9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2014届高考数学一轮复习 第5章《平面向量的基本定理及坐标表示》名师首选学案 新人教A版



学案 25

平面向量的基本定理及坐标表示

导学目标: 1.了解平面向量的基本定理及 其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐 标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、 减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共 线的条件. 自主梳理 1.平面向量基本定理 定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个________的 向量,那么对于这

一平面内的任一向 量 a,__________一对实数 λ 1,λ 2,使 a=______________. 我们把不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组________. 2.把一个向量分解为两个________的向量,叫做把向量正交分解. 3.在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底, 对于平面内的一个向量 a,有且只有一对实数 x,y 使 a=xi+yj,我们把有序数对________ 叫做向量 a 的________,记作 a=________,其中 x 叫 a 在________上的坐标,y 叫 a 在 ________上的坐标. 4.平面向量的坐标运算 (1)已知向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数 λ ,那么 a+b=____________________, a-b=__________________,λ a=______________. → → → (2)已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1), 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标. 5.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2) (b≠0),则 a∥b 的充要条件是________________. 6.(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 P1P2 的中点 P 的坐标为________________________. (2)P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) , P3(x3 , y3) , 则 △P1P2P3 的 重 心 P 的 坐 标 为 ________________________. 自我检测 1.若向量 a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的________条件. 1? ?3 ? ? 2.设 a=? ,sin α ?,b=?cos α , ?,且 a∥b,则锐角 α =________. 3? ?2 ? ? π → 3.已知向量 a=( 6,-4),b=(0,2),OC=c=a+λ b,若 C 点在函数 y=sin x 的 12 图象上,则实数 λ =________. 4.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. → → 5.给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 120°.如图所示,点 C 在以 O → → → 为圆心的圆弧 AB 上变动,若OC=xOA+yOB,其中 x,y∈R,则 x+y 的最大值是______.

探究点一 平面向量基本定理的应用 → 1→ → 1→ → → 例 1 如图所示,在△OAB 中,OC= OA,OD= OB,AD 与 BC 交于点 M,设OA=a,OB=b, 4 2 → 以 a、b 为基底表 示OM.

1

→ → → → → → → 变式迁移 1 如图,平面内有三个向量OA、 、OC,其中OA与OB的夹角为 120°, 与OC OB OA → → → → → → 的夹角为 30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=2 3,若OC=λ OA+μ OB(λ 、μ ∈R),则 λ + μ 的值为________.

探究点二 平面向量的坐标运算 → → → → 例 2 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,试求 点 M,N → 和MN的坐标.

→ → 变式迁移 2 已知点 A(1,-2),若向量AB与 a=(2,3)同向,|AB|=2 13,则点 B 的 坐标为________. 探究点三 在向量平行下求参数问题 例 3 已知平面内三个向量:a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m、n; (2)若(a+kc) ∥(2b-a),求实数 k.

变式迁移 3 已知向量 a=(3,1), =(1,3), =(k,7), a-c)∥b, k=________. b c 若( 则 1.在解决具体问题时,合理地选择基底会给解题带来方便.在解有关三角形的问题时, 可以不去特意选择两个基本向量, 而可以用三边所在的三个向量, 最后可以根据需要任意留 下两个即可,这样思考问题要简单得多. → 2.平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位置被 a 所唯一确定,此时 a 的坐标与点 A 的坐标都是(x,y).向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应 → 的,即向量(x,y) 向量OA 点 A (x,y).要把点的坐标与向量的坐标区分 开,相等的向量坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同,也不能认为向量的坐标是终 → 点的坐标,如 A(1,2),B(3,4),则AB=(2,2).

课后练习 (满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.与向量 a=(12,5)平行的单位向量为________. → → → 2.设 a、b 是不共线的两个非零向量,已知AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若 A、 B、D 三点共线,则 p 的值为________.
2

3.如果 e1、e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,那么下列命题正确的是________(填 上正确命题的序号). ①若实数 λ 1、λ 2 使 λ 1e1+λ 2e2=0,则 λ 1=λ 2=0. ②对空间任一向量 a 都可以表示为 a=λ 1e1+λ 2e2,其中 λ 1、λ 2∈R. ③λ 1e1+λ 2e2 不一定在平面 α 内,λ 1、λ 2∈R. ④对于平面 α 内任一向量 a,使 a=λ 1e1+λ 2e2 的实数 λ 1、λ 2 有无数对. 4. 在平面直角坐标系 xOy 中, 四边形 ABCD 的边 AB∥DC, ∥BC.已知 A(-2,0),(6,8), AD B C(8,6),则 D 点的坐标为________. 5.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不 → → → → 同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n 的值为______.

