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1.2.1函数的概念



1.2.1

函数的概念

问题提出
? 1.在初中我们学习了哪几种基本函数?其 函数解析式分别是什么? 一次函数:y ? kx ? b (k ? 0) ; 2 二次函数: y ? ax ? bx ? c (a ? 0) ;
k y ? (k ? 0) 反比例函数: x

2.初中对函数概念是怎样定

义的? 在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且 对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与 其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.

3. y ? 1( x ? R)是函数吗?

4.我们如何从集合的观点认识函数?

知识探究(一)
? 一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中
目标.炮弹的射高为845m,且炮弹距离地面 的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变 化的规律是:h=130t-5t2.
思考1:这里的变量t的变化范围是什么?变量h的变化范 围是什么?试用集合表示?

A={t|0≤t≤26},B={h|0≤h≤845}
思考2:高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函 数?若是,其自变量是什么? 思考3:炮弹在空中的运行轨迹是什么?射高845m是怎样 得到的?(射高是指斜抛运动中,物体飞行轨迹最高点的 高度)

知识探究(二) ? 近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而 出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了 南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的 变化情况.
S(106km2)

30 26 25 20 15 10 5 0 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001

t(年

? 思考1:根据曲线分析,时间t的变化范围是什 么?臭氧层空洞面积S的变化范围是什么?试 用集合表示? A={t|1979≤t≤2001};B={s|0≤s≤26} 思考2:时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对 应关系是否为函数?若是,其自变量是什么?

思考3:这里表示函数关系的方式与上例有什么 不同?

知识探究(三)
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质 量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表 是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变 化情况.
时间 (年) 恩格尔 系数 (%) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9

食物支出 恩格尔系数? 总支出

思考1:用t表示时间,r表示恩格尔系数,那 么t和r的变化范围分别是什么?

A={1991,1992,…,2001},B={53.8, 52.9,50.1,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9, 39.2,37.9} 思考2:时间变量t与恩格尔系数r之间的对应 关系是否为函数? 思考3:这里表示函数关系的方式与上例有什 么不同?

思考1:以上三个实例,变量之间的关系有
什么共同点? (1)都有两个非空数集A,B (2)两个数集之间都有一个确定的对应关系 (3) 对于数集A中的每一个 x ,按照某 种对应关系 f ,在数集B中都有唯一确定的 y 和它对应, f:A→B .

思考2:上述三个实例中变量之间的关系都是函数, 那么从集合与对应的观点分析,函数还可以怎样定 义?

设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在 集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应, 那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函 数,记作 y=f(x),x∈A. 其中,x叫做自变量,与x值相对应的y值叫做 函数值.

思考3:在一个函数中,自变量x和函数值y的变化范围都 是集合,这两个集合分别叫什么名称?
自变量的取值范围A叫做函数的定义域; 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

思考4:在从集合A到集合B的一个函数f:A→B中, 集合A是函数的定义域,集合B是函数的值域吗?

值域C是集合B的子集.

注 意:
(1)集合A、B为非空数集,

(2)集合A中的元素在B中必有唯一的元素与之对应

(3)A中不同的元素在B中可以有相同的元素与之对 应
(4)允许B中的元素在A中没有元素与之对应

(5)A中元素与B中元素的对应关系可以是一对一,多 对一,但不能是一对多。

练1、判断下列对应关系是否是从集合A到集合B的 函数,若是,指出其定义域和值域。

(1)A=Z,B=N,f是“平方后加1”; (2)A={平面M内的三角形},B={平面M内的圆}, f是“画三角形的外接圆”; (3)A={x|0≤x≤2},B={x|0≤x≤1} ,f是 “与1的差的平方”; (4)A=R,B={x∈R|x>0},f是“取绝对值”。

练2:下列可作为函数y= f (x)的图象的是
y

a
O x0

a b
x

y

a b
O

y

y

b


x0 x


O

x0 x


O

x D

思考:判断 思考:判断一个图形是不是函数图像的依据是什么?
结论:平行于 y 轴的直线与函数图象最多只有 一个交点。



练3: 判断下列关系式是否是函数?并说明理由。

(1) y ? 1 (2) y ? x ? 3 ? 1 ? x
(3) y=|x| (5) y=x 2 (7) y2+x2=1 (4)|y|=x (6)y2 =x (8)y2-x2=1

思考5:一个函数由哪几个部分组成?如果给 定函数的定义域和对应关系,那么函数的值 域确定吗?两个函数相等的条件是什么?

