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福建省福州市第八中学学高二数学下学期期中试题理-精



福州八中 2015—2016 学年第二学期期中考试 高二数学(理)选修 2-2
考试时间:120 分钟 2016.4.28 第Ⅰ卷(100 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.定积分 A.-3 试卷满分:150 分

?

2


0

(?3)dx 等于
B.3 C. -6

D.6 f ( x ) 2.有一段“ 三段论”推理是这样的:对于可导函数 ,如果 f ?( x0 ) ? 0 ,那么 x ? x0 是函数 f ( x) 的极值点,因为函数 f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以, x ? 0 是函数 f ( x) ? x3 的极值点.以上 推理中 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确

??? ? ??? ? ??? ? 3.设 O 是原 点,向量 OA, OB 对应的复数分别为 2 ? 3i, ?3 ? 2i, 那么向量 BA 对应的复数是
A. ?5 ? 5i B. ?5 ? 5i C. 5 ? 5i D. 5 ? 5i

4.下列求导运算正确的是 A.(x+
x

1 1 )′=1+ 2 x x
x

B.(log2x)′=
2

1 x ln 2

C.(3 )′=3 ·log3e

D.(x cosx)′=-2xsinx

1 1 1 * 5.用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n∈N ,n>1),第一步应验证不等式 2 3 2 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 A.1+ <2 B.1+ + <3 C.1+ + + <3 D.1+ + <2 2 2 3 2 3 4 2 3 6.若 A.

p ? a?2 ? a?5
) B.

,q ?

a?3 ? a?4 , a ? 0 ,
C.

则 p、q 的大小关系是(

p?q

p?q

p?q

D.由 a 的取值确定

7.设函数 y=f(x)在(a,b)上可导,则 f(x)在(a,b)上为增函数是 f′(x)>0 的 A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.甲、乙速度 v 与时间 t 的关系如下图, a(b) 是 t ? b 时的加速度, S (b) 是从 t ? 0 到 t ? b 的路程, 则 a甲 (b) 与 a乙 (b) , S甲 (b) 与 S乙 (b) 的大小关系是 A. a甲 (b) ? a乙 (b) , S甲 (b) ? S乙 (b) B. a甲 (b) ? a乙 (b) , S甲 (b) ? S乙 (b)

v


1

乙 第8题 图图

b

t

C. a甲 (b) ? a乙 (b) , S甲 (b) ? S乙 (b) D. a甲 (b) ? a乙 (b) , S甲 (b) ? S乙 (b) 9.设 a、b、c 都为正数,那么三个数 a ? A.都不大于 2 C.至少有一个不大于 2

1 1 1 ,b ? ,c ? b c a
B.都不小于 2 D.至少有一个不小于 2

10.下面给出了四个类比推理: (1)由“若 a, b, c ? R 则 (ab)c ? a(bc) ”类比推出“若 a,b,c 为三个向量则 (a ? b) ? c = a ? (b ? c) ” ;
2 2 2 2 (2) “a,b 为实数,若a ? b ? 0 则 a=b=0” 类比推出 “ z1 , z2 为复数, 若 z1 ? z2 ? 0则z1 ? z2 ? 0 ”

(3) “在平面内,三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中,四面体的任意三个面的面积 之和大于第四个面的面积” (4) “在平面内,过 不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中,过不在同一 个平面上的四个点有且只有一个球”. 上述四个推理中,结论正确的个数有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.复数 z=i(i+1) (i 为虚数单位) 的共轭复数 Z = 12.曲线 y ?

x 与 y ? x2 所围成的封闭图形的面积 S=

3 2 13. 已知函数 f ( x) ? mx ? nx 的图象在点( -1 , 2 )处的切线恰好与直线 3x ? y ? 0 平行,若

上单调递减,则实数 t 的取值范围是_______. f ( x)在区间[t , t? 1] 14.凸函数的性质定理为:如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意 x1,x2,?,xn, 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) x ? x ? ? ? xn ? f( 1 2 ) ,已知函数 y=sin x 在区间(0,π )上是凸函数,则 n n
. 三、解答题(本大题共有 3 个小题,共 34 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 ) 15.(本小题满分 10 分) 已知复数 Z1 , Z 2 在复平面内对应的点分别为 A(?2,1), B(a,3) , (1)若 Z1 ? Z2 ? 5,求a的值。 (2)复数 z ? Z1 ? Z2 对应的点在二、四象限的角平分线上,求 a 的值。 16.(本小题满分 12 分) 已知 ( x ? 3 x )n 的二项展开式中所有奇数项的系数之和为 512, (1)求展开式的所有有理项(指数为整数) ; (2)求 (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? ? (1 ? x) 展开式中 x 项的系数.
3 4 n
2

