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北京市东城区(南片)2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题



北京市东城区(南片)2014-2015 学年下学期高一年级期末考试数学试卷
2015.7 一、选择题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项. 1. 已知向量 a ? (2, 4) , b ? (?1,1) ,则 2a ? b ? A. (5,7) B. (5,9) C. (3,7) D. (3,9) 2. 某中学

有高中生 3500 人,初中生 1500 人. 为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校 学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为 A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 3. 某单位计划在下月 1 日至 7 日举办人才交流会,某人随机选择其中的连续两天参加交流会,那 么他在 1 日至 3 日期间连续两天参加交流会的概率为 A.

1 8

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

4. 执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 3,则输出的 n 的值为

A. 4 B. 5 5. 若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则一定有 A.

C. 6 C.

D. 7

a b a b D. ? ? c d c d 3 3 6. 已知 a 、 b 均为单位向量, (2a ? b) ? (a ? 2b) ? ? ,则向量 a , b 的夹角为 2 5? 3? ? ? A. B. C. D. 6 4 6 4 7. 在等差数列 ?an ? 中, an ? 0 ,且前 10 项和 S10 ? 30 ,则 a5 a6 的最大值是
a b ? d c
B.

a b ? d c

A. 3

B. 6

C. 9

D. 36

8. 下列选项中,使不等式 x ? A. (1,+∞)

1 ? x 2 成立的 x 的取值范围是 x
C. (-1,0) D. (-∞,-1)

B. (0,1)

9. 设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 EB ? FC ?

1 1 AD BC C. D. BC 2 2 (? ?, 0) ?(0,+?)上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 ?an ? , ? f (an )? 仍 10. 定义在
A. AD B.

是等比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (? ?, 0) ?(0,+?)上的如下函数: ① f ( x) ? x
2

② f ( x) ? 2

x

③ f ( x) ?

x

④ f ( x) ? ln x . D. ②④

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A. ①② B. ③④ C. ①③ 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是____________________.
2

3 a ? ____________________. 13. 设 x, y ? R , 向 量 a ? ( x , 1 , ) b ? (1, y) , c ? (2, ?4) 且 a ? b , b ∥ c , 则

12. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 A ?

?

, cos B ?

2 7 , b ? 2 ,则 7

a ? b ? ______________.
14. 已知 ?an ? 为等差数列, S n 为其前 n 项和。若 a3 ? ?6 , S1 ? S5 ,则公差 d ? ____________;

S n 的最小值为_____________.
15. 某项研究表明: 在考虑行车安全的情况下, 某路段车流量 F (单位时间内经过测量点的车辆数, 单位:辆/小时)与车流速度 v (假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米/秒)、平均车长 l (单位: 米)的值有关,其公式为 F ?

76000v . 如果 l ? 6.05 ,则最大车流量为____________辆/小时. v ? 18v ? 20l
2

16. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数 1,3,6,10,第 n 个三角形数 为

n(n ? 1) 1 2 1 ? n ? n . 记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)( k ? 3) ,以下列出了部分 k 边形数中第 2 2 2
三角形数 四边形数 五边形数

n 个数的表达式:

六边形数 …… 可以推测 N (n, k ) 的表达式,由此计算 N (20,15) 的值为_____________. 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 46 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分) 如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点 D 在直线 AC 上,且 AD=4DC. (I)求 BD 的长; (II)求 sin∠CBD 的值.

1 1 N (n,3) ? n 2 ? n 2 2 2 N (n, 4) ? n 3 1 N (n,5) ? n2 ? n 2 2 2 N (n,6) ? 2n ? n

18. (本题满分 10 分) 某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取 100 个,整理 得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图: 分组(日销售量) 频率(甲种酸奶) [0,10] 0.10 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] 0.20 0.30 0.25 0.15

(I)写出频率分布直方图中的 a 的值,并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图;

(II)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为 S1 , S2 ,试比较 S1 与 S 2 的 大小;(只需写出结论) (III) 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替, 试估计乙种酸奶在未来一个月 (按 30 天计算)的销售总量.

2

2

2

2

19. (本题满分 9 分) 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品 3 件,二等奖奖品 6 件.制作 一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异.现有甲、乙两家工厂可以制 作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作 4 件奖品, 乙厂原料充足,但收费交贵,其具体收费情况如下表:

求组委会定做该工艺品至少需要花费多少元钱.

20. (本题满分 8 分) 在平行四边形 ABCD 中, ?A ? 上的点,且满足

?
3

,边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别是边 BC、CD

BM BC

?

