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2012-2013高二数学期中考试试题及答案解析(高二必修5)


2012—2013 学年度上学期期中联考 高二数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑; 第Ⅱ卷必 须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置,写在其他地方无效。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 。 1、数列 1,2,4,8,16,32,?的一个通项公式是( ) A、 an ? 2n ? 1 B、 an ? 2n?1 C、 an ? 2n D、 an ? 2n?1

2、在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,若 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 一定是 ( ) A、等腰三角形 C、等腰直角三角形

B、直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

?x ? 2 ? 3、若实数 x , y 满足约束条件 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的取值范围为( ) ?x ? y ? 2 ?
A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、[3,5] 4、由 a1 ? 1, d ? 3 确定的等差数列 ?an ? 中,当 an ? 298 是,序号 n 等于( ) A、99 C、96 C、100 D、101

2 5、关于 x 的不等式 mx ? 8nx ? 21 ? 0 的解集为 x ?7 ? x ? ?1 ,则 m ? n 的值是( )

?

?

A、6

B、4

C、1

D、-1
?

6、在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,其中 a ? x, b ? 2, B ? 45 ,若该三角 形有两解,则( ) A、 x ? 2 B、 x ? 2 C、 2 ? x ? 2 2 D、 2 ? x ? 2 3
2

7 、在各项均不为零的等差数列 ?an ? 中, s n 为其前 n 项和,若 an

? an?1 ? an?1 ? 0 ,

(n ? 2, n ? N * ) ,则 s2010 等于( )
A、0 B、2 C、2010
1

D、4020

8、如图所示,C、D、A 三点在同一水平线上,AB 是塔的中轴线,在 C、D 两处测得塔顶部 B 处的仰角分别是 ? 和 ? ,如果 C、D 间的距离是 a ,测角仪高为 b,则塔高为( ) A.

a cos ? cos ? ?b cos( ? ? ? ) a cos ? cos ? cos( ? ? ? )

B.

a sin ? sin ? ?b sin( ? ? ? ) a sin ? sin ? sin( ? ? ? )

B

C.

D.

C1 C

?

D1 D

?
A

A1

9、已知 x ? 0, y ? 0 , x, a, b, y 成等差数列, x, c, d , y 成等比数列,则 的最小值是( ) A、0 B、1

( a ? b) 2 cd

C、2

D、4

10、已知等比数列 ?an ? 的公比 q<0,其前 n 项和为 Sn ,则 s8a9 与 s9 a8 的大小关系为( ) A、 s8 a9

? s9 a8

B、 s8 a9

? s9 a8

C、 s8 a9

? s9 a8

D、大小不确定

11、 在 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a, b, c , 设向量 p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) , 若 p∥q ,则角 C 的大小为( ) A、

? 6

B、

? 3

C、

5? 6

D、

2? 3

12.有下列数组排成一排: ( ),( , ),( ,

1 1

2 1 1 2

3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 , ),( , , , ),( , , , , ), 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

如 果 把 上 述 数 组 中 的 括 号 都 去 掉 , 会 形 成 一 个 数 列: ,

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 , , , , , , , , , , , , , , 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
7 57
B.

,则此数列中的第 2012 项是( )

A.

6 58

C.

5 59

D.

4 60

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)
*

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 。 13、在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? (?1)n 2an?1 , (n ? 2, n ? N ) 则 a5 = 3 14、已知关于 x 的不等式 (a2 ? 4) x2 ? (a ? 2) x ?1 ? 0 的解集为 ? ,则实数 a 取值范围: 15、已知数列

?an ? 中, a

1

? 2, an?1 ? an ? 2n ?1, (n ? N * ) 则该数列的通项公式 an =

16、在 ?ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,已知 (b ? c) : (c ? a) : (a ? b) ? 4 : 5 : 6 ,
2

则下列结论正确的是 (1) ?ABC 一定是钝角三角形; (3)sinA:sinB:sinC=7:5:3 ;

(2) ?ABC 被唯一确定; (4)若 b+c=8,则 ?ABC 的面积为

15 3 。 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) . 17、(本小题共 10 分) ?3x ? y ? 6 ? 0 ? 设 x , y 满足的约束条件为 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 12, ? x ? 0 ? ? ?y ? 0 求

2 3 ? 的取值范围。 a b

18、(本小题共 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 7, a ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积 S.

