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人教A版数学【选修4-1】ppt课件:1-4第一讲-相似三角形的判定及有关性质



第一讲 相似三角形的判定及有关性质



直角三角形的射影定理

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

学习目标 1.能够利用直角三角形的相似证明射影定理. 2.能够运用射影定理进行相关的几何计算与证明. 3.能综合运用相似三角形的判定与性质、射影定理等知 识解决问题.

课前预习 1.射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的 ________,叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影:一条线段在直线上的正射 影,是指线段的两个端点在这条直线上的________的线段. (3)点和线段的正射影简称________.

2.射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角在斜边上射影的 __________;两直角边分别是它们在斜边上射影与__________ 的比例中项.

答 1.垂足

正射影间 斜边

射影

案 2.比例中项

思考探究1 关系如何? 提示

线段AB与它在直线MN上的射影之间的长度

(1)如图(1),当线段AB平行于直线MN时,它的射影

是线段A1B1,且A1B1=AB; (2)如图(2),当线段AB倾斜于直线MN时,它的射影是线段 A2B2,且A2B2<AB; (3)如图(3),当线段AB垂直于直线MN时,它的射影是一个 点A3.

思考探究2 系? 提示

射影定理中涉及了哪些线段、几组比例关

射影定理中共涉及六条线段:直角三角形的两直角

边、斜边、斜边上的高,两直角边分别在斜边上的射影.三组 比例关系:斜边上高的平方等于两直角边分别在斜边上的射影 的乘积.两条直角边的平方,分别等于其在斜边上的射影与斜 边的乘积.

名师点拨 1.利用三角函数证明直角三角形的射影定理

AD AC 如图,在Rt△ABC和Rt△ACD中,cosA=AC =AB, ∴AC2=AD· AB. BD BC 在Rt△ABC与Rt△CBD中,cosB= = , BC AB ∴BC2=BD· AB. 在Rt△ACD和Rt△CBD中,∠A=∠BCD, ∴tanA=tan∠BCD.

CD BD 即AD=CD. ∴CD2=AD· BD.

2.利用勾股定理证明直角三角形的射影定理 如图,在Rt△ABC中,∵AB2=AC2+BC2,AB=AD+ BD,

∴(AD+BD)2=AC2+BC2.

∴AD2+2AD· BD+BD2=AC2+BC2, 即2AD· BD=(AC2-AD2)+(BC2-BD2). ∵AC2-AD2=CD2,BC2-BD2=CD2, ∴2AD· BD=2CD2. ∴CD2=AD· BD.

在Rt△ACD中, AC2=AD2+CD2=AD2+AD· BD =AD· (AD+BD)=AD· AB, ∴AC2=AD· AB.同理可证BC2=BD· AB.

3.射影定理与勾股定理的联系 勾股定理和射影定理都反映了直角三角形中线段之间的关 系.上面用勾股定理证明了射影定理.事实上,若在Rt△ABC 中,∠C=90° ,CD是AB上的高,应用射影定理,可以得到 AC2+BC2=AD· AB+BD· AB=(AD+BD)· AB=AB2.由此可见, 利用射影定理也可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的 方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明勾股定理, 而且这种方法简洁明快,比面积法要方便得多.将两者结合起

来,在直角三角形的六条线段中,应用射影定理、勾股定理, 就可从任意给出的两条线段中,求出其余四条线段的长度.

4.任意三角形的射影定理 定理:设一个三角形的三边分别为a,b,c,它们所对的 三个内角分别为A,B,C,则有 a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA, c=acosB+bcosA. 即三角形的任一边等于另两边在该边上的射影和. 证明留给同学们.

5.射影定理的应用 (1)应用射影定理注意两个条件: 一是直角三角形,二是斜边上的高.在直角三角形的六条 线段中,应用勾股定理及射影定理,就可以从任意给出的两条 线中,求出其余四条线段的长度. (2)应用射影定理可求直角三角形的边长,面积等.还可 探究相似、比例等问题.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析

【例1】

如图,AD⊥BC,EF⊥BC,指出点A,B,C,D,E,F, G和线段AB,AC,AF,FG在直线BC上的射影.