在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值为

17.(本小题满分 12 分)
2

已知三次函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx ? d ? a, b, c ? R ? 过点(3,0) ,且函数 f(x)在点(0,f(0) )处
3 2

的切线恰好是直线 y=0。 (1)求函数 f ? x ? 的 解析式; (2)设函数 g(x)=9x+m-1,若函数 y=f(x)-g(x)在区间[-2,1] 上有两个零点,求实数 m 的取值范 围. 第Ⅱ卷(50 分) 一、选择题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 ) 18.已知 n∈N ,则(20-n)(21-n)??(100-n)等 于
80 A. A100 ?n 20 ? n B. A100 ?n 81 C. A100 ?n 81 D. A20 ?n
*

19.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲,在平行四边形
2 2

ABCD 中,有 AC +BD =2

2

2

2 2 (AB +AD ) ,那么在图乙所示的平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, AC12 ? BD12 ? CA 1 ? DB 1 等于
2 A.2(AB +AD + AA 1 )
2 2

2 B.3(AB +AD + AA 1 )
2 2

C.4(AB +AD + AA 1 ) D.4(AB +AD ) 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分) 20.某班准备了 5 个节目将参加学校音乐广场活动(此次活动只有 5 个节目) ,节目顺序有如下要求: 节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,则在这次活动中节目顺序的 编排方案共有_________种. 21.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数,且 f (2) ? 0 ,当 x ? 0 时,有 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,则不等 式 x ? f ( x) ? 0 的解集是________________
2
2 2

2

2

2

三、解答题(本大题共有 3 个小题,共 32 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 22.(本小题满分 8 分)编号为 A,B,C,D, 球放在如图所示的五个盒子里, 要求每个盒子 小球,且 A 球不能放在 1,2 号,B 球必须放在 的盒子中,不同的放法有多少种?

E 的五个小
只能放一个 与 A 球相邻

23.(本小题满分 10 分)观察以下 5 个等式: -1=-1
3

-1+3=2 -1+3-5=-3 -1+3-5+7=4 -1+3-5+7-9=-5 ?? 根 据以上式子规律 : . ....... (1)写出第 6 个等式,并猜想第 n 个等式; (n∈N ) (2)用数学归纳法证明上述所猜想的第 n 个等式成立。 (n∈N )
* *

24.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln x ?

a . (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 x

(其中 e 为自然对数的底数); f ( x)在[1, e] 上的最小值为 1,求实数 a 的值; (3)若 f ( x ) ?

1 x在(1, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围。 2

4

福州八中 2015—2016 学年第二学期期中考试 高二数学(理)选修 2-2 试卷参考答案 及评分标准 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 ) 1-5 CADBD 6-10 CACDB 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11. ?1 ? i 12.

1 3

13. [-2,-1]

14.

3 3 2

三、解答题(本大题共有 3 个小题,共 39 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 ) 15.解: (1)由复数的几何意义可知:

z1 ? ?2 ? i, z2 ? a ? 3i ??????????(1 分)
z1 ? z2 ? ?a ? 2 ? 2i ? (?a ? 2) 2 ? (?2) 2 ? 5 ?(3 分)
? a ? ?3或a ? ?1 ???????????
依题意可知点 (?2a ? 3, a ? 6) 在直线 y ? ?x 上 ∴ a ? 6 ? ?(?2a ? 3) ? a ? ?9 ????????(10 分)
0 2 16.解: (1) Cn ? Cn ? ? ? 2n ?1 ? 512 ? 29 ∴ n ?1 ? 9 , n ? 10
r r r Tr ?1 ? C10 ( x )10 ? r (?3 x ) r ? (?1) r C10 x 2 3 ? (?1)r C10 x 6 ( r =0, 1, ?,10 ) r ∵ 5 ? ? Z,∴ r ? 0 ,6 6 0 5 6 4 有理项为 T1 ? C10 x ? x5 , T7 ? C10 x ? 210x4 ?????????? 6 分 10 ? r r ? 5? r

?(5 分) (2) z ? z1 ? z2 ? (?2 ? i) ? (a ? 3i) ? (?2a ? 3) ? (a ? 6)i ??(7 分)

r r ?1 r r ?1 r r (2)∵ Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ,∴ Cn ?1 ? Cn

2 2 2 3 3 3 3 3 3 x 2 项的系数为 C3 ? C4 ? ? ? C10 ? (C4 ? C3 ) ? (C5 ? C4 ) ? ? ? (C11 ? C10 )
3 3 ? C11 ? C3 ? 164?????? ??12 分

