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第二章基本初等函数、导数及其应用第7课时



第二章

基本初等函数、导数及其应用

第7课时 对数函数

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

教材回扣夯实双基
基础梳理

1.对数的概念及运算法则
(1)对数的定义

ax=N

(a>0,且a≠1) 那么数 x 叫 如果 ____________________, x=logaN ,其 做以a为底N的对数,记作_________ 中___ N 叫做真数. a 叫做对数的底数,____
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基本初等函数、导数及其应用

思考探究

1.由定义可知对数的底数与真数的取
值范围是什么?

提示:底数大于零且不等于1,真数大
于零.

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基本初等函数、导数及其应用

(2)对数的常用关系式 ①对数恒等式:alogaN=

N(a>0且a≠1,N>0) ; ____________________ logcb logab= (b>0,a、c logca 换底公式:_____________________
均大于 0 且不等于 1) ___________________________ .

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基本初等函数、导数及其应用

1 ②logab= ,推广 logab· logbc· logdc= logba

logad(d>0,a、b、c均大于0且不等于 __________________________________ 1). _______
(3)对数的运算法则 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么

logaM+logaN ; ①loga(M· N)=______________

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基本初等函数、导数及其应用

M log M-log N a a ②loga =_______________ ; N

nlogaM(n∈R) ; ③logaMn=_______________

n log M(n∈R,m≠0 . ④logamMn=___________________ m a

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基本初等函数、导数及其应用

思考感悟 2.若MN>0,运算法则①②还成立 吗? 提示:不一定成立.

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2.对数函数的图象与性质

a>1

0<a<1

图象

(0,+∞) 定义域:___________ 性质

值域:R (1,0) 过定点______
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基本初等函数、导数及其应用

a>1

0<a<1

当x>1时,y>0当 当x>1时, 0<x<1时, y<0当0<x<1 y>0 y<0 _______ 时, _______ 性质 是(0,+∞)上的 是(0,+∞) 减函数 增函数 _______ 上的_______

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基本初等函数、导数及其应用

3.反函数 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数 ____________________ y=logax(a>0且a≠1) 互 为 反 函 数 , 它们的图象关于直线_______ y=x 对称.

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基本初等函数、导数及其应用

课前热身
1 1. 函数 y=log5(2-x)+ 的定义域为 log2x ( ) B.(1,2) D.(0,1)∪(1,2) A.(0,2) C.(0,1)

答案:D

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1 1 2. (2011· 高考北京卷 )如果 log x< log y 2 2 <0,那么( )

A.y<x<1 B.x<y<1 C.1<x<y D.1<y<x

1 1 1 解析: 选 D.因为 log x<log y<0= log 1, 2 2 2 所以 x>y>1.
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3.在同一坐标系中画出函数y= logax,y=ax,y=x+a的图象,可能正 确的是( )

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基本初等函数、导数及其应用

解析:选D.当a>1时,三个函数y= logax,y=ax,y=x+a均为增函数, 则排除B,C,又由直线y=x+a在y轴 上的截距a>1可得仅D的图象正确.

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4. 设 a=lge, b=(lge)2, c=lg e, 则( A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a

)

解析:选 B.∵ 0< lge< 1, 1 ∴ lge> lge> (lge)2. 2 ∴a> c>b.

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基本初等函数、导数及其应用

5 . (2011·高 考 陕 西 卷 ) 设 f(x) =
?lgx,x>0, ? x 则 f(f(-2))=________. ?10 ,x≤0,
?lgx, x>0, 解 析 : 因 为 f(x) = ? x ∵- ?10 , x≤0,

2<0,∴ f(- 2)=10 2,又 10 2>0, f(10
- -



2

)= lg10 =-2.

-2

答案:-2
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基本初等函数、导数及其应用

考点探究讲练互动
考点突破 对数式的化简与求值
(1)化同底是对数式变形的首选方向, 其中经常用到换底公式及其推论.

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基本初等函数、导数及其应用

(2)结合对数定义,适时进行对数式与 指数式的互化.

