【全国百强校】黑龙江省哈尔滨市第三中学2016届高三下学期三模数学(理)试题(图片版)

2016 年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试理科数学答案
1-12 BCBDA 13 508 14 CBBCA BA 15

19

1 3

16

2 2 ?2

17. 解： （I） 4a1 ? 6d ? 2 ? a1 ? 4d ? , a1 ? a1 ? d ? ? a1 ? 3d 则 an ? 2n ；-----------------------------------------------3 分

bn ? 2n ；--------------------- ----------------------------------------------6 分
（II） cn ?

anbn ? n 2n ， 2

则 Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ... ? n2n

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ... ? n2n?1
两式相减得 ?Tn ? 1? 21 ? 1? 22 ? 1? 23 ? ... ? 2n ? n2n?1 ----------9 分 整理得 Tn ? (n ? 2)2n?1 ? 2 .-----------------------------------------------12 分 18. （I）中位数是 13； ???????????????????????4 分

（II）依题意 ，从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从 B(3,0.3) ，所以 X 可能
3 0 取值为 1,3 ，且 P( X ? 3) ? C3 0.33 ? C3 0.73 ? 0.37 , ???????6 分 1 2 P( X ? 1) ? C3 0.31 ? 0.7 2 ? C3 0.32 ? 0.71 ? 0.63 ???8 分

所以 X 的分布列为

X
P

1

3

0.63

0.37
源:Z,xx,k.Com]

[来

数学期望 EX ? 1 ? 0.63 ? 3 ? 0.37 ? 1.74 19. 解： （I）取 DE 中的 Q ，连接 QF 、 QA 因为 BF ? 平面 CAE ,所以 F 为中点， D
[来源:Zxxk.Com]

???????????10 分 ????? ??????12 分 Z C

NF / / AM , NF ? AM ,
Q

F

四边形 AMFN 为平行四边形，

AQ / / 平面 QAE .

???4 分

（II）因为 BF ? 平面 CAE 所以 F 为中点， BF ? AE , 因为 BC ? 平面 BAE 所以 AE ? 平面 BCE 所以 AE ? BE ???7 分 以 B 为坐 标原点， BE 为 x 轴， BC 为 z 轴，建立空间直角坐标系

BF ? ?1,0,1?

???9 分

平面 DCE 的法向量为 n ? ?1, 2,1?

cos n, BF ?

3 3

所以线面角正弦值为

3 3
2 2

???12 分

x x 2 2 20. 解： （Ⅰ）设 M ?x, y ?, A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ， 2 ? y 2 ? 1 （1） 1 ? y1 ? 1 （2） 4 4 3 y 1 ? ? ，即 x ? 2 3 y ? 0 （1）-（2）得： ………….3 分 2 x 4
又由中点在椭圆内部得 ? 3 ? x ? 3 ， 所以 M 点的轨迹方程为 x ? 2 3 y ? 0 , ? 3 ? x ? 3 （Ⅱ）由 PF1 ? PF2 ? ? ………….5 分

? 3? 5 ?， ，得 P 点坐标为 ?1, ? 2 ? 4 ? ?

………….6 分

设直线 l 的方程为 y ?

3 x ? m ，代入椭圆方程中整理得： 2

x 2 ? 3mx ? m 2 ? 1 ? 0 ，由 ? ? 0 得 ? 2 ? m ? 2
则 x1 ? x2 ? ? 3m, x1 x2 ? m 2 ? 1 ………….7 分

AB ?

m 7 4 ? m2 ， d ? 4 7 4

………….9 分

所以 S ?PAB ?

S ?PAB
21. 解

1 ………….10 分 m 4 ? m2 2 1 m2 ? 4 ? m2 1 ? 1 ，当 m ? ? 2 时， S max ? 1 ? m 4 ? m2 ? 2 2 2
………….12 分

（1）当 a ? 2 时，设 m( x ) ? g( x ) ? h( x )

1 1 m?( x ) ? 2 ? x 2 ? 2 x ?1

………………………………………………2 分

? 1?

x( 1 ? x )( x ? 2 ) ?0 2( x ? 1 )

故 m( x ) 在 ( 0 ,1 ) 上单调递增 ……………………………………………….4 分 （2）设 p( x ) ? f ( x ) ? g( x ) ? sin x ? x ? ax
3

1 6

p?( x ) ? cos x ?