6. 已知向量集合 M={a|a=(1,2)+λ (3,4), ∈R}, ={a|a=(-2, λ N -2)+λ (4,5), λ ∈R},则 M∩N=________.

? ? 2 2 7.设两个向量 a=(λ +2,λ -cos α )和 b=?m, +sin α ?,其中 λ 、m、α 为实 ? 2 ? λ 数.若 a=2b,则 的取值范围是__________.
m m
1 1 3 → → → → → 8. 在四边形 ABCD 中, =DC=(1,1), AB ·BA+ ·BC= ·BD, 则四边形 ABCD → → → |BA| |BC| |BD| 的面积为________. 二、解答题(共 42 分) → 1→ 9.(12 分)已知 A、B、C 三点的坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2),并且AE= AC, 3 → 1→ → → BF= BC.求证:EF∥AB. 3

→ → 10. (14 分)如图,在边长为 1 的正△ABC 中,E,F 分别是边 AB,AC 上的点, AE=mAB, 若 → → AF=nAC,m,n∈(0,1).设 EF 的中点为 M,BC 的中点为 N.

(1)若 A,M,N 三点共线,求证:m=n; → (2)若 m+n=1,求|MN|的最小值.

3

11.(16 分)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,已知向量 m=(a,b),向 B+C 2 量 n=(cos A,cos B),向量 p=(2 2sin ,2sin A),若 m∥n,p =9,求证:△ABC 2 为等边三角形.

答案 自主梳理 1.不共线 有且只有 λ 1e1+λ 2e2 基底 2.互相垂直 3. x, ) 坐标 (x, ) x 轴 y 轴 4.(1)(x1+x2, 1+y2) (x1-x2, 1-y2) (λ x1, ( y y y y ?x1+x2,y1+y2? λ y1) (2) 终 点 始 点 5 . x1y2 - x2y1 = 0 6.(1) ? 2 ? ? 2 ? x1+x2+x3 y1+y2+y3? ? , (2)? ? 3 3 ? ? 自我检测 1.充分而不必要 2 2 2 2 解析 由 x=4 知|a|= 4 +3 =5; a|= x +3 =5, x=4 或 x=-4.故“x=4” 由| 得 是“|a|=5”的充分而不必要条件. 2.45° 3 1 解析 ∵a∥b,∴ × -sin α cos α =0, 2 3 ∴sin 2α =1,2α =90°,α =45°. 5 3. 2 解析 c=a+λ b=(6,-4+2λ ), π π 5 代入 y=sin x 得,-4+2λ =sin =1,解得 λ = . 12 2 2 4.-1 解析 a+b=(1,m-1),由(a+b)∥c, 得 1×2-(m-1)×(-1)=0,所以 m=-1. 5.2 解析 建立如图所示的坐标系,

则 A(1,0),B(cos 120°,sin 120°), 1 3 即 B(- , ). 2 2 设∠AOC=α , → 则OC=(cos α ,sin α ). → → → ∵OC=xOA+yOB 3 ? ? y =(x,0)+?- , y?=(cos α ,sin α ). ? 2 2 ?

4

?x-y=cos α , ? 2 ∴? 3 ? ? 2 y=sin α .

?x=sin 3α +cos α , ? ∴? 2sin α ?y= 3 , ?

∴x+y= 3sin α +cos α =2sin(α +30°). ∵0°≤α ≤120°,∴30°≤α +30°≤150°. ∴x+y 有最大值 2,当 α =60°时取最大值. 课堂活动区 → 例 1 解题导引 本题利用方程的思想,设OM=ma+nb,通过建立关于 m、n 的方程求 解,同时注意体会应用向量法解决平面几何问题的方法. → 解 设OM=ma+nb (m,n∈R), → → → 则AM=OM-OA=(m-1)a+nb, 1 → → → 1 AD=OD-OA= b-a=-a+ b. 2 2 m-1 n 因为 A,M,D 三点共线,所以 = ,即 m+2n=1. -1 1 2 1? → → → ? 而CM=OM-OC=?m- ?a+nb, ? 4? 1 1 → → → CB=OB-OC=b- a=- a+b, 4 4 1 m- 4 n 因为 C,M,B 三点共线,所以 = , 1 1 - 4
? ?m+2n=1, ? ?4m+n=1,

即 4m+n=1.由?

?m=1, ? 7 解得? 3 ?n=7. ?

→ 1 3 所以OM= a+ b. 7 7 变式迁移 1 6 解析 如图,



OC=OD+OE
→ → =λ OA+μ OB. 在△OCD 中,∠COD=30°,∠OCD=∠COB=90°, → → 可求|OD|=4,同理可求|OE|=2, ∴λ =4,μ =2,λ +μ =6. 例 2 解 ∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), → → ∴CA=(1,8),CB=(6,3).
5

→ →

→ → → → ∴CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6). → 设 M(x,y),则CM=(x+3,y+4)=(3,24), ∴?
?x+3=3, ? ? ?y+4=24,

∴?