函数的概念

f : A? B

y ? f ( x ), x ? A

? 定义域 A ? 函数的三要素 ? 对应关系 f ? ? 值域C ? { f ( x ) | x ? A} ? B
说明: (1)定义域A和对应关系 f 决定值域C. (2)函数符号y=f (x) 表示y是x的函数, f (x)不是表示 f 与x的乘积; (3) f 表示对应关系,不同函数中f 的具 体含义不一样.

(4)自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时,

对应的函数值用符号f(a)来表示。
如函数f(x)=x2+3x+1,当x=2时的函数值 f(2)=22+3×2+1=11。 注意:f(a)是常量,f(x)是变量, f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。

已学函数的定义域和值域
反比例函数 一次函数

k y? x (k ? 0)

y ? ax ? b (a ? 0)

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)
a>0 a<0
4ac ? b 2 4a
?b 2a

二次函数

图像
4ac ? b 2 4a

?b 2a

定义域 {x | x ? 0}

R R

R

R

值域

{ y | y ? 0}

2 2 4 ac ? b 4 ac ? b {y | y ? }{ y | y ? } 4a 4a
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3. 区间和无穷大
设a,b∈R,且a<b,规定: (1)闭区间: [a,b]={x|a≤x≤b}; (2)开区间: (a,b)={x|a<x<b}; (3)半开半闭区间:[a,b)={x|a≤x<b}; (a,b]={x|a<x≤b}; a a

b
b

a

b b

a

3. 区间和无穷大
设a,b∈R,“≦”读作“无穷大”,“+≦” 读作“正无穷大”,“-≦”读作“负无穷大”, 规定: (1)实数集R=(-≦,+≦); (2){x|x≥a}=[a,+≦); (3){x|x>a}=(a,+≦); (4){x|x≤b}=(-≦,b]; (5){x|x<b}=(-≦,b)。

定义域、值域经常用区间表示

练习:用区间表示下列集合:
(1){ x | ?1 ? x ? 2} ? [ ?1 , 2)
( 2){ x | x ? 3} ? (3 , ? ? )
( 3){ x | 1 ? x ? 2, 或x ? 3} ? (?1 , 2] ? (3 , ? ?)
(4){ x | x ? 0, 且x ? ?2} ? (?? , ? 2) ? (?2 , 0)

例1 下列哪个函数与 y ? x是同一个函数? ( 1 ) y ? ( x) (3) y ? x
2 2

(2) y ? x
3

3

x (4) y ? x

2

例1.下列函数哪个与函数y=x相等?
(1) y ? (

x)

2

(2) y ?

3

(3) y ?

x

2

x2 (4) y ? . x
2

x

3

y ? ( x ) ? x( x ? 0) ,这个函数与y=x(x∈R) 解(1) 对应关系一样,定义域不同,所以它和y=x (x∈R)不相等.
(2)y ? 3 x3 ? x ( x ? R ) 这个函数和y=x (x∈R) 对应关系一样 ,定义域相同x∈R,所以它和y=x (x∈R)相等.

例1.下列函数哪个与函数y=x相等?
(1) y ? (

x)

2

(2) y ?

3

(3) y ?
解: (3) y

x
x2

2

x2 (4) y ? . x

x

3

-x,x<0 定义域相同x ∈R,但是当x<0时,它的对应关系为y=-x 所以它和y=x(x∈R)不相等. (4) y?
x2

?