(3)利用对数运算法则,在积、商、幂
的对数与对数的和、差、倍之间进行

转化.

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基本初等函数、导数及其应用

(1) 计 算 : lg5(lg8 + lg1000) + 1 3 2 (lg2 ) +lg +lg0.06; 6 4 27 (2)化简:log3 · log5 3 ; (3) 已 知 : lgx + lgy = 2lg(2x - 3y) , 求 的值

例1

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】 (1)(2)由原式联想指数与 对数的运算性质、公式的结构特征,正 用或逆用寻找解题思路;(3)先由条件利 x 用对数运算性质,求出 ,再求 y .

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基本初等函数、导数及其应用

【解】

(1)原式=lg5(3lg2+3)+3lg22

-lg6+lg6-2
=3lg5lg2+3lg5+3lg22-2

=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2
=3lg2+3lg5-2

=3(lg2+lg5)-2
=1.
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(2)原式=

3 =( log33-log33)· log5(10-3-2) 4 3 1 =( -1)· log55=- . 4 4

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基本初等函数、导数及其应用

(3)依题意,可得 lg(xy)=lg(2x-3y)2, 即 xy=4x2-12xy+9y2, x2 x 整理得:4( ) -13( )+9=0, y y x x 9 解得 =1 或 = . y y 4 ∵x>0,y>0,2x-3y>0, x 9 x ∴ = ,∴log 3 =2. y 4 2 y

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

对数的运算常有两种解

题思路:一是将对数的和、差、积、

商、幂转化为对数真数的积、商、幂;
二是将式子化为最简单的对数的和、

差、积、商、幂,合并同类项后再进行
运算,解题过程中,要抓住式子的特点,

灵活使用运算法则,如lg2+lg5=1,lg5
=1-lg2等.
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基本初等函数、导数及其应用

互动探究 1 .若将本例 (3)中条件变为: lg(x + 3y) x +lg(x-y)=lg2+lgx+lgy,求y的值.
?x+3y>0 ? 解:依题意得?x-y>0 ? ?x>0,y>0



且(x+3y)(x-y)=2xy,∴x2-3y2=0, x2 x 即(y) -3=0,∴y = 3.
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基本初等函数、导数及其应用

对数函数的图象及应用
研究对数型函数的图象时,一般从最 基本的对数函数的图象入手,通过平 移、伸缩、对称变换得到对数型函数 的图象.特别地,要注意底数a>1与

0<a<1的两种不同情况.

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基本初等函数、导数及其应用

例2

(1)(2010· 高考大纲全国卷Ⅰ)已

知函数f(x)=|lgx|,若a≠b,且f(a)= f(b),则a+b的取值范围是( A.(1,+∞) C.(2,+∞) )

B.[1,+∞) D.[2,+∞)

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基本初等函数、导数及其应用

(2)已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对 1 于任意的 x∈[ ,2]都有|f(x)|≤1 成立,试 3 求 a 的取值范围.
【思路分析】 关系. (1)作出图象找出 a、b 的

1 (2)利用图象判断|f( )|与|f(2)|的大小,得出 3 不等关系.
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基本初等函数、导数及其应用

(1)【解析】 如图,由 f(a)=f(b),得|lga| =|lgb|. 设 0<a<b,则 lga+lgb=0. ∴ab=1. ∴a+b>2 ab=2.

【答案】

C
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基本初等函数、导数及其应用

(2)【解】

∵f(x)=logax,

则 y=|f(x)|的图象如图: 由图示, 1 要使 x∈[ ,2]时恒有|f(x)|≤1, 3 1 1 只需|f( )|≤1,即-1≤loga ≤1, 3 3

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基本初等函数、导数及其应用

1 即 logaa ≤loga ≤logaa, 3 1 -1 亦当 a>1 时,得 a ≤ ≤a,即 a≥3; 3 1 1 -1 当 0<a<1 时,得 a ≥ ≥a,得 0<a≤ . 3 3 1 综上所述,a 的取值范围是(0, ]∪[3,+ 3 ∞).
-1

