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2013年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷


2013 年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷及其解析
(考试时间:2013 年 3 月 8 日下午 4:00—6:00) 题号 得分 评卷人 复核人 一、选择题(本大题满分 42 分,每小题 7 分) 1、 4 ? ?3 ? (? ? 1)0 的值是( ) 一 二 三 四 五 合计

A、4 B、5 C、8 D、9 解析:此题利用算术平方根、绝对值、非零数的零次幂的意义,即可解答。答案为 A 2、若 ( x ? 2)( x ? a) ? x2 ? bx ? 2 ,则 a ? b ? ( A、-1 B、0 C、1 D、2 )

解析:利用多项式相等,原等式化为 x2 ? (a ? 2) x ? 2a ? x2 ? bx ? 2 ,∴ ?2a ? ?2 , a ? 2 ? b 求得 a ? 1, b ? ?1 ,故 a ? b ? 0 ,答案为 B 3、 如图已知在△ABC 中, BO 平分∠ABC, CO 平分∠ACB, 且 OM∥AB, ON∥AC, 若 CB=6, 则△OMN 的周长是 ( ) A、3 B、6 C、9 D、12 A 解析:利用角平分线性质、平行线性质,可证得 BM=OM,CN=ON,由 图易得△ OMN 的周长就等于 BC 的长,故答案为 B.

1 ?1 ? x ? 2 ? x ?1 4、不等式组 ? 2 的解是( 3 ? ?3x ? x ? 2
A、 ?6 ? x ? 1 B、 ?6 ? x ? 1 ? 6 ? x ? 1 C、 D、 ?6 ? x ? 1 解析:解不等式组的问题,答案为 C

) B

O C N M 3 题图 )

5、非负整数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 16 ,则 y 的全部可取值之和是( A、9 B、5 C、4 D、3

解析:由 x2 ? y 2 ? 16 , x, y 为非负整数,可知 ( x ? y)( x ? y) ? 16 ,且 x ? y ,而 16 可分解为整数相乘的有 1× 16、2×8、4×4,于是便有 ?

? x ? y ? 16 ? x ? y ? 8 ? x ? y ? 4 ?x ? 5 ?x ? 4 ,可求得符合条件的只有 ? ,答案为 或? 或? ? x ? y ? 1 x ? y ? 2 x ? y ? 4 y ? 3, y ? 0 ? ? ? ? ?
A G E D 点是 A 点关

D 6、如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,M 点为 CD 边上的中点,若 M 于线段 EF 的对称点,则

5 A、 3

AE ?( ED 3 B、 5

) C、2

1 D、 2
B

A

E G F 6 题图

M D CM 所 以

解析: 连结 EM, 可知由题 EF 垂直平分 AM, 所以 AE=EM, AE+ED=4, EM=4-ED ,, 易 知 DM=2 , 在 Rt △ EDM 中 , 由 勾 股 定 理 有

ED2 ? DM 2 ? EM 2 ,所以 ED2 ? 22 ? (4 ? ED)2 ,解之, ED ?

3 ,故 2

AE= B F 6 题图 C

5 , ∴ 2

5 AE 2 5 ? ? ,答案为 A ED 3 3 2
二、填空题(本大题满分 28 分,每小题 7 分) 1、已知 2 ? x ? x ? 2 ? y ? 3 ? 0 ,则 x2 ? y 2 ? 解析:由根式 2 ? x 与 2、已知 x ?

x ? 2 有意义,可得 x ? 2 ,再由非负数和为 0 可求 y ? ?3 ,∴ x2 ? y 2 ? 13

x 1 = ? 3 ,则 2 x ? 3x ? 1 x 1 1 ? 3 两边平方,可得 x ? ? 7 , x x

解析:由已知可知 x ? 0 ,将 x ?



x 1 1 1 ? ? ? x ? 3x ? 1 x ? 3 ? 1 7 ? 3 10 x
2

3、设 ?

?2 x ? y ? 3z ? 23 ,则 3x ? 2 y ? z ? ? x ? 4 y ? 5 z ? 36 ?2 x ? y ? 3z ? 23 ??????(1) 中(1)×2—(2) ,就得 3x ? 2 y ? z ? 10 ? x ? 4 y ? 5z ? 36 ??????(2)
AE⊥ BD, 交 BD 的 A

解析: 将 ?

4、如图,在△ABC 中,AC=BC,且∠ACB=90°,点 D 是 AC 上一点, 延长线于点 E,且 AE ?

