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上海交通大学附属中学2012-2013学年第二学期



上海交通大学附属中学 2012-2013 学年第二学期 高一数学月考二试卷
(满分:100 分 完卷时间:60 分钟)

一、 填空题(本大题共 12 小题,每题 4 分, 满分 48 分)
1、在等差数列 {an } 中,3 = 2, 5 = 8,则S10 =

答案:95
2、等差数列 {an } 中, a

1 + a2 + a3 = -24, a18 + a19 + a20

= 78 ,则此数列前 20 项和等于

答案:180
3、在数列 {an } 中, a1 =
n 1 , an = -1 2an-1 (n ? 2) ,则 a5 = 3

( )

答案:

16 3

4、 数列 {an } 中,a1 = 1 , 对于所有的 n ? 2, n ? N , 都有 a1a2 a3

则 a3 + a5 = an = n2 ,

答案:

61 16

2. 解: 由 n≥2, n∈N 时 a1?a2?a3?…?an=n2 得当 n≥3 时, a1?a2?a3??an﹣1= (n﹣1) 然

后两式相除 an=(

)2,即可得 a3= ,a5=

从而求得 a3+a5=



5、若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列, c, a, b 成等比数列,且 a + 3b + c = 10 ,则

a=
答案:-4 解:由互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,可设 a=b﹣d,c=b+d,由题设得, ,解方程组得 ,或 ,

d≠0,b=2,d=6,a=b﹣d=﹣4
6、在等比数列 {an } 中,1 = 1, 9 = 3,则1 2 ? 9 =

答案:81 3
1

7、已知 {an } 是首项为 1 的等比数列, Sn 是 {an } 的前n项和,且 9 S3 = S6 ,则数列 前 5 项和为 答案:

1



31 16

解:显然 q≠1,所以

所以

是首项为 1,公比为 的等比数列,前 5 项和



8、数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第 1000 项等于 答案:45 解:将数列分段,第 1 段 1 个数,第 2 段 2 个数,…,第 n 段 n 个数, 设 a1000=k,则 a1000 在第 k 个数段,由于第 k 个数段共有 k 个数, 则由题意 k 应满足 1+2+…+(k﹣1)<1000≤1+2+…+k, 解得 k=45 9、若数列 {an } 是等差数列,首项 a1 > 0 , a2013 + a2014

> 0 , a2013a2014 < 0 ,则使前n项和

Sn > 0 成立的最大自然数n是
答案:4026

10 、 定 义 在 ? ??, 0? ?? 0, ?? ? 上 的 函 数 f ? x ? , 如 果 对 于 任 意 给 定 的 等 比 数 列 ?an ? ,

? f ? a ?? 仍是等比数列,则称 f ? x ? 为“保等比数列函数”.现有定义在 ? ??,0? ? ?0, ???
n

上的如下函数:
2 ① f ( x) ? x ; x ② f ( x) ? 2 ;

③ f ( x) ? | x | ;

④ f ( x) ? ln | x | .

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 答案:① ③ 11、设各项均为正数的等比数列 数列
n n

{a } 中, a1 + a3 = 10, a3 + a5 = 40 .设 bn = log2 an ,则
n

{a b } 的前n项和公式是

答案: Sn ? ? n ?1? ? 2n?1 ? 2 分析:(1)设数列{an}的公比为 q(q>0),
2

? a1 ? a1 q 2 ? 10 ? 由题意有 ? 2 , 4 ? ? a1 q ? a1 q ? 40

∴a1=q=2, ∴an=2n,

∴bn=n. 故 anbn=n2n

Sn ? ? n ?1? ? 2n?1 ? 2 错位相减法
12、已知

{a } 是递增数列,且对任意 n ? N
n

*

,都有 an

= n 2 + ln ,则实数 λ 的取值范围是

答案: ?3,??

?

?
2

解:{an}是递增数列,an+1>an,an=n +λn 恒成立 2 2 * 即(n+1) +λ(n+1)>n +λn,λ>﹣2n﹣1 对于 n∈N 恒成立. 而﹣2n﹣1 在 n=1 时取得最大值﹣3,λ>﹣3

二、选择题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分)
2 13、 已知等差数列 的前n项和为 , 若m > 1, 且 ?1 + +1 ? ? 1 = 0, 2 ?1 = 39,

则m等于( A.39 答案:B

) B.20 C.19 D.10

解:数列{an}为等差数列则 am﹣1+am+1=2am 则 am﹣1+am+1﹣am2﹣1=0 可化为 2am﹣am2﹣1=0 解得:am=1,又 S2m﹣1=(2m﹣1)am=39 则 m=20