?| x |?

x,x≥0
这个函数和y=x(x∈R)

x

? x 的定义域是{x|x≠0},与函数 y=x(x∈R)

的对应关系一样,但定义域不同,所以它和y=x(x∈R)不相等.

函数的值域由函数的定义域和对应 关系所确定;

定义域相同,对应关系完全一致,则 两个函数相等.

1 例2. 已知函数f ? x ? ? x ? 3 ? x?2 (1)求函数的定义域 ; 2 f ( ? 3 ), f ( ) 的值 ; (2)求 3

(3)当a>0时,求 f (a), f (a ?1) 的值 . 分 析:函数的定义域通常由问题的实际背景确定. 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域, 那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实 数x的集合.

1 (2) ? f ( x ) ? x ? 3 ? x?2 1 ? f ( ?3) ? ?3 ? 3 ? ? ?1 ; ?3 ? 2
2 f( )? 3

33 2 1 11 3 3 . ?3? ? ? ? ? 2 3 8 8 3 3 ?2 3

(3)因为a>0, 所以f(a),f(a-1)有意义

1 f (a ) ? a ? 3 ? ; a?2 1 1 ? a ? 2 ? . f (a ? 1) ? a ? 1 ? 3 ? a ?1 a ?1? 2

求函数y=f(x)的定义域,常有以下几种情况:
①若f(x)是整式,则函数的定义域是实数集R;

②若f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于 0的实数集; ③若f(x)是偶次根式,则函数的定义域是使根号内 的式子大于或等于0的实数集合; ④ x0 中的底数 x≠0; ⑤若f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数 的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即各 集合的交集); ⑥若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的 定义域应符合实际问题.

? 例3.已知函数

f ( x) ? x

(1)求f(x)的定义域; (2)求f(x+3)的表达式,以及f(x+3)的定义域。 (3)求f(2x+1)的表达式,以及f(2x+1)的定义域。 ? 注意: 1. 函数f(x+3)的定义域指的是x的取值范围,而不是x+3 的取值范围。 2.本题中函数f(x+3)的定义域为x≥-3,则x+3≥0 与f(x)的定义域相同。原因是我们在求f(x+3)的表达 式时是用“x+3”整个代替f(x)表达式中的“x”。

问题:
若函数没有给出具体解析式(抽象函数), 如何求解定义域呢?

? 类型1:已知函数f(x)的定义域为(2,5],求函 数f(x+3)的定义域。 ? 类型2:已知函数f(x+3)的定义域为(-1,2],求 函数f(x)的定义域。
? 解:(1) 因为f(x)的定义域为(2,5],所以2<x+3≤5, 得-1<x≤2。所以函数f(x+3)的定义域为(-1,2]。
(2)因为f(x+3)的定义域为(-1,2],所以-1<x≤2, 得2<x+3≤5,所以f(x)的定义域为(2,5]。

【类型三】 函数y ? f(x ? 1) 的定义域为 [?2, 3] 求y ? f(2x ? 1) 的定义域。

【归纳一】 已知f (x ) 的定义域为x ?(a ,b) , 求f (g(x )) 的定义域。 方法:令a ? g(x ) ? b ,解出x的范围 即为f (g(x )) 的定义域。

【归纳二】 已知f(g(x )) 的定义域为x ? (a,b ) 求f(x ) 的定义域。 方法:由a ? x ? b确定g(x ) 的范围 即为f(x ) 的定义域。

【归纳三】 已知f(g(x )) 的定义域,求 f(h(x )) 的定义域。 方法:先由f(g(x )) 的定义域求得 f(x ) 的定义域 再由f(x ) 的定义域求得 f(h(x )) 的定义域。

? 1.已知函数f(x)的定义域为[-1,1],求函 数f(2x+1)的定义域。 ? 2.已知函数f(2x-1)的定义域为[-3,3],求 函数f(x)的定义域。



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