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东北三省三校2015届高三第二次高考模拟考试 数学(文)



哈尔滨师大附中

东北师大附中

辽宁省实验中学

2015 年高三第二次联合模拟考试 文科数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分, 考试时间 l20 分钟。 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚

,将条形码准确粘贴在条形码区域 内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工 整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试 题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 l2 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.已知集合 M={1,2},N={ x | log2 (2 x ?1) ? 2 },则 M A.{1} B.{2} C.{0,1}
2012

N

D.{1,2}

2.i 为虚数单位,复数 z ? i

? i 2015 在复平面内对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.向量 a=(2,-9),向量 b=(-3,3),则与 a-b 与同向的单位向量为 A.(

4.设 l,m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列说法正确的是 A.若 l ? m,m ? ? ,则 l ? ? B.若 l ? ? ,l ∥m,则 m ? ? C.若 l / /? ,m ? ? ,则 l / / m D.若 l / /? ,m / / ? ,则 l / / m 5.若 P 是 ?q 的充分不必要条件,则 ? p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件
1

5 12 ,? ) 13 13

B.( ?

5 12 12 5 12 5 , ) C.( , ? ) D .( ? , ) 13 13 13 13 13 13

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? 1 ?3 6.设 a ? ? ? , b ? log 1 2, c ? log 1 3 ,则 ?2? 3 2
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>a>b 7.阅读如图所示的程序框图,则输出的 A 的值是 A.15 B.21

C.28

D.36

8. 已知双曲线

x y x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0 的左、 右焦点分别为 F1、 F2, 以 F1F2 为直径的圆被直线 ? ? 1 2 a b a b

截得的弦长为 6 a,则双曲线的离心率为 A.3 B .2 C. 3
2

D. 2

9.将函数 f ( x) ? 3 cos 再将所得图象向右平移 A. g ( x ) ? cos

1 x 1 3 的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 , ? sin x ? 2 2 2 2

? 得到函数 g(x),则函数 g(x)的解析式为 3
B. g ( x) ? ? sin 2 x

x 2

C. g ( x) ? sin(2 x ?

?
3

)

D. g ( x ) ? sin( ?

x 2

?
6

)

10.一个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形, 则此三棱锥外接球的表面积为 A.

C.4 ?

9? 4

B. 9? D. ?

11.? ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a,b,c 成等比数列.若 sinB= 则 a+c= A. 37 B. 13 C. 3 7 D. 2 6

5 12 ,cosB= , 13 ac

4 | x| 12.已知 f ( x) ? x ? e ,则满足不等式 2 f (ln t ) ? f (ln ) ? f (2) 的实数 t 的集合为

1 t

A.[e-1,e]

B.[e-2,e2]

C:[0,e2] D.[e-2,e]

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 l3 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.若 cos (? ?
2

?

1 ) ? ,则 sin 2? = 4 6



14.有一底面半径为 l,高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆心.在这个圆柱内随机取一点 P, 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 .

x ?1 ? ? 15.已知实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? 2 x ? y 仅在点(1,k)处取得最小值, ? kx ? y ? 0 ?
则实数 k 的取值范围是 16.已知点 A( ? .

1 1 , )在抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线上,点 M、N 在抛物线 C 上,且位于 x 轴的 2 2


两侧,O 是坐标原点,若 OM ON =3,则点 A 到动直线 MN 的最大距离为 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 l2 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 a1 ? 2, an?1 ? Sn ? 2, n ? N * . . (I)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn = n an ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn .

18.(本小题满分 12 分) 微信是现代生活进行信息交流的重要工具,据统计,某公司 200 名员工中 90%的人使用微信,其 中每天使用微信时间在一小时以内的有 60 人,其余每天使用微信在一小时以上.若将员工年龄分成 青年(年龄小于 40 岁)和中年(年龄不小于 40 岁)两个阶段,使用微信的人中 75%是青年人.若规定: 每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信,经常使用微信的员工中手是青年人. (I)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系,列出 2×2 列联表; 2×2 列联表
青年人 经常使用微信 不经常使用微信 合计 中年人 合计

(II)由列联表中所得数据,是否有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”? (Ⅲ)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取 6 人,从这 6 人中任选 2 人,求事件 A “选 出的 2 人均是青年人”的概率. 附: P(K2≥k) k 0.010 6.635 0.001 10.828

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19,(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面 ? ABC 为等边三角形,AB=4,AA1=5,点 M 是 BB1 中 点. (I)求证:平面 Al MC ? 平面 AA1C1C; (Ⅱ)求点 A 到平面 A1MC 的距离.

