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云南省巧家县第二中学2015届高三数学专题复习 三角函数的图象、性质



高三数学复习之三角函数的图象、性质
1. 研究一个含三角式的函数的性质时一般先将函数化为 y=Asin(ω x+φ )+B 或 y=Acos(ω x+φ )+B 的形式。 :函数 y=|Asin(ω x+φ )|的周期是函数 y=Asin(ω x+φ )周期的一半。

y ? sin(
函数

?
2

>
x ? ? ) cos(

?
2

x ??)

在 x ? 2 时有最大值,则 ? 的一个值是,

? A、 4

? B、 2
y?

2? C、 3

3? D、 4

解析:原函数可变为:

1 ? sin(?x ? 2? ) 2 ,它在 x ? 2 时有最大值,即 2? ? 2? =2k ? + 2

? ? ? sin( x ? ? ) cos( x ? ? ) ? =(k-1) ? + 4 ,k∈Z,选 A。 2 2 (万不可分别去研究 和 的最大值) 。
①函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期是 ;

②函数 y=tanx―cotx 的周期为

1 x ;③函数 y=| 2 +sim 2 |的周期为



2.在解决函数 y=Asin(ω x+φ )的相关问题时,一般对ω x+φ 作“整体化”处理。如:用“五点

? 3? 法”作函数 y=Asin(ω x+φ )的图象时,应取ω x+φ =0、 2 、 ? 、 2 、2 ? 等,而不是取 x 等于
它们;求函数 y=Asin(ω x+φ )的取值范围时,应由 x 的范围确定ω x+φ 的范围,再观察三角函 数的图象 (或单位圆上的三角函数线) ,注意: 只需作出 y=sin ? (把ω x+φ 视为一个整体, 即? ) 的草图,而无需画 y=Asin(ω x+φ )的图象;求函数 y=Asin(ω x+φ )(ω >0)的单调区间时,也是 视ω x+φ 为一个整体,先指出ω x+φ 的范围,再求 x 的范围;研究函数 y=Asin(ω x+φ )的图象

? 对称性时,则分别令ω x+φ =k ? + 2 和ω x+φ =k ? (k∈Z),从而得到函数 y=Asin(ω x+φ )的图
x?
象关于直线

k?

?

?

? ? k? ? ? ? 2? ? 对称,关于点( ? ,0)对称(k∈Z) , (正、余弦函数图

象的对称轴平行于 Y 轴且过函数图象的最高点或最低点,而对称中心是图象与“平衡轴”的交 点);对函数 y=Acos(ω x+φ )也作完全类似的处理。

y ? sin( 2 x ?
画出函数

?

) 6 在内的图象并指出其有无对称轴、对称中心。

y ? sin( 2 x ?
解析: 作函数

?

) 6 的图象不是先作函数 y ? sin x 的图象, 再由它伸宿、 平移得到,

-1-

? ? 3? ? 2x ? 6 为一个角, 而是直接描点作图。但不是在内取 x =0、 4 、 2 、 4 、? 这五点,而是视
2x ? 2x ?

? ? ? ? 3? 13? 2x ? 6 ∈,取 6 = 6 、 2 、 ? 、 2 、2 ? 、 6 六个点,具体列表如下: ? 6
? 6
0

x

y

? 2 ? 6
1

?
5? 12
0

3? 2 2? 3
-1

2?

11? 12
0

?

13? 6

1 2

1 2

? 2? 5? 11? 描点、作图略。不难看出直线 x ? 6 、 x ? 3 都不是函数的对称轴,点( 12 ,0) 、 ( 12 ,
0)也都不是函数图象的对称中心,因为定义域不关于它们对称,所以无对称轴、对称中心。 已知函数 y ? sin x cos x ? 3 sin x , (1)指出函数的对称轴、对称中心;
2

(?
(2)指出函数的单调递增区间; (3)函数在 大、最小值时的 x 的值。

2? ? ,? ] 3 12 上的最大、最小值,并指出取得最

y ? 2 sin( 2 x ?
解析:

?

? ? k? ? 3 2x ? x? ? k ? 3 2 3 - 2 , 2 12 , k ? Z ; (1)对称轴:由 = + 得
)

2x ?
对称中心: 由

? k? ? k? ? 3 ? ? k ?Z 。 3 = k? 得 x ? 2 6 , 6, ∴函数图象的对称中心为 ( 2 - 2 )

2x ?
(2)由

? 3 ∈得 x ∈, k ? Z ,
2x ?

