8;即:5 ? 8=5+3 第 6 层钢管数为 9;即:6 ? 9=6+3 第 7 层钢管数为 10;即:7 ? 10=7+3
王新敞
奎屯 新疆

若用 an 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且 an ? n ? 3(1 ≤n≤7) 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型,运用这一关系,会很快捷地求出 每一层的钢管数 这会给我们的统计与计算带来很多方便。 让同学们继续看此图片,是否还有其他规律可循?(启发学生寻找规律) 模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1。
王新敞
奎屯 新疆

即 a1 ? 4 ; a2 ? 5 ? 4 ? 1 ? a1 ? 1 ; a3 ? 6 ? 5 ? 1 ? a2 ? 1 依此类推: an ? an?1 ? 1(2≤n≤7) 对于上述所求关系,若知其第 1 项,即可求出其他项,看来,这一关系也较为重要。 定义:递推公式:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或前 n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89 递推公式为: a1 ? 3, a2 ? 5, an ? an?1 ? an?2 (3 ? n ? 8) 7.数列的分类: 1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6。是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6?是无穷数列 2)根据数列项的大小分: 递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 观察:课本 P28 的六组数列,哪些是递增数列,递减数列,常数数列,摆动数列?

三、理解新知
强调数列的定义,如何利用数列的通项公式,递推公式求数列中未知的项。

四、运用新知
例 2 根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1) 3, 5, 9, 17, 33,??; (2)

2 4 6 8 10 , , , , , ??; 3 15 35 63 99

(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,??; (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ??; (5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,??. 解:(1) an =2n+1; (2) an =

1 ? (?1) n 2n ; (3) an = ; 2 (2n ? 1)(2n ? 1)

(4) 将数列变形为 1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, ??, ∴ an =n+

1 ? (?1) n ; 2
n ?1

(5) 将数列变形为 1×2, -2×3, 3×4, -4×5, 5×6,??, ∴ an =(-1) n(n+1)

【设计意图】通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概 括能力. 巩固练习: 练习: 、根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1) 3, 5, 7, 9, 11,??;(2)

2 4 6 , , , 3 15 35

8 10 , , ??;(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,??;(4) 2, -6, 18, -54, 162, ??. 63 99

a1 ? 1 ? ? 例 3 设数列 ?an ? 满足 ? 写出这个数列的前五项。 1 ?an ? 1 ? a (n ? 1). n ?1 ?
分析:题中已给出 ?an ? 的第 1 项即 a1 ? 1 ,递推公式: a n ? 1 ?

1 an?1

解:据题意可知: a1 ? 1, a 2 ? 1 ? [补充例题]

1 1 2 1 5 8 ? 2, a3 ? 1 ? ? , a4 ? 1 ? ? , a5 ? a1 a2 3 a3 3 5

例 4 已知 a1 ? 2 , an?1 ? 2an 写出前 5 项,并猜想 an . 法一: a1 ? 2

a2 ? 2 ? 2 ? 2 2

a3 ? 2 ? 22 ? 23 ,观察可得 an ? 2n


法二:由 an?1 ? 2an

∴ an ? 2an?1

an ?2 a n ?1



an an?1 an?2 a ? ? ? ??? 2 ? 2 n?1 an?1 an?2 an?3 a1

∴ an ? a1 ? 2n?1 ? 2n 【设计意图】了解数列的递推公式,会根据数列的递推公式写出数列的前几项,明确递推公式与通项公式 的异同。 [补充练习] 1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式

(1) a1 =0, a n ?1 = an +(2n-1) (2) a1 =1, a n ?1 =

2a n an ? 2

(3) a1 =3, a n ?1 =3 an -2 解:(1) a1 =0, a2 =1, a3 =4, a4 =9, a5 =16, ∴ an =(n-1) ; (2) a1 =1, a2 =
2

1 2 1 2 2 2 2 , a3 = ? , a 4 = , a5 = ? , ∴ a n = ; 3 5 n ?1 2 4 3 6
0 1 2

(3) a1 =3=1+2 ? 3 , a2 =7=1+2 ? 3 , a3 =19=1+2 ? 3 ,

a4 =55=1+2 ? 33 , a5 =163=1+2 ? 3 4 , ∴ an =1+2·3 n ?1 ;

五、课堂小结(由学生归纳总结)
本节课学习了以下内容: 1.数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并会根据数列的前 n 项求一些简单数列的通 项公式。 2.递推公式及其用法; 3.通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或 n 项)之间的关系.

六、布置作业
1.阅读教材 P32-33; 2.书面作业 P33 页 A 组第 3,4,5 题 B 组第 1 题。 【设计意图】设计作业 1 是开阔学生视野,了解斐波那契数列。作业 2 是为了巩固本节课所学内容,作业 3 是为下节课学等差数列做准备。

七、教后反思
1.本教案的亮点是容量大,内容系统,有学有练,师生互动,培养学生的观察能力。2.由于各学校学生 情况不同,建议灵活使用。3.课堂容量大,个别补充题可选部分练习。

八、板书设计
根据黑板情况,灵活板书。建议把概念性东西放在黑板左半部分,例题放右半部分,小结时不必重复板书。

枣庄三中 2012---2013 学年度高二年级数学教学案 §2.4 等比数列(第 2 课时)
组编人 王士振

●教材分析
在日常生活中, 人们经常遇到的像存款利息、 购房贷款等实际计算问题, 都需要用有关数列的知识来解决。 数列的知识也是我们将来学习高等数学的基础。等差中项和等比中项可以贯通于代数、几何、三角几部分 知识之间,构造出许多综合题,值得我们注意,对于本节等比中项的学习易与等差中项混淆。

●教学目标
知识与技能:灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;熟悉等比数列的有关性质, 并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 过程与方法:通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。 情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生 活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。 ●教学重点:等比中项的理解与应用 ●教学难点:灵活应用等比中项,等比数列性质解决一些相关问题 ●教学拓展点:等比数列性质,等比数列的判定方法:定义法和等比中项法 ●教学易混点:等比中项与等差中项 ●教具准备:多媒体课件和三角板

课堂模式 :学案导学 ●教学过程
Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等比数列定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠0) ,即: 2.等比数列的通项公式: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) , an ? am ? q n?m (am ? q ? 0) 3. an }成等比数列 ? { 分条件 4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 Ⅱ.讲授新课 问:等差数列的等差中项及其性质是? 生: (1) A ?

an =q(q≠0) a n ?1

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) “ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充 an

a?b ? a, b, 成等差数列 2

(2) 在等差数列中,若 m ? n ? p ? q ,则, am ? an ? a p ? aq 即 m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ∈N ) 1.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的等 比中项. 即 G=± ab (a,b 同号)

如果在 a 与 b 中间插入一个数 G, a, b 成等比数列, 使 G, 则
2

G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab , a G

反之,若 G =ab,则

G b 2 ? ,即 a,G,b 成等比数列。∴a,G, b 成等比数列 ? G =ab(a·b≠0) a G

例:在等比数列{an}中, a4 ? 4 ,则 a2 ? a6 ? 练习:已知等比数列{an}中 an ? 0,a2a4 ? 2a3a5 ?

a4a6 ? 25,求a3 +a5

【设计意图】 采用、类比、归纳的方法,让学生参与学习,发挥学生的主观能动性,将知识的形成过程 转化为学生亲自探索类比归纳的过程,使学生获得发现的成就感. 2、等比数列的判定方法:

(1)定义法:n ?1 ? q(n ? N ? ,q ? 0,是常数) ? {a n } 是等比数列 (2)等比中项法: n ?1 ? an an ? 2(n ? N ? ) a n ? 0 ? {an } a 且 是等比数列
例 1:已知 ?an ? ?bn ? 是项数相同的等比数列,那么数列 ?an ? bn ?是等比数列么? 证明:设数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比为 q1 ; ?bn ? 的首项为 b1 ,公比为 q2 ,那么数列 ?an ? bn ?的第 n 项与第 n+1 项分别为:
2

a an

a1 ? q1
?

n?1

? b1 ? q2 与a1 ? q1 ? b1 ? q2 即为a1b1 (q1q2 ) n?1 与a1b1 (q1q2 ) n
n n

n?1

an?1 ? bn?1 a b (q q ) n ? 1 1 1 2 n?1 ? q1q2 . an ? bn a1b1 (q1q2 )

它是一个与 n 无关的常数,所以 ?an ? bn ? 是一个以 q1q2 为公比的等比数列 练习:丛书P37 例2 3、等比数列的性质: 思考:对于例 4 中的等比数列{ an }与{ bn },数列{

an }也一定是等比数列吗? bn an a ,则 cn ?1 ? n ?1 bn bn ?1

探究过程:设数列{ an }与{ bn }的公比分别为 q1和q2 ,令 cn ?

an ?1 cn ?1 bn ?1 a b a q ? ? ? ( n ?1 )?( n ?1 ) ? 1 ,所以,数列{ n }也一定是等比数列. an cn an bn q2 bn bn
总结:等比数列 ?an ? ?bn ? 的首项分别为 a1,b1 公比分别为 q1 ,q 2 .
1 ○数列 can ( c 为常数且 c ? 0 ),是首项为 ca1 ,公比为 q 1 的等比数列; 2 ○数列 ?an ? bn ? 是首项为 a1b1 ,公比为 q1q2 的等比数列;

? ?

? ?

3 ○数列{

an a q }是首项数列为{ 1 },公比为数列{ 1 }的等比数列; b1 q2 bn

4 ○ a1, a3 , a5 , a7 ... 是首项为 a1 ,公比为数列 q12 的等比数列;

a2 , a4 , a6 , a8... 是首项为 a2 ,公比为数列 q12 的等比数列;
探索课本 P53 的练习 4
2 2 已知数列{ an }是等比数列, (1) a5 ? a3a7 是否成立? a5 ? a1a9 成立吗?为什么? 2 (2) an ? an?1an?1 (n ? 1) 是否成立?你据此能得到什么结论? 2 an ? an?k an?k (n ? k ? 0) 是否成立?你又能得到什么结论?

拓展到一般:在等比数列中,若 m+n=p+q,则 am , an , a p , ak 有什么关系呢? 由定义得: am ? a1q m?1

an ? a1q n?1
2

a p ? a1q p?1

ak ? a1 ? q k ?1

am ? an ? a1 q m?n?2
2

, a p ? ak ? a1 q p ? k ?2 ,则 am an ? a p ak

总结: ) 若m ? (1

n ? p ? k(m ,n,p ,k ? N ?) aman ? apak 则

(2) 若m ? n ? 2p(m ,n ,p ? N ? ),则aman ? ap 2 (3) an 2 ? an ?1an ?1(n ? 1) (4) an 2 ? an ?kan ? k(n ? k ? o )
例 2:在等比数列

?an ?,中,已知 an
2

? 0,a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25,求a3 ? a5
2

解:由等比数列性质知 a2a4 ? a3 ,a4a6 ?
2

a5 。

2

由条件得

2 a3 ? 2a 3a5 ? a5 ? 25,即(a 3 ? a5) ? 25

又 an ? 0,所以a3 ? 0,a5 ? 0 即 a3 ? 所以 a3 ?

a5 ? 0

a5 ? 5

【设计意图】通过类比探索培养学生的自主学习能力,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维 规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法;通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活 性与广阔性的训练,发展学生的思维水平. Ⅲ.补充练习 课本 P53的练习 3,习题2.4A组 1

课本p54 7

Ⅳ.课时小结
1、若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq 2、若 ?an ?, ?bn ?是项数相同的等比数列,则 ?an ? bn ? 、{

an }也是等比数列 bn

Ⅴ.课后作业
课本 P53 习题 2.4A 组的 3、5 题

●板书设计
2.4 等比数列(2) 一、复习 1、等比数列定义 2、等比数列通项公式 课堂练习:

2、讨论等比中项性质 (1) (2) (3) (4)

二、新课 1、等比中项定义 例 1: ●授后记

作业: 例 2:

枣庄三中 2012---2013 学年度高二年级数学教学案 §2.2 等差数列(第 1 课时)
组编人
教材分析
从教学大纲和教材上看,本节教材现在具体例子的基础上引出等差数列的概念,接着用不完全归纳法 归纳出等差数列的通项公式,最后根据这个公式去进行有关运算,由此可见本安排重在培养学生的观察分

王士振

析、归纳猜想、应用能力。同时本节又是学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式 和递推公式的基础上,对数列的知识进一步深入和拓广,同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习 对比的依据。

教学目标
重 难 点:理解等差数列及等差中项的概念,探索并掌握等差数列的通项公式; 点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法;

知识点:等差数列及等差中项的概念,等差数列的通项公式; 能力点:能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题; 教育点:通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新 意识; 自主探究点:分单元组探究等差数列的通项公式及变通式; 考试点:等差数列的判断、等差中项及通项公式的使用; 易错点:等差数列通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d 中 d 的系数是 (n-1) ,不要在运算中混记成 n ; 拓展点:通项公式的变通式及三个或四个数成等差数列的设法; 教 法:⑴启发式、讨论式:通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与活动,以独立思考和单元组交流 的形式,在教师的指导下发现问题、分析问题和解决问题. (2)讲练结合法:可以及时巩固所学内容,抓住重点,突破难点.

教具准备:多媒体课件,投影仪. 课堂模式:学案导学 教学过程 一、创设情景
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公 式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等 等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们先学习一 类特殊的数列,下面请同学们阅读课本第 36 页的 4 个例子: ①0,5,10,15,20,25,? ②48,53,58,63 ③18,15.5,13,10.5,8,5.5 ④10072,10144,10216,10288,10366 观察:请同学们仔细观察一下,看看以上四个数列有什么共同特征? 共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)(误:每相邻两项的差相等 ; ——应指明作差的顺序是后项减前项) ,我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列. 【师生活动】教师提出具体问题让学生解决并提问回答后,教师引导学生总结. 【设计意图】通过具体实例分析,激发学生的好奇心,由学生观察四个数列特点,引出等差数列的概念, 以此培养学生由具体到抽象、特殊到一般的认知能力,使学生认识到生活离不开数学,同样数学也是离不 开生活的。

二、探究新知
1.等差数列的概念(由学生归纳出) 等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做 等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“ d ”表示) 。(教师引导学生抓住定义中有关键 词并强调) 理解概念: ①“从第二项起”,这是为了使每一项与它的前一项都存在; ②每一项与它的前一项的差必须是同一个常数 (因为 “同一个常数” 体现了等差数列的本质特征) ③若 d =0, 则该数列为常数列.

④等差数列的定义的数学表达式: an ? an?1 ? d (d是常数, ? N且n ? 2) n 上面引例中四个数列都是等差数列,公差依次是 试一试: ①数列3,3,3,3,?是等差数列吗? , , , .

②若数列{ an }满足 an?1 ? an ? d (d是常数, ? N且n ? 2) ,则数列{ an }是等差数列吗? n 分析:①及引例目的在于强调公差 d 可以是正数、负数也可以是 0; ②目的在于强调定义中“从第二项起,每一项与它的前一项的差都要是同一个常数”。 问题:你能举一些生活中的等差数列的例子吗? [设计意图]:通过此练习加深对概念的理解,进一步让学生掌握等差数列定义以及符号语言表达式,为学 生今后应用等差数列的定义解决问题打下基础。让学生例举生活中等差数列的实例,加强学生善于发现生 活的数学问题. 2.等差中项 问题:如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,使 a ,A, b 成等差数列,那么 A 应满足什么条件? 学生思考回答:因为 a ,A, b 组成了一个等差数列,那么由定义可以知道: A- a = b -A,所以就有 A ?

a +b 2

等差中项:由三个数 a ,A, b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A 叫做 a 与 b 的等差中 项。 理解概念:不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项 与后一项的等差中项。如数列:1,3,5,7,9,11,13?中 ,5 是 3 和 7 的等差中项,也是 1 和 9 的等 差中项。 [设计意图]:通过此练习加深对等差中项概念的理解。 3. 探究活动一:等差数列的通项公式 我们知道能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列有重要的意义. 思考:数列①、②、③、④的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么? 学生独立思考,然后单元组交流,代表发言。 猜想:如果等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,你能得到这个等差数列的通项公式吗? 要求:个人独立思考,然后单元组交流整理,再选出代表发言,其他小组有不同见解可给与补充。 归纳通项公式:以 a1 为首项, d 为公差的等差数列 ?an ? 的通项公式为: an =a1 +(n-1)d . 选讲:除课本归纳法之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式。 [设计意图]:根据等差数列的概念, 并结合已有的运算, 启发学生运用叠加法或不完全归纳法推导出通项 公式, 让熟悉的知识环环相扣, 加强学生的学习积极性.

三、理解新知
分析公式 an =a1 +(n-1)d ,通项公式含有 a1 , n, d , an 这 4 个量,只要知道其中任何三个量,通项公式就变成 关于第 4 个量的一元方程,解方程就可实现“知三得一”。

四、应用新知
1.公式的简单应用(多媒体投出例题,学生独立解出,然后选代表投影,大家分析) 例 1.⑴求等差数列 8,5,2,?的第 20 项. ⑵-401 是不是等差数列-5,-9,-13,?的项?如果是,是第几项? 解:⑴由 a1 =8,d=5-8=-3,n=20,得 a20 ? 8 ? (21? 1) ? (?3) ? ?49

⑵由 a1 =-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为 an ? ?5 ? 4(n ? 1) ? ?4n ? 1, 由题意知, 本题是要回答是否存在正整数 n,使得-401=-4n-1 成立。 解这个关于 n 的方程,得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项。 例 2.某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4km(不含 4 千米)计费 10 元。如 果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为 0,需要支付多少车费? 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4km 时,每增加 1km,乘客需要支付 1.2 元.所以,我 们可以建立一个等差数列 {an } 来计算车费. 令 a1 =11.2,表示 4km 处的车费,公差 d=1.2。那么当出租车行至 14km 处时,n=11,此时需要支 付车费 a11 ? 11.2 ? (11? 1) ? 1.2 ? 23.2(元) 答:需要支付车费 23.2 元。 [设计意图]:通过例 1、2 使学生熟悉通项公式,完成基本技能训练。 2.通项公式的拓展 例3:已知等差数列 {an } 中 a5 ? 10, a15 ? 25, 求a 25的值. [设计意图]:将例3作为对通项公式的巩固及深化,已知等差数列中任意两项能利用通项公式熟练求出第三 项,并引导发现 a15 ? a5 ? 10d ? (15 ? 5)d 是一种巧合,还是对任意的两项差都满足?从而引出下列问题. 探究活动二:通项公式的推广—变通式 思考:在公差为d 的等差数列中 an ? am ? (n ? m)d (n>m)是否成立? 要求:个人独立思考,然后单元组交流整理,再选出代表发言,其他小组有不同见解可给与补充。 学生通过分组讨论方式很容易得到此公式成立,教师再给出变形 d ?

am ? an . m?n

[设计意图]: 已知数列中任意两项,可利用 d ?

am ? an 求出 d ,再利用变通式求出第三项,这样可避开 m?n

解方程组。至此要求学生能用此法解例3强化变通式,通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻 性,和灵活性。

五:课堂小结(单元组交流整理,再选出代表发言,其他小组有不同见解可给与补充。 )
① 等差数列定义:即 an ? an-1 ? d (d是常数,n ? N且n ? 2) ; ② 等差中项:若 a ,A, b 成等差数列,则 A ?

a +b ; 2
.

③ 等差数列通项公式: a n ? a1 ? (n ? 1)d 变通式: an ? am ? (n ? m)d

六、布置作业
必做题: 1.(1)在等差数列 {an } 中,已知 a5 ? 10, a12 ? 31,求首项 a1 与公差 d; (2)已知数列 {an } 为等差数列 a3 ?

