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第一节 变化率与导数、导数的计算



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第一节 变化率与导数、导数的计算

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教材研读
?
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为①
? cy ?x

?

r />
f ( x2 ) ? f ( x1 ) c x2 ? x1

,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-

f(x1),则平均变化率可表示为②

?.

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2.函数y=f(x)在x=x0处的导数
f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) 为函数y= ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim lim f(x)在x=x0处的导数,记作f '(x0)或y'|? , 即 f '( x )= ? ? = ? ? . 0 x ? x0 ?x?0 ? x ?x?0 ?x

(1)定义

lim ? =? lim ? 0 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率? ?x?0 Δx ?0

Δy Δx

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f ' (x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点③ (x , f(x ))
0 0

处的④ 切线的斜率 3.函数f(x)的导函数 称函数f '(x)=? lim ? y'.

.相应地,切线方程为⑤ y-f(x )=f '(x )(x-x ) .
0 0 0

f (x ? Δx) ? f (x) 为f(x)的导函数,y=f(x)的导函数有时也记作 ?x?0 Δx

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4.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=C(C为常数) 导数 f '(x)=⑥ 0

f(x)=x (α∈Q )
f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=a (a>0,且a≠1) f(x)=e
x x

α

*

f ' (x)=⑦ αx

α-1

f ' (x)=⑧ cos x f ' (x)=⑨ -sin x f ' (x)=⑩ a ln a f '(x)=? e
x x

f(x)=logax(a>0,且a≠1)

1 c x ln a f '(x)=? ?
1 c x ?

f(x)=ln x f '(x)=?

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5.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=? f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)· g(x)]'=? f '(x) g(x)+f( x)g'(x) (3)? ?
? f ( x) ? ? '=? g ( x ) ? ?

;

?

f '( x) g ( x)c ? f ( x) g '( x) [ g ( x)]2

(g(x)≠0).

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?
1.下列求导运算正确的是? ( A.? ? x ? ? '=1+? x x2
? ? ? 1?

)
1 x ln 2

1

B.(log2x)'=?

C.(3x)'=3xlog3e
?

D.(x2cos x)'=-2sin x

答案 B

1? 1 ? ?1? x x 2 2 2 x ? ? ? '=x'+? ? ? ? '=1? 2 ;(3 )'=3 ln 3;(x cos x)'=(x )'cos x+x (cos x)' x? x ? ? x?

=2xcos x-x2sin x.故选B.

cc

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2.若f(x)=ax4+bx2+c满足f '(1)=2,则f '(-1)=? ( A.-4
? 答案

)

B.-2

C.2

D.4

B ∵f(x)=ax4+bx2+c,
cc

∴f '(x)=4ax3+2bx,

又f '(1)=2,∴4a+2b=2,
∴f '(-1)=-4a-2b=-2.

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3.曲线y=ax -ax+1(a≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x+y+1=0垂直,则a =
?

2

.
1 -? 2
cc ∵y=ax2-ax+1,∴y'=2ax-a,∴y '|x=0=-a.又∵曲线y=ax2-ax+1(a≠0)在点

答案

? 解析

(0,1)处的切线与直线2x+y+1=0垂直,∴(-a)· (-2)=-1,即a=-? . 4.曲线y=2x-x3在x=-1处的切线方程为
? 答案 ? 解析

1 2

.

x+y+2=0 设f(x)=2x-x3,则f '(x)=2-3x2.
cc

∴f '(-1)=2-3=-1.
又f(-1)=-2+1=-1,

∴切线方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0.

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5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f '(5)= .

?
? 答案 ? 解析

2 由题意知f '(5)=-1, f(5)=-5+8=3,∴f(5)+f '(5)=3-1=2.
cc

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考点突破
?
导数的运算

典例1 求下列函数的导数:
x x? x? sin ? cos (1)y=cos? ? ? ?;

2?

2

2?

(2)y=ex· ln x.
?

解析

x x? x? sin ? cos (1)∵y=cos ? ? ? ? 2 2? 2?

=cos x sin x -cos2 x

? ? ? 2 2 2
2

cc

=1 ? sin x-1 ? (1+cos x)
2

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1 1 =? (sin x-cos x)-? , 2 2 2 ?? 1 ? x ? ∴y'=? (sin x+cos x)=?sin? ? ?. 4 2 2 ? ? 1? 1 x? ln x ? (2)y'=ex· ln x+ex· ? =e ? ? ?. x x ? ?