20.(本小题满分 12 分) 椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-1,0)、F2(1,0),椭圆 C 的上顶点与右顶点 a 2 b2

的距离为 3 ,过 F2 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 M 在直线戈 x=2 上,直线 MA、MB 的斜率分别为 k1、k2,若 k1+k2=2,求证:点 M 为定点.

21.(本小题满分 12 分)
2 函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? x ? x ? m

(I)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 F ( x) 的极值; (II)若 f ( x) ? g ( x) ? x ? ( x ? 2)e 在 x∈(0,3)恒成立,求实数 m 的取值范围.
2 x

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答。并用 28 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号 方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4 一 l:几何证明选讲 如图,已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切圆 O 于点 A,CD 是 ? ACB 的平分线,交 AE 于点 F,交 AB 于点 D. (I)求证:CE AB=AE AC; (Ⅱ)若 AD:DB=1:2,求证:CF=DF.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知点 P 的直角坐标是(x,y).以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点,x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系.设点 P 的极坐标是( ? ,? ),点 Q 的极坐标是( ? ,? + ? 0 ),其中 ? 0 是常数.设点 Q 的平面直角坐标是(m,n). (I)用 x,y, ? 0 表示 m,n; (Ⅱ)若 m,n 满足 mn=1,且 ? 0 =

? ,求点 P 的直角坐标(x,y)满足的方程. 4

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a,b,c>0,a+b+c=1. 求证:(I) a ? b ? c ? 3 ; (II)

1 1 1 3 ? ? ? . 3a ? 1 3b ? 1 3c ? 1 2

2015 年高三第二次联合模拟考试

文科数学答案
一.选择题 1 D 2 D 3 A 4 B 5 B 6 A 7 B 8 D 9 C 10 A 11 C 12 B

二.填空题 13.

2 3

14.

2 3

15. ? 2, ???

16.

5 2 2

三.解答题 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时 a2 ? S1 ? 2 ? 4 ? 2a1 当n ? 2时 ……2 分

an ?1 ? Sn ? 2 ? ? ? an ?1 ? 2an , an ? Sn ?1 ? 2 ?
数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2an ( n ? N ) ,且 a1 ? 2, ? an ? 2 ( n ? N ) .
*

……4 分

n

*

……6 分

(Ⅱ) bn ? n ? an ? n ? 2

n

Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ?

? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
……8 分

两式相减,得

?Tn ? 21 ? 22 ? 23 ?
?Tn ?

? 2n?1 ? 2n ? n ? 2n?1

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2
……12 分

Tn ? 2 ? (n ?1) ? 2n?1 (n ? N*) .
18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由已知可得,该公司员工中使用微信的共: 200 ? 0.9 ? 180 人 经常使用微信的有 180 ? 60 ? 120 人,其中青年人: 120 ? 所以可列下面 2 ? 2 列联表: 青年人 经常使用微信 不经常使用微信 合计 80 55 135 中年人 40 5 45 合计 120 60 180

2 ? 80 人 3

……4 分 (Ⅱ)将列联表中数据代入公式可得:

180 ? ?80 ? 5 ? 55 ? 40 ? K ? ? 13.333 120 ? 60 ?135 ? 45
2 2

……7 分 ……8 分

由于 13.333 ? 10.828 ,所以有 99.9% 的把握认为“经常使用微信与年龄有关”. (Ⅲ)从“经常使用微信”的人中抽取 6 人中,青年人有

80 ? 6 ? 4 人,中年人有 2 人 120

设 4 名青年人编号分别 1,2,3,4,2 名中年人编号分别为 5,6, 则“从这 6 人中任选 2 人”的基本事件为: (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6) 共 15 个 ……10 分 其中事件 A“选出的 2 人均是青年人”的基本事件为: (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)共 6 个 ……11 分 故 P ( A) ?