5 3 , a7 ? ? ,求 a15 的值. 4 4

2.三个数成等差数列,它们的和为 18,它们的平方和为 116,求这三个数. 注: (1)设未知数时尽量减少未知数的个数.(2)结果应给出由大到小和由小到大两种情况. 3.梯子最高一级宽 33cm,最低一级宽为 110cm,中间还有 10 级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级 的宽度. [随堂练习] 课本 39 页“练习”第 1、2 题; 选做题:已知四个数成等差数列,它们的和为 28,中间两项的积为 40,求这四个数.(2 变式)

七、教后反思
本节内容可以说是一个承前启后的内容,本身是比较简单的知识,但也是一个重点知识,我觉得对于 这部分的讲解主要还是抓住教材,让简单的东西更直白化,用简单的方式让学生抓住重点。主要采用启发 式、单元组讨论式以及讲练结合的教学方法,通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与数学实践活动, 以独立思考和单元组相互交流的形式,在教师的指导下发现、分析和解决问题,从而使学生形成自主学习 的能力,让学生懂得去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,围绕中心各抒己见,把思路方法和需要解决 的问题弄清。总的来说本节课基本完成目标,但对于一些归纳性的知识处理的时候,学生归纳的不是很到 位,以后慢慢培养学生这方面的能力。

八、板书设计
引例中四个数列 等差中项的推导 通项公式的推导 变通式的推导 §2.2 等差数列 1、等差数列的概念 2、等差中项 3、通项公式 变通式 例1 例3

例2

作业: 必做 1、2、3. 选做 2 变式.

枣庄三中 2012---2013 学年度高二年级数学教学案 3.1 不等关系与不等式(第 1 课时) 组编人
教材分析
本节课是不等式一章的第一课,通过具体事例,使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的 不等关系,在学生了解了一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,能列出不等式与不等式组. 学习如

王士振

何利用不等式表示不等关系,利用不等式的有关基本性质研究不等关系;通过学生在学习过程中的感受、 体验、认识状况及理解程度,注重问题情境、实际背景的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与, 改变学生的学习方式. 既然不等关系客观存在,又与生产、生活密切相关,这样学生会由衷地产生用数学 工具研究不等式的愿望,从而进入不等式一章的学习.

教学目标
重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题,理解不 等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值. 难点:正确理解现实生活中存在的不等关系,用不等式(组)正确表示出不等关系. 知识点:1.利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系;2.实数的大小比较. 能力点:实际背景的前提下,能列出不等式与不等式组.探究如何比较两个实数的大小.分类讨论解题. 教育点:不等关系客观存在,又与生产、生活密切相关,这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等式的 愿望. 自主探究点:实际问题抽象成数学中的不等式与不等式组问题. 考试点:了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;会比较两数大小. 易错点:实际问题的隐含条件. 拓展点:当 a>0,b>0, 时,

a >1 ? a >b b

教具准备 课堂模式

多媒体 ,三角尺 学案导学

一、 引入新课 [创设问题情境] 问题 1:设点 A 与平面 ? 的距离为 d , B 为平面 ? 上的任意一点,则 d 和 AB 的关系. 分析:由点到平面的距离的定义: d ? AB 问题 2:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。根据市场调查,若单价每提高 0.1 元, 销售量就可能相应减少 2000 本.若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表示销售的 总收入仍不低于 20 万元? 分析:若杂志的定价为 x 元,则销售的总收入为 ? 8 ?

? ?

x ? 2.5 ? ? 0.2 ? x 万元。那么不等关系“销售的总 0.1 ?

收入不低于 20 万元”可以表示为不等式 ? 8 ?

? ?

x ? 2.5 ? ? 0.2 ? x ? 20 0.1 ? .

问题 3:某钢铁厂要把长度为 4000mm .的钢管截成 500mm 和 600mm 两种,按照生产的要求, 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢? 分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根,截得 600mm 的钢管 y 根. 根据题意,应有如下的不等关系: (1)截得两种钢管的总长度不能超过 4000mm ; (2)截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; (3)截解得两钟钢管的数量都不能为负.

?500 x ? 600 y ? 4000 ?3 x ? y ? 由以上不等关系,可得不等式组: ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
【设计意图】通过具体情境,感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,在学生了解了一 些不等式(组)产生的实际背景. 【师生活动】 5m 教师通过多媒体或学案向学生提出问题引导学生共同分析完成.

当堂练习 1.用不等式表示下面的关系: (1) a 与 b 的和是非负数; (2)某立交桥对通过车辆的高度 h “限高 4m ” ;

5m


5m



5m

绿地

(3) 如图, 在一个面积为 350m 的矩形地基上建造一个仓库, 四周是绿地. 仓库的长 L 大于宽 W 的 四倍. 2.有一个两位数大于 50 而小于 60 ,其个位数字比十位数字大 2 .试用不等式表示上述关系,并求出这个 两位数(用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字). 3.设点 A 与直线 l 的距离为 d , B 为直线 l 上的任意一点,则 d 和 AB 的关系 .

2

4.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘,根据需 要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,若设软件数为 x ,盒装磁盘数为 y ,则 x 、 y 应满足的条件. 【设计意图】巩固强化实际问题抽象成数学中的不等式与不等式组问题. 【师生活动】由教师利用学案向全体学生展示,学生集体完成,教师巡视选出代表向同学展示学习成果, 答疑解惑. 略解:1.(1) a +b ? 0 ; (2) h ? 4 ; (3) ?

?? L +10 ??W ? 10 ? ? 350 ? ? L ? 4W ?
3. d ? AB

2.这个两位数是 57

?60 x +70 y ? 500 ? 4. ? x ? 3,x ? N ? ? y ? 2,y ? N ? ?

二、探究新知
关于实数 a , b 大小比较有以下事实: 如果 a ? b 是正数,那么 a ? b ;如果 a ? b 等于零,那么 a ? b ;如果 a ? b 是负数,那么 a ? b .反 过来也对.可表示为: a ? b >0 ? a >b , a ? b =0 ? a =b , a ? b <0 ? a <b .

三、理解新知
例 1.已知: a >b>0,m>0 ,比较

a a +m , 大小. b b +m

解:

a a +m a a+m m ? a ? b ? ? ? >0 ,故 > b b +m b b+m b ? b+m ?

例 2.已知 a,b,c,d ? R ,求证 证明: a +b 故 a +b

? a +b ?? c +d ? ? ? ac+bd ?
2 2 2 2 2 2

2

?

2

2

?? c +d ? ? ? ac+bd ? ? ? ad ? bc ?
2 2 2 2

?0

?

2

2

?? c +d ? ? ? ac+bd ?
2

例 3.已知 a >0,b >0 ,比较 a b 和 a b 的大小.

a b

b a

a a bb 解: b a ab

?a? =? ? ?b?

a ?b

a ?a? (1)若 a =b >0 ,则 =1,a ? b =0 , ? ? b ?b?
a ?b

a ?b

=1 ,∴ a abb = abba

a ?a? (2)若 a >b >0 ,则 >1,a ? b >0 , ? ? b ?b?
(3)若 0<a < b ,则 0< 综上所述, a b ? a b
a b

>1 ;∴ a abb > abba
a ?b

a ?a? <1,a ? b <0 , ? ? b ?b?

>1 ;∴ a abb > abba

b a

【设计意图】巩固强化实数的大小比较. 【师生活动】以教师分析引导为主,学生参与共同完成.

四、巩固新知
1.若 A=a2 +3ab,B ? 4ab ? b ,则 A, B 的大小关系
2

. A>B
2

1 ? 3 ? A ? B ? (a +3ab) ? (4ab ? b ) =a ? ab+b = ? a2 ? b ? + b2 ? 0 2 ? 4 ?
2
2

2

2

2.设 a >b>0,c >0, 则

b b+c , 的大小关系 a a +c

.

b b +c < a a +c

b b+c b ? a+c ? ? a ? b+c ? c ? b ? a ? <0 ? = = a a+c a ? a +c ? a ? a +c ?
3.已知 a >0, 且 a ? 1,m>n>0, 比较 A ? a +
m

1 1 n 和 B ? a + n 的大小. m a a

(a m ? a n ) a m +n ? 1 1 1 1 1 n m n A ? B ? (a + m ) ? (a + n ) ? (a ? a ) ? ( m ? n ) = a a a a a m +n
m

?

?

? a>0,am+n >0 .当 a >1 时,? m>n>0 ,?am >an , am+n >a0 =1.? A ? B ? 0 ,即 A>B
当 0<a <1 时,? m>n>0 ,? a <a , .? A ? B ? 0 a
m n m +n

<a 0 =1 A>B ,即 A>B .综上可知, A>B .

4.设 a >b>0,M ?

a 2 ? b2 a ?b ,N ? ,试比较 M , N 的大小. 2 2 a +b a +b

M a 2 ? b2 a+b ? a+b ? 2ab = 2 2 ? ? 2 2 =1+ 2 2 >1 ,故 M >N N a +b a ? b a +b a +b
2

【设计意图】巩固强化实数的大小比较实际实际应用,强化学生的动手能力. 【师生活动】以学生分析演练为主, 教师适时点拨,让学生给出理想答案.

五、课堂小结
归纳:1.文字语言与数学符号间的转换. 文字语言 大于 小于 大于等于 小于等于 数学符号 文字语言 至多 至少 不少于 不多于 数学符号

> < ? ?

? ? ? ?

2.两实数大小比较方法.求差法、作比法.

六、课后作业:
5 ( 人教 A 必修五 75 A 组第 4 、 题 B 组 1. 3)

七、板书设计
3.1 不等关系与不等式

[创设问题情境] 问题 1、2、3;当堂练 习答案

关于实数 a , b 大小比 较 a ? b >0 ? a >b , a ? b =0 ? a =b , a ? b <0 ? a <b .

例 1、2、3 解答

巩固新知答案 课堂小结

八、教后记
本案题量稍大,不用导学案很难完成.

枣庄三中 2012---2013 学年度高二年级数学学科教学案
§3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域(第 1 课时)
组编人 王士振

教材分析
本小节教科书通过实际例子—银行信贷资金分配问题,抽象出二元一次不等式(组)的相关概念,使 学生体验从实际问题中得到二元一次不等式(组)这一数学模型的抽象过程,了解二元一次不等式(组)

这一数学模型产生的实际背景,体现数学问题是客观存在的,是从实际问题中产生和发展的.通过本节课 的学习,让学生了解二元一次不等式的几何意义,会用二元一次不等式组表示平面区域,提高学生的数学 建模的能力.

教学目标
重点:用二元一次不等式(组)表示平面区域. 难点:如何确定不等式 Ax ? By ? C ? 0(或<0)表示 Ax ? By ? C ? 0 的哪一侧区域. 知识点:用二元一次不等式(组)表示平面区域. 能力点:数形结合思想探求二元一次不等式(组)表示平面区域. 考试点:二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 易错点易混点:用二元一次不等式(组)表示平面区域时,注意边界虚实线. 拓展点:从实际问题中得到二元一次不等式组,并画出它表示的平面区域.

教具准备 课堂模式

三角板,投影仪(多媒体教室) 学案导学

二、 引入新课
1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组)的数学模型 课本第 91 页的“银行信贷资金分配问题” 【设计意图】 (1)使学生体验从实际问题中得到二元一次不等式(组)这一数学模型的抽象过程 (2)使学生体会数学来源与生活,提高数学学习兴趣. 【师生活动】 教师引导学生思考、探究,让学生经历建立线性规划模型的过程. 在获得探究体验的基础上,通过交流形成共识: 建立二元一次不等式模型 把实际问题

转化 数学问题: ????? ?

设用于企业贷款的资金为 x 元,用于个人贷款的资金为 y 元. (把文字语言

转化 符号语言) ????? ?
(1)

(资金总数为 25 000 000 元) ? x ? y ? 25000000 (预计企业贷款创收 12%,个人贷款创收 10%,共创收 30 000 元以上

? (12%)x+(10%)y ? 30000

即 12 x ? 10 y ? 3000000

(2) (3)

(用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值) ? x ? 0, y ? 0 将(1) (3)合在一起,得到分配资金应满足的条件: (2)

? x ? y ? 25000000 ? ?12 x ? 10 y ? 3000000 ? x ? 0, y ? 0 ?

二、探究新知
(一)二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
1.二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式. 2.二元一次不等式组:有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. 二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序实数对(x,y) , 所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集. 3.二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系: 二元一次不等式(组)的解是有序实数对,而点的坐标也是有序实数对,因此,有序实数对就可以 看成是平面内点的坐标,进而,二元一次不等式(组)的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.

(二)探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形
【师生活动】 师: (1)回忆、思考 回忆:初中一元一次不等式(组)的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考:在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形? (2)探究 从特殊到一般: 先研究具体的二元一次不等式 x-y<6 的解集所表示的图形. 如图:在平面直角坐标系内,x-y=6 表示一条直线.平面内所有的点 被直线分成三类: 第一类:在直线 x-y=6 上的点; 第二类:在直线 x-y=6 左上方的区域内的点; 第三类:在直线 x-y=6 右下方的区域内的点. 设点是直线 x-y=6 上的点,选取点,使它的坐标满足不等式 x-y<6,请同学们完成课本 第 93 页的表格,

横坐标 x 点 P 的纵坐标 y1 点 A 的纵坐标 y2

-3

-2

-1

0

1

2

3

并思考: 当点 A 与点 P 有相同的横坐标时,它们的纵坐标有什么关系? 根据此说说,直线 x-y=6 左上方的坐标与不等式 x-y<6 有什么关系? 直线 x-y=6 右下方点的坐标呢?

学生思考、讨论、交流,达成共识: 生:在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 x-y<6 的解为坐标的点都在直线 x-y=6 的左上方;反过来, 直线 x-y=6 左上方的点的坐标都满足不等式 x-y<6.因此,在平面直角坐标系中,不等式 x-y<6 表示直线

x-y=6 左上方的平面区域;如图.类似的:二元一次不等式 x-y>6 表示直线 x-y=6 右下方的区域;如图.直 线叫做这两个区域的边界. 师:由特殊例子推广到一般情况: 结论: 一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示 Ax ? By ? C ? 0 某侧所有点组成的 平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示区域时则包括边界,把 边界画成实线. 3.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有点( x, y ),把它的坐标( x, y )代入 Ax ? By ? C 所得到实数的 符号都相同, 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点( x0 , y0 ), Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断 Ax ? By ? C ? 0 从 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点)

三、理解新知
不等式中仅 ? 或 ? 不包括边界;但含“ ? ” ? ”包括边界.直线同侧同号,异侧异号.画二元一次不等 “ 式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法.特殊地,当 C ? 0 时,常把原点作为此特殊 点.

四、运用新知
例 1 画出不等式 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域. 解:先画直线 x ? 4 y ? 4 (画成虚线) 取原点(0,0) ,代入 x +4y-4 ∵0+4×0-4=-4<0 ∴原点在 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域内,不等式 x ? 4 y ? 4 表示的区域如图: 【师生活动】 教师分析,学生动手作图. 变式 1 画出不等式 4 x ? 3 y ? 12 所表示的平面区域. 变式 2 画出不等式 x ? 1 所表示的平面区域. 【设计意图】 对于带等号的二元一次不等式表示的平面区域,画图时必须把直线画成实线,不带等号的画成虚线,看学 生是否注意到。 例 2 用平面区域表示.不等式组 ?

? y ? ?3x ? 12 的解集. ?x ? 2 y

分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的 平面区域的公共部分. 解:不等式 y ? ?3x ? 12 表示直线 y ? ?3x ? 12 右下方的区域, x ? 2 y 表示直线 x ? 2 y 右上方的区 域,取两区域重叠的部分,如图的阴影部分就表示原不等式组的解集.

变式 1 画出不等式 ( x ? 2 y ? 1)(x ? y ? 4) 0 表示的平面区域. ? 变式 2 由直线 x ? y ? 2 ? 0 , x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 围成的三角形区域(包括边界)用不等式可 表示为 . 【设计意图】 由不等式表示的平面区域到不等式组表示的平面区域,循序渐进。而变式难度有所增加,考察学生综合变 通能力.

五、课堂小结(由学生归纳总结)
本节课学习了以下内容: 1.二元一次不等式表示的平面区域. 2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法. 3.二元一次不等式组表示的平面区域.

六、布置作业
1.课本第 93 页习题 3.3A 组的第 1,2 题,B 组第 1 题. 2.预习课本第 84 页例 2,例 3,例 4. 【设计意图】 设计作业 1 是为了巩固本节课所学内容。作业 2 是为了下节课讲从应用题中列不等式作打算.

七、教后反思
1.本教案的亮点是以学生探究为主,老师点拨为辅.学生之间分组讨论,交流心得,分享成果,进行思维 碰撞. 2.本节课画图较多,建议借助计算机等媒体工具来进行演示.

八、板书设计
§3.3.1 二元一次不等式(组) 与平面区域 1. 二 元 一 次不 等 式 定义 2. 二 元 一 次不 等 式 组的定义 探究二元一次不等 式(组)的解集表 示的图形 例 1 画出不等式 课堂小结: 示的平面区域. 2.二元一次不等式表 示哪个平面区域的判 断方法. 3.二元一次不等式组 表示的平面区域.

x ? 4 y ? 4 表 示 的 1.二元一次不等式表
平面区域. 例 2 用平面区域表 示 . 不 等 式 组

? y ? ?3x ? 12 的 ? ?x ? 2 y
解集.

枣庄三中 2012---2013 学年度上学期高二年级数学教学案 §3.3.2 简单的线性规划(第 1 课时)

教材分析
本节内容是在学习了不等式、直线方程的基础上,利用不等式和直线方程的有关知识展开的,它是对 二元一次不等式的深化和再认识、再理解。通过这一部分的学习,使学生进一步了解数学在解决实际问题 中的应用,体验数形结合和转化的思想方法,培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题 的能力.

教学目标
重 难 点:会用图解法解决简单的线性规划问题; 点:准确求得线性规划问题的最优解;

知识点:了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性 规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 能力点:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力,并培养学生运用数形 结合思想解题的能力和化归的能力; 教育点:让学生体验数学来源于生活,服务于生活,体验数学在建设节约型社会中的作用,品尝学习数学 的乐趣; 自主探究点:分单元组探究利用图解法求线性目标函数的最优解; 考试点:求得线性规划问题的最优解; 易错点:找最优解; 教 法:启发式、单元组合作讨论式:通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与活动,以独立思考和单 元组交流的形式,在教师的指导下发现问题、分析问题和解决问题.

教具准备:多媒体课件,投影仪. 课堂模式:学案导学 教学过程 一、创设情景
在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题,怎样达到省时、省力、高效是 我们要研究的问题,下面我们就来看有关与生产安排的一个问题: 引例:某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产一 件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,按每天 8h 计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? 【设计意图】数学是现实世界的反映,通过学生关注的热点问题引入,激发学生的兴趣,引发学生的思考, 培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。

二、探究新知
学生活动 单元组合作探讨,并选代表发言。 (1)用不等式组表示问题中的限制条件: 设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件,又已知条件可得二元一次不等式组:

?x ? 2 y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 . ????(1) ? x?0 ? ? y?0 ?
(2)画出不等式组所表示的平面区域:

如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。 教师提出新问题: 进一步,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,采用哪种生产安排利润最大? 学生活动: 设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件时,工厂获得的利润为 z,则 z ? 2 x ? 3 y ,这样上述问题就转化为:当 x,y 满足不等式(1)并且为非负整数时,z 的最大值是多少?

把 z ? 2 x ? 3 y 变形为 y ? ?

2 z 2 z x ? ,这是斜率为 ? ,在 y 轴上的截距为 的直线。当 z 变化时, 3 3 3 3

可以得到一族互相平行的直线,如图,由于这些直线的斜率是确定的,因此只要给定一个点, (例如(1,

2 8 z x? ) ,这说明,截距 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以 3 3 3 2 z z 看到,直线 y ? ? x ? 与不等式组(1)的区域的交点满足不等式组(1) ,而且当截距 最大时,z 取 3 3 3 2 z 得最大值。因此,问题可以转化为当直线 y ? ? x ? 与不等式组(1)确定的平面区域有公共点时,在 3 3 z 区域内找一个点 P,使直线经过点 P 时截距 最大. 3
2),就能确定一条直线( y ? ? ) 得出结论: 由上图可以看出,当实现 y ? ? 距

2 z x ? 经过直线 x ? 4 与直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 的交点 M(4,2)时,截 3 3

z 14 的值最大,最大值为 ,这时 2x+3y=14.所以,每天生产甲产品 4 件,乙产品 2 件时,工厂可获得最 3 3

大利润 14 万元. 【设计意图】数学教学的核心是学生的再创造,让学生自主探究,体验数学知识的发生、发展的过程,体 验转化和数形结合的思想方法,从而使学生更好地理解数学概念和方法,突出了重点,化解了难点。 给出线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x、 y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫线性目标函数. ③线性规划问题: 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.