∴, k ? Z 。 (3)将

? 2? ? x ? (? ,? ] 3 视为一个角 ? ,∵ 3 12

(?? , ] (?? , ] 6 ,画函数 y ? sin ? 的草图,观察 ? ∈ 6 时函数值的范围为,当且仅当 ∴? ∈ ?

?

?

?

?=

1 ? 5? ? 2 时 sin ? 取得最小值 -1 , ? = 6 时 sin ? 取得最大值 2 ;即 x = 12 时原函数最小值

? 3 3 ? -2- 2 , x = 12 时原函数最大值 1- 2 。

-2-

? 有以下四个命题:①函数 f(x)=sin( 3 -2x)的一个增区间是;②若函数 f(x)=sin( ? x+ ? )为奇函
? ? 数,则 为 ? 的整数倍;③对于函数 f(x)=tg(2x+ 3 ),若 f(x1)=f(x2),则 x1-x2 必是 ? 的整数 ? ? 倍;④函数 y=2sin(2x+ 3 )的图像关于点( 3 , 0)对称。
其中正确的命题是 (填上正确命题的序号) 函数 f(x)=2sin2 ? x+ 3 sin2 ? x-1 (

? >0)

若对任意 x∈R 恒有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),求|x1-x2|的最小值; 若对任意 x∈R 恒 f(x)≤f(1),试判断 f(x+1)的奇偶性; 若 f(x)在上是单调函数,求整数 ? 的值; 3.已知函数 y=Asin(ω x+φ )+B(A>0,ω >0)的图象求表达式,一般先根据函数的最大值 M、 最小值 m(最高、最低点的纵坐标) ,确定 A、B(A+B=M,-A+B= m) ;根据相邻的最大、最小

d?
值点间的距离 d(最高、最低点的横坐标之差的绝对值)确定ω ( 低)点的坐标代入表达式确定φ 。

? ? ),最后用最高(或最

? 2? 已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,0<φ <π )的两个相邻最值点为( 6 ,2), ( 3 ,
-2),则这个函数的解析式为 y =____________.

T 2? ? ? ? ? ? 3 6 2 ,∴T=π ? ω =2, 解析:A=2,相邻最值点相距半个周期,即 2

? ? 则函数解析式为 y ? 2 sin(2 x ? ? ) ,点( 6 ,2)在函数图象上,∴2=2sin( 3 +φ ) ? ? ? ? ? y ? 2 sin( 2 x ? ) 3 +φ =2 k? + 2 得φ =2 k? + 6 , k ? Z ∴函数的解析式为 6 。 ? 函数 y=Asin(ω x+φ )(ω >0,|φ |< 2 )的部分图象如右,
则函数表达式为: 4 x -2 O -4 6 y

? ? ? ? A.y=-4sin( 8 x+ 4 ),B.y=4sin( 8 x- 4 ), ? ? ? ? C.y=-4sin( 8 x- 4 ),D.y=4sin( 8 x+ 4 )

P O

-3-

如图是一个半径为 3 米的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 米,已知水轮每分钟转动四圈,水轮上的点 P 相对于水面 的高度 y(米)与时间 x(秒)满足函数关系 y=Asin( ? x+ ? )+B (A>0,? >0,0< ? <2 ? ),若 x=0 时,P 在最高点,则函数 表达式为:

4. 三角函数图象的平移变换、伸缩变换遵循“图进标退”原理:即图象向上(右)平移 m(m>0) 个单位,则表达式中的 y(x)应变为 y-m(x-m);图象横(纵)坐标变为原来的 n 倍,则表达式中的

x y x(y)应变为 n ( n )。关注“先伸缩后平移”与“先平移后伸缩”的结果是不同的。
f ( x) ? 2a cos2 x ? b sin x cos x ? 3 3 ? 1 , 且f (0) ? , f( )? . 2 2 4 2

已知函数

(Ⅰ)函数 f(x)的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数? (Ⅱ)函数 f(x)的图象经过怎样的平移后得到 y=cosx.。
f (0) ?