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函数的求导原则:

1.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重
视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在化简 时,要注意变换的等价性,避免不必要的运算失误. 2.利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如(xn)'=nxn-1中,n∈Q
*

,(cos x)'=-sin x,还要注意公式不要用混,如(ax)'=axln a,而不是(ax)'=xax-1.

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1-1 求下列函数的导数: (1)y=(3x3-4x)(2x+1); (2)y=?
x ? cos x ; x ? sin x

(3)y=exln x+2x+e.
? 解析

(1)解法一:∵y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,∴y'=24x3+9x2-16x-4.

解法二:y'=(3x3-4x)'(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)'=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)· 2=24x3+9x2 -16x-4.
( x ? cos x)'( x ? sin x) ? ( x ? cos x)( x ? sin x)' ( x ? sin x)2 (1 ? sin x)( x ? sin x) ? ( x ? cos x)(1 ? cos x) cc =? ( x ? sin x)2 ? x cos x ? x sin x ? sin x ? cos x ? 1 =? . ( x ? sin x)2

(2)y'=?

(3)y'=(ex)'· ln x+ex· (ln x)'+(2x)'+0
x e =exln x+? +2xln 2. x

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?

导数的几何意义

命题角度一 求切线方程 典例2 (1)(2015济宁模拟,4)函数f(x)=? 程为? ( A.2x-y-4=0 C.x-y-3=0 ) B.2x+y=0 D.x+y+1=0
1 3
? 3?

ln x ? 2 x 的图象在点(1,-2)处的切线方 x

? 8 ? ,则过点P的切线方程为 (2)已知曲线y=? x3上一点P? ? 2, ?
? 答案
?

.

(1)C (2)3x-3y+2=0或12x-3y-16=0
1 ? ln x x
cc

解析 (1)f '(x)=? 2 ,则f '(1)=1,故函数f(x)的图象在点(1,-2)处的切线方

程为y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.

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? 3? (2)设切点坐标为? ? x0 , x0 ? , 3 1 ? ?
2 3 2 | x ? x =? x0 由y'=? , ? x ? '=x ,得y'?
0

?1 ?3

? ?

2 x0 即过点P的切线的斜率为? ,

1 3 8 x0 ? ? 8? 2 3 3, x0 = 又切线过点P? ? 2, ? ,若x0≠2,则? x0 ? 2 ? 3?

?

解得x0=-1,所以过点P的切线的斜率为1; 若x0=2,则过点P的切线的斜率为4. 故所求的切线方程是y-? =x-2或y-? =4(x-2), 即3x-3y+2=0或12x-3y-16=0.
8 3 8 3

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命题角度二 求切点坐标 典例3
1 (1)(2015陕西,15,5分)设曲线y=e 在点(0,1)处的切线与曲线y=? (x> x
x

0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为

.

(2)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为 .
?

答案 (1)(1,1) (2)?2 (1)∵函数y=ex的导函数为y'=ex,

? 解析

∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.
1 1 设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=? 的导函数为 , cc y'=-? 2 x

x

1 1 ∴曲线y=? (x>0)在点P处的切线的斜率k2=-? , 2
x

x0

? 1 ? =-1, 易知k1k2=-1,即1· ? ? ? 2? ? x0 ?

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2 x0 解得? =1,又x0>0,

∴x0=1.又∵点P在曲线y=? (x>0)上, ∴y0=1,故点P的坐标为(1,1). (2)设P(x0,y0)到直线y=x-2的距离最小,
|x ? x =2x0-? 则y'? =1,
0

1 x

1 x0

1 解得x0=1或x0=-? (舍). 2

∴P点坐标为(1,1). ∴所求的最小距离=?
|1 ? 1 ? 2 | =?2 . 1?1

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命题角度三 求参数的值 典例4 (1)(2015课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处 的切线过点(2,7),则a= .

(2)(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+ (a+2)x+1相切,则a=
? 答案 ? 解析

.

(1)1 (2)8
(1)由题意可得f '(x)=3ax2+1,∴f '(1)=3a+1,

又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+ 1)(x-1),又此切线过点(2,7), ∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.
1 , f '(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点 (2)令f(x)=x+ln x,求导得f '(x)=1+? x
cc

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(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x
1 0 2 1 2 x0 (a+2)x0+1=2x0-1,即a? +ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x0=-? ,此时a 2
2 |x ? x =2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-? x0 +1的切点为P(x0,y0),则y'? ,又a? +

=8.

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求函数图象的切线方程的注意事项: (1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需将切点设出. (2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点代入两者的函数解析式 建立方程组. (3)在切点处的导数值对应切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件. (4)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点.如y=x3在(1,1)处的切线与y=x
3

的图象还有一个交点(-2,-8).



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