三、理解新知(变换条件,加深理解)
学生活动:探究课本第 88 页的探究活动 (1)在上述问题中,如果生产一件甲产品获利 3 万元,每生产一件乙产品获利 2 万元,有应当如何安排 生产才能获得最大利润?在换几组数据试试。 (2)由上述过程,你能得出最优解与可行域之间的关系吗? 反思过程,提炼方法 解线性规划问题的基本步骤: (1)设列(列线性约束条件和目标函数) ; (2)画可行域——画出线性约束条件所确定的平面区域; (3)过原点作目标函数直线的平行直线; (4)平移直线,观察确定可行域内最优解的位置; (5)求最值——解有关方程组求出最优解,将最优解代入目标函数求最值。 简记为 设列——画——作——移——求五步。 【设计意图】强化学生解题思路,规范解题步骤。 四、应用新知 1、典例分析 例 5: 营养学家指出, 成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物, 0.06kg 的蛋白质, 0.06kg 的脂肪,1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元。为了满足营养专家指出的日常饮食 要求,同时使花费最低,需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg? 解:设每天食用 xkg食物A, ykg食物B,总成本为 ,那么 z

?0.105x ? 0.105y ? 0.075 ?0.07x ? 0.14 y ? 0.06 ? (1) ,目标函数为 z ? 28x ? 21y ? 0.14x ? 0.07 y ? 0.06 ? ? x ? 0, y ? 0 ? ?7 x ? 7 y ? 5 ?7 x ? 14 y ? 6 ? 二元一次不等式组(1)等价于 ? (2) ?14x ? 7 y ? 6 ? x ? 0, y ? 0 ?

做出二元一次不等式组(2)所表示的平面区域,即可行域 考虑考虑 z ? 28x ? 21y ,将它变形为 y ? ? 直线在 y 轴上的截距,当

4 z 4 x? ,这是斜率为 ? 、随 z 变化的一族平行直线. 是 3 21 3

z 取得最小值时,z 的值最小.当然直线与可行域相交,即在满足约束条件时目 21

标函数 z ? 28x ? 21y 取得最小值.? 由图可见,当直线 z ? 28x ? 21y 经过可行域上的点 M 时,截距

z 最小,即 z 最小.? 21

解方程组 ?

?7 x ? 7 y ? 5 1 4 1 4 得点 M( , ),因此,当 x ? , y? 时, z ? 28x ? 21y 取最小值, 7 7 7 7 ?14x ? 7 y ? 6

最小值为 16.? 由此可知每天食用食物 A 约 143 克,食物 B 约 571 克,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本 为 16 元.? 【设计意图】要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最 常见的问题之一. 补例:

? x ? 4 y ? ?3, ? 求 z ? 2 x ? 3 y 的最大值和最小值,使 x, y 满足约束条件 ?3 x ? 5 y ? 45, ? x ? 1. ?
【设计意图】本题中的纵截距的取最大值时 z 不是取最大值而是取最小值,这样使学生产生思想上的知识 的冲突,从而进一步认识到目标函数直线的纵截距与 z 的最值之间的关系. 2 随堂练习 请同学们结合课本 P91 练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题. (1)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x, y 满足

? y ? x, ? 约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ? ?5 x ? 3 y ? 15, ? (2)求 z ? 3x ? 5 y 的最大值和最小值,使式中的 x, y 满足约束条件 ? y ? x ? 1, ? x ? 5 y ? 3. ?
【设计意图】及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况.

五:课堂小结(单元组交流整理,再选出代表发言,其他小组有不同见解可给与补充。 )
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: (1)找出线性约束条件,确定线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解

六、布置作业
必做题:课本 P 习题第 3、4 题 93 思考题:把例 5 中变量 x, y 的范围改为 x, y ? N ? ,求 z 的最小值。 【设计意图】对例 5 的变形为下一课时解决实际问题中的最优解是整数解的教学埋下伏笔。

七、教后反思
由于上节课学习了怎样列不等式组和画不等式组表示的平面区域,所以对本节开始的引例学生很快得 出结果,但对于引例求 z ? 2 x ? 3 y 最值时,我通过在下面了解单元组的讨论情况,好学生都能通过预习

了解去求,部分成绩弱的还是不太了解,所以为了强化学生的解题思路,在给出相关定义后我让学生结合 引例总结解决线性规划问题的一半步骤,让接受慢的学生按部就班去解决线性规划问题,从后面例题和练 习的处理,感觉效果还是很明显的。还有为了让学生不会有求 z 最大值就是求截距最大值错误思想,我特 意选了补例,让学生深入理解求目标函数的灵活性。 另一方面通过学生的单元组合作交流,学生都能参与进去,能充分调动学生的学习积极性,以后还会 多多利用。

八、板书设计
引例 §3.3.2 简单的线性规划问题 1、相关概念 2、 解决线性规划问题一般步 骤 例5 补例

练习(1)(2) 、

枣庄三中 2012---2013 学年度高二数学教学案 §3.4 基本不等式
ab ? a?b (第 2 课时) 2

王士振 ●教材分析 《课标》对于这一节的要求:一是探索并了解基本不等式的证明过程;二是会用基本不等式解决简单 的最大(小)值问题. 在前面的学习中,同学们已经基本掌握了一些常见不等式及不等式证明方法,本节 内容一定程度上是前面学习的运用, 也是后面系统学习不等式证明的基础.基本不等式在证明不等式的过程 中是一个很重要的桥梁,放缩法证明不等式会经常用到基本不等式.基本不等式作为求最值的方法,是高考 常考的知识点,通过基本不等式,常常可以将一些较为复杂的求最值问题化为简单问题,在化归方法中起 着重要的惩承接作用 通过本节学习,学生可以较为真切的体会到数形结合法的神奇之处,加强数学联系生活这一重要的数学观. 习过程中,要用心体会数学思想方法,为以后抽象数学思想方法做好铺垫. ●教学目标 知识与技能:进一步掌握基本不等式 ab ?

a?b ;会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决一些简 2

单的实际问题 过程与方法:通过两个实例,体现了基本不等式在求最值时的价值,更进一步体现了“当且仅当 a ? b 时, 等号成立”这一条件的重要性.学生可以从中体会到“积定和最小”及“和定积最大”这两条基本的解题思 路. 情感态度与价值观:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,感受数学的应用价值,培养实事求是、理论与 实际相结合的科学态度和科学道德. ●教学重点:运用基本不等式模型解决实际问题的四部曲:读题 ?建模 ?求解 ? 作答;利用基本不等式 求最值. ●教学难点:根据题意建立模型;对基本不等式的变形应用,在给定定值情况下,求相关函数最值问题时 的技巧变换:加项变换;拆项变换;统一变元;平方后利用均值不等式. ●教学拓展点:切实的感受数学的应用价值;体会基本不等式的灵活运用. ●教学易混点:用基本不等式求最值,需注意等号成立的条件. ●教学易错点:多次使用基本不等式,及不等式中等号成立的条件不能同时取到,造成误解. ●教具准备:多媒体课件、三角板

课堂模式 :学案导学
●教学过程 Ⅰ.复习旧知 上节课所学主要内容: 1、基本不等式 ab ?

a?b , a, b ? 0 2

2、 (一正二定三相等;“积定和最小”及“和定积最大”) 3、 利用基本不等式证明不等式:

Ⅱ.讲授新课 1、基本不等式在实际生活中的应用 例 1(1)用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。 最短的篱笆是多少? (2)一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大 面积是多少? 师:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中第(1)问是求 最小值,第(2)问是求最大值,注意第(1)是积定求最小值,第(2)是和定求最大值.生:小组讨论将试探着从文 字描述中抽出问题的关键建立函数模型,并试探用两种方法求解 师:通过实物投影仪对学生的做题过程进行讲评,并给出规范步骤. 课堂练习: 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 m2,深为 3m,如果池底每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1 m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元? 师生共同总结:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案. 【设计意图】加强培养学生的数学意识,感受数学从生活中来,贴近学生生活实际,让学生在已有的知识结 构和生活经验中想学、乐学、学会、会学,并结合教学内容,组织学生参加社会实践,为解决数学问题积 累经验,养成善于运用数学眼光去观察、分析广泛存在于日常生活中的实际问题的良好习惯,体现数学的 应用价值.展现数学的趣味和魅力. 2、添项法求最值
2

4 ?a ?7 a?3 4 4 4 证明: a ? 3,? ? ? 0,? ? a ?3? 3? 2 ( a ? 3) ? 3 ? 7 a?3 a?3 a?3 4 4 即 ? a ? 7, 当且仅当 =a ? 3,即a ? 5时等号成立. a?3 a?3 a , x ? ?0, ?? ? 的最小值 课堂练习: 求函数f ( x ) ? x ? x ?1
例 2:已知 a ? 3 ,求证: 【设计意图】加深对基本不等式的理解,并学会灵活应用,注意等号成立的条件. 3、分离常数求最值 例 3:求函数 f ( x ) ?

?2 x 2 ? x ? 3 , ( x ? 0)的最大值 x ?2 x 2 ? x ? 3 3 3 3 ? ?2 x ? ? 1 ? ?(2 x ? ),? x ? 0,? 2 x ? 0, >0, 解 : f ( x) ? x x x x

2x ?

3 3 ? 2 2 x ? 2 6,? f ( x ) ? ?2 6 +1,? f ( x )的最大值为 ? 2 6 +1, x x

3 6 当且仅当2 x = ,即x = 时等号成立. x 2
x ? a恒成立, 则a的取值范围? x ? 3x ? 1 x x 2 ? 3x ? 1 1 的倒数 =x + +3的最大值求解a的取值范围 分析: 通过求解 2 x ? 3x ? 1 x x
课堂练习: (2006 山东理 14)若对任意 x ? 0,
2

【设计意图】在某些条件下,利用基本不等式求最值时,关键是条件的灵活运用. 4、乘 1 问题

例4:函数y ? loga ( x ? 3) ? 1, (a ? 0, a ? 1)的图像恒过的点A,若点A在直线mx ? ny ? 1 ? 0上, 1 2 其中m,n>0,则 ? 的最小值是? m n 解:函数y ? loga ( x ? 3) ? 1, (a ? 0, a ? 1)的图像恒过的点A坐标为(-2,-1), ? ?2m ? n ? 1? 0 , m ? n ? 1 , ? 2
1 2 1 2 n 4 m n m 4 ? ? ( ? ) (m ? n ? ? 2 ) ? ? 4 2 ? ?4 8 m n m n m n m n 1 2 n 4 m 1 1 即 ? ? 8 ,当且仅当 ? 即n ? m n, ? m, ? 时,等号成立 . , 2 m n m n 2 4 1 1 课堂练习: 已知正数x,y满足2x ? y ? 1, 求 + 的最小值? x y 1 1 1 1 y 2x 1 1 y 2x 解 ? + =( + )(2x ? y ) ? + +3 ? 2 2+3, + ? 2 2+3,当且仅当 ? , x y x y x y x y x y 又?

即x =

2? 2 ,y= 2-1时,取等号. 2

【设计意图】在利用基本不等式求最值时,应尽量避免多次使用基本不等式,以及不等式中等号成立的条件 不能同时取到,造成错解.在利用不等式求解时对于 a ? b ? 1 的整体替换,或用 b ? 1 ? a 换元带入,或考虑 用三角代换. 5、构造不等式 例 5:已知正数x,y满足x ? 2 y +2 xy ? 8, 求x+2y的最小值?

解 ? x ? 0, y ? 0, x ? 2 y +2 xy ? 8,? 2 xy ? 8 ? ( x ? 2 y ), 又 ? x ? 2 y ? (

x ? 2y 2 ) , 2

x ? 2y 2 t2 ?8 ? ( x ? 2 y) ? ( ) , t ? x ? 2 y ? 0,? 上式变为8 ? t ? ,? t ? 4, 即x ? 2 y的最小值为4 2 4 仅当 x=2 y, 即x ? 2, y ? 1时等号成立.
课堂练习:1、若实数 x, y, 满足x +y ? xy ? 1, 则x+y的最大值是? .
2 2

当且

. 2、 若x ? 0, y ? 0, 且xy ? (x ? y ) ? 1, 则x+y的最小值是?
【设计意图】在利用基本不等式求最值时始终注意“一正二定三相等”.要获得“定值”条件比较困难,需 要一定的灵活性和变形技巧.在相等关系中利用基本不等式构造出不等关系,进而求解最值问题. 6、等号取不到的处理方法(利用单调性) 例 6:函数 y=

x2 ? 3 x2 ? 2

的最小值为?

解:y=

x2 ? 3

x2 ? 2 x2 ? 2 即x 2 =-1时取最小值2.
x2 ? 3 x2 ? 2 = x 2 ? 2+ 1

= x 2 ? 2+

1

? 2,当且仅当 x 2 ? 2=

1 x2 ? 2



(在实数范围内不成立)

正解: y= ?

x2 ? 2



1 令t= x 2 ? 2 ? 2,? y ? t ? , 据对号函数的单调性得 t 3 2 y? ,当且仅当t= x 2 ? 2= 2 ,即x ? 0时,等号成立. 2 a , x ? ?0, ?? ?(其中0 ? a ? 1)的最小值? 课堂练习: 求函数f ( x ) ? x ? x ?1
【设计意图】注意基本不等式中对于等号成立的要求,对于最值的最后取到取不到问题进行分析,对于利 用基本不等式取不到最值的应考虑利用函数的单调性!
Ⅲ.补充练习

课堂达标卷(一) Ⅳ.课时小结 通过两个应用实例体会基本不等式在生活中的应用.总结应用基本不等式解决实际问题的四部曲:读题 ? 建模 ?求解 ?作答.然后分类解决了应用基本不等式求带有限制条件的函数的最值问题.共分了五类题型 进行讲解. Ⅴ.课后作业 课本 P100 页练习第 4 题;习题 2.3 A 组的 2、3、4 题. 丛书 P86-88 页基本不等式第 1、2 课时 授后记 本节课主要是应用基本不等式求解最值,在应用过程中体会 “一正二定三相等”.从例 1 入手,第一小题 就能说明“积定和最小” ,第二小题说明“和定积最大”.通过这道例题的讲解,让学生理解“一正二定三 等”.理解知识、掌握知识的最终目的在于应用.用数学知识分析和解决实际问题,是学习数学的宗旨.正如 现代教学论中指出:获取数学知识并不是最终目的,应用数学知识去解决科研、生产、生活中的实际问题 才是我们学习数学的出发点和归宿. 学习过程中给学生足够的发现和讨论时间, 让学生体会到发现知识的成就感, 进一步激发学生的学习兴趣. 在探索发现过程中学生出现的问题,教师应给予高度重视,要有针对性的提出犯错的原因及解决办法.另 外在教学过程中,要联系前后知识,运用建构主义认识论指导教学.要多多进行变式练习,让学生体会到 万变不离其宗的那个“宗” ,最后能够总结出运用不等式解决问题的基本方法. ● 板书设计 §3.4 基本不等式

ab ?

a?b 2

一、回顾 1、 2、 3、 二、新课 例 1: 总结步骤: (1) (2) (3) (4)

例 2:

例 6:

例 3:

课堂练习:

例 4: 三、总结 例 5: 作业:

枣庄三中 2012---2013 学年度上学期高二年级 数学学科教学案
充要条件 教材分析
本节内容是人教版高中数学选修 2 ? 1 第 1 章第 2 节的内容,本节是本章的起始内容.在我们日常交往, 学习和工作中,逻辑用语是必不可少的工具.正确使用逻辑用语是现代社会公民应具备的基本素质.数学是 一门逻辑性很强的学科,表述数学概念和结论,进行推理和论证,都要用到逻辑用语.学习一些常用逻辑 用语,可以使我们正确理解数学概念,合理论证数学结论,准确表达数学内容.

课时分配
本节内容是充分条件与必要条件的第 1 课时,主要讲解充要条件

教学目标
重点: 正确理解充要条件. 难点:正确区分充要条件. 知识点:充要条件的概念. 能力点:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力、分析问题和解决问题的能力.

教育点:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣. 自主探究点:充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义. 考试点:充要条件的概念.. 易错易混点:正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件. 拓展点:学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假

教具准备 课堂模式

与教材内容相关的资料. 讲练结合.

一、引入新课
已知 p :整数 a 是 2 的倍数; q :整数 a 是偶数. 请判断: p 是 q 的充分条件吗? p 是 q 的必要条件吗? 分析: 要判断 p 是否是 q 的充分条件, 就要看 p 能否推出 q , 要判断 p 是否是 q 的必要条件, 就要看 q 能 否推出 p . 易知: p ? q ,故 p 是 q 的充分条件; 又 q ? p ,故 p 是 q 的必要条件 【设计意图】通过具体问题引导学生总结特点,易引发学生的学习兴趣,为概念的学习作好准备.

二、探究新知
一般地,如果既有 p ? q ,又有 q ? p 就记作 p ? q 此时,我们说,那么 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件. 显然,如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也是 p 的充要条件. 概括地说,如果 p ? q ,那么 p 与 q 互为充要条件.

三、理解新知
若 p ,则 q 是真命题,若 q ,则 p 是真命题。那么 p 与 q 互为充要条件。

四、运用新知
例 1:下列各题中,哪些 p 是 q 的充要条件? (1) (2)

p : b ? 0 , q :函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 是偶函数; p : x ? 0, y ? 0 , q : xy ? 0 ;
, q :a ?c ? b?c;

(3) p : a ? b

分析:要判断 p 是 q 的充要条件,就要看 p 能否推出 q ,并且看 q 能否推出 p . 解:命题(1)和(3)中, p ? q ,又有 q ? p ,即 p ? q ,故 p 是 q 的充要条件; 命题(2)中, p ? q ,但 q ?? p ,故 p 不是 q 的充要条件; 【设计意图】 通过练习,让学生对于充要条件的概念,有了更深的理解,让学生进一步明确充要条件的 判断需要判断充分条件,必要条件。 思考: (1) p : x ? 5 , q : x ? 10
2 2 (2) p : a ? b , q : a ? b

解答: (1) p ?? q ,但 q ? p ,故 p 不是 q 的充要条件;

(2)中, p ?? q ,且 q ?? p ,故 p 不是 q 的充要条件; 【设计意图】利用习题巩固所学概念,同时思考题的设置,有很好的加深了对于概念的理解。 例 2:已知:⊙ O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d .求证: d ? r 是直线 l 与⊙ O 相切的充要条件. 分析:设 p : d ? r , q :直线 l 与⊙ O 相切.要证 p 是 q 的充要条件,只需要分别证明充分性( p ? q ) 和必要性( q ? p )即可. 证明: (1)充分性( p ? q ) :做 OP ⊥ l 与点 P,则 OP ? d 。若 d ? r ,则点 P 在⊙ O 上。在直线 l 上任 取一点 Q (易于点 P )连接 OQ 。在直角? OPQ 中, OQ ? OP ? r ,所以,除点 p 外直线 l 上的点都在 ⊙ O 的外部,即直线 l 与⊙ O 仅有一个公共点 p .所以直线 l 与⊙ O 相切。 (2)必要性( q ? p ) :若直线 l 与⊙ O 相切,不妨设切点为 p , OP ⊥ l 。因此, d ? OP ? r 【设计意图】利用习题巩固所学概念,将所学知识用于几何的证明

五.课堂总结
1.知识: p ? q ,又有 q ? p 就记作 p 是 q 的充要条件 若 p ? q ,但 q ?? p ,则称 p 是 q 的充分但不必要条件; 若 p ?? q ,但 q ? p ,则称 p 是 q 的必要但不充分条件; 若 p ?? q ,且 q ?? p ,则称 p 是 q 的既不充分也不必要条 2.思想:逻辑思维,判断一个命题的真假,判断出充分条件与必要条件

六.作业布置
1.阅读书本 P12 1 ,2 2.书面作业 必做题 课本 P13 B 组 第 1.2 题 选做题1. (2012 年高考(天津文) 设 x ? R ,则“ x ? ) A.充分不必要条件 C.充要条件

1 2 ”是“ 2 x ? x ? 1 ? 0 ”的 ( 2



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2. (2012 年高考(浙江理) 设 a ? R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 ) ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3. (2012 年高考(福建理) 下列命题中,真命题是 )


x 2



A. ?x0 ? R, e 0 ? 0
x

B. ?x ? R, 2 ? x

C. a ? b ? 0 的充要条件是

a ? ?1 b

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件

【答案】1. 选 A.