1 BD ,则∠ABD= 2

解析:延长 AE、BC 交于点 F, ∵∠ACB=∠AEB=90°, ∠ADE=∠BDC, ∴ ∠ FAC= ∠ DBC , 在 △ AFC

和 △ BDC

中 ,

E

D C 4 题图 A B

? ? D B C ??F A C ? ? B C ?A C ??DC B ? ? F C A? 9 0 ? ?
∴ △AFC≌△BDC, ∴ BD=AF, ∴ ∴ ∴ ∵ 又∵ AE ?

E

D

1 BD 2

∴ AE ?

1 AF 2

F

C

B 4 题图

E 是 AF 的中点, ∵AE⊥BD BE 是 AF 的垂直平分线, BE 平分∠ABC,即∠ABD= AC=BC,且∠ACB=90°

1 ?ABC 2
∴∠ABC=45°

∴ ∠ABD=

1 ?ABC =22.5° 2 a?2 a ?1 a?4 ? 2 )? , 其中 a ? 2 ? 1. 2 a ? 2a a ? 4a ? 4 a ? 2

三、 (本大题满分 20 分) 先化简后,再求值: (

解: (

a?2 a ?1 a?4 ? 2 )? 2 a ? 2a a ? 4a ? 4 a ? 2 a?2 a ?1 a?2 ?( ? )? 2 a (a ? 2) (a ? 2) a?4

a2 ? 4 ? a2 ? a a ? 2 ? a (a ? 2) 2 a?4 a?4 a?2 ? ? 2 a (a ? 2) a ? 4 1 ? a ( a ? 2) ?
当 原式=

a ? 2 ?1
1 ( 2 ? 1)( 2 ? 1 ? 2) ? 1 ?1 ( 2)2 ? 12

y C P D x O 四题图 Q A B 标.

四、 (本大题满分 25 分) 如图, 已知直角梯形 OABC 的 A 点在 x 轴上, C 点在 y 轴上, OC=6, OA=OB=10,PQ∥AB 交 AC 于 D 点,且∠ODQ=90°,求 D 点的坐 解:连结 OB,延长 OD 交 AB 于点 E ∵A 点在 x 轴上,C 点在 y 轴上,OC=6,OA=10 ∴ C(0,6) A(10,0) 设 AC 直线的解析式为 y1 ? kx ? 6 ∴

10 k? 6 ? 0
BC∥OA

k ??

3 5

3 y1 ? ? x ? 6 5

y C P D B E x O 四题图 Q A

∵ OB=10

令 B(b, 6)

(b ? 0 )

由两点距离公式, ∴

b2 ? 62 ? 10


b?8

B(8, 6)
∴ OE ? AB ∴ E 是 AB 的中点,

∵ PQ∥AB,∠ODQ=90° 又 ∵ OA=OB 由中点坐标公式 得

E( 9 , 3 )
故 9m ? 3

设 OE 直线的解析式为 y2 ? mx

m?

1 3

y2 ?

1 x 3

3 45 ? ? y ? ? x?6 x? ? ? ? ? 5 7 由图可知,点 D 为函数 y1 、 y2 的交点,D 的坐标是方程组 ? 的解,解之 ? ?y ? 1 x ? y ? 15 ? ? 3 7 ? ?
所以 D 点坐标为 (

45 15 , ) 7 7
N A

五、 (本大题满分 25 分) 如图,已知四边形 ABCD 中,AB=DC,E、F 分别为 AD 与 BC 的中点, 的延长线相交于 N,与 CD 的延长线相交于 M, 求证:∠BNF=∠CMF 此题解答方法较多,就初二而言,提供以下几种解答方案。

M 连接 EF 与 BA

D E

B

F 五题图

C

方法(一)如五题图(1) 连结 AC,取 AC 的中点 G,再连结 GE,GF, 由中位线定理, ∴ GE∥CD,且 GE ?

1 CD , 2 1 GF∥AB,且 GF ? AB 2
N

M

∴∠BNF=∠MFG,∠FEG=∠CMF 又∵ AB=CD ∴ GE=GF ∴ ∠MFG=∠FEG ∴ ∠BNF=∠CMF 方法(二)如五题图(2) 作 DG∥AB,且 DG=AB,连结 BG、CG,取 CG 的中点 H,再连结 DH、FH 由 DG∥AB,且 DG=AB ∴ ABGD 为平行四边形,令 NF 与 DG 交于点 K 可得∠BNF=∠MKD ∵ F、H 分别为 BC、CG 的中点 ∴ FH∥BG,且 FH ?

A

D E G

B

F 五题图(1) M

C

1 BG 2 1 AD 2
A K G B H N

∵ AD∥BG,且 BG=AD, ED ?