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【名师点评】 对于(2)也可直接去掉绝 对值:- 1≤logax≤1 ,当 a>1 时,- 1 1≤loga ≤logax≤loga2≤1, 3 ∴a≥3. 1 当 0<a<1 时,-1≤loga2≤logax≤loga 3 ≤1, 1 ∴0<a≤ . 3
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基本初等函数、导数及其应用

变式训练
?|lgx|,0<x≤10, ? 2.已知函数 f(x)=? 1 ?- x+6,x>10. ? 2

若 a, b, c 互不相等, 且 f(a)=f(b)=f(c), 则 abc 的取值范围是( ) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)

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基本初等函数、导数及其应用

解析:选C.设a<b<c,因为a,b,c

互不相等,且 f(a) = f(b) = f(c) ,由函
数的图象可知10<c<12,

∵f(a)=f(b)?|lga|=|lgb|.
∵ a≠ b,

∴ lga = - lgb ? ab = 1 ? abc =
c∈(10,12).
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基本初等函数、导数及其应用

对数函数的性质及应用
无论讨论函数的性质,还是利用函数 的性质,首先要分清其底数a∈(0,1)还 是a∈(1,+∞),其次再看定义域.如 果将函数变换,务必保证等价性.

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基本初等函数、导数及其应用

例3

已知函数f(x)=loga(2-ax),是

否存在实数a,使函数f(x)在[0,1]上是 关于x的减函数?若存在,求出a的取 值范围.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

由已知可知a>0且a≠1 →

?a>1 在[0,1]上f?x?单调递减等价于? ?2-a>0

→ 得解

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基本初等函数、导数及其应用

【解】

∵a>0,且a≠1,

∴ u = 2 - ax 在 [0,1] 上是关于 x 的减函 数. 又 f(x) = loga(2 - ax) 在 [0,1] 上是关于 x 的减函数,

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基本初等函数、导数及其应用

∴函数 y=logau 是关于 u 的增函数,且 对 x∈[0,1]时, u=2-ax 恒为正数.
?a>1 其充要条件是? ,即 1<a<2. ?2-a>0

∴a 的取值范围是(1,2).

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基本初等函数、导数及其应用

【误区警示】

本题易忽视2-a>0

这一条件,而得到a>1的错误答案,
失误的原因是没有保证u=2-ax在

[0,1]上恒为正.

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基本初等函数、导数及其应用

互动探究 3.若将本例中的函数与区间分别变为 f(x)=log2(x2-ax-a),x∈(-∞,1], 则实数a的存在情况如何?

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基本初等函数、导数及其应用

解:令 g(x)=x2-ax-a, a2 a2 则 g(x)=(x- ) -a- , 2 4 a 由以上知 g(x)的图象关于直线 x= 对称 2 且此抛物线开口向上. ∵函数 f(x)=log2g(x)的底数 2>1, 在区间(-∞,1]上是减函数,

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基本初等函数、导数及其应用

∴g(x)=x2-ax-a 在区间(-∞, 1]上也 是单调减函数,且 g(x)>0.
? a ?1≤ ∴? 2 ? ?g?1?>0 ?a≥2 ? ∴? 1 ?a< ? 2 ?a≥2 ,即? , ?1-a-a>0

,∴a 不存在.

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基本初等函数、导数及其应用

对数函数的综合应用
例4

设 f(x) =

为奇函

数,a 为常数. (1)求 a 的值; (2)证明:f(x)在(1,+∞)上单调递增;

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基本初等函数、导数及其应用

(3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 的值, 不等式
?1? ? ?x f(x)>?2? +m ? ?

恒成立,求实数 m

的取值范围

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基本初等函数、导数及其应用

【解】 ∴

(1)∵f(-x)=-f(x), 1+ax =- -1-x 1-ax x- 1

x-1 = , 1-ax 1+ax x-1 ∴ = , -x-1 1-ax 即(1+ax)(1-ax)=-(x+1)(x-1), ∴a=-1.
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基本初等函数、导数及其应用

x+ 1 2 (2)令 u(x)= ,则 u(x)=1+ x- 1 x- 1 设 x1>x2>1, 2 2 ∴ u(x1) - u(x2) = - = x1-1 x2-1 2?x2-x1? <0, ?x1-1??x2-1? 即 u(x1)<u(x2),∴u(x)在(1,+∞)上单调 递减, ∴f(x)= x+ 1 在(1,+∞)上为增函数. x- 1
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基本初等函数、导数及其应用

(3)由题知

?1? ?x m<f(x)-? ? ? 在[3,4]上恒成立. ?2?