【解析】当 a ? 1 ”时, l1 : ax ? 2 y ? 0 与直线 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 显然平行;若
a 2 ,解之得: a ? 1 或 a ? ?2 .所以为充分不必要条件 ? 1 a ?1

直线 l1 与直线 l2 平行,则有:

2. 选 A.【解析】不等式 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解集为 x ?

1 1 或 x ? ?1 ,所以“ x ? ”是“ 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” 2 2

成立的充分不必要条件,选 A. 3.选 D [设计意图]作业设计,考虑了学生的实际情况,注重因材施教原则。书面作业主要是让学生养成良好的做 题习惯,规范格式;巩固作业主要是让学生巩固所学知识,为下面知识的学习做好铺垫.

七、教后反思
1.本教案的亮点是以学生探究为主,注重思考题的设置,拓宽了学生的视野。教师点拨为辅.学生之间分 组讨论,交流心得,分享成果,进行思维碰撞. 最后进行当堂检测,课后进行巩固加深理解,已达到提高 课堂效率的目的. 2. 本节课的弱项是,在课堂上没有充分暴露学生的思维过程,且练习中让学生上黑板板演并不能遍及所 有学生,此过程让同位之间互换,共同检查、改正,会达到更好的效果.同时,要启发学生自己发现问题, 提高他们分析问题和解决问题的能力.

八、板书设计
1.2.1 充分条件与必要条件 一、复习回顾 三、例题 四、练习

二、定义:充要条件 ;

例3

练习 1

例4

练习 2

枣庄三中 2012---2013 学年度上学期高二年级 数学学科教学案
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
教材分析 本节内容是数学选修 1-1,1-2 第一章 最后一课.本课题的重点是通过探究了解含有一个量词的命题 与它们的否定在形式上的变化规律,会正确地对含有一个量词的命题进行否定.难点是正确地对含有一个 量词的命题进行否定.在教学中使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力.通过 学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想 教育. 课时分配

本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解含有一个量词的命题的否定. 教学目标 重点: 通过探究了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律,会正确地对含有一个量词的 命题进行否定. 难点:正确地对含有一个量词的命题进行否定. 知识点:含有一个量词的命题的否定. 能力点: 通过例题和习题的教学, 使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律, 正确地对含有一个量词的命题进行否定.使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能 力. 教育点:经历由特殊到一般的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情. 自主探究点:通过探究数学中一些实例,使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的 变化规律. 考试点:含有一个量词的命题的否定. 易错易混点:命题的否定与否命题. 教具准备 多媒体课件 课堂模式 学案导学 一、引入新课 1.回顾 我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”.对给定的命题 p ,如何得到命题 p 的否定(或非 p ), 它们的真假性之间有何联系? 【师生活动】师:让学生回顾逻辑联结词“非”的含义和用法. 生:回顾,并叙述自己的看法. 【设计意图】 回顾旧知,为问题的引入做准备.对逻辑联结词“非”的含义和用法的回顾,有助于本节 课所研究问题的顺利解决. 【设计说明】为本节课作铺垫. 2.思考、分析 探究 1:写出下列命题的否定:(课本 24 页探究) (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; 2 (3) ? x∈R, x -2x+1≥0. 【师生活动】教师应引导学生分析这三个全称命题,注意提示学生的语言表述要简洁自然.学生思考,小 组讨论,推荐代表叙述结论,其他同学可以补充. 【设计意图】通过分析数学实例,使学生能够根据全称量词的含义,写出这三个命题的否定,并把它们用 简洁自然的语言表述出来. 【设计说明】特殊到一般的方法 探究 2:写出下列命题的否定:(课本 25 页探究) (1)有些实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3) ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 0 .
2

【师生活动】教师应引导学生分析这三个特称命题,注意提示学生的语言表述要简洁自然.学生思考,小 组讨论,推荐代表叙述结论,其他同学可以补充. 【设计意图】通过分析数学实例,使学生能够根据存在量词的含义,写出这三个命题的否定,并把它们用 简洁自然的语言表述出来. 【设计说明】特殊到一般的方法

二、探究新知 由上面的探究 1 中的(1)(2)(3),教师提出问题:含有一个全称量词的命题与它们的否定在形式上有什么 变化? 生:学生观察、归纳、概括、发表自己的看法. 师:给出结论全称命题的否定是特称命题. [设计意图]通过观察,是学生归纳、总结含有一个全称量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.避 免直接将结论抛给学生. 由上面的探究 2 中的(1)(2)(3),教师提出问题:含有一个存在量词的命题与它们的否定在形式上有什么 变化? 生:学生观察、归纳、概括、发表自己的看法. 师:给出结论特称命题的否定是全称命题. [设计意图]通过观察,是学生归纳、总结含有一个存在量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.避 免直接将结论抛给学生. 三、理解新知 全称命题的否定为特称命题,特称命题的否定为称命题. [设计意图]为准确地运用新知,作必要的铺垫. 四、运用新知 例 3 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被 3 整除的整数都是奇数; (2)p:每一个四边形的四个顶点共圆; 2 (3)p:对任意 x∈Z,x 个位数字不等于 3; 解: (1)¬P:存在一个能被 3 整除的整数不是奇数; (2)¬P:存在一个四形的四个顶点不共圆; (3)¬P: ?x0 ? Z ,0 x0 的个位数字等于 3;
2

[设计意图]根据前面探究得到含有一个量词的全称命题与它们的否定在形式上的变化规律,学习对含有 一个量词的全称命题进行否定. 例 4 写出下列全称命题的否定: (1)p: ?x0 ? R , x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ;
2

(2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:有一个素数含三个正因数。 解:(1)¬P: ?x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0 ;
2

(2)¬P:所有三角形都不是等边三角形; (3)¬P :每一个素数都不含三个正因数。 [设计意图] 根据前面探究得到含有一个量词的特称命题与它们的否定在形式上的变化规律,学习对含有 一个量词的特称命题进行否定. 五、课堂小结 教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法? 学生作答:1.知识:全称命题的否定是特称命题.特称命题的否定是全称命题. 2.思想:特殊与一般的思想. [设计意图] 归纳总结本节课所学知识. 六、布置作业 1.阅读教材 P24—25; 2.书面作业

习题 1.4A 组第 3 题;B 组(1)(2)(3)(4). [设计意图]设计作业 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置,是 为了让学生能够熟练的写出含有一个量词的命题的否定. 七、教后反思 如何写出含有一个量词的命题的否定,原先的命题与它的否定在形式上有什么变化?充分利用引例找规 律,避免直接将结论抛给学生. 八、板书设计 §1.4.3 含有一个量词的命题的否定 探究一 全称命题 p : ?x ? M , p( x) 例3

?p : ?x0 ? M , ?p( x0 )
探究二 特称命题 p : ?x0 ? M , p( x0 )

例4

例5

?p : ?x ? M , ?p( x)
结论:全称命题的否定是特称命题。 练习: 特称命题的否定是全称命题。 作业:

枣庄三中 2012---2013 学年度上学期高二年级 数学学科教学案
2.1.1 合情推理(第一课时) 教材分析
本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》(选修 2—2)中第二章《推理与证明》第一节的第 一课时.推理与证明是一种数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理与证明 思想贯穿于高中数学的整个知识体系,但是作为一章内容出现在高中数学教材中尚属首次.《推理与证明》 是新课标教材的亮点之一,本章内容将推理与证明的一般方法进行了必要的总结和归纳,同时也对后继知 识的学习起到引领的作用.总体来说,本章内容属于数学思维方法的范畴,即把过去渗透在具体数学内容 中的思维方法,以集中显性的形式呈现出来.使学生更加明确这些方法,并能在今后的学习中有意识地使 用它们,以培养言之有理、言之有据的习惯. 归纳推理,为人类能够发现新事实、获得新结论,做出科学 发现的重要手段,这是人们应该具备的一种基本素养.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解归纳推理的含义,会利用归纳进行一些简单的推理.

教学目标
重点: 归纳推理原理的应用. 难点:归纳推理的方法.

知识点:应用归纳推理进行简单的数学结论的猜想. 能力点:如何探寻归纳推理在研究新问题中的应用,数形结合、分类讨论的数学思想的运用. 教育点:经历由特殊到一般的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情. 自主探究点:探寻如何证明归纳推理的正确与否. 考试点:应用归纳推理进行简单的归纳、得出新结论. 易错易混点:由特殊的、具体材料出发归纳出的结论的一般性. 拓展点:除了归纳推理之外还有哪些推理形式呢?

教具准备 课堂模式

多媒体课件 学案导学

一、创设情景,引入新课

1.耳熟能详的《狼来了》的故事蕴含的推理;介绍四幅图的大致内容,还原儿时的寓言故事,说明推 理在现实生活中是到处存在的. 【设计意图】自然合理地提出问题,让学生体会“数学来源于生活”.创造和谐积极的学习气氛.进而 利用章头引言向学生简要介绍本章的主要内容及学生学完后应达到的目标. 2.以讲故事的形式展现哥德巴赫猜想.
6 ? 3?3 8 ? 3?5 10 ? 5 ? 5 12 ? 5 ? 7 14 ? 7 ? 7 16 ? 5 ? 11 ?? 1000 ? 29 ? 971 1002 ? 139 ? 863 ?? 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇数之和.

【设计意图】一是吸引学生的注意;二是分解了哥德巴赫猜想中的难点;三是从这故事中提示了归纳 推理的主要内涵.

二、探究新知
1.归纳推理的思维过程:几个事实→一种观察→一般观点→从头核对→提出猜想.(由哥德巴赫猜想 的过程归纳出来)

2.归纳推理的概念:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征, 或者由个别事实概括出一般结论(简称归纳).(简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推 理) 3.学生分小组讨论: 将学生划分为两大部分,一部分讨论生活中运用归纳推理例子,一部分讨论学科学习中使用归纳推理 的例子.学生举例之后教师总结. 归纳推理的几个特点; 1、归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2、归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明 归纳推理的过程: ⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理 ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想. 归纳推理的框图表示:

具体的材料 观察分析

猜想出一般性的结论

【设计意图】分组讨论降低了概念学习的难度,使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究,框图表示使 学生对归纳推理有更形象的认识.

三、理解新知
归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,应用归纳推理可以发现新事实,获得新结论,为研 究新事物指明了方向. 【设计意图】为准确地运用新知,作必要的铺垫.

四、运用新知
例 1 已知数列 ?an ? 的第一项 a1 ? 1 ,且 an ?1 ?

an (n ? 1, 2,3, ?) ,试归纳出这个数列的通项公式. 1 ? an

分析:数列的通项公式表示的是数列 ?an ? 的第 n 项 an 与序号 n 之间的对应关系.为此,我们根据已有的递 推公式,算出数列的前几项.

解:当 n ? 1 时, a1 ? 1 ;当 n ? 2 时, a2 ?

1 1 ? ; 1?1 2

1 1 1 1 当 n ? 3 时, a3 ? 2 ? ;当 n ? 4 时, a4 ? 3 ? . 1 3 1 4 1? 1? 2 3
观察可得,数列的前 4 项都等于相应序号的倒数,由此猜想,这个数列的通项公式为: an ?

1 . n

【设计意图】在本例中,我们通过归纳得到了关于数列的通项公式的一个猜想,虽然猜想是否正确还有待 于严格的证明,但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.让学生初步体会归纳推理的过程. 【变式练习 1】⑴观察:

sin 2 30? ? sin 2 90? ? sin 2 150? ?
由上面两式结构规律,你可以归纳猜想

,sin 2 5? ? sin 2 65? ? sin 2 125? ?

⑵已知两个圆① x 2 ? y 2 ? 1与② x2 ? ( y ? 3)2 ? 1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程;两 个圆③ ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 与④ ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 则由③式减去④式可得上述两圆的对称轴方程; 两个圆⑤ ( x ? 5)2 ? ( y ? 3)2 ? 7 与⑥ ( x ? 2)2 ? y 2 ? 7 则由⑤式减去⑥式可得上述两圆的对称轴方程;由 上面命题的结构规律,可以归纳猜想一个更一般的命题为 .

【设计意图】通过学生多角度的观察所得到结论的交流,让学生感受数学美和发现规律的喜悦,激发学生 更积极地去寻找规律、认识规律.同时让学生感受到只要做个有心人,发现规律并非难事.鼓励学生多角度 的观察,大胆的猜测和探究,培养学生的观察能力,同时感受归纳推理出来的有的结论是错误的. 例2 数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关

系.

凸多面体 三棱柱 长方体 五棱柱 三棱锥 四棱锥 五棱锥 八面体 九面体

面数(F) 5 6 7 4 5 6 8 9

顶点数(V) 6 8 10 4 5 6 6 9

棱数(E) 9 12 15 6 8 10 12 16

由上表可归纳出: F ? V ? E ? 2 . 【设计意图】通过让学生自己动手去数凸多面体的面数、顶点数和棱长数,归纳出上述公式,即欧拉公式, 让学生体会归纳推理在发现新问题中的作用. 【变式练习2】 练习1:观察下列算式:

1 ? 12 1 ? 3 ? 4 ? 22 1 ? 3 ? 5 ? 9 ? 32 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 16 ? 42 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 25 ? 52 ? ? ? ?
你能得出怎样的结论 ?1+3+5+ ??+(2n-1)=n 练习2:图中 n 层小正方体堆放在一起总共有多少个小正方体?
2

12 ? 1 12 ? 22 ? 5 12 ? 22 ? 32 ? 14 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 30 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 55 ? ? ? ? 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? ? ? n 2 ? ? 【设计意图】由具体材料通过观察总结归纳出反应一般规律的结论,正是归纳推理实施的一般过程.让学 生亲自去体会.

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法? 学生作答:1.知识:归纳推理的概念及其特点,以及应用归纳推理的过程,归纳推理的作用. 2.思想:数形结合的思想、由特殊到一般的思想. 教师总结: 归纳的依据是具体的材料以及前面所学过的知识,提醒学生: 在学习新知时,也要经常复习前 面学过的内容,“温故而知新” .在应用中增强对知识的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目 的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用. 【设计意图】 加强对学生学习方法的指导,做到“授人以渔” .

六、布置作业
1.阅读教材 P70—71; 2.书面作业 必做题:P77 练习 1 P83 习题 2.1 A 组

1,3

B组 1
n

1 n 2 3 1 1 1 1 记为 Tn ,则 T2 ? 0, T3 ? 3 ? 3 , T4 ? 0, T5 ? 5 ? 5 , ?Tn ? ,求 Tn . 2 3 2 3
n

选做题: 设 n ? 2, n ? N , (2 x ? ) ? (3 x ? ) ? a0 ? a1 x ? a2 x ?? an x , ak (0 ?k ? ) 的最小值 1. 将 n

1 2

2.课外思考 在 ?ABC 中,射影定理可以表示为 a ? b cos C ? c cos B .其中 a, b, c 依次为角 A, B, C 的对 边,类比以上的定理,给出空间四面体性质的猜想. 【设计意图】设计作业 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置,是 为了让学生能够理解归纳推理的过程, 解决简单的数学问题; 课外思考的安排, 是让学生理解归纳推理的作用, 培养学生用整体的观点看问题,为接下来的类比推理的引入做铺垫,起到承上启下的作用.

七、教后反思
1.本教案的亮点是变式训练.在例 1 的教学后的变式让学生仔细观察给定的材料,归纳得出一般结论.例 2 后的变式,既注重了与原问题的联系,又在不知不觉中提高了难度,提高了学生的解题能力. 2.由于各校的情况不同,建议教师在使用本教案时灵活掌握,但必须在归纳推理的实施过程上下足功夫. 3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大,在课堂上没有充分暴露学生的思维过程,并给予针对性地诊 断与分析.

八、板书设计
2.1.1 合情推理

一、创设情景,引入新课 例2 二、探究新知 变式练习

三、理解新知 四、运用新知 例1

课堂小结

作业

枣庄三中 2012---2013 学年度上学期高二年级 数学学科教学案
2.1.1 曲线与方程

教材分析
本节内容是数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程的起始课.学生在必修二的学习中已经对解析几何有 了初步的了解,知道直线与圆的方程,并且讨论过这些曲线与相应方程的关系.本节课是在此基础上进一 步研究一般曲线(包括直线)和方程的关系.对以后研究椭圆双曲线抛物线方程有奠基作用.本节课重点是 了解曲线与方程的对应关系,难点是求曲线方程.通过本节课学习培养学生全面分析问题的能力,进一步 理解数形结合的思想。

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解曲线与方程的对应关系.

教学目标
重点:曲线的方程,方程的曲线定义. 难点:如何从两方面说明方程是曲线的方程,或曲线是方程的曲线. 知识点:曲线与方程的判定问题. 能力点:培养全面分析问题的能力,理解数形结合的思想. 教育点:经历由特殊到一般的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣. 自主探究点:如何判断“曲线的方程” 、“方程的曲线”. 考试点:判断曲线与方程是否对应. 易错易混点:对曲线的方程,方程的曲线定义理解不透.

教具准备 课堂模式

多媒体课件和三角板 学案导学

一、引入新课

在学习必修二的过程中我们已经体会到,建立了直角坐标系后:
一一对应 ??? ? ?



坐标(一个有序的实数对)

直线

一一对应 ??? ? ?

二元一次方程



一一对应 ??? ? ?

表示圆的二元二次方程

并借助方程研究了直线和圆的几何性质.(教师引导学生得出上面的对应关系) 〔坐标法〕像研究直线和圆那样,借助于坐标系研究几何图形的方法叫做“坐标法” ,这是研究解析几 何的基本方法.其中,坐标系是研究的重要工具.以此为基础,我们将进一步研究“曲线与方程”之间的关 系。 〔引出课题〕

二、探究新知 (一)画出下列函数图象
(1) y ?

1 x

(2) y ? x2

(3) x ? y ? 0

[设计意图]让学生及时回顾一下幂函数图象的画法,体会函数图象与函数解析式的对应关系.

(二)回答下列问题
(1)方程与函数之间的联系 函数 y ?

1 1 2 2 和 y ? x 都可以看作方程 y ? ? 0 和 y ? x ? 0 方程 x ? y ? 0 也可以看成函数 x x

y ? x 即:函数可以化成二元方程 f ( x, y) ? 0 的形式
(2)方程和曲线之间的关系 结合几何画板的动态演示,引导学生体会并分析出它们的共同点是:在曲线上任取一点的坐标,代入 方程能使等式成立,是方程的解;以方程的解所表示的点都在曲线上。 [设计意图]两个问题的设计为下一步介绍曲线的方程与方程的曲线做好铺垫. 思考:.下列方程是否能表示右面的图形?

y
(1)

x? y ?0

2 1 -2 -1 -1 o 1
M ( x0 , y0 )

2

x

(2) x ? y ? 0

(3) x ? y ? 0 由学生充分讨论后,教师归纳指出 (1)不能.它只能表示图形的一部分,有缺少,不完整. 即:以方程的解为坐标的点都在曲线上,但曲线上点的坐标不都是方程的解. (2)不能.它表示的是两条直线,其中之一是已知图形,有多余的部分. 即:以方程的解为坐标的点不都在曲线上,但曲线上点的坐标都是方程的解. (3)不能.它表示的是两条射线,既有多余又有缺少. 即:以方程的解为坐标的点不都在曲线上,且曲线上点的坐标也不都是方程的解. [设计意图]通过这个问题的讨论,使学生明白定义中的两个条件缺一不可.

