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分段函数和反函数



分段函数和反函数

1.回顾与复习 ? 函数的定义 ? 函数的二要素 ? 何谓两个函数相同 ? 函数的各种表示法

例1.旅客乘坐火车可免费携带不超过20千克的物品,超过20千克不

超过50千克的部分每千克交费a元,超过的部分每千克交费b元. 求运费与携带物品重量 的函数关系.
解 设物品重量为x千克,应

交运费y元. 由题意可知这时应考虑三种情况: 第一种情况是重量不超过20千克,这时 y=0, x∈[0,20] 第二种情况是重量超过20千克但不超过50千克,这时 y=(x-20)a, x∈[20,50] 第三种情况是重量超过50千克,这时 y=(50-20)a+(x-50)b, x∈(50,+∞) 因此,所求的函数是
?0, x ? [0,2 0] ? y ? ?a ( x ? 2 0), x ? ( 2 0,5 0] ?a (5 0 ? 2 0) ? b ( x ? 5 0), x ? (5 0, ??) ?

2.分段函数的定义 有些函数虽然也是以数学式子表示,但是它在定 义域的不同范围具有不同的表达式.这样的函数 叫做分段函数。

例2 设

?1, x ? 0 ? f ( x ) ? ?0, x ? 0 ?? 1, x ? 0 ?

,求

f ( 2) f (0) 和 f (?2) . ,

3 反函数 设 y ? f ( x) 为定义在D上的函数,其值域为A.若 对于数集A中的每个数y,数集D中都有唯一一个 数x使 f ( x) ? y ,这就是说变量x是变量y的函数.这 个函数称为函数 y ? f ( x) 的反函数,记为 x ? f ( y) , 其定义域为A,值域为D.函数 y ? f ( x) 与 x ? f ( y) 二 者的图形是相同的.
?1
?1

例4 求函数 y ? lg x 的反函数,并画出其反函数的图像.

y
y ? 10
x

y ? lg x

x

y? f

( x) 和 y ?

f

?1

( x) 的图像关于y=x对称

求反函数的一般步骤: (1)由方程 y ? f ( x) 解出x,得到 x ? f ( y) (2)将函数 x ? f ( y) 中的x和y分别换为y和x,得到 反函数 y ? f ( x) (3)写出反函数的定义域
?1
?1

?1

一解二换三注明

例5 求函数

y?

2 的反函数. ? 1 2
x
x x

x

解:由 交换x和y的位置,即求得 其定义域为(0,1)

y?

2 2 ? 1 可解得

x ? log

y 21? y
y ? log

x 21? x

4 函数与其反函数的关系
f
?1

[ f ( x)] ? x
?1

f[ f

( x)] ? x

例6

y ? log x
a

的反函数是
log
x a

y?a

x

,则

(a ) ? x

x y ? aloga



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