【分析】

要找点在直线上的射影,只需找出从这一点向

该直线所引垂线的垂足;要找线段在直线上的射影,关键是找 线段的两个端点在该直线上的射影.

【解】

由AD⊥BC,EF⊥BC知,A在BC上的射影为D;

B在BC上的射影为B;C在BC上的射影为C;D在BC上的射影为 D;E,F,G在BC上的射影都是E.AB在BC上的射影为DB;AC 在BC上的射影为DC;AF在BC上的射影为DE;FG在BC上的射 影为点E.

规律技巧

利用射影的定义.

变式1

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90° ,CD⊥AB于

D,CD=2,BD=3,则BC=________,AB=________,AC =________,AD=________.

解析

由勾股定理知,BC2=CD2+BD2=13.

∴BC= 13.由射影定理知,
2 BC 13 2 BC =BD· BA,∴AB= BD = 3 .

52 2 13 ∴AC =AB -BC = 9 ,∴AC= 3 .
2 2 2 2 AC 4 2 又AC =AD· AB,∴AD= = . AB 3

答案

13

13 2 13 4 3 3 3

【例2】

如图(1)中,CD垂直平分AB,点E在CD上,DF

⊥AC,DG⊥BE,F,G分别为垂足.求证:AF· AC=BG· BE.

【分析】

将图(1)分解出两个基本图形(2)和(3),再观察

结论,就会发现,所要证的等积式的左、右两边分别满足图(2) 和(3)中的射影定理:AF· AC=AD2,BG· BE=DB2,通过代换线 段的平方(AD2=DB2)就可以证明所要的结论.

【证明】

∵CD垂直平分AB,

∴△ACD和△BDE均为直角三角形,并且AD=BD. 又∵DF⊥AC,DG⊥BE, ∴AF· AC=AD2,BG· BE=DB2. ∵AD2=DB2.∴AF· AC=BG· BE.

规律技巧

直角三角形中存在斜边上的高时,常联想到直

角三角形的射影定理.

变式2

如图,AD,BE是△ABC的两条高,DF⊥AB,垂

足为F,直线FD交BE于点G,交AC的延长线于H. 求证:DF2=GF· HF.

证明

在△AFH与△GFB中,

因为∠H+∠BAC=90° ,∠GBF+∠BAC=90° , 所以∠H=∠GBF. 因为∠AFH=∠GFB=90° , 所以△AFH∽△GFB.

HF AF 所以 BF =GF, 所以AF· BF=GF· HF. 因为在Rt△ABD中,FD⊥AB, 所以DF2=AF· BF, 所以DF2=GF· HF.

【例3】

如图,在△ABC中,D,F分别在AC,BC上,

且AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC.

【解】

在△ABC中,设AC=x,

∵AB⊥AC,AF⊥BC,FC=1, 根据射影定理,得 AC2=FC· BC,∴BC=x2. 又AF2=BF· FC=(BC-FC)FC=AC2-1, ∴AF= x2-1. 在△ABC中,过D作DE⊥BC于E, ∵BD=DC=1,∴BE=EC.

又AF⊥BC,∴DE∥AF. x2-1 DE DC DC· AF ∴ = ,∴DE= = . AF AC AC x 在Rt△DEC中,DE2+EC2=DC2,
2 4 x2-1 2 x2 2 x - 1 x ∴( x ) +( 2 ) =12,即 x2 + 4 =1.

3 3 ∴x= 2,即AC= 2.

规律技巧

解此类题目的关键是反复利用射影定理,要抓

住线段比之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件,达到 解题目的.

变式3

已知:在△ABC中,∠ACB=90° ,CD⊥AB,AD

=6 cm,CD=2 3 cm,求: (1)∠A的度数; (2)BD的长度; (3)△ABC的面积.



如图,

CD 2 3 (1)在Rt△ACD中,CD=2 3 ,AD=6,∴tanA= = AD 6 3 = ,∴∠A=30° . 3

(2)在Rt△ABC中,由射影定理得CD2=AD· BD. CD2 ?2 3?2 ∴BD= = =2. AD 6 即BD的长为2 cm.

(3)∵AB=AD+BD=6+2=8, 1 1 ∴S△ABC= AB· CD= ×8×2 3=8 3. 2 2 即△ABC的面积为8 3 cm2.



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