1 2 x ? a ，因为 p??( x ) ? x ? sin x ? 0 ， 2

所以 p?( x ) 递增.所以有： 当 a ? 1 时， p?( x ) ? 0 ，所以 p( x ) 单调递增，所以 p( x ) ? p( 0 ) ? 0 ，成立； ……………………………………………….6 分 当a ?
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1 ? cos 1 时， p?( x ) ? 0 ，所以 p( x ) 单调递减，欲证不等式不成立； 2 1 1 2 当 1 ? a ? ? cos 1 时，设 cos x ? x ? a ? 0 零点为 x0 ，则当 x ? ( 0,x0 ) 时 p( x ) 递减 2 2

x ?( x0 ,1 ) p( x ) 递增，从而当 x ? ( 0,x0 ) ， p( x ) ? 0 ，与前提矛盾
……………………………………………….8 分 综上，此时 a ? 1 . 再设 q( x ) ? g( x ) ? h( x ) ? ax ?

1 3 x ? ln( x ? 1 ) 6

1 1 x3 ? x 2 ? 2 q?( x ) ? a ? x 2 ? ?a? 2 x ?1 2( x ? 1 )
设 m( x ) ?

x3 ? x 2 ? 2 x3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ，易求 m?( x ) ? ， 2( x ? 1 ) ( x ? 1 )2

再令 n( x ) ? x3 ? 2x2 ? x ? 2 ，易知 n?( x ) ? 3x 2 ? 4x ? 1 ? 0 且 n( 0 ) ? 0,n( 1 ) ? 0 ，从而由零点存在定理知。必存在唯一零点 s ? ( 0,1 ) ，使 n( s ) ? 0 当 x ? ( 0,s ) m?( x ) ? 0 ， m( x ) 递 减 x ? ( 1 s , m )? ( x?)0 ， m( x ) 递 增 ， 且

m( 1 ) ? m( 0 ) ? 1
设 m( x )min ? m

当 a ? 1 时， q?( x ) ? 0 恒成立， q( x ) 递增，所以 q( x ) ? q( 0 ) ? 0 ，原不等式成立； …………………… ………………………….10 分 当 a ? m 时， q?( x ) ? 0 恒成立， q( x ) 递减，所以 q( x ) ? 0 恒成立，矛盾； 当 m ? a ? 1， 设a?

x3 ? x 2 ? 2 (x) 递减， 则( 0 ,x 1 ) q ( x1 ,x2 ) q( x ) 递 ? 0 两根为 x1、x2 ， 2( x ? 1 )

增， ( x2 ,1 ) q( x ) 递减，故此时 q( x ) ? 0 仍不能恒成立. 综上所述， a ? 1 .
[来源:Z§xx§k.Com]

所以 f ( x ) ? g( x ) ? h( x ) 恒成立的 a 的取值集合为 { 1 } .……………12 分 22．解： （1）连接 OC

BC // OM ? ?BCO ? ?COM , ?AOM ? ?CBO ，又
OC ? OB ? ?CBO ? ?BCO
，所以 ?COM ? ?AOM ,又 OC ? OA, OM ? OM ，所 以 ?OCM ? ?OAM ,所以 ?OCM ? ?OAM ， 因为 MA

为圆 O 的切线，所以 ?OCM ? ?OAM ? 5分 （2） Rt ?MAO 中， MO ? 以 BC ? AB ? BC ? OA OM
10 5

?
2

，直线 MC 是圆 O 的切线；

AM 2 ? AO2 ? 10 ,连接 AC ,则 ?ABC ∽ ?MOA ，所
10 分 5分

2 3.解： （1） C1 的普通方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 ， C2 的普通方程为 y 2 ? 4 x

? x ? 2? ? ? （2）将直线 C1 的标准参数方程 ? ? y ? 1? ? ?
所

1 m 5 代入 y 2 ? 4x 得， 4 m 2 ? 8 5 m ? 7 ? 0 ， 2 5 5 m 5

PM ? PN ? m1m2 ?

35 4

1 ? 3 x ? 1 , x ? ? 2 ? 1 1? ? ? 24.解： （1 ） f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? ?? x ? 3,?2 ? x ? ，所以 y ? f ( x) 在 ? - ?， ? 单 2 2? ? ? ? 3 x ? 1 , x ? ? 2 ? ? ?
调递减，在 ? ， ? ? ? 上单调递增，所以 f ( x) min ? f ? ? ?

?1 ?2

? ?

?1? ?2?

5 5 ，所以 a ? ． 2 2

5分

（ 2 ） 只 需 证 2(m ? n) ? 10 分
[来源:学科网 ZXXK]

a a ? 33 a ， 即 证 (m ? n) ? (m ? n) ? ? 33 a 2 2 ?m ? n? ?m ? n?