∴ ED∥FH,且 ED=FH ∴ EFHD 是平行四边形 ∴ ∠CMF=∠CDH ∠MKD=∠KDH 再 DG =AB =CD,H 是 GC 的中点 ∴ ∠KDH=∠CDH ∴ ∠CMF=∠MKD ∵ ∠BNF=∠MKD ∴ ∠CMF=∠BNF 方法(三)如五题图(3) 连结 CE 并延长 CE 至 G,使 CE=GE,再连结 GB,GA 显然可证△CDE≌GAE,故有 CD=GA,∠CDE=∠GAE ∴GA∥DC ∵ AB=CD ∴ GA=AB ∴ ∠ABG=∠AGB ∵ CE=GE,BF=CF ∴ EF∥BG, 又 GA∥DC ∴ ∠ AGB= ∠ CMF ( 如果两个角的两条边分别平行,那么这两 互补) ∠ABG=∠BNF ∴ ∠BNF=∠CMF

D E

F 五题图 (2)

C

G N

M

A

D E

个角相等或 B F 五题图 (3) M N C

方法(四)如五题图(4) 连结 DF 并延长 DF 至 G,使 GF=DF,连结 AG、BG ∵ F 是 BC 的中点 ∴ BGCD 是平行四边形 即有 BG∥CD,BG=CD B

A

D E

F 五题图 (4)

C

G

又 E 是 AD 的中点,GF=DF ∴ AG∥EF ∴ ∠BNF=∠BAG ∵ AG∥EF,BG∥CD ∴ ∠CMF=∠BGA (如果两个角的两条边分别平行,那么这两 补) 再 ∵ AB=CD=BG ∴ ∠BAG= ∠BGA ∴ ∠BNF=∠CMF

个角相等或互

方法(五)如五题图(5) 作 EG∥AB,且 EG=AB,EH∥DC,且 EH=DC,连结 BG,CH,GH 则四边形 ABGE 和 EHCD 都是平行四边形 ∴ ∠GEF=∠BNF ∠HEF=∠CMF

BG=AE,CH=DE

BG∥AE CH∥DE

又∵ AE=DE ∴ BG∥CH,BG=CH BHCG 是平行四边形,即 BC、GH 互相平分 又∵F 是 BC 的中点 ∴ F 是 GH 的中点 ∵ EG=AB=DC=EH ∴ ∠GEF=∠HEF 然而∠GEF=∠BNF ∠HEF=∠CMF ∴ ∠BNF=∠CMF 五题图(5) 方法(六) 如五题图(6) 连结 AC、BD,分别取 AC、BD 的中点 H、G, 再连结 EG,EH,FG,FH,由三角形中位线定理 易证 EG∥ AB ,

1 1 FH ∥ AB 2 2 1 1 EH ∥ CD ∥ CD , GF 2 2

∴ EG∥ FH

GF ∥EH

EGFH 是平行四边形 ∵ AB=CD ∴ EG=EH ∴ 平行四边形 EGFH 是菱形 ∴ ∠GEF=∠HEF EH ∥ CD 又 ∵ EG∥AB ∴ ∠GEF=∠BNF ∠HEF=∠CMF ∴ ∠BNF=∠CMF 方法(七)如五题图(7) 分别过点 D,C 作 DG∥AB 交 EF 于点 G,CK∥AB 交 EF 延长线和 K 因此有∠BNF=∠NGD, ∵ E 是 AD 的中点,DG∥AB,所以易证△AEN≌△DEG ∴ AN=DG, 同理可证: BN=CK 由 DG∥AB CK∥AB ∴ DG∥CK

五题图(6)

MD DG MD AN MC BN ? ? ? 即 也就是有 MC CK MC BN MD AN MD ? CD BA ? AN CD BA ? ? ∴ ∴ MD AN MD AN
又 ∵AB=CD AN=DG ∴ MD=DG ∴ ∠DMG=∠NGD ∴ ∠BNF=∠DMG 即∠BNF=∠CMF 方法(八)如五题图(8) 分别过点 A、B 作 AG∥EF,BK∥EF,交 CM 的延长线于点 G、K ∴ AG∥EF∥BK ∴ ∠BNF=∠KBA ∠CMF=∠K ∵ E、F、为 AD、BC 的中点 ∴ M 为 GD、CK 的中点 ∴ MG=MD MC=MK ∴ MC-MD=MK-MG ∴ 即 DC=KG ∵ 又 AB=CD AG∥BK 五题图 ( 8) ∴ 四边形 ABKG 为等腰梯形 ∴ ∠KBA=∠K ∴ ∠BNF=∠CMF


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