2 . 5

……12 分

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明: 记 AC1 与 A1C 的交点为 E .连结 ME . 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,点 M 是 BB1 中点,

? MA1 ? MA ? MC1 ? MC ?

89 . 2

因为点 E 是 AC1 、 A1C 的中点, 所以 ME ? AC1 且 ME ? A1C , 分 从而 ME ? 平面 AAC 1 1C . 因为 ME ? 平面 A1MC ,所以平面 A1MC ? 平面 AAC 1 1C . (Ⅱ)解: 过点A作 AH ? AC 1 于点 H , 由(Ⅰ)知平面 A1MC ? 平面 AAC 1 1C ,平面 A 1MC 平面 AAC 1 1C ? AC 1 , ……9 而 AH ? 平面 AAC 1 1C ……6 分 ……4

? AH 即为点 A 到平面 A1MC 的距离.
分 在 ?A1 AC 中, ?A 1 AC ? 90? ,

A1 A ? 5, AC ? 4, ? AC ? 41 ? AH ? 1
即点 A 到平面 A1MC 的距离为 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知: ?

5 ? 4 20 41 ? 41 41
……12 分

20 41 . 41

2 2 2 ? x2 ?a ? b ? 3 ? ?a ? 2 ? ? ? y2 ? 1 ? 2 2 2 2 ? ?a ? b ? 1 ? ?b ? 1

……4 分

(Ⅱ)若直线 AB 斜率不存在, AB : x ? 1 .不妨设 A(1,

2 2 ), B(1, ? ) , M (2, m) 2 2

2 2 m? 2 2 ? m? 2 ? m ? 2 , k ? k ? 2 ? 2m ? 2, m ? 1 则 k1 ? , k2 ? 1 2 2 ?1 2 2 ?1 2 m?
若直线 AB 斜率存在设为 k 设直线 AB 方程为: y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (2, m)

……6 分

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 ?2
x1 ? x2 ? 4k 2 2(k 2 ? 1) , x x ? , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
……7 分
F1

y A

O

F2 B C

x

k1 ?

k ( x1 ? 1) ? m k ( x2 ? 1) ? m , k2 ? , x1 ? 2 x2 ? 2

k1 ? k2 ?

2kx1 x2 ? (3k ? m)( x1 ? x2 ) ? 4(k ? m) x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

……8 分

4k 2 m ? 4m ? ? 2, 2(k 2 ? 1)
所以 m ? 1 分 所以定点 M (2,1) 分 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) F ( x) ? ln x ? x2 ? x ? m ,定义域 ? 0, ?? ? ……12 ……10

F ?( x) ? ?

(2 x ? 1)( x ? 1) x

F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1; F ?( x) ? 0 ? x ? 1; F ?( x) ? 0 ? x ? 1

x
F ?( x )

(0,1)


1


(1, ??)

?
递减

F ( x)

递增

极大值

F ( x)极大 ? F (1) ? m ,没有极小值.
(Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ? x ? ( x ? 2)e 在 x ? (0,3) 恒成立;
2 x

……4 分

整理为: m ? ( x ? 2)e ? ln x ? x 在 x ? (0,3) 恒成立;
x x 设 h( x) ? ( x ? 2)e ? ln x ? x , 则 h?( x ) ? ( x ? 1)(e ? ) ,
x

1 x

……6 分 ……7 分

x ? 1 时, x ? 1 ? 0 ,且 e x ? e,

1 1 ? 1 ,? e x ? ? 0 ,? h?( x) ? 0 ; x x

0 ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , 1 1 x x 设 u ? e ? , u ? ? e ? 2 ? 0,? u 在 (0,1) 递增, x x

x?0时

1 ? ??,? u ? 0 , x ? 1 时, u ? e ? 1 ? 0 , x

??x0 ? (0,1) ,使得 u0 ? e x0 ?