17.解: (1) f

,

? x ? ? 3x2 ? 2bx ? c ????????(1 分)

? f (0) ? 0 ? 函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线恰好是 y=0,所以有 ? f ?(0) ? 0 ? f (3) ? 0 ? ?d ? 0 ? 即 ?c ? 0 ∴b=-3 ?27 ? 9b ? 3c ? d ? 0 ? 3 2 ∴ f ? x ? ? x ? 3x ????????????(6 分) ( 2 ) 依 题 意 得 : 原 命 题 等 价 于 方 程 f ( x) ? g ( x) ? 0 在 区 间 [-2,1] 上 有 两 个 不 同 的 解 。 即 x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? m ? 1 ? 0 在区间[-2,1]上有两个不同的解,即 x3 ? 3x 2 ? 9 x ? 1 ? m 在区间[-2,1]上有两
个不同的解 ??(7 分) 令函数 h( x) ? x ? 3x ? 9 x ? 1 , x ?[?2,1] ,则 h?( x) ? 3x ? 6 x ? 9
3 2 2

令h, ( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 0 ? x ? ?1或x ? 3, 又 ? 2 ? x ? 1? h( x)在(? 2, ?1 )单调递增; , 2 令h ( x) ? 3x ? 6x ? 9 ? 0 ? ?1 ? x ? 3, 又 ? 2 ? x ? 1? h( x)在(?11 , )单调递减;
5

? x ???21 , , ?, h(x)max ? h(?1) ? 6, h(?2) ? ?1,h(1) ? ?10? x ???21 ?, h( x)min ? h(1) ? ?10 ???11分 ???
(11 分) (也可通过列表说明单调性求出最值)

m ? h( x)在区间?-2,1? 有两个不同的解, ??1 ? m ? 6 ??????12分
第Ⅱ卷(50 分)

一、选择题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 ) 18-19 CC 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分) 20.10 21. (??,?2) ? (0,2)

三、解答题(本大题共有 2 个小题,共 27 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 22.(本小题满分 8 分)根据 A 球所在位置分三类: (1)若 A 球放在 3 号盒子内,则 B 球只能放在 4 号盒子内,余下的三个盒子放球 C、D、E,则根据分步计数 原理得,此时有 A3=6 种不同的放法; ??????(2 分) (2)若 A 球放在 5 号盒子内,则 B 球只能放在 4 号盒子内,余下的三个盒子放球 C、D、E,则根据分步计数 原理得,此时有 A3=6 种不同的放法;??????(4 分) (3)若 A 球放在 4 号盒子内,则 B 球可以放在 2 号、3 号、5 号盒子中的任何一个,余下的三个盒子放球 C、
1 3 D、E,有 A3 3=6 种不同的放法,根据分步计数原理得,此时有 A3A3=18 种不同的放法.??????(7 3 3

分) 综上所述,由分类计数原理得不同的放法共有 6+6+18=30 种.??????(8 分) 23.(本小题满分 10 分解: (1)第 6 个等式为-1+3-5+7-9+11=6
n n

??????(2 分)

第 n 个等式为 -1+3-5+7-9+??+(-1) (2n-1)=(-1) n??(4 分) (2)下面用数学归纳法给予证明: -1+3-5+7-9+??+ (?1) (2n-1)= (?1) n
n n

(1)当 n ? 1 时,由已知得原式成立; ?????????(5 分) (2)假设当 n ? k 时,原式成立, 即-1+3-5+7-9+??+(-1) (2k-1)=(-1) k?(6 分) 那么,当 n ? k ? 1 时, -1+3-5+7-9+??+ (?1) (2k-1)+ (?1)
k k ?1
k k

(2k+1) = (?1) k+ (?1)
k

k ?1

(2k+1)

= (?1)

k ?1

(-k+2k+1) (k+1)

=(-1)

k+1

故当 n ? k ? 1 时,原式也成立.?????(9 分) 由(1) (2)可知:-1+3-5+7-9+??+ (?1) (2n-1)= (?1) n 对 n∈N 都成立。 (10 分)
n n
*

24.(本小题满分 14 分解: (1)

????2 分

6

??????3 分 上单调递增 (2) , ????4 分

满足题意

??????5 分

(舍去) 当 故 综上所述,

??????6 分 上单调递减,在 (舍去) ??????9 分 上单调递增,

,由(1)知

????8 分

(3)

上恒成立???10 分

??????12 分

所以

??????14 分

7



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