(三)概念学习
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个 二元方程 f ( x, y) ? 0 的实数解建立了如下的关系: 如果具有以下两个关系: (1)曲线上点的坐标,都是这个方程的解; (2)以方程的解为坐标的点,都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.

三、理解新知
定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性,即曲线上所有点都适合这个条件. 定义中的条件 (2) 阐明了 曲线具有完备性,即适合条件的点都在曲线上.只有同时具备上述两个条件, 才能称为曲线的方程或是方程 的曲线.而“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y) ? 0 的解”

是“曲线 C 的方程是 f ( x, y) ? 0 ”的必要不充分条件; “以方程 f ( x, y) ? 0 的解为坐标的点都是曲线上的 点” 是“曲线 C 的方程是 f ( x, y) ? 0 ”的必要不充分条件. [设计意图]为准确地运用新知,作必要的铺垫.

四、运用新知
例 1 如果曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y) ? 0 的解,那么( D )

A 以方程 f ( x, y) ? 0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点.

B 以方程 f ( x, y) ? 0 的解为坐标的点,有些不在曲线 C 上.

C 不在曲线 C 上的点的坐标都不是方程 f ( x, y) ? 0 的解

D 坐标不满足 f ( x, y) ? 0 的点不在在曲线 C 上.

[设计意图]考查学生对定义的理解程度. 证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k (k ? 0) 的点的轨迹方程式是 xy ? ? k . 证明见课本第 35 页 [设计意图]此题为课本例题,意在让学生明白必须满足定义中的两个条件,方程才能称为曲线的方程. 例2 变式 1:到 x 轴距离等于 5 的点所组成的曲线的方程是 y ? 5 ? 0 吗? 变式 2:已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是 A(0,3) , B(?2,0) , C (2,0) .中线 AO ( O 为原点)所在 直线的方程是 x ? 0 吗?为什么?是 反思: BC 边的中线的方程是 x ? 0 吗?不是

五、课堂小结
师生共同总结: (1)“曲线的方程” 、“方程的曲线”的概念; (2)解析几何的基本思想使用代数法研究几何问题,而坐标法是研究解析几何的基本方法.

六、布置作业
1、下列各点中不在图形 x2-xy+2y+1=0 的图形上的是( ) [B] y

A、 (1,-2)B、 (2,-3)C、 (3,10)D、 (-3,-2)

2、请画出方程 y ?

x x2

的曲线

0

x

3、 (1)举出一个方程与曲线,使它们之间的关系符合定义条件中的① 而不符合② (2)举出一个方程与曲线,使它们之间的关系符合定义条件中的② 而不符合①

(3)举出一个方程与曲线,使它们之间的关系既符合定义条件中的① 又符合② 选做题:写出图中曲线方程. y

1

x2 ? y 2 ? 1( y ? 0)
-1 0 1 x

[设计意图]四个作业题各有特色,分别从不同方面检查本节课所学内容,最后一个选做题为下节课求曲线 的方程做准备.

七、教后反思
1.由于曲线和方程的对应关系比较抽象,本教案设计时由实例引入,根据学生对直线方程的掌握,以及对 基本函数图像的理解,使学生在感性认识的基础上,逐渐形成概念. 2. 为帮助学生更进一步理解概念,设计了反例来加深对“纯粹性”和“完备性”的理解. 3. 在教学中通过不同的例题,突出坐标系的作用.

八、板书设计
2.1.1 曲线与方程

1 (1) y ? x
(2) y ? x
2

(1)曲线上点的坐 标,都是这个方程的 解; (2) 以方程的解为坐 标的点,都是曲线上 的点. 那么这个方程叫做曲 线的方程;这条曲线 叫做方程的曲线

例1

课堂小结 1.2. 布置作业

(3) x ? y ? 0 图像

例2

1. 2. 3.选做题

枣庄三中 2012---2013 学年度上学期高二年级 数学学科教学案 2.1 曲线与方程(第二课时)
2.1.2 求曲线方程
教材分析 “求曲线方程”把高中数学中的解析几何和代数紧紧连在一起,容纳了高中数学教学中很多的数学思想,

如函数与方程思想,数形结合思想,等价转换思想及运动变换思想,这正是高考中重点所要考察的数学思 想。 另外, 本节内容为以后的圆锥曲线内容作了理论和方法上的准备, 是解析几何中承上启下的关键内容。 教学目标 重 难 点:求曲线方程的基本方法和步骤; 点:求曲线方程;

教学难点中,面临着三个问题: (1) 如何建立适当的坐标系? (2) 如何从形成曲线的几何条件中寻找等量关系? (3) 如何将几何等量关系转化为曲线的方程。 知识点:能叙述求曲线方程的一般步骤,并能根据所给条件选择适当的坐标系,求出曲线的方程; 能力点:在讨论由曲线求方程中,培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力和全面分析问题的能力; 教育点:通过求曲线方程的基本方法和步骤的归纳概括,培养学生的观察、分析问题的能力,积极思维, 追求新知的创新意识; 自主探究点:分单元组探究求曲线方程的基本方法和步骤; 考试点:由于求曲线方程所给条件是多种多样的,所以问题一般比较灵活; 易错点:求曲线方程第五步检验,部分同学容易忽略一些限制条件; 教 法:启发式、单元组合作讨论式: 教具准备:多媒体课件,投影仪. 课堂模式:学案导学 教学过程 一、情境引入 引例:在南沙群岛中,甲岛与已岛相距 8 海里,一艘军舰在海上巡逻,巡逻过程中,从军舰上看甲乙两岛, 保持视角为直角,你能否为军舰巡逻的路线写一个方程? 学生活动:独立思考,自主探索,动手实践,合作交流。 设计意图:首先通过学生讨论,猜测军舰巡逻的路线,在用电脑演示军舰巡逻的动画效果,使学生知道路 线应该是一个圆,同时也使学生想到了初中学过的点的轨迹这个概念,并适时地让他们再举几个生活中有 关点的轨迹的例子。 二、新知探讨 1.解析几何与坐标法: 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中,用坐标法研究几何图形的知识形成 的学科叫做解析几何.因此,解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 建议:简介什么是解析几何?并以小故事的形式简单讲述迪卡尔和费马是怎样创立的解析几何及其发展 史? 设计意图:以小故事的形式让他们了解解析几何这门学科,可以提高他们学习本节内容的兴趣,适当的调 解一下部分同学在接受新知识时, 担心学不好的情绪。 用数学家的故事去激励他们不断地去开拓, 去创新, 去探索数学王国里的神奇。 2.平面解析几何研究的主要问题: (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过方程,研究平面曲线的性质. 二、下面我们讨论求曲线方程的问题 例2 设 A,B 两点的坐标是(-1,-1)(3,7) , ,求线段 AB 的垂直平分线的方程. 思考:①如果把这条垂直平分线看成是动点运动的轨迹,那么这条垂直平分线上任意一点应该满足怎样的 几何条件?②几何条件能否转化为代数方程?用什么方法进行转化?③用新方法求得的直线方程,是否已

符合要求?为什么?(提示:方程与曲线构成对应关系,必须满足什么条件?) 设计意图:学生在此之前已经学过直线的方程,因此例2会很容易的求出,然后引导学生从点的轨迹角度 考虑此题的解题思路,鼓励学生多向思维。 解答:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上任意一点,也就是点 M 属于集合

P ? ?M | MA |?| MB |?.
由两点间的距离公式,点 M 所适合条件可表示为:
M (x , y)

y B

( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7)
2 2 2

2

将上式两边平方,整理得: x+2y-7=0 ① 我们证明方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程. O (1) 由求方程的过程可知, 垂直平分线上每一点的坐标都是方程 A ①解; (2)设点 M1 的坐标(x1,y1)是方程①的解,即 x+2y1-7=0 x1=7-2y1 点 M1 到 A、B 的距离分别是
2 M 1 A ? ( x1 ? 1) 2 ? ( y1 ? 1) 2 ? (8 ? 2 y1 ) 2 ? ( y1 ? 1) 2 ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13) ;

l x

2 M 1 B ? ( x1 ? 3) 2 ? ( y1 ? 7) 2 ? (4 ? 2 y1 ) 2 ? ( y1 ? 7) 2 ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13)

? M1 A ? M1B ,
即点 M1 在线段 AB 的垂直平分线上. 由(1)(2)可知方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程. 、 探究:单元组合作探讨归纳求曲线方程的一般步骤? 归纳:求曲线的方程,一般有下面几个步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)}; (3)用坐标表示条件 P(M) ,列出方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 说明:一般情况下,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可适当予 以说明.另外,根据情况,也可以省略步骤(2) ,直接列出曲线方程. ④ 理解新知 求曲线的方程的步骤------“建、设、限、代、化” 就是建系、设点、列式(限制条件) 、代点、化简、检验。 ⑤ 巩固新知 例 3 已知一条直线 l 和它上方的一个点 A,点 A 到 l 的距离是 2,一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 A 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程。 思考: (1)本例与例 2 相比,有什么显著的不同点?(2)你准备如何建立坐标系,为什么?(3)比较所求的轨迹 方程有什么区别?从中得到什么体会? 在独立思考,相互交流讨论的基础上,教师适时点拨,学生自主解决. 解题反思(1)没有确定的坐标系时,要求方程首先必须建立坐标系. (4)坐标系选取适当,可以使运算简单,所得的方程也比较简单.

(5)同一条曲线,在不同的坐标系中会有不同的方程. (6)注意结合实际检验不和题意的条件. 建立坐标系的原则: 一是建立的坐标系有利于求出题目的结果;二是尽可能多的使图形上的点(或已知 点) ,落在坐标轴上;三是充分利用图形本身的对称性.若曲线是轴对称图形,则可以选它的对称轴为坐标 轴,也可以选取曲线上的特殊点为坐标原点. 五、课堂练习 P37 1、2、3 拓展习题:在直角△ABC 中,斜边是定长 2a(a>0),求直角顶点 C 的轨迹方程. 三种解法: 解法一:勾股定理 由于未给定坐标系,为此,首先建立直角坐标系,取 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的中点 O 为坐标原点, 过 O 与 AB 垂直的直线为 y 轴(如图 2-6).则有 A(-a,0),B(a,0).由于 C 点到达 A,B 位置时直角三角 形 ABC 不存在,轨迹中应除去 A,B 两点,故所求方程为 x2+y2=a2(x≠±a). 解法二:斜率乘积等于-1 解法三:斜边上的中线等于斜边的一半

六、课堂小结 师:通过本节学习,要求大家初步认识坐标法研究几何问题的知识与观点,进而逐步掌握求曲线的方 程的一般步骤,明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础;同时,根据曲线上的点所要适合的条件列 出等式,是求曲线方程的重要环节,在这里常用到一些基本公式,如两点间距离公式,点到直线的距离公 式,直线的斜率公式等. 七、布置作业 P37 习题 A 组 3,4 B 组 2 八、教后反思 本节内容可以说是一个承前启后的内容,主要采用启发式、单元组讨论式的教学方法,通过问题激发 学生求知欲, 使学生主动参与数学实践活动, 以独立思考和单元组相互交流的形式, 在教师的指导下发现、 分析和解决问题,从而使学生形成自主学习的能力,让学生懂得去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑, 围绕中心各抒己见,把思路方法和需要解决的问题弄清。 在教学过程中重点锻炼学生建立直角坐标系和列限制条件的能力,强调求完方程后一定检验下有没有 忽略的条件。 九、板书设计

引例

§2.1.2 求曲线的方程 1、解析几何的概念 2、解几研究的内容 3、求曲线方程的步骤 “建设限代化”

例2

拓展练习

例3 作业:

枣庄三中 2012---2013 学年度上学期高二年级 数学学科教学案
§2.2 椭圆的几何性质 1

编号
授课类型:新授课

教材分析
利用已知条件求曲线的方程,利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务,利用方程研究 椭圆的几何性质可以说是第一次,传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线,让学生观察、猜 想椭圆的几何性质,然后再利用椭圆的标准方程进行证明,体现从感性到理性符合学生的认知规律等,也 可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路,但未能很好的体现“利用方程研究曲线性质”的本质。因 此,本人在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识,在三个性质的研究中一直是用方程 的结构特征来得到性质,真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力。同时,根据椭圆的简单几何性 质的课时安排,本节课不研究椭圆的离心率,保证了学生的研究时间;与直线方程和圆方程的类比能够使 得学生掌握椭圆标准方程的特点,学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元,说明该种教学方法还是 符合学生的认知规律的,同时体现了教材的本质。

教学目标
重点:从知识上来讲,要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质;从学生的体验 来说,需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现,如思维角度和思维方法。 难点:椭圆几何性质的形成过程,即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。通过 本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过 程应是教学的难点。

教具准备
使用实物投影及多媒体辅助教学。借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程,突出学生的思维角 度与思维认识,遵循学生的认知规律,提高学生的思维层次。

教学过程:
一、创设问题情景,学生自主探究:
方程 16 x ? 25 y ? 400 表示什么样的曲线,你能利用以前学过的知识画出它的图形吗?
2 2

学生活动过程: 情形 1:列表、描点、连线进行做图,在取点的过程中想到了椭圆的范围问题; 情形 2:求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点,联想椭圆曲线的形状得到图形;

情形 3:方程变形,求出 a, b, c ,联想椭圆画法,利用绳子做图; 情形 4:只做第一象限内的图形,联想椭圆形状,对称得到其它象限内的图形; 辨析与研讨:实物投影展示学生的画图过程,挖掘学生的原有认知,体现同学的思维差异,培养学生 的思维习惯。 设计意图: (1)问题设置来源于课本例题,选题目的有利于学生从多个角度进行思考和探索,培养学生的发散 思维,第一问的解决体现了对二元二次方程的研究,为利用方程研究性质打下基础; (2)课堂教学体现学生自主探究知识的过程,问题的设置体现了研究问题角度的转变——用方程研 究曲线性质的问题,同时使学生意识到椭圆的几何特征:范围、对称性、关键点; (3)实物投影展示学生的研究过程和研究成果,重在发现学生的思维差异和思维认识层次; (4)辨析过程中重视学生的思维起点,通过彼此交流,发现问题,共同探讨,得到统一的认识。 教师点评: (1)能够抓住椭圆的几何特征;范围、对称性、关键点做图; (2)研究问题的方向发生了变化,利用方程研究曲线的几何性质; (3)本节课我们利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质,体现特殊到一般的思想方法。 教师板书:椭圆的简单几何性质

二、引导评价,引入课题:
x2 y 2 设置问题,学生思考:与直线方程和圆的方程相对比,椭圆标准方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 有什么特 a b
点? (1)椭圆方程是关于 x , y 的二元二次方程; (2)方程的左边是平方和的形式;右边是常数 1; (3)方程中 x 和 y 2 的系数不相等; 设计意图:类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点,体现了新旧知识的联 系与区别,符合学生的认知规律,同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备. 【问题 1】自主探究:结合椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的范围; 实物投影展示学生的解题过程,激励学生开拓思维: 学生活动过程: 情形 1:
2

x2 y 2 x2 y2 ? 2 ? 1 变形为: 2 ? 1 ? 2 ? 0 , x2 ? a2 ? x ? a ? ?a ? x ? a a2 b a b

这就得到了椭圆在标准方程下 x 的范围: ? a ? x ? a 同理,我们也可以得到 y 的范围: ?b ? y ? b

情形 2:可以把

x y x2 y 2 ? 2 ? 1 看成 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,利用三角函数的有界性来考虑 , 的范围; 2 a b a b

教师点评:太聪明了,你可能没有意识到,如果将 a , b 乘过去,就得到了 ?

? x ? a cos ? ,这是我们以后要 ? y ? b sin ?

学习的椭圆方程的另外一种表达方式,椭圆的参数方程,有兴趣的同学下起可以阅读有关内容,所以说我 们在研究问题的过程中,结果并不重要,重要的要打开研究问题的思路,拓宽我们的思维角度。

谁还有其他的方法:

x2 情形 3:椭圆的标准方程表示两个非负数的和为 1,那么这两个数都不大于 1,所以 2 ? 1 ,同理可以 a
得到 y 的范围 设计意图: (1)传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质,然后利用方程进行证明,没有真正 体现出利用方程研究曲线几何性质的路子,因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点,使 学生在把握椭圆方程结构特征(1)和(2)的基础上来研究椭圆曲线的几何性质; (2)通过开头问题的铺垫,学生的思维在这里体现的异常活跃,除了教材中得到范围的方法外,另 外两种方法很多同学都能想到,使学生真正感受成功的喜悦; (3)多媒体课件展示椭圆的范围,体现数形结合思想。 结论:由椭圆方程中 x , y 的范围得到椭圆位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形里。 【问题 2】自主探究:继续观察椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的对称性; 实物投影展示学生的解题过程,体现学生的思维认识: ?x 代 x 后方程不变,说明椭圆关于 y 轴对称; ? y 代 y 后方程不变,说明椭圆曲线关于 x 轴对称; ?x 、 ? y 代 x , y 后方程不变,说明椭圆曲线关于原点对称; 问题设置:从对称性的本质上入手,如何探究曲线的对称性?

( 三、 辨析与研讨: x 代 x 后方程不变, 就是用 (? x, y ) 来代换方程中的 ( x, y ) , 方程不变, ? x, y ) ?
和 ( x, y ) 关于 y 轴对称,两点坐标都满足方程,而 ( x, y ) 是曲线上任意一点,因此椭圆曲线关于 y 轴对称; 其它同理。 相关概念:在标准方程下,坐标轴是对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 设计意图: 抓住椭圆标准方程的特点不放松,引导学生探究如何利用方程研究椭圆的对称性; 在学生的表述过程中重视学生的思维方式,培养学生正确处理问题的 思路,能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法; 多媒体课件展示椭圆的对称性,使学生体会椭圆的对称美。 【问题 3】自主探究:再次观察椭圆标准方程的特点,利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标 实物投影展示学生的解题过程,体现学生的思维认识: 在椭圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b , y ? 0 ,得 x ? ? a 顶点概念:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点 顶点坐标; A1 (?a,0), A2 (a,0) , B1 (0, b), B2 (0, ?b) 相关概念:线段 A A2 , B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2a, 2b , a 和 b 分别叫做 1 椭圆的长半轴长和短半轴长, 在椭圆的定义中, 2c 表示焦距,这样,椭圆方程中的 a, b,c 就有了明显的几何意义。 设置问题: 在椭圆标准方程的推导过程中令 a ? c ? b 能使方程简单整齐,其几何意义是什么?
2 2 2

学生探究:

c 表示半焦距, b 表示短半轴长,因此,联结顶点 B2 和焦点 F2 ,可以构造一个直角三角形,在直角
三角形内, OF2
2

? B2 F2 ? OB2 ,即 a 2 ? c2 ? b2 ;
2 2

多媒体展示特征三角形. 设计意图: (1)利用方程研究椭圆的顶点坐标学生比较容易接受,相关概念也容易理解,关键是 a ? c ? b 的
2 2 2

几何意义,多媒体课件的展示体现 a, b,c 的几何意义,从而得到 a ? c ? b 的本质。
2 2 2

四、课堂练习:
阅读课本例 1,你有什么认识? (1)利用方程研究椭圆的几何性质时,若椭圆的方程不是标准方程,首先应将方程画为标准方程, 然后找出相应的 a, b, c 。 利用椭圆的几何性质,可以简化画图过程,保证图形的准确性 (2)掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项: (1)以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形; (2)由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点; (3)用曲线将四个顶点连成一个椭圆; (4)画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性. 设计意图: (1)学生阅读交流提高认识而不是教师讲解,能够使学生感悟知识的应用; (2)与开头相呼应,使学生认识到椭圆的简单几何性质能够简化做图过程; 反思与评价: 回顾知识的形成过程,同学交流,谈谈对本节课的认识: (1)知识与技能:椭圆的范围、对称性、顶点,初步学习了利用椭圆标准方程研究椭圆曲线性质的 方法; (2)过程与方法:重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养;以自主探究为主, 通过体验数学发现和创造的历程,培养了我们观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力; (3)情感、态度与价值观:善于观察,敢于创新,学会与人合作,感受到探究的乐趣,体会椭圆方 程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美,培养学生的审美习惯和良好的思维品质。 设计意图:不会反思,就不会学习,通过反思,深化知识的形成过程,完善认知结构,掌握研究的方 法和思路,拓宽思维角度,提高思维层次。

五、课后作业:
(1)反思知识的形成过程,掌握研究问题的方法;

y 2 x2 (2)研究 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的范围、对称性、顶点; a b
(3)课后延伸:同学们再来观察椭圆的结构特征“方程中 x 和 y 的系数不相等” ,因此当 x 和 y 的 系数发生变化时,椭圆的形状是如何随之变化的? 设计意图:课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸,作业(1)强调研究方法的重要性,作业
2

2

2

2

(2)是对学生学习效果的一种检验,作业(3)引导学生利用椭圆方程的结构特征自主研究椭圆的另一条 性质——离心率;

六、板书设计
椭圆的简单几何性质 椭圆的标准方程:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

1、范围:椭圆位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形里。 2、对称性:椭圆关于 x 轴、 y 轴、原点都对称 3、顶点:顶点坐标为: (? a, 0) , (0, ?b) 课堂练习:

七、课堂设计说明:
1、 课堂教学模式的设置: 自主探究是传统教学模式的一种补充,自主探究能够使学生成为研究问题的主人,能够培养学生的思 维能力。数学是思维的科学,思维能力是数学的核心,教学过程的设计要能够体现教学本质;能够突出所 学数学内容的本质;组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处。因此,课堂教学中提倡问题教学,抓住学 生的认识现实,恰当地创设问题情境,使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习。 2、 课堂练习题的说明: 如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质是本节课的主题,是进一步学习双曲线和抛物线的基 础。为了不冲淡主题,课堂教学过程中重在培养学生的研究方法,提高学生的思维能力。因此,在椭圆几 何性质的其它课时中将适当增加相应的练习,强化学生对知识的掌握和应用。

枣庄三中 2012---2013 学年度上学期高二年级 数学学科教学案
§2.2 椭圆的简单几何性质(二)

编号 2147

教材分析
引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本节中不仅要注意通过对椭圆的 标准方程的讨论,研究椭圆的几何性质的理解和应用,而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标 准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围;②由方程的性质得到椭圆的对称性;③先定义圆锥曲线顶点 的概念,容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念;④通过 P45 的思考问题,探究椭圆的扁平程度 量椭圆的离心率.