1 ? 0 ,? x ? (0, x0 ) 时, u ? 0 ; x ? ( x0 ,1) 时, u ? 0 x0

? x ? (0, x0 ) 时, h?( x) ? 0 ; x ? ( x0 ,1) 时, h?( x) ? 0
函数 h( x) 在 (0, x0 ) 递增, ( x0 ,1) 递减, (1,3) 递增 ……9 分

h( x0 ) ? ( x0 ? 2)e x0 ? ln x0 ? x0 ? ( x0 ? 2) ?

1 2 ? 2 x0 ? 1 ? ? 2 x0 x0 x0

x0 ? (0,1),??

2 2 ? ?2 , h( x0 ) ? 1 ? ? 2 x0 ? ?1 ? 2 x0 ? ?1 x0 x0

h(3) ? e3 ? ln 3 ? 3 ? 0 ,
? x ? (0,3) 时,h( x) ? h(3) , ? m ? h(3) ,即 m ? (e3 ? ln 3 ? 3, ??) .
22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)证明:由 ?ACE ∽ ?BCA , ……11 分 ……12 分

CE AE ? , CE ? AB ? AE ? AC 得 ……5 分 AC AB F C E CD 平分 ?ACB , ??ACF ? ?BCD (Ⅱ)证明: AC 为圆的切线,??CAE ? ?CBD ??ACF ? ?CAE ? ?BCD ? ?CBD ,即 ?AFD ? ?ADF ,所以 AF =AD ?ACF ∽ ?BCD CF AF AD 1 ? ? ? ? ,? CF ? DF CD BD BD 2
23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)由题意知: ?

A

D
O

B

……10 分

? x ? ? cos? , ?m ? ? cos(? ? ?0 ), 和? ? y ? ? sin ? , ?n ? ? sin(? ? ?0 ).

即?

?m ? ? cos? cos?0 ? ? sin ? sin ?0 , ?n ? ? sin ? cos?0 ? ? cos? sin ?0 ,
?m ? x cos?0 ? y sin ?0 , ?n ? x sin ?0 ? y cos?0 .
……5 分

所以 ?

? ?m ? ? (Ⅱ)由题意知 ? ?n ? ? ?
所以 (

2 x? 2 2 x? 2

2 y, 2 2 y, 2

2 2 2 2 x? y)( x? y) ? 2 . 2 2 2 2
……10 分

x2 y2 ? ?1. 整理得 2 2
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (1)证法一:

?
?3

a? b? c

?

2

? (a ? b ? c) ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ? (a ? b ? c) ? (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a)

? a? b? c? 3
证法二: 由柯西不等式得:

……5 分

?

a? b? c

?

2

? (12 ? 12 ? 12 )[( a ) 2 ? ( b ) 2 ? ( c ) 2 ] ? 3

,

? a? b? c ? 3.
(2)证法一:

4 4 ? (3a ? 1) ? 2 (3a ? 1) ? 4, 3a ? 1 3a ? 1 4 ? ? 3 ? 3a 3a ? 1
4 4 ? 3 ? 3b, ? 3 ? 3c 3c ? 1 同理得 3b ? 1 ,
以上三式相加得,

1 1 1 4( ? ? ) ? ? 9 a 3? ( b?c ?) 6 3a ? 1 3 b ? 1 c3 ? 1 , ?
证法二:

1 1 1 3 ? ? ? 3a ? 1 3 b ? 1 c3 ? 1 . 2

……10 分

由柯西不等式得:

1 1 1 ? ? ) 3a ? 1 3b ? 1 3c ? 1 1 1 1 ? ( 3a ? 1 ? ? 3b ? 1 ? ? 3c ? 1 ? )2 ? 9 3a ? 1 3b ? 1 3c ? 1 [(3a ? 1) ? (3b ? 1) ? (3c ? 1)](
? 1 1 1 3 ? ? ? 3a ? 1 3b ? 1 3c ? 1 2 .



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