?1? ?x ∵f(x)和-? ? ? 在[3,4]上均为增函数, ?2? ?1? ?x ∴y=f(x)-? ? ? 在[3,4]上单调递增. ?2? ?1? 9 9 ? ?3 ∴ymin=f(3)-? ? =- ,∴m<ymin=- . 8 8 ?2?

∴m

? 9? ? 的取值范围是?-∞,-8? ?. ? ?

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基本初等函数、导数及其应用

方法感悟
方法技巧 1.指数式ab=N(a>0且a≠1)与对数式 logaN=b(a>0且a≠1,N>0)的关系以及 这两种形式的互化是对数运算法则的 关键.

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基本初等函数、导数及其应用

2.在运算性质logaMn=nlogaM(a>0且 a≠1,M>0)时,要特别注意条件,在 无M>0的条件下应为logaMn= nloga|M|(n∈N*,且n为偶数).

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3.注意对数恒等式、对数换底公式及等 n 1 式 logamb =m· logab,logab= (其中 n logba
n

∈R,m≠0;a、b 均大于 0 且不等于 1) 在解题中的灵活应用.

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基本初等函数、导数及其应用

4.常见复合函数类型 y=af(x)(a>0且 a≠1) y=logaf(x)(a>0 且a≠1)

定义 t=f(x)的定义域 t=f(x)>0的解集 域 先求t的取值范 先求t=f(x)的值 围,再由y= t 值域 域,再由y=a logat的单调性得 的单调性得解 解
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基本初等函数、导数及其应用

y=af(x)(a>0且 a≠1)

y=logaf(x)(a>0 且a≠1)

令f(x)=0,得x 令f(x)=1,得x 过定 =x0,则过定点 =x0,则过定点 点 (x0,1) (x0,0)
先求使t=f(x)>0 先求t=f(x)的单 单调 恒成立的单调区 调区间,再由 区间 间,再由同增异 同增异减得解 减得解

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失误防范 1.指数运算的实质是指数式的积、

商、幂的运算,对于指数式的和、差
应充分运用恒等变形和乘法公式;对

数运算的实质是把积、商、幂的对数
转化为对数的和、差、倍.

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基本初等函数、导数及其应用

2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数 函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数, 应从概念、图象和性质三个方面理解 它们之间的联系与区别.

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基本初等函数、导数及其应用

3.明确函数图象的位置和形状要通过 研究函数的性质,要记忆函数的性质 可借助于函数的图象.因此要掌握指 数函数和对数函数的性质首先要熟记 指数函数和对数函数的图象.

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基本初等函数、导数及其应用

考向瞭望把脉高考
命题预测 从近几年的高考试题看,对数函数的

性质是高考的热点,题型一般为选择
题、填空题,属中低档题,主要考查 利用对数函数的性质比较对数值大小, 求定义域、值域、最值以及对数函数 与相应指数函数的关系.
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预测2013年福建高考仍将以对数函数 的性质为主要考点,重点考查运用知 识解决问题的能力.

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典例透析


(2010· 高考湖北卷)函数 y=

1 的定义域为( ) log0.5?4x-3? 3 3 A.( ,1) B.( ,+∞) 4 4 3 C.(1,+∞) D.( ,1)∪(1,+∞) 4

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基本初等函数、导数及其应用

【解析】 要使函数有意义, 则 log0.5(4x 3 -3)>0,∴0<4x-3<1,∴ <x<1. 4

【答案】

A

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【名师点评】

本题考查求函数定义

域的方法、对数函数的性质及运算,
属于容易题.其编制目的在于提醒学

生注重基本知识、基本方法.

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