19、(本小题共 12 分) 解关于 x 的不等式:

ax ? 1 ? 0(a ? R) x ?1

20、(本小题共 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,且 a1 ? 1, an ?1 ? (1)求数列

1 S n , (n ? N * ) , 2

?an ? 的通项公式 a
2

n



(2)当 bn ? 1 ? log 3 (3an?1 ) 时, cn ?

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . bnbn ?1

3

21、(本小题共 12 分) 设 A、B 两个小岛相距 21 n mile ,B 岛在 A 岛的正南方,现在甲船从 A 岛出发,以 9 n mile / h 的速度向 B 岛方向行驶, 而乙船同时以 6 n mile / h 的速度离开 B 岛向南偏东

60? 方向行驶,问:行驶多长时间后,两船相距最近?并求出两船的最近距离。
A

B

22、(本小题共 12 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 4 , ,

an ?1 ? 4 ?

4 an

(n ? N * )

(1)求证:数列 ? (2)求数列的 (3)记 bn

? 1 ? ? 是等差数列; ? an ? 2 ?

?an ? 通项公式 an ;

1 ? nan ( ) n ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 2

4

2012—2013 学年度期中联考 高二数学试题答案
一、选择题: 二、填空: 13: BDACA CDBDA BC 15: n
2

16 3

14: ?2 ? a ?

6 5

? 2n ? 3

16: (1) , (3)

三、解答题: 17、解:作出可行域如图所示: y

3x-y-6=0 x-y+2=0 A

2

O

2

x ????2 分

由?

?3x ? y ? 6 ? 0 解得 A 点坐标为(4,6) , ?x ? y ? 2 ? 0

????4 分

作出直线 z ? ax ? by ( a ? 0, b ? 0 ) ,经平移可知,直线经过 点 A(4,6)时,z 取得最大值 12, 即 4a ? 6b ? 12 ,得 2a ? 3b ? 6 , 从而

????6 分

2 3 1 2 3 13 a b 13 25 ? ? ( ? )(2a ? 3b) = ? ? ? ?2? ,????8 分 a b 6 a b 6 b a 6 6 6 当且仅当 a ? b ? 时取“=”号。 5 2 3 25 故 ? ? [ , +∞) ????10 分 a b 6 a b c ? ? 18、解: (1)在 ?ABC 中,由正弦定理 可得: sin A sin B sin C

(2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ,
展开整理得:

????2 分

2sin A cos B ? sin( B ? C) ,
又在 ?ABC 中, A ? B ? C ? ?

????3 分

所以有: sin( B ? C ) ? sin A ,即得: 2sin A cos B ? sin A ,????4 分 又 sin A ? 0 ,故得: cos B ?

1 , 2

5

得 B?
2

?
3
2


2

????6 分

(2)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得:

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos
? 16 ? 3ac ? 7 , 所以得: ac ? 3 ,
从而 S ?ABC ?

?
3

? a2 ? c2 ? ac ? (a ? c)2 ? 3ac

????8 分

????10 分 ????12 分 ????1 分 ????3 分

1 1 ? 3 3 ac sin B ? 3sin ? 2 2 3 4

19、解:原不等式可等价转化为: (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 (1) 当a ? 0时, 原不等式化为 ?( x ? 1) ? 0, 解得:x ? ?1,

(2) 当a ? 0时, 原不等式化为 ( x ? )( x ? 1) ? 0 ,解得: x ? ?1, 或x ? (3) 当a ? 0时 ,原不等式化为 ( x ? )( x ? 1) ? 0

1 a

1 ????5 分 a
????6 分

1 a

1 1 ? ?1, ?1 ? a ? 0时 ,解得: ? x ? ?1 a a 1 若 ? ?1, 即a ? ?1时 ,解得: x ?? a 1 1 若 ? ?1, 即a ? ?1时 ,解得: ?1 ? x ? ; a a 若
综上可知:不等式的解集如下:

????7 分 ????8 分 ????9 分

1 a ? ?1时 ,解集为 ( ?1, ) ; a

a ? ?1时 ,解集为: ? ;
1 ?1 ? a ? 0时 ,解集为 ( , ?1) a

a ? 0时 ,解集为:(-?,-1)
1 a ? 0时 ,解集为 (?∞,-1) ( , +∞) a
????12 分

1 ? an ?1 ? S n ? ? 2 20、解: (1)由已知得: ? , 1 ? a ? S (n ? 2) n n ?1 ? ? 2
作差得: an ?1 ? a n ?