14、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图 1 中的 1, 3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图 2 中的 1, 4,9,16…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A.289

B.1024

C.1225

D.1378

答案:C

3

解:由图形可得三角形数构成的数列通项 通项 bn=n ,则由 bn=n (n∈N+)可排除 D,又由 无正整数解。
2 2

,同理可得正方形数构成的数列 , 与

15、 已知两个等差数列 和 的前n项和分别为A 和B , 且 为整数的正整数n的个数是( A.2 B.3 ) C .4

An a 7n ? 4 5 , 则使得 n ? Bn n ?3 bn
D.5

答案:D
解:由等差数列的前 n 项和及等差中项,可得

=

(n∈N ) ,

*

故 n=1,2,3,5,11 时,

为整数.

16、若数列 前 8 项的值各异,且 +8 = 对任意的 n∈ N*都成立,则下列数列中,能取 遍数列 前 8 项值的数列是( A. 答案:B 解:由已知得数列以 8 为周期. 当 k 分别取 1,2,3,4,5,6,7,8 时, a3k+1 分别与数列中的第 4 项,第 7 项,第 2 项,第 5 项,第 8 项,第 3 项,第 6 项,第 1 项相等,故{a3k+1}能取遍前 8 项. 2 +1 B. ) 3 +1 C. 4 +1 D. 6 +1

4

三、解答题(本大题共 2 小题,18 题 12 分,19 题 20 分,满分 32 分)
17、某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元, 将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公 司要求企业从第一年开始, 每年年底上缴资金万元, 并将剩余资金全部投入下一年生产. 设 第年年底企业上缴资金后的剩余资金为 万元. (1)用表示1 ,2 ,并写出 +1 与 的关系式; (4 分) (2)若公司希望经过m( ≥ 3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴 资金的值(用表示) . (8 分) 解: (1)由题意得:a1=2000(1+50%)﹣d=3000﹣d, a2=a1(1+50%)﹣d= a1﹣d=4500﹣ d, … an+1=an(1+50%)﹣d= an﹣d.

(2)由(1)得 an= an﹣1﹣d= ( an﹣2﹣d)﹣d=

an﹣2﹣ d﹣d=…

=

a1﹣d[1+ +

+ …+

]

整理得:an=

(3000﹣d)﹣2d[

﹣1]=

(3000﹣3d)+2d.

由题意,am=4000,即

(3000﹣3d)+2d=4000.

解得 d=

=



故该企业每年上缴资金 d 的值为 为 4000 万元.

时,经过 m(m≥3)年企业的剩余资金

5

2 18、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n , ∈

? .

(1)求 a1 的值; (4 分) (2) 求数列 ?an ? 的通项公式;(13 分) (3) 求数列 的前项和. (3 分) 解:(1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 12 ,而 T1 ? S1 ? a1 ,所以 a1 ? 2a1 ? 12 ,解得 a1 ? 1 . (4 分)
2 (2) 在 Tn ? 2Sn ? n2 中用 n ? 1 取代 n 的位置 , 有 Tn?1 ? 2Sn?1 ? ? n ?1? , 两式相减 , 可得

Sn ? 2an ? 2n ? 1 ( n ? 2 ),

(2 分)

所 以 Sn?1 ? 2an?1 ? 2 ? n ? 1? ? 1 , 两 式 相 减 , 可 得 an ? 2an ? 2an ?1 ? 2 , 即 an ? 2an ?1 ? 2 ( n ? 3 ), 即 an ? 2 ? 2 ? an?1 ? 2? , 所以数列 ?an ? 2? 是一个首项为 a2 ? 2 ,公比为 2 的等比数列. (2 分) (2 分) (1 分)

在式子 Tn ? 2Sn ? n2 中,令 n ? 2 ,有 T2 ? 2S2 ? 22 ,即 a1 ? ? a1 ? a2 ? ? 2 ? a1 ? a2 ? ? 22 ,所以
a2 ? 4 ,

(3 分) (2 分) (1 分)

于是 an ? 2 ? ? a2 ? 2? ? 2n?2 ? 6 ? 2n?2 ? 3 ? 2n?1 ,所以 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 ( n ? 2 ). 当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,也满足该式子, 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 . (3)代入 Sn ? 2an ? 2n ? 1 , = 3 × 2 ? 2 ? 3,
2 代入 Tn ? 2Sn ? n , 得 = 6 × 2 ? 2 ? 4 ? 6

(2 分) (1 分)

6



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