CN CD

,求 AM ? AN 的取值范围.

21. (本题满分 9 分)

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , an?1 ? 2an (n ? N ) ,且 a2 是 S 2 与 1 的等差中项.
*

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?

?1? * ? 的前 n 项和为 Tn ,且对任意 n ? N , Tn ? ? 恒成立,求实数 ? 的最小值. a ? n?

【参考答案】
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 1 2 3 4 5 6 题 号 A A C B B D 答 案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11 12 13 题号 答案 10 ?x | x ? ?1或x ? 3? 7

7 C

8 D

9 0 A

1 C

14 12 ; -54

15 1900

16 2490

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 46 分. 17.(本小题满分 10 分) (I)解:因为∠ABC=90° ,AB=4,BC=3, 所以 cos C ?

3 4 ,sin C ? ,AC=5, 5 5
2 2

又因为 AD=4DC,所以 AD=4,DC=1. 在△ BCD 中,由余弦定理, 得 BD ? BC ? CD ? 2BC ? CD cos C
2

3 32 ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ?1? ? , 5 5 4 10 所以 BD ? .……………………6 分 5
(II)在△ BCD 中,由正弦定理,得

CD BD , ? sin ?CBD sin C

4 10 5 , 4 5 10 所以 sin ?CDB ? .……………………10 分 10 1 所以 ? sin ?CBD
18. (本小题满分 10 分) 解:(I)a=0.015;…………………………2 分

………………4 分 (II) S ? S2 .…………………………6 分
2 1 2

(III)乙种酸奶平均日销售量为:

x ? 5 ? 0.20 ? 15 ? 0.10 ? 25 ? 0.30 ? 35 ? 0.15 ? 45 ? 0.25 ? 26.5 (箱). 乙种酸奶未来一个月的销售总量为: 26.5 ? 30 ? 795 (箱).………………10 分 19. (本题满分 9 分) 解:设甲工厂制造一等奖奖品 x 件,二等奖奖品 y 件,总费用为 z 元. 那么
? x ? y ? 4, ? ?0 ? x ? 3, ?0 ? y ? 6; ?
目标函数为

z ? 500 x ? 400 y ? 800(3 ? x) ? 600(6 ? y) ? ?300 x ? 200 y ? 6000 .
作出可行域(图略)

? x ? 3, ? x ? y ? 4. 解得 x ? 3, y ? 1. 所以 zmin ? ?300 x ? 200 y ? 6000 ? 4900 .
解方程组 ? 答:组委会定做该工艺品至少需要花费 4900 元钱. 20. (本小题满分 8 分) 解:以 A 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,

1 3 3 5 , ),D ( , ). 2 2 2 2 BM CN ? 3 5 3 ? ? ? ,则 M ( ? 2, 令 ? ), N ( ? 2? , ) 2 2 2 2 BC CD ? 5 3 2 2 ∴ AM ? AN ? ( ? 2) ? ( ? 2? ) ? ? ? ?? ? 2? ? 5 ? ?(? ? 1) ? 6 2 2 4 ∵ 0 ? ? ? 1 ,∴ AM ? AN ?[2,5] .
则 B(2,0),C( 21.(本小题满分 9 分) 解:(I)因为 an?1 ? 2an (n ? N ) ,所以 S2 ? a1 ? a2 ? a1 ? 2a1 ? 3a1 .
*

因为 a2 是 S 2 与 1 的等差中项,所以 2a2 ? S2 ? 1 ,即 2 ? 2a1 ? 3a1 ? 1 . 所以 a1 ? 1 .

所以 ?an ? 是以 1 位首项,2 位公比的等比数列.

? 2n?1 .………………………………5 分 1 1 (II)由(I)可得: ? ( ) n ?1 . an 2 1 1 1 1 所以 ? 1 , ? ? (n ? N * ) . an ?1 2 an a1 1 1 所以 是以 1 位首项, 为公比的等比数列. 2 an 1 1? n ?1? 2 ? 2(1 ? 1 ) . 所以数列 ? ? 的前 n 项和 Tn ? 1 2n ? an ? 1? 2 1 1 因为 n ? 0 ,所以 Tn ? 2(1 ? n ) ? 2 . 2 2 2 若 b ? 2 ,当 n ? log 2 ( ) 时, Tn ? b . 2?b * 所以若对任意 n ? N , Tn ? ? 恒成立,则 ? ? 2 . 所以实数 ? 的最小值为 2.………………………………9 分
所以 an ? 1? 2

n ?1



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