教学目标

1.知识与技能: 了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点 的概念;掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;通过例题了解椭圆的第二定义,准线的概 念,利用信息技术初步了解椭圆的第二定义.

.
2.过程与方法: 椭圆的简单几何性质,能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离 心率,让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题,培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学 辅助手段的技能. 3.情态与价值:在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探 究,教学相长的教学活动情境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科 学世界观,激励学生创新. 4.教学重、难点: 重点:了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶 点的概念。 难点:掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;通过例题了解椭圆的第二定义,准线的概念。

课堂模式

学案导学

三、引入新课
复习 1: 椭圆 率

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标是( 16 12 .

) (

) ;长轴长

、短轴长

;离心

复习 2:直线与圆的位置关系有哪几种?如何判定? ※ 学习探究 问题 1:想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢? 问题 2:椭圆与直线有几种位置关系?又是如何确定? 反思:点与椭圆的位置如何判定?

二、运用新知
例 5 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口 BAC 是椭圆的一部 分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个焦点 F 发出的光线,经过旋 1 1 转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 .已知 BC ? F1 F2 , F B ? 2.8cm , F F2 ? 4.5cm .建立适当的 1 1 坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.

解法剖析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的值;此题应注意两点:①注意建立直角坐 a 2 b2
系的两个原则;②关于 a, b, c 的近似值,原则上在没有注意精确度时, 题中其他量给定的有效数字来决定.





4 25 的距离的比是常数 ,求点 M 的轨迹. 5 4 小结:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数(小于 1)的点的轨迹是椭圆 .
例 6 点 M ( x, y ) 与定点 F (4,0) 的距离和它到直线 l : x ?

例 7:已知椭圆 小距离是多少?

x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 。椭圆上是否存在一点,它到直线 l 的距离最小?最 25 9

变式:最大距离是多少?

练习: 经过椭圆 的长.

x2 直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点, AB 求 ? y 2 ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 60? 的直线 l , 2

2 拓展:弦长 l ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 ) ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?

三、当堂达标
x2 y 2 . ? ? 1 , P 到两焦点的距离之差为 ,则 ?PF1 F2 是( ) 16 12 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若△F1PF2 为等腰直角三角 、F 形,则椭圆的离心率是( ) . 2 2 ?1 A. B. C. 2 ? 2 D. 2 ? 1 2 2 x2 y 2 3.已知椭圆 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个直角三角形的三 16 9 个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( ) . 9 7 9 9 A. B. 3 C. D. 7 4 5 4.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列,则其离心率为 . x2 y 2 5. 椭圆 ? 过原点 O 作直线与椭圆相交于 A, B 两点, ?ABF2 的面积是 20 , 若 ? 1 的焦点分别是 F1 和 F2 , 45 20
1.设 P 是椭圆

则直线 AB 的方程式是



6.求下列直线 3x ? 10 y ? 25 ? 0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的交点坐标. 25 4

3 x2 y 2 ? ? 1 ,一组平行直线的斜率是 2 4 9 ⑴这组直线何时与椭圆相交? ⑵当它们与椭圆相交时,这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上?
7.若椭圆

四、课堂小结
1 .椭圆在生活中的运用; 2 .椭圆与直线的位置关系: 相交、相切、相离(用 ? 判定) . ※ 知识拓展 直线与椭圆相交,得到弦, 弦长 l ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 ) ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ? 其中 k 为直线的斜率, ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 是两交点坐标.
2

五、课后作业:课本第 49 页习题 2.2

A 组第 6.8 题

六、板书设计
椭圆的简单几何性质 1、范围: ?a ? x ? a , ?b ? y ? b , 2、对称性:椭圆是以 x 轴 和 y 轴为对称轴,原点为 对称中心 3、顶点 4、离心率: e ? 范例讲解 例4

c a

例5

练习

练习

七、教后反思 枣庄三中 2012---2013 学年度上学期高二年级 数学学科教学案

2.3.1 双曲线及其标准方程 (第一课时)

教材分析
双曲线是继椭圆之后学习的又一种圆锥曲线,它是解析几何的重要内容之一,无论从知识的角度还是 从思想方法的角度双曲线都与椭圆有类似之处。与椭圆相比,双曲线所涉及到的知识更加丰富、方法更加 灵活,能力要求更高。学习双曲线本身就是对椭圆知识和方法的巩固、深化和提高。自然也为进一步学习 抛物线,解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础。本节课:“双曲线及其标准方程”是双曲线的第 一节课,在这一节我们要准确的理解双曲线的定义,并在此基础上推导双曲线的标准方程,显然学好本节 内容又是学习好双曲线的重要前提。

教学目标
重 难 点:双曲线的定义、标准方程及其简单应用; 点:双曲线的标准方程的推导;

知识点:与椭圆定义类比,深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程; 能力点:通过定义及标准方程的深刻挖掘与探究,培养学生类比推理的能力,激发学生的学习兴趣,培养学 生思考问题、分析问题、解决问题的探究能力; 教育点:学会用辩证的观点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性,并从中发现数学 曲线的简洁美和对称美; 自主探究点:分单元组探究双曲线的画法、定义、标准方程; 考试点:对双曲线的定义及标准方程的考察; 易错点:双曲线的标准方程与椭圆标准方程的区别,及 a, b, c 之间的关系; 教 法:启发式、单元组合作讨论式:通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与活动,以独立思考和单 元组交流的形式,在教师的指导下发现问题、分析问题和解决问题.

教具准备:多媒体课件,投影仪. 课堂模式:学案导学 教学过程 一、复习回顾
1.前面我们已经学习了椭圆的有关知识,请同学们回忆一下椭圆的定义. (由一位学生口答,教师利用多媒体投影) 椭圆定义:平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫 做 椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 【设计意图】 :通过对椭圆的定义的回顾引入新课,这一环节既可以使学生温故而知新,也为下面的 学习做好铺垫。 2.探究问题:平面内,如果以动点到两个定点之间距离的关系是定值为依托,请同学们自己设计一些轨迹 探求问题? (学生先独立思考,然后单元组内合作交流,并派代表发言) 学生回答:距离之差,距离之积,距离之商,或距离的平方的和,...... 【设计意图】 :让学生自己去设计一些问题,来激发学生的学习热情,并能开发学生的思维能力. 教师:同学们请大家课下利用求曲线方程的研究思路,来验证下你们设计的这些轨迹是否存在,若存在它

是什么图形?

二、新知探索
1.探讨双曲线的定义 提出问题:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之差等于常数的点的轨迹是什么?学生思考(老师在黑板上画 出两个点 F1 , F2 ,使 F1 在左侧, F2 在右侧.记 F1 F2 =2c,2c>0) 。 师:在椭圆的定义中到两个定点的距离的和是正数,那么,平面内到两定点的差这个常数还一定是正 数吗? 生:不一定. 师:可能是什么数呢? 生:是正数,负数或零. 师:当常数是零时动点的轨迹是什么? 生:是线段 F1F2 的中垂线. 师:当常数是正数时的点的位置在什么地方? 生:在线段 F1F2 的中垂线的右侧。 师:当常数是负数时的点的位置在什么地方? 生:在线段 F1F2 的中垂线的左侧。 师:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之差等于非零常数的点的轨迹到底是什么呢?我们一起做一个实 验来探索。 实物拉链演示:双曲线的形成(请同学参与协助画图) 取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边的长度相等,现将其中的一边剪掉一段(长为 2a),两端 点分别固定在黑板的两个定点 F1 , F2 上,把粉笔放在拉链关上,随着拉链的逐渐拉开或闭合,粉笔就画出 了一条曲线,这条曲线上的点满足 MF ? MF2 ? 常数,调换两拉链的固定点可得另一边的曲线,这条 1 曲线上的点满足 MF2 ? MF ? 常数。 1 师:我们将这两条曲线叫双曲线,其中的一条叫双曲线的一支. 提出问题:与椭圆类比,在椭圆里,到两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数 2a,只有这个常数 2a 大于两定点 的距离时,动点的轨迹才是椭圆,当两个定点 F1 , F2 的距离之和等于两定点的距离时,动点的轨迹是 F1 , F2 之间的线段。 在双曲线里,到两个定点 F1 , F2 的距离差 2a 与两定点 F1 , F2 的距离 2c 之间是否也有大小关系 呢? 学生回答:2a<2c 师:当 2a=2c 时,动点的轨迹是什么? 生:以 F1 , F2 为端点的两条向外射线. 师:当 2a>2c 时,动点有轨迹吗? 生:动点没有轨迹. 提出问题:那么,如何给双曲线一个科学的定义呢?(请同学回答)

【设计意图】(1)让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展,将实际问题抽象为数学模型, : 并进行解释与运用的过程。课堂教学的关键是要激发学生的求知欲,让学生主动参与,发现学习。 (2)通过设问,把学生逐步引入问题情景中,通过师生互动等形式,让学生在问题中学会思考,学会学 习,最终使问题得以解决。同时,问题具有一定的梯度,对学生的思考有一定的引导和启发作用。 2.归纳双曲线的定义:平面内与两定点 F1、F2 的距离的差的绝对值是常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨 迹叫做双曲线.这两个定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距. 强化学生对定义理解: (1)定义中“平面内”起到什么作用? 如果没有这个条件,点的轨迹将变为一个立体图形。 (4)将定义中的“绝对值”去掉,动点的轨迹是什么? 双曲线的一支 (5)将定义中的常数改为零,动点的轨迹是什么? F1F2 的中垂线。 (4)将定义中的“小于”改为“等于” ,动点的轨迹是什么? 两条射线 (5)将定义中的“小于”改为“大于” ,动点的轨迹是什么? 不存在。 【设计意图】 :在上述基础上,引导学生再次理解双曲线的定义. 3.双曲线标准方程的推导 现在我们可以用类似于求椭圆标准方程的方法求双曲线的标准方程,请同学们思考回忆椭圆标准方程的推 导方法,随后引导学生自己推导. (由一位学生板演,教师巡视,再利用多媒体展示化简过程) ) (1)建系:取过焦点 F1 , F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系。 (2) 设点:设 M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距为 2c(c>0) ,则 F1(-c,0) 2(c,0) 、F ,又 设点 M 与 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(2a<2c). (3)列式:由定义可知,双曲线上点的集合是 P={M|||MF1|-|MF2||=2a}. (4)代点: (5)化简:
y

?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ? c ?2 ? y 2 ? 2a, ?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ? c ?2 ? y 2 ? ?2a
2 2 2 2 2 2 2 2

M

F1

O

F2

x

整理得 (c ? a ) x ? a y ? a (c ? a ) , 两边同除以 a (c ? a ) ,得
2 2 2

x2 y2 ? 2 ? 1. a2 c ? a2

由 双 曲 线 定 义 知 2a ? 2c,即a ? c,所以c 2 ? a 2 ? 0. 类 比 椭 圆 标 准 方 程 的 建 立 过 程 , 我 们 令
2 2 c 2 ? a 2 ? b2 (b ? 0) 代入上式,得 x 2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) . a b

这个方程叫做双曲线的标准方程,它所表示的双曲线的焦点在 x 轴上,焦点是 F1(-c,0) 2(c,0) 、F , 【设计意图】 :由学生类比椭圆的标准方程的建立过程去得双曲线的标准方程,即锻炼了学生的类比归纳 的能力、有提高了学生的演算能力,还强化了学生对 a, b, c 三者之间关系的理解. 思考: 双曲线的焦点 F1(0,-c) 2(0,c)在 y 轴上的标准方程是什么? 、F

y2 x2 类比椭圆不难得出: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b

所以求焦点在 y 轴上的双曲线方程,只需把焦点在 x 轴上的双曲线标准方中x,y互换即可.

三、理解新知
两种标准方程的比较(引导学生归纳): (1)

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 表示焦点在 X 轴上的双曲线,焦点是 (?c,0) ,这里 c 2 ? a 2 ? b 2 . 2 a b y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 表示焦点在 y 轴上的双曲线,焦点是 (0,?c) ,这里 c 2 ? a 2 ? b 2 . a2 b2

(2)

强调: ?双曲线标准方程中,a>0,b>0,但 a 不一定大于 b; 2 2 ?如果 x 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上;如果 y 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上. 注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上. ?双曲线标准方程中 a, b, c 的关系是 c ? a ? b ,不同于椭圆方程中 c ? a ? b .
2 2 2 2 2 2

【设计意图】 :强化学生对椭圆标准方程和双曲线标准方程的区别,以防学生在运用中把二者混用.

九、运用新知 1、典例分析
例 1:判断下列方程是否表示双曲线,若是,写出焦点坐标

x2 y2 ? ?1 (1) 2 2

(2) 2 y ? 7 x ? ?14
2 2

【设计意图】 :本例让学生写出给出的双曲线的焦点坐标是为了让学生清楚:求双曲线的焦点坐标(或者 是方程当中的 a, b, c ) ,必须要把方程化为标准方程. 例 2 已知双曲线两个焦点的坐标为 F1 (?5,0),F2 (5,0) , 双曲线上一点 P 到 F,F2 的距离之差的绝对值等 1 于 6,求双曲线标准方程 解:因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为
王新敞
奎屯 新疆

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2
∵ 2a ? 6,2c ? 10 ∴ a ? 3, c ? 5 ∴ b ? 5 ? 3 ? 16
2 2 2
王新敞
奎屯 新疆

故,所求双曲线标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 16

【设计意图】 :本例是双曲线的实际应用,关键是利用双曲线的定义来解题,要注意焦点的位置.

2、反馈练习
课本 P 练习 1、2、3. 55

3、拓展例题
例 3:已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,求 m 的取值范围. 2 ? m m ?1

分析:由?

?2 ? m ? 0 , 得 -1 ? m ? 2 . ?m ? 1 ? 0
2

变式一:已知方程 x

2?m

?

y2 ? 1 表示双曲线,求 m 的取值范围. m ?1

分析:由(2 - m)(m? 1) ? 0 , 得 -1 ? m ? 2.

变式二:已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,求 m 的取值范围. 2 ? m m ?1

分析:由?

?m ? 1 ? 0 ,得m ? 2 . ?2 ? m ? 0
x2 y2 ? ? 1 是否可以表示椭圆和圆? 2 ? m m ?1

变式三:方程

?2 ? m ? 0 分析:由 , 得 - 1 ? m ? 2时为椭圆 . ? ?m ? 1 ? 0
当2 - m ? m ? 1,即 m ? 1 时,表示圆. 2

【设计意图】 :通过变式的练习加强学生对标准方程的理解

五:课堂小结(单元组交流整理,再选出代表发言,其他小组有不同见解可给与补充.)
1、双曲线定义形成过程 (注意差的绝对值、2a<2c 及当 2a>2c,2a=2c 时轨迹) 2、双曲线标准方程的建立(注意椭圆标准方程和双曲线标准方程的区别) 3、双曲线的简单应用

六、布置作业
课本 P 习题第 1、2 题 61

七、教后反思
本节课的第一个亮点就在于复习回顾中的探究问题,让学生自己设计一些轨迹探求问题,课堂上学生 发言很活跃;第二个亮点在实物拉链演示得双曲线图形,我让每个单元组准备一套,每个人都画一次,从 中体验得到双曲线图形的快乐;第三个亮点让学生总结双曲线标准方程和椭圆标准方程的区别,第四个亮 点在大家探讨拓展例题时各个单元组都能积极抢答。 不足之处因为在探讨椭圆的标准方程时给学生留的时间过多以至于后面任务没能完成,所以这节课在 探讨双曲线标准方程时给留的时间不太多,部分学生能完成,再者在例题和练习的处理中时间有些紧张。

八、板书设计

复习回顾 实物拉链演示

标准方程探讨

2.3.1 双曲线及其标 准方程 1、定义 2、标准方程 (1)焦点在 x 轴上 (2)焦点在 y 轴上

例1 例2 练习

拓展例题 例3

作业

c 2 ? a 2 ? b2

枣庄三中 2012---2013 学年度上学期高二年级 数学学科教学案
§3.1. 空间向量数量积运算(第 1 课时)
教材分析
从教学大纲和教材上看,向量作为一种基本工具,利用向量知识,可以解决不少复杂的的代数几何问 题。按照传统方法解立体几何题,需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力,学生往往由 于这些能力的不足造成解题困难。 用向量处理立体几何问题, 可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题, 为研究立体几何提供了新的思想方法和工具,具有相当大的优越性;而且,在丰富学生思维结构的同时, 应用数学的能力也得到了锻炼和提高。并且为进一步学习后面的内容起了良好的铺垫作用.

教学目标
重 难 点:空间向量的加减与数乘运算及运算律。 点:由平面向量类比学习空间向量。

知识点:空间向量数量积公式及其应用。 能力点:如何将几何问题等价转化为向量问题;在此基础上,通过向量运算解决几何问题。 教育点:探究空间几何图形,将几何问题代数化,提高分析问题、解决问题的能力。 自主探究点:分单元组探究比较平面、空间向量。 考试点:不等式基本性质的应用; 易错点:空间向量的夹角公式; 拓展点:利用空间向量解决立体几何的问题。 教 法:⑴单元组合作探讨 (2)讲练结合法

教具准备:多媒体课件,投影仪. 课堂模式:学案导学 【教学过程】
一、 回顾引入 问题 1、复习平面向量数量积定义: 2、平面向量中有两个平面向量的数量积,与其类似,空间两个向量也有数量积. 设计意图:通过回顾旧知,加强学生对新知和旧知的联系,利用旧知来学习新知。 二、探究新知 1. 两个非零向量夹角的概念:已知两个非零向量 a 与 b, uur uuu r 在空间中任取一点 O,作 OA =a, OB =b,则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作.<a,b> 说明:⑴规定: 0 ? <a,b> ? ? . 当<a、b>=0 时,a 与 b 同向;

当<a、b>=π 时,a 与 b 反向; 当<a、b>=

?
2

时,称 a 与 b 垂直,记 a⊥b.