????1 分

1 an, 2

即 an ?1 ?

3 a n (n ? 2) , 2

????3 分

6

又 a1 ? 1, a2 ?

1 3 ,得 a2 ? a 1 , 2 2
3 为公比的等比数列, 2
????4 分

所以数列 ?an ? 是从第二项起,以

当n ? 1时, a n ? 1;
当n ? 2时,an ? 1 3 n?2 ( ) 2 2
????6 分

(2)由(1)知: bn ? 1 ? log 3 3an?1 ? 1 ? log 3 ( ) ? 1 ? n
n

2

2

3 2

????8 分

所以: cn ?

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

????10 分

则 Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? …+cn

1 1 1 1 1 1 1 1 =( - )+( - )+…+( )? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2
21、解:如图,设行驶 th 后,甲船行驶了 9t n mile 到达 C 处, 乙船行驶了 6t n mile 到达 D 处, ??? 2 分 (1) 当 9t ? 21 时,即 t ?

????12 分

A

7 时,C 在线段 AB 上, 3

C

在 ?BCD 中, BC ? 21 ? 9t , BD ? 6t ,

?CBD ? 180? ? 60? ? 120? ,
由余弦定理知: CD ? BC ? BD ? 2BC ? BD cos ?CBD
2 2 2

B D

? (21 ? 9t )2 ? (6t )2 ? 2(21 ? 9t )(6t )(cos120? ) ? 63t 2 ? 252t ? 441 ? 63(t ? 2)2 ? 189
所以,当 t=2 时, (CD)min ? 189 ? 3 21 (2)当 9t ? 21 时,即 t ? ???7 分 ???9 分

7 7 时,C 与 B 重合, (CD ) ? 6 ? ? 14 ? 3 21 3 3 7 (2) 当 9t ? 21 时,即 t ? 时,C 点在 AB 的延长线上, 3 且 BC ? 9t ? 21 ,
由余弦定理知: CD ? BC ? BD ? 2BC ? BD cos ?CBD
2 2 2

A

? (9t ? 21)2 ? (6t )2 ? 2(9t ? 21)(6t )(cos60? ) ? 63t 2 ? 252t ? 441 ? 63(t ? 2)2 ? 189 ? 189
C
7

B

D

综上可知:当 t=2 时, (CD)min ? 189 ? 3 21 。 故,行驶 2h 后,甲乙两船相距最近,且最近距离为当 t=2 时,

(CD)min ? 189 ? 3 21 n mile
22、解: (1)因为: an ?1 ? 4 ?

???12 分

4 ,则 an
???2 分

1 1 1 1 ? ? ? an ?1 ? 2 an ? 2 (4 ? 4 ) ? 2 an ? 2 an

?

an ? 2 1 ? , 2(an ? 2) 2 1 1 1 ? ? a1 ? 2 4 ? 2 2

???3 分



所以数列 ?

? 1 ? 1 1 ? 是以 为首项,以 为公差的等差数列。 2 2 ? an ? 2 ?
1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? an ? 2 2 2 2
2 n

???5 分

(2)由(1)可知

所以 an ? 2 ?

???7 分

(3)由(2)可知: bn ? nan ( )

1 n ?1 1 ? (n ? 1)( ) n ???8 分 2 2 1 1 1 1 1 Sn ? 2( )1 ? 3( ) 2 ? 4( )3 ? ??? ? n( ) n ?1 ? (n ? 1)( ) n 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 Sn ? 2( ) ? 3( ) ? 4( ) ? ??? ? n( ) ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 所以 S n ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ??? ? ( ) ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 2 ? (n ? 1)( 1 )n ?1 ? 3 ? 1 ? (n ? 1)( 1 )n ?1 ???10 分 ? ?2 1 2 2 2 2n 2 1? 2 n?3 Sn ? 3 ? n ???12 分 2

8


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