?x=0, ? ? ?y=20.

∴M(0,20).

→ 同理可得 N(9,2),因此MN=(9,-18). → ∴所求 M(0,20),N(9,2),MN=(9,-18). 变式迁移 2 (5,4) → → 解析 ∵向量AB与 a 同向,∴设AB=(2t,3t) (t>0). → 2 2 2 由|AB|=2 13,∴4t +9t =4×13.∴t =4. → ∵t>0,∴t=2.∴AB=(4,6). ?x-1=4, ?x=5, ? ? 设 B 为(x,y),∴? ∴? ? ? ?y+2=6. ?y=4. 例 3 解 (1)∵a=mb+nc,m,n∈R, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
?-m+4n=3, ? ∴? ? ?2m+n=2,

?m=5, ? 9 解之得? 8 ?n=9. ?

(2)∵(a+kc)∥(2b-a), 且 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 16 ∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0,∴k=- . 13 变式迁移 3 5 解析 ∵a-c=(3,1)-(k,7)=(3-k,-6), 3-k -6 且(a-c)∥b,∴ = ,∴k=5. 1 3 课后练习区 12 5 12 5 1.( , )或(- ,- ) 13 13 13 13 2.-1
? ?2λ =2 → → → → → 解析 BD=BC+CD=2a-b,由已知得AB=λ BD,即? ,∴p=-1. ?p=-λ ? 3.① 4.(0,-2) → → 解析 设 D 点的坐标为(x,y),由题意知BC=AD, 即(2,-2)=(x+2,y),所以 x=0,y=-2,∴D(0,-2). 5.2 解析 方法一 若 M 与 B 重合,N 与 C 重合,则 m+n=2. → → → → → 方法二 ∵2AO=AB+AC=mAM+nAN, m n → m→ n→ ∴AO= AM+ AN.∵O、M、N 共线,∴ + =1. 2 2 2 2 ∴m+n=2. 6.{(-2,-2)} 解析 M={a|a=(1+3λ ,2+4λ ),λ ∈R}, 6

N={a|a=(-2+4λ ,-2+5λ ),λ ∈R},
? ?1+3λ 1=-2+4λ 令? ?2+4λ 1=-2+5λ ?
2 2

? ?3λ 1-4λ 2+3=0 ,即? ?4λ 1-5λ 2+4=0 ?



? ?λ 1=-1 解之得? ,代入 M 或 N 中得 a=(-2,-2). ?λ 2=0 ? ∴M∩N={(-2,-2)}. 7.[-6,1] 解析 ∵2b=(2m,m+2sin α ),∴λ +2=2m, 2 2 2 2 λ -cos α =m+2sin α ,∴(2m-2) -m=cos α +2sin α , 2 2 即 4m -9m+4=1-sin α +2sin α . 2 又∵-2≤1-sin α +2sin α ≤2, 1 2 ∴-2≤4m -9m+4≤2,解得 ≤m≤2, 4 1 1 ∴ ≤ ≤4.又∵λ =2m-2, 2 m λ 2 2 ∴ =2- ,∴-6≤2- ≤1.

m m

m

m



λ

∈[-6,1].

8. 3 → → → BA BC 3 BD → → → → 解析 由|AB|=|DC|, + = 可知四边形 ABCD 为菱形,则有|AB|=|DC| → → → |BA| |BC| |B D | = 2, ? → → ? ? →? ? BA + BC ?=? 3BD?, ?|→| |→|? ? |→| ? BC ? ? BD ? ? BA → ? ? → BA BC ? + 即? ?|→| |→|?= 3,两边平方,得 BC ? ? BA → → → → BA BC BA·BC 1 1+2 · +1=3, = . → → → → 2 |BA| |BC| |BA||BC| → → → → |BA||BC|cos〈BA,BC〉 1 → → = ,所以 cos〈BA,BC〉=60°. → → 2 |BA||BC|

S=|AB||BC|sin 60°= 2× 2×





3 = 3. 2

→ → 9.证明 设 E、F 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则依题意,得AC=(2,2),BC= → (-2,3),AB=(4,-1). → 1→ ?2 2? ∴AE= AC=? , ?, 3 ?3 3? → 1→ ? 2 ? BF= BC=?- ,1?. 3 ? 3 ? → ?2 2? ∴AE=(x1,y1)-(-1,0)=? , ?, ?3 3? → ? 2 ? BF=(x2,y2)-(3,-1)=?- ,1?.????????????????????(4 ? 3 ?
7

分)