解析:由

? 3 3 ? 1 a? , f( )? . 2 ,b=1,降次、 2 4 2 得: “合二为一”后得: f ( x) =sin(2x+ 3 ),

? ? (Ⅰ)思路一:函数 y= f(x)的图象关于(- 6 ,0)对称,向右平移 6 个单位后图象关于原点
对称即为奇函数(平移的方法不唯一,因为函数 y= f(x)的图象对称中心不唯一) ;

? 思路二: 若函数 f (x) 的图象向右平移 m 个单位得到函数 y= sin(2x-2m+ 3 ),要使其为奇函数, ? 则 x=0 时函数值为 0(奇函数图象关于原点对称) ,即-2m+ 3 = k? , k ? Z ? m=
? k? ? ? 2 6 , k ? Z ,随 k 的取值不同可以得到不同的 m 的值, 回答其中任一个即可。 (运算量虽

大一些,但更具一般性) 。

? ? ? ? ? (Ⅱ) f ( x) =sin(2x+ 3 )=cos( 6 -2x)=cos(2x- 6 )=cos,方案一:先左移 12 (x 变成 x+ 12 )得到函数
x y= cos2x,再纵坐标不变横坐标变为原来的 2 倍(x 变成 2 )得到函数 y=cosx; x ? ? 方案二:先纵坐标不变横坐标变为原来的 2 倍(x 变成 2 )得到函数 y= cos(x- 6 ),再左移 6 (x
-4-

? 变成 x+ 6 )得到函数 y=cosx。注: (ⅰ)图象变换的问题要特别注意题目要求由谁变到谁,不
要搞错了方向; (ⅱ)变换的源头和结果需化为同名的三角函数且角变量的系数同号(用诱导 公式)才能实施; (ⅲ)如果已知变换的结果探究变换的源头,可以“倒行逆施” 。 把函数 y=cosx- 3 sinx 的图象向左平移 m 个单位(m>0)所得的图象关于 y 轴对称,则 m 的 最小值是

? A. 6

? B. 3

2? C. 3

5? D. 6

? ? f ( x ) 将函数 =Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0, |φ |< 2 )的图象向右平移 8 ,再横坐标伸长为原来的 2
倍、纵坐标缩小为原来的一半得到函数 y=sinx,则 f ( x) = 。

5.三角形三内角 A、B、C 成等差数列,当且仅当 B=600;在△ABC 中:A>B ? sinA>sinB;

B?C A B?C A 2 =sin 2 、 sin 2 =cos 2 ; △ ABC 中 sin(B+C)=sinA 、 cos(B+C)=- cosA 、 cos
cosA+cosB>0,cosB+cosC>0,cosA+cosC>0;在锐角三角形△ABC 中 sinA>cosB,sinB>cosC, sinC>cosA 等;若 A、B 是钝角三角形两锐角,则 sinA<cosB,sinB<cosA。等等

? 在△ABC 中, 3 cos(B+C)+cos( 2 +A)的取值范围是

.

? ? ? 4? 解析:原式= ? 3 cos A ? sin A =-2sin(A+ 3 ),∵A∈(0, ? ) ? A+ 3 ∈( 3 , 3 )

? 3 sin(A+ 3 )∈(- 2 ,1 ] ,即原式的取值范围是: [ -2, 3 )
在锐角三角形△ABC 中,设 x=sinAsinB,y=cosAcosB,则 x,y 的大小关系是:( ) A.x≤y, B.x<y C.x≥y D.x>y 在 ?ABC 中 , 已 知

t an

A? B ? s i nC 2 , 给 出 以 下 四 个 论 断 : ① t an A ? co tB ? 1 , ②

0 ? s i nA ? s i nB ? 2 ,③ sin 2 A ? cos2 B ? 1 ,④ cos2 A ? cos2 B ? sin 2 C ,
其中正确的是( A.①③ ) B.②④ C.①④ D.②③

-5-

简答

? ? ? 1. ① 2 ② 2 ③4 ? ;2.①②④, f(x)=2sin(2 ? x- 6 ), ①由 f(x1)≤f(x)≤f(x2)知:x1、x2
? 分别是函数 y=f(x)的最小值、最大值点,最小、最大值点间最近的距离为半个周期,得 2? ,

? ?? ? ? ②偶,③视 2 ? x- 6 为一个角 ? ,则 ? ∈,函数 y ? 2 sin ? 在 上单调,则 2 - 6 ≤ 2 ,得
4 2? ? 0< ? ≤ 3 ,又 ? 为整数,∴ ? =1。3. 注意 A 未必是正数,C, y=3sin( 15 x+ 2 )+2

4. C,

? f ( x) =2 cos(2x- 4 )

5. D,B,

-6-



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