⑵ 两个向量的夹角唯一确定且<a,b>=<b,a>. ⑶ 注意:①在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的. ②<a,b> ? (a,b) 2. 两个向量的数量积:已知空间两个向量 a 与 b,|a||b|cos<a、 b>叫做向量 a、b 的数量积,记作 a· b, 即 a·b=|a||b|cos<a,b>. 说明:⑴零向量与任一向量的数量积为 0,即 0·a=0; ⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. uuu r 几何意义:已知向量 AB =a 和轴 l,e 是 l 上和 l 同方向的单位向量.作点 A 在 l 上的射影 A′,点 B 在 l 上 uuu r uuu r uuuur 的射影 B′,则 A ' B ' 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 方向上的正射影,简称射影.可以证明: A' B ' =| AB | cos<a,e>=a·e.说明:一个向量在轴上的投影的概念,就是 a·e 的几何意义. 设计意图:通过学生已有的知识,来建构新知,以此来理解空间数量积的定义以及意义。 三、理解新知 3. 空间向量数量积的性质:根据定义,空间向量的数量积和平面向量的数量积一样,具有以下性质: ⑴a·e=|a|·cos<a,e>; ⑵a⊥b ? a·b=0 ⑶当 a 与 b 同向时,a·b=|a|·|b|; 当 a 与 b 反向时,a· b=-|a|· |b|. 特别地,a· a=|a|2 或|a|= a ? a ? a2 . a ?b ⑷cos<a,b>= ; ⑸|a·b|≤|a|·|b|. a?b 4. 空间向量数量积的运算律:与平面向量的数量积一样,空间向量的数量积有如下运算律: ⑴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) (数乘结合律); ⑵ a·b=b·a (交换律); ⑶a·(b+c)=a·b+a·c (分配律) 说明:⑴(a· b)c≠a(b·с) ;⑵有如下常用性质:a2=|a|2,(a+b)2=a2+2a·b+b2 设计意图:通过学生的合作交流加强了学生对向量以及运算律的理解,又引出向量的性质。 四、应用新知 例 1、用向量方法证明:直线和平面垂直的判定定理。 已知: m, n 是平面 ? 内的两条相交直线,直线 l 与平面 ? 的交点为 B ,且 l ? m, l ? n 求证: l ? ? . 证明:在 ? 内作不与 m, n 重合的任一直线 g , 在 l , m, n, g 上取非零向量 l , m, n, g ,∵ m, n 相交, ∴向量 m, n 不平行,由共面定理可知,存在

r u r u r r

l

u r r

u r u r r 唯一有序实数对 ( x, y ) ,使 g ? xm ? yn , r u r u r r r r r u r r r ∴ l ? g ? xl ? m ? yl ? n ,又∵ l ? m ? 0, l ? n ? 0 , r u r r u r ∴ l ? g ? 0 ,∴ l ? g ,∴ l ? g ,

g n

m l m g n

所以,直线 l 垂直于平面内的任意一条直线,即得 l ? ? . 设计意图:加强学生对空间向量数量积的应用,学会用空间向量来解决立体几何的问题。 随堂练习 1 1、课本 P92 的练习 1、2、3.

r r u r r r r u r ? r , c ? 3a ? 2b , d ? ma ? b ,求当 m 为何值时 c ? d 2 r r r r r r 3、已知 a ? 1 , b ? 1 , 3a ? 2b ? 3 ,则 3a ? b ? 。
2、已知 a ? 2 , b ? 3 ,且 a 与 b 的夹角为

r

r

r

r

4、已知 a 和 b 是非零向量,且 a = b = a ? b ,求 a 与 a ? b 的夹角 五:课堂小结 本节课学习了空间向量的数量积,并用空间向量的数量积解决立体几何的问题。 六、布置作业 必做:课本 P98 习题 3.1[A 组]第 4 题;[B 组]第 1 题 选做:习题 3.1 [B 组]第 2 题 七、教后反思 因为必修 2 学生已学习过平面向量的数量积,所以在本节的开头处理上非常轻松,然后利用单元组合作探讨 的形式解决了空间向量的数量积,课堂氛围活跃,基本达到预期的效果,但对于利用空间向量的数量积解决 立体几何的问题时,部分学生的步骤写的不是太规范,以后慢慢加强这方面的练习. 八、板书设计 回顾 1、平面向量数量积定 义 2、用平面向量数量积 能解决哪些数学问 题? §3.1 空间向量的数量积 定义 例1 练习 1 作业: 必做: 选做:

r

r

r

r

r

r

r

r

r

枣庄三中 2012---2013 学年度高二年级数学教学案
1.1.2 导数的概念 编制人 王士振 教材分析
《导数的概念》是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修 2-2》 (人教 A 版)第一章 1.1.2 的内容,是 在学生学习了变化率的内容后,通过实例探究,从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,并抽象概括出导数 的概念.它为即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的奠定了基础,更是我们研究函数 单调性、极值、最值和解决生活中优化等问题的有力工具.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,本节主要讲解导数的概念及其应用.

教学目标
重点: 由瞬时变化率引入导数的概念,理解导数的内涵. 难点:在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,深刻理解导数的内涵,可以通过逼近的方法,引导学 生观察来突破难点. 知识点:导数的概念及其应用.

能力点:理解导数概念中的极限思想. 教育点:经历由平均变化率到瞬时变化率的推导过程,体会极限的数学思想,激发学生的学习热情. 自主探究点:如何运用导数的定义求解函数在某一点的导数值. 考试点:用导数的定义解决简单的数学问题. 易错易混点:导数定义中的极限思想. 拓展点:由导数的定义推导导函数定义.

教具准备 课堂模式

多媒体课件 学案导学

一、引入新课

借助多媒体播放 2012 年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人 10 米跳台冠军的视频.上节课 我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状 态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画.那么我们如何 才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢? 【师生活动】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬 时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如, t ? 2 时的瞬时速度是多少? 教师引导:我们可以借助于上节课所研究的函数在某一点附近的平均变化率的求解过程来解决.

考察 t ? 2 附近的情况: 思考:当 ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 有什么样的变化趋势? 【学生分析】当 ?t 趋近于 0 时,即无论 t 从小于 2 的一边,还是从大于 2 的一边趋近于 2 时,平均速度 v 都趋近于一个确定的值 ?13.1 . 我们可以先求运动员在某一时刻附近的平均速率, 然后再让变量 ?t 无限小,

直至趋近于 0 时,那么平均速率 v 所趋紧的值就可以认为是运动员在该时刻的瞬时速率. 【设计意图】通过本例让学生对瞬时速率的求解过程有个大致的认识,进而引入下面所要研究的导数的概 念. 【设计说明】局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过 渡到瞬时速度的精确值.

二、探究新知
导数的概念 一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ?x ? 0 ?x ?x

我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y' |x? x ,即 0

f ?( x0 ) ? lim
?x ? 0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

说明: (1) lim 仅仅是一种符号,表示后面的式子当中 ?x 无穷趋近于 0; (2)导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率; (3) ?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

【设计意图】由瞬时变化率的概念引入函数在某一点的导数的概念,突出的是无穷趋近的极限思想.

三、理解新知
分析公式导数定义式子的结构特点,体会无穷趋近的极限思想.学会运用导数的定义式求函数在某一点的 导数值. [设计意图]为准确地运用新知,作必要的铺垫.

四、运用新知
例 1. (1)求函数 y ? 3x2 在 x ? 1 处的导数.

?f ?f 最后求出极限 lim 即为所求导数. ?x ?0 ?x ?x ?f ?f 2 ? 6?? x , ? lim (6 ? ?x) ? 6 , 解: 法一:?f ? ?y ? f (1 ? ?x) ? f (1) ? 6?x ? (?x) , 则 所以 lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
分析:先求 ?f ,再求 即 f ?(1) ? 6 ; 法二: y? |x ?1 ? lim
2

3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) ? lim ? lim3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

(2)求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数. 解:

?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x

f ?(?1) ? lim

?y ?(?1 ? ?x)2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

【设计意图】本例为导数概念的基础题型,考查学生对导数概念的理解,通过本例使学生掌握利用导数定 义求函数在某一点处的导数这种基本题型. 【变式练习】求函数 f ( x) ? ? x2 ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 【设计意图】让学生亲身体会运用导数的定义求函数的导数的问题,注意联系平均变化率与瞬时变化率的 关系. 例 2. (课本例 1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第

xh 时,原油的温度(单位: ? C )为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) ,计算第 2h 时和第 6h 时,原油温度
的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解:在第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率就是 f ' (2) 和 f ' (6) 根据导数定义,

f (2 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ?x ?x

?

(2 ? ?x)2 ? 7(2 ? ?x) ? 15 ? (22 ? 7 ? 2 ? 15) ? ?x ? 3 ?x
?x ?0

所以 f ?(2) ? lim

?f ? lim (?x ? 3) ? ?3 ?x ?x?0

同理可得: f ?(6) ? 5 在第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为 ?3 和 5,说明在 2h 附近,原油温度大约以 3 ?C / h 的 速率下降,在第 6h 附近,原油温度大约以 5 ?C / h 的速率上升. 注:一般地, f ' ( x0 ) 反映了原油温度在时刻 x0 附近的变化情况. 【设计意图】本例为实际应用的问题,是学生体会瞬时变化率与导数这两个概念之间的关系,理解函数在 某一点的导数的意义. 【变式练习】有一机器人的运动方程为 s ? t ?
2

3 ( t 是时间, s 是位移) ,则该机器人在时刻 t ? 2 时的瞬 t C. 15 4 D. 13 4

时速度为( ).

A.

19 4

B.

17 4

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法? 学生作答:主要学习了导数的概念,涉及到一种无穷趋近的极限思想. 教师总结: 导数的概念主要涉及到的极限思想要加强理解.提醒学生: 在学习新知时,也要经常复习前面 学过的内容,“温故而知新” .在应用中增强对知识(如本节的瞬时变化率或导数)的理解,及时查缺补漏,从而 更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用. [设计意图] 加强对学生学习方法的指导,做到“授人以渔” .

六、布置作业

1.阅读教材 P4—6; 2.书面作业 必做题:P10 习题 1.1 A 组 2,3,4. 选做题:1.设 f ( x) ?

1 f ( x) ? f (a ) ,则 lim 等于____________. x?a x x?a
x ? x0

2.已知 f ?( x0 ) ? lim

2 x ? 3 f ( x) f ( x) ? f ( x0 ) 的值是________. , f (3) ? 2, f ?(3) ? ?2 ,则 lim x ?3 x ?3 x ? x0

七、教后反思
1.本教案的亮点是变式训练.在例 1 的教学中,给学生介绍两种方法、说明思路的由来过程,一题多 解开阔思路.例 2 为实际应用问题,既注重了与基础题型的联系,又在不知不觉中提高了难度,提高了学 生对极限思想的理解. 2.由于各校的情况不同,建议教师在使用本教案时灵活掌握,但必须在导数定义的得出及极限思想的 理解上下足功夫. 3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大,在课堂上没有充分暴露学生的思维过程,并给予针对性 地诊断与分析.

八、板书设计
1.1.2 导数的概念 引入新课

导数的概念

例2

小结 例1 作业

枣庄三中 2012---2013 学年度上学期高二年级 数学学科教学案 1.3.1 函数的单调性与导数

教材分析
本节的教学内容属导数的应用,是在学生学习了导数的概念、几何意义、计算的基础上学习的内容, 学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础.通过本节课的学习,应使学 生体验到,用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多(尤其对于三次和三次以上的多项式函数,或图象 难以画出的函数而言) ,充分展示了导数解决问题的优越性.

教学目标
重 点:探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间;



点:探索函数的单调性与导的关系;

知识点:单元组合作探讨函数的单调性与导数的关系,并会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区 间; 能力点:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,培养学生的探索精神,引导学生养 成自主学习的学习习惯; 教育点:在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想; 自主探究点:单元组合作探讨函数的单调性与导数的关系; 考试点:用导数判断函数的单调性; 易混易错点: f ( x)为增函数? f ?( x) ? 0 ,然后再讨论是否有 f ?( x) ? 0 恒成立的情况; 教 法:本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量,通过数形结合,使抽象的知识直观化、形象 化,以促进学生的理解. 教具准备:多媒体课件,投影仪. 课堂模式:学案导学

教学过程
⑥ 情境引入 1.判断函数的单调性有哪些方法?(函数单调性定义,图像) 2.如何判断函数

f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) 的单调性?

【设计意图】 :让学生体会到用 “定义法”的局限性,进而提出问题: “我们能否找到更好的方法解决这 一难题?” ,问题是思维的源泉,让学生在独立思考中产生强烈的问题意识,从而激发学生的求知欲,实 现课堂的有效导入. (7)新知探索 十、观察分析 初步探究 图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 的图像,图(2)表示
2

高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t ) ? h?(t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像.

提出问题 1:运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间内,运动状态有什么区别? 引导学生探究规律: (1) t 在 (0, a ) 内, v (t ) 的正负为: v(t ) ? h?(t ) >0.相应的, h(t ) 是 函数;

(2) t 在 ( a, b) 内, v (t ) 的正负为: v(t ) ? h?(t ) <0.相应的, h(t ) 是

函数.

【设计意图】 :此处让学生借助几何直观理解函数的单调性与导数的关系,体现了“加强几何直观,重视 图形在数学学习中的作用,鼓励学生借助直观进行思考.”有效促进了学生探索问题的本质。 (二)追踪成果 深入探究 提出问题 2:上例得出的结果是不是具有一般性? 观察下面一些函数的图像,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系。

【设计意图】 :进一步引导学生经历从具体实例揭示数学本质的过程,鼓励学生发现数学的规律和解决问 题的途径,使他们经历知识的形成过程。 通过学案,展示学生的探究成果: 函数 y=f(x) y=x

导函数y ? f ?( x)的正负
x ? (??, ??)时,f ?( x) ____ 0
x ? (??,0)时,f ?( x) ____ 0

函数 y=f(x)的单调性 函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调

y?x

2

x ? (0, ??)时,f ?( x) ____ 0 x ? (??,0)时,f ?( x) ____ 0

y?x

3

x ? (0, ??)时,f ?( x) ____ 0 x ? (??,0)时,f ?( x) ____ 0 x ? (0, ??)时,f ?( x) ____ 0

1 y? x

对所展示的学生成果予以及时的鼓励和肯定。 【设计意图】 :上述探究所得结论将是后面利用导数求函数单调区间的理论依据,重要性不言而喻.而学生 只学习了导数的意义和一些基本运算,要想得到严格的证明不现实.因此,我采用由易到难,逐步过渡的

教学策略,让学生进一步直观观察,并借助几何画板动态演示,分析问题的本质. (三)归纳结论 揭示本质 经历上述探究之后,学生按单元组进行讨论交流,揭示函数的单调性与导数的本质关系,让小组派代表归 纳结论.对回答问题的学生进行及时鼓励.在此基础上,我和学生共同完善结论,并板书结论: 函数的单调性与其导函数正负的关系: 在某个区间 ( a, b) 内, 若 f ?(x ) >0,则 f (x) 在 ( a, b) 上是增函数; 若 f ?(x ) <0,则 f (x) 在 ( a, b) 上是减函数. 思考:如果再某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,那么函数 f (x) 有什么特征? 学生分析: f (x) 为常函数. 【设计意图】 :口头、书面的数学表达是学好数学的基本功,引导学生对一般情况进行归纳、总结,得出 结论.培养学生积极主动的学习态度及表达能力,体验知识的形成过程,体会数形结合思想的渗透. (8)运用新知 (6)典例演练 强化应用 例 1.已知导函数 f ?(x ) 的下列信息: 当 3<x<5 时, f ?(x ) <0; 当 x<3 或 x>5 时, f ?(x ) >0; 当 x=3 或 x=2 时, f ?(x ) =0. 试画出函数 f (x) 图象的大致形状. 分析:本题是一道开放性的题目,学生的答案也许图象可能向“内”弯曲,可能向“外”弯曲,也可能是 条直线. 举典例进行说明:左图是折线图,右图是平滑的曲线,追问:两种做法是否都行呢?

y

y = f(x)

y

y = f(x)

o

3

5

x

o

3

5

x

解决办法: 让学生回顾前面所学习,导数为零的点的附近图象应该几乎没有升降变化,而“折点”附近图象升降变化

很大,让学生再次动手操作,得到正确图如上右图. 【设计意图】 :应用所学,使具体知识形成方法和技能.鼓励学生先自己动手,培养学生积极主动的学习态 度.再通过教师示范,培养学生良好的作图习惯.对于学生在分析过程中出现的问题,及时指正. 例 2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1) f ( x ) ? x 3 ? 3 x; (2) f ( x ) ? x 2 ? 2 x 2 ? 3; (3) f ( x ) ? sin x ? x , x ? (0, ? ); (4) f ( x ) ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 24 x ? 1.
【设计意图】:求单调区间是导数的一个重要应用,也是本节重点. 通过例 2(1) ,引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤,并给学生示范; 通过例 2(2)(3)(4),让学生在黑板解答,进一步规范解题步骤; 通过例 2(3) ,回答本节刚开始提出的问题,解决学生的疑惑.体会用导数解决函数单调性时的有效性、优 越性. (7)拓展例题、提升视野 例 3.求函数 f ( x) ? ? ax ? x ? 1(a ? 0) 的单调区间.
3 2

1 3

解:? f ?( x) ? ?ax2 ? 2x. ?当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 1, 其递减区间为 (??,0) ,递增区间为 (0,??) .

2 a 2 2 故 f (x) 的递增区间为 ( ?? , )和(0,?? ), 递减区间为 ( ,0). a a

?当 a <0 时, f ?(x ) >0 ? (?ax ? 2) x >0 ? ( x ? ) x >0 ? x >0 或 x <

2 . a

思考:结合本节探究结论的过程分析“如果函数 y ? f (x) 在某个区间 ( a, b) 内是增函数,那么 f ?(x ) >0” 一定成立吗? 学生:不一定,也可 f ?( x) ? 0 , 问:还需要考虑什么? 学生:需要考虑是否存在 f ?( x) ? 0 恒成立的情况. 例 4.已知函数 f ( x) ? 2ax ? x , x ? ?0,1?, a >0,若 f ( x)在?0,1? 上是增函数,求 a 的取值范围.
3 3 解: f ?( x) ? 2ax ? x , 因为 f ( x)在?0,1? 上是增函数,所以 f ?( x) ? 0 在?0,1? 上恒成立.

所以 2a ? 3x ? 0 ,即 a ≥
2

3 3 2 3 ? 3? x . 又 x ? ?0,1?, 所以 x 2 ? ? 0, ? ,即 a ≥ . 2 2 2 ? 2?

又因为当 a =

3 时, f ( x) ? 3x ? x3在?0,1? 上是增函数也成立, 2

所以综上 a 的取值范围是 ? ,?? ?. 【设计意图】例 3、例 4 都是讨论含有参数的函数的单调性问题,对学生的学习是一个提高,特别是例 4 很多学生都会忽略 f ?( x) ? 0 的情况,在这重点讲解. 四、课堂练习 练习反馈 课后练习 1 (学生独立完成,教师投影展示步骤) 五、课堂小结 强化知识 1.函数的单调性与其导函数正负的关系; 2.用导数求函数单调区间的一般步骤; 3.用导数的正负来判断函数的单调性,是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现 了数形结合的思想. 六、布置作业 作业一:课本 P 习题第 2 题. 31 作业二:丛书 七、教后分析 本节课容量有些大,利用多媒体课件相对好些,对于让学生探讨函数单调性和导数的关系这个环节上 虽然用的时间比较多,但是对学生的掌握还是挺不错的,所以后面的练习进行的很轻松,但是对于拓展例 题的处理上,还是有些学生的分类讨论思想不是很好,以后加强这类问题的训练. 对于拓展例题可酌情处理,不用多媒体的可选讲。 八、板书设计 一、引入 1、函数单调性的定义 1.3.1 函数的单调性 (4)新知 1、函数的单调性与其导 函数正负的关系 2、思考 练习 课堂练习 三、典例 例1 四、拓展例题 例3

?3 ?2

? ?