?2 2? ? 1 2? ∴(x1,y1)=? , ?+(-1,0)=?- , ?, ?3 3? ? 3 3? ? 2 ? (x2,y2)=?- ,1?+(3,-1) ? 3 ? ?7 ? =? ,0?. ?3 ? 2? → ?8 ∴EF=(x2,y2)-(x1,y1)=? ,- ?.????????????????????(8 3? ?3
分) 8 → ? 2? 又∵AB=(4,-1),∴4×?- ?-(-1)× =0, 3 ? 3? → → ∴ EF ∥ AB .??????????????????????????????(12 分) → → 10.解 (1)由 A,M, N 三点共线,得AM∥AN, 1 → → 1 → → → → 设AM=λ AN(λ ∈R),即 (AE+AF)= λ (AB+AC), 2 2 → → → → 所以 mAB+nAC=λ (AB+AC),所以 m=n.?????????????????(5 分) → → → 1 → → 1 → → 1 → 1 → (2)因为MN=AN-AM= (AB+ AC)- (AE+AF)= (1-m)AB+ (1-n)AC,??(8 分) 2 2 2 2 → 1 → 1 → 又 m+n=1,所以MN= (1-m)AB+ mAC, 2 2 1 2→2 → 2 1 2→2 所以|MN| = (1-m) AB + m AC + 4 4 1 → → (1-m)mAB·AC 2 1 1 2 1 2 = (1-m) + m + (1-m)m 4 4 4 1 1 2 3 = (m- ) + .????????????????????????????(12 4 2 16 分) 1 3 → 故当 m= 时,MN|min= .??????????????????? ????(14 分) | 2 4 11.证明 ∵m∥n,∴acos B=bcos A.??????????????????(2 分) 由正弦定理,得 sin Acos B=sin Bcos A, 即 sin(A-B)=0.????????????????????????????(5 分) ∵A、B 为三角形的内角, ∴-π <A-B<π . ∴A= B.????????????????????????????????(9 分) ∵p =9,∴8sin +4sin A=9. 2 2 ∴4[1-cos(B+C)]+4(1-cos A)=9. 2 ∴4cos A-4cos A+1=0, 1 解得 cos A= .?????????????????????????????(14 2
8
2 2

B+C

2

分) π 又∵0<A<π ,∴A= . 3 ∴△ABC 为等边三角形. ??????? ?????????????????(16 分)

9



相关文档:


更多相关文章:
2014届高考数学一轮复习 第5章《平面向量的基本定理及坐标表示》名师首选学案 新人教A版
2014届高考数学一轮复习 第5章《平面向量的基本定理及坐标表示》名师首选学案 人教A版_学科竞赛_高中教育_教育专区。学案 25 平面向量的基本定理及坐标表示 导学...
2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的基本定理及坐标表示(含解析)
2016届高考数学一轮复习学案(基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的基本定理及坐标表示(含解析)_数学_高中教育_教育专区。2016届高考数学一轮复习学案(基础...
2014高考数学第一轮复习精品学案第25讲:平面向量的概念及运算
2014届高考数学第一轮复习... 暂无评价 11页 免费...2014高考数学第一轮复习精品学案第25讲:平面向量的概念...(3)平面向量的基本定理及坐标表示 ① 了解平面向量...
《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解平面向量的基本定理及坐标表示(含解析)
《三维设计2016级数学一轮复习基础讲解平面向量的基本定理及坐标表示(含解析)_数学_高中教育_教育专区。《三维设计》2014 届高考数学一轮复习学案+复习技法 ...
【步步高】届高三数学大一轮复习 平面向量的基本定理及坐标表示学案 理 新人教A版
【步步高】届高三数学大一轮复习 平面向量的基本定理及坐标表示学案人教A版 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 学案26 平面向量的基本定理及坐标表示 导学...
2013届高考数学第一轮复习精品学案第25讲:平面向量的概念及运算
2013届高考数学第一轮复习精品学案第25讲:平面向量的概念及运算 隐藏>> 2013 ...(3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义; ②掌握...
高三一轮复习平面向量学案
高三一轮复习平面向量学案_数学_高中教育_教育专区。...坐标表示 4.了解平面向量的基本定理及其意义. 5.会...年高考山东卷第 8 题等.在解答题中,平面向量的...
高三数学23 平面向量基本定理及坐标表示 学案
高三数学23 平面向量基本定理及坐标表示 学案 仅供参考仅供参考隐藏>> 宿豫区实验高级中学 同学们做题时:看仔细,想清楚,写明白 2012 届 高三一轮复习 高三数学【...
2平面向量的基本定理及坐标表示学案+作业(教师版)
2平面向量的基本定理及坐标表示学案+作业(教师版)_数学_高中教育_教育专区。第...其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图