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导数概念与运算1122


导数概念与运算 知识清单 1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f ?y (x 0 ) ,比值 叫 做 函 数 y=f ( x ) 在 x 0 到 x 0 + ?x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即 ?x ? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = 。如果当 ?x ? 0 时, 趋向于一个常数 A,我们就说函数 y=f(x)在 ?x ?x ?x 点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x ? x0 。 即 f'(x 0 )=
? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ( ?x ? 0 ). ?x ?x

说明: 求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤: (1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ;
? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x ?y (3)取极限,得导数 f’(x 0 )= ( ?x ? 0 ). ?x 2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线

(2)求平均变化率

的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f’(x 0 ) 。相应 / 地,切线方程为 y-y 0 =f (x 0 ) (x-x 0 ) 。 3.几种常见函数的导数: ① C ? ? 0; ② xn ? ? nxn?1;

? ?

③ (sin x)? ? cos x ;

④ (cos x)? ? ? sin x ;

1 1 ⑦ ? ln x ?? ? ; ⑧ ? l o g a x ?? ? log a e . x x 4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ' ? u ' ? v ' . 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ' ? u ' v ? uv' . 若 C 为常数,则 (Cu) ' ? C 'u ? Cu ' ? 0 ? Cu ' ? Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数 的导数: (Cu ) ' ? Cu ' . 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积, u ' v ? uv ' ?u? 再除以分母的平方: ? ? ‘= (v ? 0) 。 v2 ?v? 导数应用

⑤ (ex )? ? e x ; ⑥ (a x )? ? a x ln a ;

知识清单 1.单调区间:一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导, 如果 f ' ( x ) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数; 如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数;
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如果在某区间内恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数; 2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜率 为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 3.最值: 一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f ( x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。 ①求函数? ( x ) 在(a,b)内的极值; ②求函数? ( x ) 在区间端点的值?(a)、?(b); ③将函数? ( x ) 的各极值与?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 课前预习 1.求下列函数导数 1 1 (1) y ? x( x 2 ? ? 3 ) x x
x x (3) y ? x ? sin cos 2 2

(2) y ? ( x ? 1)(
x2 sin x

1 x

? 1)

(4)y=

2.若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为-------3.过点(-1,0)作抛物线 y ? x2 ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为----------1 和 y ? x2 在 它 们 交 点 处 的 两 条 切 线 与 x 轴 所 围 成 的 三 角 形 面 积 x 是 。 3 2 5. f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间 ??1,1? 上的最大值是

4.曲线 y?

典型例题 一 导数的概念与运算 例 1:如果质点 A 按规律 s=2t3 运动,则在 t=3 s 时的瞬时速度为-----变式:定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足: ? x ? D , ? 常数 M ? 0 , 都有 | f ( x) | ≤M 成立,则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数的上界. 1 ? at ,要使在 t ? [0 , ? ?) 上的每一时刻的瞬时速度 (1)若已知质点的运动方程为 S (t ) ? t ?1 是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

例:求所给函数的导数: y ? x3 ? log 2 x;

y ? xne x ;

y?

x3 ? 1 。 sin x

变式:设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0. 且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 --------------------------第 2 页 共 2 5 页

例 2:已知函数 y ? x ln x .(1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点 x ? 1 处的切线的方程. 变式 1:已知函数 y ? e x . (1)求这个函数在点 x ? e 处的切线的方程; (2)过原点作曲线 y=ex 的切线,求切线的方程. 变式 2:函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a= 例 3:判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x 3 ? 3 x; (2) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? );
(3) f ( x) ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 24 x ? 1.
2

1 4

变式 1:函数 f ( x) ? x ? e ? x 的一个单调递增区间是
1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 3 (1)若函数的单调递减区间是(-3,1) ,则 a 的是 (2)若函数在 [1,??) 上是单调增函数,则 a 的取值范围是

变式 2:已知函数 y ?

. .

