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1.2.1排列应用题



排列应用题

1、复习回顾: (1)排列与排列数的定义: (2)如何写出所有的排列? (3)排列数公式及应用-----计算 排列数、解排列数方程及不等式、 证明排列数等式 (4)无限制条件的排列问题: 练习:课本P14: 2(3)(6); 6、

二、有限制条件的排列问题

(一)、排数问题
例1.用0到4

这5个数字可以组成多少个没有重复数字的: (1)三位数? (2)四位偶数? (3)个位数比十位数大的5位数?

小 结一:对于“在”与“不在”等 有 特殊元素 或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊
位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优待法)。
注意:正确的分类与分步

练习 1. 7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排 法共有多少种? 240

二、站队问题(1)特殊元素(位置)问题

2 1 优待法.甲、乙站在两端有 A2 种;然后余下的 5 5 名 同 学 进 行 全 排 列 有 A5 种,∴共有

A ? A =240 种排列方法.
2 2 5 5

练习 2. 7 位同学站成一排,甲不能站在排头.乙不能 站在排尾的排法共有多少种? 4720

2间接法:

A ? 2 A ? A ? 5040 ? 2 ? 720 ?120 ? 4720
7 7 6 6 5 5

二、站队问题 1、相邻问题
例2.有6个人排成一排: 甲和乙两人相邻的排法有多少种?

小结二:对于相邻问题,常用“捆绑法” (先捆后松).

2.不邻问题
例.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻,有多少种不同的排法?

4 解:先把四个男孩排成一排有A4 种排法,在每一排 列中有五个空档(包括两端),再把三个女孩插入 4 3 3 ? A5 ? 1440 空档中有A5 种方法,所以共有: A4 (种) 排法。

七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
若三个女孩互不相邻,有多少种不同的排法?

插空法

变式、七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻,四个男孩也互不相邻, 有多少种不同的排法?


间 问
不同的排法共有: (种) A ? A ? 144
4 4 3 3



小结三:对于不相邻问题,常用 “插空法”(特殊元素后考虑).

练一练:例2.有6个人排成一排:
(2)甲,乙,丙三人两两不相邻的排法有多少种? (3)甲,乙都与丙不相邻的排法有多少种?

引申练习
1.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩,三 家是女孩,现将这七个小孩站成两排照相留念。 (1)若前排站三人,后排站四人?分排问题直排法
(2)若前排站三人,后排站四人,其中的A.B两小 孩必须站前排且相邻,有多少种不同的排法? 7 A7 ? 5040

B A
2 2A 解:A,B两小孩的站法有: (种),其余人的站法 2 5 2 5 有A5(种),所以共有 2 A2 (种) 排法。 ? A5 ? 480

题型三:解决排列问题的常见方法 (法一)捆绑法: (法二)插空法:(法三)间接法

例3、将2个男生和4个女生排成一排: (1)男生排在中间的排法有多少种? (2)男生不在头尾的排法有多少种? (3)男生不相邻的排法有多少种? (4)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种? (5)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种? (6)女生必须按从矮到高且从左到右站队的排法有几种? (7)男生甲不站在排头,且男生乙不站在排尾的排法有几种

注意:(6)定序问题用除法: 先全排,几个元素定序就除A几几

练习:见学案例4、
例4:某单位有7个连在一起的车位,现有3辆不同的车 需要停放,要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的 停放种数有_________.

练.某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好3枪连 在一起的不同种数有多少?

1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置; ⑵某些元素要求连排(即必须相邻); ⑶某些元素要求分离(即不能相邻); 2.基本的解题方法: ⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊 元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法“优 限法”; ⑵ 某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一 个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列 ,这种方法称为“捆绑法”;

小结:

⑶ 某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这 些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”。

巩固练习

1.四位男生、三位女生排队照相,根据下列要求, 各有多少不同的排法
①七个人排一列,三个女生任何两个都不能相 邻排在一起 ②七个人排一列,四个男生必须连排在一起 ③男女生相间排列

①插空法:先排四个男生共有A44种排法 _X_X_X_X _ 在五个空挡中选出三个空档插进去三个女生有A35种排法 由乘法原理解共有A44 A35=1440 ②捆绑法:四个男生看作一个元素和三个女生共四个元素 有A44种排法,四个男生全排列有A44 种排法

由乘法原理共有A44 A44=576
③男女男女男女男 共有A44 A33=144

2 、三名女生和五名男生排成 一排, ⑴如果女生全排在一起,有 多少种不同排法? ⑵如果女生全分开,有多少 种不同排法? ⑶如果两端都不能排女生, 有多少种不同排法?
A66 A33 =4320 A55A63=14400 A52A66=14400

⑷如果两端不能都排女生, A88- A32 A66=36000 有多少种不同排法?



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