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三角形“四心”的向量表示



三角形“四心”的向量表示
我们都知道,在三角形中,因为有三条边和三个内角,所以有很多的性质。在三角 形众多的“心”中,有几个是学生应该掌握的,主要是四个心:重心,内心,外心,垂 心。不仅要理解其定义、性质,还需了解和分析其向量的表示形式。由于向量是一种研 究几何图形的另一种工具,所以我们有必要对它们进行整理和归纳,让同行借鉴。 一.各心的定义。 1.重心:三角形三条边的

中线的交点。其性质一是连接重心和顶点,延长后必交 于对应边的中点。其性质二是重心把中线长分成 2:1。 2.垂心:三角形三边的高线的交点。其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂 直。 3.外心:三角形三边的中垂线的交点,即三角形的外接圆的圆心。其性质是外心 到三顶点等距离。 4.内心:三角形三内角平分线的交点,即三角形的内切圆的圆心。其性质是内心 到三边等距离。 二.各心的向量表示。 在三角形 ABC 中,点 O 为平面内一点,若满足: 1. OA ? OB ? OC ? 0 ,则点 O 为三角形的重心。 分析:由 ? OA ? OC ? OB ,以 OB, OC 为邻边作一平行四边形 OBEC , 点 D 为 BC 中点,如图,由向量的平行四边形法则, 有 OE ? OC ? OB ,交 BC 于 D,从而有 OE ? 2OD ? AO ? ?OA 故 O 为重心。
A

O

D B

C

E

2. OA ? OB ? OC ,则点 O 为三角形的外心。 3. OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA , 或者 OA ? BC ? OB ? AC ? OC ? AB ,则点 O 为三角形的垂心。 分析:由 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA 有三个等式,其中一个如 OA ? OB ? OB ? OC ,
2 2 2 2 2 2

1

则有 OB(OA ? OC) ? 0 ,有 OB ? CA ? 0 ,故 OB ? AC 。同理可证,点 O 为三角 形的垂心。
A

O

B

D

C

而在三角形 ABC 中, a ? OA , ? OB , ? OC , 记 则由 AB2 ? CO 2 ? AC 2 ? BO2 b c
(a ? b) 2 ? c
2

? (a ? c) 2 ? b ,展开为 2a ? b ? 2a ? c ,则 (a ? c) ? b ? 0

2

故 AC ? OB ,同理可证 BC ? OA ,从而点 O 为三角形的垂心。 4. BC OA ? AC OB ? AB OC ? 0 ,则点 O 为三角形的内心。 分析:若点 O 为三角形 ABC 的内心。如图,延长 AO ,过点 C 作 CE // BO ,由于 CE CD CD AC ? ? ?BDO与?CDE 相似,有 ,由 AD 为角 A 的平分线,有 , OB DB DB AB CE AC AC AC ? ? OB , 故 CE ? ? OB 从而有 , CE ? OB AB AB AB
A

O

B

D

C

E

OD BD OD OD OA ? ? BC , BO 为角 B 的内角平分线, ? 同理可得, ,OE ? 而 , OE BC BD BD AB OA BC BC ? BC ? ? OA ,故 OE ? ? AO 有 OE ? AB AB AB BC AC ? AO ? OC ? ? OB , 而 OE ? OC ? CE ,所以 AB AB

? BC ? OA ? AB ? OC ? AC ? OB ,有 BC OA ? AC OB ? AB OC ? 0
三.动点的轨迹过三角形心的问题: 设点 P 为三角形 ABC 所在平面内的一个定点,点 Q 为平面内的一个动点,若满足:
2

1. PQ ? PA ? ?( AB ? AC) , (其中 ? ? 0, ? ? R ) ,则动点 Q 一定过 ?ABC 的重心。 2. PQ ? PA ? ? (

AB AB

?

AC AC

(其中 ? ? 0, ? ? R ) ,则动点 Q 一定过 ?ABC 的内心。 ),

分析:由于

AB AB

?

AC AC

表示 AB, AC 方向的单位向量之和,由菱形性质可知,

?(

AB AB

?

AC AC

) 为角 A 的内角平分线。 AB AC AC ? cosC

3. ? PA ? ? ( PQ 的垂心。

AB ? cos B

?

(其中 ? ? 0, ? ? R )则动点 Q 一定过 ?ABC , )

分析:下面只需说明

AB AB ? cos B

?

AC AC ? cosC

的性质。

如图, ?ABC 中,AD ? BC, 延长 AD, 在 过点 B 作 BM // AC, 记 a1 ? BD, a2 ? CD,
b ? AC, c ? AB, 则

a a BM a1 , BM ? 1 ? b ,故有 BM ? 1 ? AC ? b a2 a2 a2

a a AM a ? , AM ? ? AD , AM ? ? AD AD a 2 a2 a2
A

c

b

a1 B D

a2 C

M

由 AM ? AB ? BM ,从而有
a a1 a 2 ? AD ?

a a2

? AD ? AB ?

a1 AC , a2

AB AC AB AC AB AC ? ? ? ,有 AD 与 共线, ? a1 a2 AB ? cos B AC ? cos C AB ? cos B AC ? cosC

3

从而,

AB AB ? cos B

?

AC AC ? cosC

与 BC 垂直。

4. PQ ?

PB ? PC AB AC ,则动点 Q 一定 ? ?( ? ) (其中 ? ? 0, ? ? R ) 2 AB ? cos B AC ? cosC

过 ?ABC 的外心。 四.三角形的外心 O 与它的垂心 H 的关系:

OH ? OA ? OB ? OC ? ?2(HA ? HB ? HC) 。
在 ?ABC 中,以 BC 所在的直线为 x 轴,BC 的中点为原点建立坐标系。设 A( x1 , y1 ) ,

y ? ( x2 ? x1 ) B(? x2 ,0) , C ( x2 ,0) 。则不难求得它的外心坐标 O(0, 1 ) ,从而有 2 y1
2 2 2

3( x2 ? x1 ) ? y1 x ? x1 OA ? OB ? OC ? ( x1 , ) 。它的垂心坐标 H ( x1 , 2 ) ,从而有 2 y1 y1
2 2 2 2 2

HA ? HB ? HC ? (?2 x1 ,

y1 ? 3( x2 ? x1 ) )。 y1
2 2 2

向量作为一种新的知识,其在不少的规律上有简明的表现,蕴含丰富的规律。只要 我们用心去发现,还能找到更加美丽的关系的。

4



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