例 4:求函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 的极值. 求函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 在 ?0,3? 上的最大值与最小值.. 变式 1:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值 5 ,其导函数 y ? f '( x) 的图象经过 点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所示.求: (Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a, b, c 的值. 变式 2:若函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 极值 ? (1)求函数的解析式; (2)若函数 f ( x) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围. 变式 3:已知函数 f ( x) ? x 3 ? 求 c 的取值范围。
1 2 x ? 2 x ? c ,对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?c2 恒成立, 2
4 , 3
1 3

1 3

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实战训练 1. 已知曲线 S:y=3x-x3 及点 P(2, ?2) ,则过点 P 可向 S 引切线的条数为 2. y=2x3-3x2+a 的极大值为 6,那么 a 等于 3. 函数 f(x)=x3-3x+1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 4.设 l1 为曲线 y1=sinx 在点(0,0)处的切线,l2 为曲线 y2=cosx 在点(

? ,0)处的切线,则 l1 2

与 l2 的夹角为___________. 5. 设函数 f (x)=x3+ax2+bx-1,若当 x=1 时,有极值为 1,则函数 g(x)=x3+ax2+bx 的单调递 减区间为 . 1 6. ( 07 湖北)已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1,f (1)) 处的切线方程是 y ? x ? 2 ,则 2 f (1)? f ? (1) ?
3] 上的最小值是 7. (07 湖南)函数 f ( x) ? 12x ? x3 在区间 [?3, 实战训练 B

1. (07 海南)曲线 y ? ex 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

e2 2

2. (07 江苏)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都 f (1) 有 f ( x) ? 0 ,则 的最小值为 f '(0) π 3. (07 江西)若 0 ? x ? ,则下列命题正确的是( ) 2 2 2 3 3 A. sin x ? x B. sin x ? x C. sin x ? x D. sin x ? x π π π π 1 3 1 4 ? ? 4. (07 全国一)曲线 y ? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 9 3 ? 3? 5. (07 全国二)已知曲线 y ?
1 x2 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 2 4

1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是 3 ?1 ? 8. (07 广东)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是 , ?? ? ? ?e ? 3 9. (07 江苏)已知函数 f ( x) ? x ?12x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则 M ?m ?

6. (07 北京) f ?( x ) 是 f ( x) ?

10.已知函数 f ( x) 在定义域 R 上可导,设点 P 是函数 y ? f ( x) 的图象上距离原点 O 最近的点. (1) 若点 P 的坐标为 (a, f (a)) , 求证: a ? f (a) f ' (a) ? 0 ; (2) 若函数 y ? f ( x) 的图象不通过坐标原点 O , 证明直线 OP 与函数 y ? f ( x) 的图象上点 P 处切线垂直.
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11.(理做)设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' (x) ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1. 12.利用导数求和: (1) ; (2) 。 13.设 a ? 0 ,求函数 f ( x) ? x ? ln(x ? a)(x ? (0,??) 的单调区间. 2 14.(2009 安徽卷理) 已知函数 f ( x) ? x ? ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x (2009 浙江文)已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数
f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ...

a ( a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . (Ⅰ )求函数 F ( x) 的单调区间; x 1 (Ⅱ ) 若以函数 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 恒成立, 2 求实数 a 的最小值;

15.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?
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9 16.(2009 江西卷文)设函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 6 x ? a . (1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成 2 立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

17.(2009 天津卷文)设函数 (Ⅰ) 当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率 (Ⅱ) 求函数的单调区间与极值; 1,f( 1 )) (Ⅲ)已知函数 f ( x) 有三个互不相同的零点 0, x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。

18.已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , f '( x) 是 f(x)的导数;设 a1 ? 1 ,
an ?1 ? an ? f (an ) (n=1,2,……) f '(an )

(1)求 ? , ? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 a n >a; (3)记 bn ? ln
an ? ? (n=1,2,……) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 an ? a
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