2 观察:高台跳水图 1,2

例2

例4

枣庄三中 2012---2013 学年度上学期高二年级 数学学科教学案

1.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)

教材分析
两个计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律.它不仅是推导排列数、组合数计 算公式的依据,而且其基本思想方法贯穿本章内容的始终.从思想方法的角度看,运用分类加法计数原理 解决问题就是将一个复杂问题分解为若干“类别”,分类解决,各个击破;运用分步乘法计数原理解决问 题就是将一个复杂问题分解为若干“步骤”,对每一步细致分析,再整合为一个完整过程.后续排列组合 及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的,因此,理解掌握两个计数原理,是学好 本章内容的关键.

课时分配
本节内容用 4 课时的时间完成,主要归纳出两个计数原理,能够用两个计数原理解决简单的计数问题.

教学目标
重点:归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 难点:正确地理解完成一件事情的含义;根据实际问题的特征,正确地区分“分类”或“分步”. 知识点:两个计数原理解决的应用. 能力点:培养学生自主探究问题的能力,归纳推理的能力. 教育点:经历由特殊到一般的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣. 自主探究点:何时运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 考试点:用两个计数原理解决简单的计数问题. 易错易混点:①解决问题时分类不全面,有重复或有遗漏;②分类或分步标准不一致.

教具准备 课堂模式

多媒体课件和导学案 以学生为主体自主探究

一、引入新课
思考:用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号 码?你能说说这个问题的特征码? 因为英文字母共有

26 个,阿拉伯数字 0 ~ 9 共10 个,所以共可以编出 26 ? 10 ? 36

种不同的号码. 上述问题中,最重要的特征是“或”字的出现:每个座位可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字编号. 由于英文字母、阿拉伯数字各不相同,因此用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也是各不相 同的.你能举一些生活中类似的例子吗? [设计意图]由一个具体问题引起学生们的兴趣,从而引入探究的问题—分类加法计数原理.

二、探究新知
问题 1 五一快到了,想去北京旅游.从枣庄到北京,可以乘火车,也可以乘汽车.一天中,火车有 4 班, 汽 车有 2 班.那么一天中乘坐这些交通工具从枣庄到北京共有多少种不同的走法? 【师生互动】教师分析: 从枣庄到北京有 2 类方法, 第一类方法, 乘火车,有 4 种方法; 第二类方法, 乘汽车,有 2 种方法; 所以从枣庄到济南共有 4 ? 2 ? 6 种方法. 学生总结: 分类加法计数原理:完成一件事,有两类不同方案在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中

有 n 种不同的方法。那么完成这件事共有 m ? n 种不同的方法。 教师问:如果从枣庄到北京也可以坐飞机, 且一天中飞机有 3 班. 那么一天中乘坐这些交通工具从枣庄到北 京共有多少种不同的走法? 学生答: 共有 4 ? 2 ? 3 ? 9 种方法. 教师问:那么上面总结的分类加法计数原理可否推广一下呢? 学生分组讨论并总结:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二 类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法 那么完成这件事共有:
王新敞
奎屯 新疆

N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法

三、理解新知
运用分类加法计数原理应注意以下两点: (1)各类方法之间相互独立,都能独立的完成这件事,要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类 计数原理又称加法原理. (2)根据具体的问题确定一个分类标准,在此分类标准下进行分类,然后对每类方法计数. [设计意图]为准确地运用新知,作必要的铺垫.

四、运用新知
例 1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到, A, B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体 情况如下:

A 大学

B 大学

生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选择一个专业,那么他共有多少种不同的选择呢? 解:不同的专业选择有: N ? 5 ? 4 ? 9 (种) A 大学 B 大学 变式 1 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 数学 问不同的专业选择有多少种? 在例 1 中,若数学也是 A 大学的强项专 业,则 A 大学共有 6 个专业可选, B 大学有 4 个专业可选,那么用 N ? 6 ? 4 ? 10 分类加法计数原理,可得这名同学不同的专业选择共有 这种算法有问题吗? 注意:分类不能重复 变式 2 A 大学 B 大学 C 大学 生物学 数学 新闻学

化学 会计学 金融学 医学 信息技术学 人力资源学 物理学 法学 工程学 若还有 C 大学, 其强项专业为: 新闻学、 金融学、 人力资源学. 那么这名同学可能的专业选择共有多少种?

N ? 5 ? 4 ? 3 ? 12
[设计意图]考查对分类加法计数原理的理解. 练习:用前 6 个大写英文字母,和 1 ~ 9 九个阿拉伯数字,以 A , A2 ,?, B1 , B2 ,? 的方式给教室里的座位编 1 号,总共能编出多少个不同的号码? 分析:完成编号这件事 A 有 9 种, B 有 9 种,? F 有 9 种

字 母

数 得到的 字 号码 A1 1 A2 2 A3 3 A4 4 A5 5 A6 6 A7 7 A8 8 A9 9

A

解:用分类加法计数原理:

N ? 9 ? 9 ? 9 ? 9 ? 9 ? 9 ? 54 另解:第一步选字母有 6 种,第二步选数字有 9 种 N ? 6 ? 9 ? 54
【师生互动】教师问:你能说说这个问题的特征吗? 上述问题中,最重要的特征是“和”字的出现:每个座位由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成,每 一个英文字母与不同的数字组成的号码是各不相同的. 问题 2 如图,由枣庄乘火车去北京旅游, 中途先到济南观光一下.已知枣庄去济南的火车有 3 班, 济南去北 京的火车有 2 班.那么由枣庄经济南去北京,乘火车共有多少种不同的走法? 学生分组讨论,并找代表发言,给出解答.

火车 1

火车4

枣庄

火车 2

济南
火车3

火车5

北京

解:由枣庄经济南去北京有 2 步, 第一步, 由枣庄去济南有 3 种方法, 第二步, 由济南去北京有 2 种方法,

3 ? 2 ? 6 种不同的方法. 所以由枣庄经济南去北京共有 学生总结: 分步乘法计数原理:完成一件事,需要两个步骤。做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方 法,那么完成这件事共有 N ? m ? n 种不同的方法. 教师说明:运用分步加法计数原理应注意以下两点: (1)各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件 事的方法总数,又称乘法原理. (2)要根据具体问题的特点确定一个分步的标准,然后对每步方法计数. 例 2 设某班有男生 30 名,女生 24 名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同 的选法? 解:第一步,从 30 名男生中选出 1 人,有 30 种不同选择; 第二步,从 24 名男生中选出 1 人,有 24 种不同选择. 根据分步乘法计数原理,共有 30 ? 20 ? 720 种不同的方法. [设计意图]对刚讲完的分步乘法计数原理运用,规范一下做题步骤. 例 3 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3 本不同的文艺书,第 3 层放有 2 本不同的体育 书. (1)从书架上任取 1 本书,有多少不同的取法? (2)从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书,有多少不同的取法? 解: (1)从书架上任取 1 本书, 有三类办法: 第一类办法, 从第 1 层中任取一本书, 共有 4 种不同的方法; 第二类办法, 从第 2 层中任取一本书, 共有 3 种不同的方法;第三类办法:从第 3 层中任取一本书,共有 2 种 不 同 的 方 法 ; 所 以 , 根 据 分 类 记 数 原 理 , 得 到 不 同 选 法 种 数 是 N ? 4?3? 2 ? 9 (2)从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书,可以分成三个步骤完成:第 1 步,从第 1 层取一本计算机书, 有 4 种方法;第 2 步,从第 2 层取一本文艺书,有 3 种方法;第 3 步,从第 3 层取一本体育书,有 2 种方法.
根据分步乘法计数原理,不同的取法种数是

N ? 4 ? 3 ? 2 ? 24
[设计意图]一题两问,不同问法,运用原理不同.让学生体会何时用分类加法计数原理,何时用分步乘法 计数原理.并对分步乘法计数原理进行推广:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不 同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事有

N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法.

五、课堂小结
(1)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念. (2)两计数原理的区别与联系: 共同点:它们都是研究完成一件事情,共有多少种不 同的方法. 不同点: 它们研究完成一件事情的方式不同,分类加法计数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任 何一个方法都能完成这件事.分步乘法计数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相 依,且每一步都完成了,才能完成这件事情.这也是本节课的重点.

六、布置作业
必做题: 1.从 5 名同学中选出正副班长各一名,则不同的任职方案有多少种? 2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个? 3.某中学的一幢 5 层教学楼共有 3 处楼梯,问从 1 楼到 5 楼共有多少种不同的走法? 选做题: 4.如图,该电路,从 A 到 B 共有多少条不同的线路可通电?

A

B

5. 如图,从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路可通, 从丁地 到丙地有 2 条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法? 甲地 乙 地 地

丙地

丁地

[设计意图]5 个作业题各有特色,难度层层递进,最后两个选做题为下节课讲两个计数原理的综合应用做 准备.

七、教后反思
1.由于两个计数原理的应用贯穿本章的始末,所以第一节课一定要讲细讲透,不要贪多.可以多给学生时 间,让学生自主探究,但教师要及时引导,给予必要的点评. 2.讲课时应着重给学生强调何时分类,何时分步. 3. 在实际教学中可以多举一些日常生活中的实例,突出数学的作用.

八、板书设计
1.1 分类加法计 数原理与分步乘法计 数原理(1) 分类加法计数 原理例 1 例2 课堂小结 分步乘法计数原 理 不同点 例3 选做题 4.5 共同点 布置作业 1. 2. 3.

枣庄三中 2012---2013 学年度上学期高二年级 数学学科教学案
2.2.1 综合法和分析法 (1)

教材分析
本节内容是数学选修 2-2 第二章《推理与证明》的第二节,是在学习了合情推理与演绎推理的知识后, 对证明的学习,证明的两种基本方法是直接证法和间接证法,直接证法最主要是综合法与分析法.本节主要学 习综合法和分析法,本课题的重点是结合已经学过的数学实例,了解综合法与分析法的思考过程、特点.难点 是结合已经学过的数学实例,了解综合法与分析法的思考过程、特点.通过实例,使学生在学习、生活中能自 觉地、有意识地运用综合法与分析法进行数学证明,养成言之有理、论证有据的习惯.

课时分配
本节内容用 2 课时的时间完成,主要讲解直接证明中最基本的两种证明方法----综合法与分析法,及运 用这两种方法解决简单的数学问题.

教学目标
重点:综合法与分析法. 难点:用综合法和分析法证明题目. 知识点:综合法与分析法. 能力点:根据问题的特点,选择适当的证明方法. 教育点:通过实例,使学生在学习、生活中能自觉地、有意识地运用综合法与分析法进行数学证明,养 成言之有理、论证有据的习惯. 自主探究点:综合使用综合法和分析法. 考试点:用综合法和分析法解决简单的数学问题. 易错易混点:利用综合法证明问题时,要把产生的某种结果的具体原因写完整,不可遗漏.分析法书写 格式要规范,其中的关联词不能省略. 拓展点:证明与等式有关的数学问题.

教具准备

多媒体课件

课堂模式

学案导学

一、引入新课
【师生活动】 师:在以前的证明题证明中,采用了哪些证明方法? 生:讨论回答. 教师总结:证明的方法有两大类即直接证法与间接证法,直接证法最基本的两种方法是综合法与分析法. 【设计意图】通过复习,引出本课题.

二、探究新知 (一)综合法
2 2 2 2 引例1:已知: a ? 0,b ? 0 ,求证: a b ? c ? b c ? a ? 4abc

?

? ?

?

证明: ?b2 ? c2 ? 2bc, a ? 0

? a ? b 2 ? c 2 ? ? 2abc
2 2 同理: b a ? c ? 2abc

?

?

? a ? b 2 ? c 2 ? ? b ? c 2 ? a 2 ? ? 4abc
以上采用的证明方法就是综合法, 师:什么是综合法? 生:讨论回答. 教师总结: (1)综合法是中学数学证明中最常用的方法,一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经 过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法,又叫顺推法或由因导果 法. (2)用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等, Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:

P ? Q1

Q1 ? Q2

Q2 ? Q3

???

Qn ? Q

[设计意图] 给学生充分的感性材料,培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力.

(二)分析法
引例 2:求证 3 ? 7 ? 2 5 . 分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接从待证不等式出发,分析其成立的充分条件. 证明:要证明 3 ? 7 ? 2 5 , 只需证 ( 3 ? 7)2 ? (2 5)2 ,

即证 10 ? 2 21 ? 20 , 即证 2 21 ? 10 , 即证 21 ? 5 , 即证 21 ? 25 , 因为 21 ? 25 显然成立,所以原不等式成立. 总结:在本例中,由于我们很难想到从“ 21 ? 25 ”入手,所以用综合法证明比较困难. 以上采用的证明方法就是分析法, 师:什么是分析法? 生:讨论回答. 教师总结: (1)分析法:是综合法的逆过程。一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至 最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、 、定义、公理等) ,这种证明 的方法叫做分析法,又叫逆推证法或执因索果法. (2)用 Q 表示要证明的结论,则分析法可以用框图表示为:

Q?P 1

P ? P2 1

P2 ? P 3

???

得到一个明显成立的条件

[设计意图] 通过分析找到解题思路,利用分析法进行严格证明,培养严谨的学习态度.

三、理解新知
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.综合法表现为由因导果,分析法则表现为执果索因. 综合法 基本思路 综合法的基本思路是“由因导果” ,由已知走向求 证,即从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑 推理最后达到待证得结论或需求的问题. 分析法 分析法的基本思路是“执果索因” ,可以看 做是综合法的逆过程,即从“未知”看“需 知” ,执果索因,逐步靠拢“已知” ,逐步推 理,实际上是寻找它的充分条件. (结论) Q ? P ? P2 ? ? ? Pn ? P(已知) 1

解题步骤

P (已知) P ? P ? P ? ? ? P ? 1 0 2 3 n
(结论)

[设计意图]为准确地运用新知,作必要的铺垫.

四、运用新知
例 1:在△ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 成等差数列.求证: (a ? b) ? (b ? c) 证明: 法一:(分析法)要证 (a ? b) ? (b ? c)
?1 ?1 ?1 ?1

? 3(a ? b ? c)?1

? 3(a ? b ? c)?1 ,

1 1 3 ? ? , a?b b?c a?b?c a?b?c a?b?c ? ? 3, 即证 a?b b?c
即证

也即

c a ? ? 1. a?b b?c

只需证 c(b ? c) ? a(a ? b) ? (a ? b)(b ? c) , 需证 c ? a ? ac ? b .
2 2 2

∵△ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 成等差数列, ∴

B ? 60? .
2 2 2 ?

由余弦定理,有 b ? c ? a ? 2ac cos 60 , 即 b ? c ? a ? ac , c ? a ? ac ? b ,
2 2 2 2 2 2

此式即分析中欲证之等式,即原式得证. 法二:(综合法)∵△ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 成等差数列, ∴ B ? 60 .
?

由余弦定理,有 b ? c ? a ? 2ac cos 60 ,
2 2 2 ?

得 c ? a ? ac ? b ,
2 2 2

两边加 ab ? bc 得: c(b ? c) ? a(a ? b) ? (a ? b)(b ? c) , 两边除以 (a ? b)(b ? c) 得: ∴( 即

c a ? ? 1, a?b b?c

c a ? 1) ? ( ? 1) ? 3 , a?b b?c

1 1 3 ? ? , a?b b?c a?b?c

?(a ? b)?1 ? (b ? c)?1 ? 3(a ? b ? c)?1 .
[设计意图] (1)本题运用综合法时,思路不易寻找,因此最好用分析法寻找思路,用综合法写步骤,解决本题的关 键是灵活运用余弦定理. (2)通过分析和证明过程培养学生良好的解题习惯. 变式训练 1: 已知△ ABC 的三边 a 、b 、c 的倒数成等差数列,试分别用分析法和综合法证明 ? B 为锐角. [设计意图]通过变式训练,便于学生全面的认识综合法和分析法, 提高理解、运用知识的能力. 例 2 已知 已知 ? , ? ? k? ?

(k ? Z ) ,且 2 sin ? ? cos ? ? 2sin ? sin ? cos? ? sin 2 ?
2

?

① ②

求证:

1 ? tan ? 1 ? tan ? . ? 2 1 ? tan ? 2(1 ? tan 2 ? )
2

【师生活动】 :比较已知条件和结论,发现结论中没有出现角 ? ,因此第一步工作可以从已知条件中 消去 ? 。观察已知条件的结构特点,发现其中蕴含数量关系 (sin ? ? cos? ) ? 2sin ? cos? ? 1,于是,由
2

① 一 2×② 得 4sin ? ? 2sin ? ? 1.把 4sin ? ? 2sin ? ? 1与结论相比较,发现角相同,但函数名称 不同,于是尝试转化结论:统一函数名称,即把正切函数化为正(余)弦函数.把结论转化为
2

2

2

2

2

1 (co s 2 ? ? sin 2 ? ) 再 与 4sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1 比 较 , 发 现 只 要 把 2 1 2 c s 2 ? ? s i2 ?n? o c (2 ? ?s 中的角的余弦转化为正弦,就能达到目的. o ?s i n ) 2 证明:因为 (sin ? ? cos? )2 ? 2sin ? cos? ? 1,所以将 ① ② 代入,可得 co s 2 ? ? sin 2 ? ?

4sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1.
另一方面,要证



即证

1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? , ? 1 ? tan 2 ? 2(1 ? tan 2 ? ) sin 2 ? sin 2 ? 1? 1? cos 2 ? cos 2 ? ? , sin 2 ? sin 2 ? 1? 2(1 ? ) cos 2 ? cos 2 ?
co s 2 ? ? sin 2 ? ? 1 (co s 2 ? ? sin 2 ? ) , 2

即证

即证

1 ? 2sin 2 ? ?

即证 由于上式与③相同,于是问题得证. [设计意图] (1)让学生体会综合法和分析法的综合应用 (2)综合法推理清晰,易于书写,分析法从结论入手,易于寻找解题思路,在实际证明命题时,常把分 析法与综合法结合起来使用,称为分析综合法,其结构特点是:根据条件的结构特点去转化结论,得到中 间结论 Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论 P;若由 P 可推出 Q,即可得证. 变式训练 2: 求证:

1 (1 ? 2sin 2 ? ) , 2 2 4sin ? ? 2sin 2 ? ? 1.

sin(2? ? ? ) sin ? ? 2 cos(? ? ? ) ? . sin 2? sin ?

[设计意图] 由一个问题引申为一类问题,提高学生的综合解题能力.

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识?学生作答: 1.综合法与分析法的概念. 2.综合法与分析法的区别、特点及应用. 教师总结:在利用综合法与分析法证明时用到了之前学过的知识,同时提醒学生在学习新知时,也要经常复 习前面学过的内容,达到“温故而知新”的目的.在应用中增强对新知识的理解,也是对旧知识的巩固. [设计意图] 加强对学生学习方法的指导,提升学生理解概括的能力.

六、布置作业
1.阅读教材 P85—89; 2.书面作业 必做题:P91 练习 1、2、3. 选做题:

P44 习题 2.2 A 组

2、3.

cos cos cos sin 1、 已知 sin ? 是 sin ? 、 ? 的等差中项, ? 是 sin ? 、 ? 的等比中项.求证: 4? ? 4cos 4? ? 3 .

2、 (2012 江苏)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . 求证: tan B ? 3 tan A. 3、 (2012 江西)在△ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c . 已知 A ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

?

, b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a 4 4 4

?

?

求证: B ? C ?

?

2

.

[设计意图]设计作业 1,2,是让学生充分理解教科书,培养学生用好教科书的良好习惯.选做题是高考题, 让学生感受在高考中本节思想方法的重要性.

七、教后反思
1.本教案的亮点是变式训练.通过变式训练,加深了对综合法与分析法的在证明等式问题中理解与应用.例 1 一题多证,揭示了综合法与分析法的内在联系,使学生在证明方法上有了选择性. 2.本节课的弱项是课堂容量较大,应给学生更多的时间去写出完整的证明过程.

八、板书设计
2.2.1 综合法和分析法 1.引入: 3.典例 例1

2.综合法:由因导果.

例2

分析法:执果索因

4.课堂小结


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