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圆锥曲线习题训练解答题答案



圆锥曲线习题训练解答题答案
解答题
2 1)(1)设 M(y 0 ,y0) ,直线 ME 的斜率为 k(l>0)
2 y ? y0 ? k ( x ? y0 ).
2 ? ? y ? y0 ? k ( x ? y0 ) ? 2 ? ?y ? x

则直线 MF 的斜率为-k,方程为

∴ 由

r />
, 消

x得ky2 ? y ? y0 (1 ? ky0 ) ? 0

解 得

yF ?

1 ? ky0 (1 ? ky0 ) 2 ,? xF ? k k2

∴ kEF

1 ? ky0 1 ? ky0 2 ? y ? yF 1 k ?k (定值) ? E ? ? k ?? 2 2 ? 4 ky xE ? xF (1 ? ky0 ) (1 ? ky0 ) 2 y0 0 ? k2 k2 k2

所以直线 EF 的斜

率为定值
2 (2) 当?EMF ? 90?时, ?MAB ? 45? , 所以k ? 1, 直线 ME 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? y0 )
2 ? y ? y0 ? x ? y 0 ? 由? 得 E((1 ? y0 )2 ,1 ? y0 ) 2 ? ?y ? x

同理可得 F ((1 ? y0 )2 , ?(1 ? y0 )).

2 2 ? ? (1 ? y0 ) 2 ? (1 ? y0 ) 2 2 ? 3 y0 xM ? xE ? xF y0 x ? ? ? ? ? 3 3 3 设重心 G(x, y) ,则有 ? ? x ? xM ? xE ? xF ? y0 ? (1 ? y0 ) ? (1 ? y0 ) ? ? y0 ? 3 3 3 ?

1 2 2 x ? ( x ? ). 9 27 3 2 2)解: (1)设切点 A、B 坐标分别为 ( x, x0 )和( x1, x12 )(( x1 ? x0 ) ,
2 消去参数 y0 得 y ?

2 ∴切线 AP 的方程为: 2x0 x ? y ? x0 ? 0; 切线 BP 的方程为: 2 x1 x ? y ? x12 ? 0;

x0 ? x1 , y P ? x0 x1 2 x ? x1 ? x P ? xP , 所以△APB 的重心 G 的坐标为 xG ? 0 3 2 2 y0 ? y1 ? yP x0 ? x12 ? x0 x1 ( x0 ? x1 )2 ? x0 x1 4 xP ? y p yG ? ? ? ? , 3 3 3 3 2 所以 y p ? ?3 yG ? 4xG ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:
解得 P 点的坐标为: x P ?

1 x ? (?3 y ? 4 x 2 ) ? 2 ? 0, 即y ? (4 x 2 ? x ? 2). 3
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(2)方法 1:因为 FA ? ( x0 , x0 ? ), FP ? (
2

??? ?

? 1 ??? 4

? x0 ? x1 1 ??? 1 , x0 x1 ? ), FB ? ( x1 , x12 ? ). 2 4 4

由于 P 点在抛物线外,则 | FP |? 0.

x0 ? x1 1 1 1 ??? ? ??? ? ? x0 ? ( x0 x1 ? )( x0 2 ? ) x0 x1 ? FP ? FA 4 4 ? ??? ? ??? ? ? 2 ? 4, ∴ cos ?AFP ? ??? ??? ? | FP || FA | | FP | 1 | FP | x0 2 ? ( x0 2 ? )2 4 x ? x 1 1 1 ??? ? ??? ? 0 1 ? x1 ? ( x0 x1 ? )( x12 ? ) x0 x1 ? FP ? FB 4 4 ? ??? ? ??? ? ? 2 ? 4, 同理有 cos ?BFP ? ??? ??? ? | FP || FB | | FP | 1 | FP | x12 ? ( x12 ? )2 4
∴∠AFP=∠PFB. 方法 2: ①当 x1 x0 ? 0时,由于x1 ? x0 , 不妨设x0 ? 0, 则y0 ? 0, 所以 P 点坐标为 (

x1 ,0 ) , 则 2

P 点到直线 AF 的距离为: d1 ?
2 即 ( x1 ? ) x ? x1 y ?

| x1 | 1 ; 而直线BF的方程 : y ? ? 2 4

x12 ? x1

1 4 x,

1 4

1 x1 ? 0. 4

1 x x 1 |x | | ( x12 ? ) 1 ? 1 | ( x12 ? ) 1 4 2 4 ? 4 2 ? | x1 | 所以 P 点到直线 BF 的距离为: d 2 ? 1 2 1 x12 ? ( x12 ? )2 ? ( x1 )2 4 4
所以 d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.

1 2 x0 ? 1 4 ( x ? 0),即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, ②当 x1 x0 ? 0 时,直线 AF 的方程: y ? ? 0 0 0 4 x0 ? 0 4 4 1 x12 ? 1 4 ( x ? 0), 即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, 直线 BF 的方程: y ? ? 1 1 1 4 x1 ? 0 4 4 所以 P 点到直线 AF 的距离为:

x ?x 1 x ?x 1 1 2 | ( x0 ? )( 0 1 ) ? x0 2 x1 ? x0 | | 0 1 )( x0 2 ? ) 4 2 4 2 4 ? | x0 ? x1 | d1 ? ? 1 2 2 1 2 x0 ? ( x0 ? )2 ? x02 4 4 | x ? x0 | 同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 d 2 ? 1 ,因此由 d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB. 2
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

3)解: (Ⅰ)设双曲线方程为

(a ? 0, b ? 0).
故双曲线 C 的方程为

由 已 知 得 a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1.

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x2 ? y 2 ? 1. 3
(Ⅱ)将 y ? kx ?

2代入

x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3
2 ? ?1 ? 3k ? 0, 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ?
2 即k ?

1 且k 2 ? 1. 3



设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则

xA ? xB ?

??? ? ??? ? 6 2k ?9 , xA xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k

而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ?1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1


3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 于是 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1
由①、②得

1 ? k 2 ? 1. 3

故 k 的取值范围为 (?1, ?

3 3 ) ? ( ,1). 3 3

2 2 4)解: (Ⅰ)设双曲线 C2 的方程为 x ? y ? 1 ,则 a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2 得b 2 ? 1. a2 b2

故 C2 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 2代入 x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. 4
k2 ? 1 . 4

(II)将 y ? kx ?

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得

?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0, 即
将y ? kx ? 2代入



x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 . 3

由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 得

?1 ? 3k 2 ? 0, 1 ? 2 即 k ? 且k 2 ? 1. ? 2 2 2 3 ? ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

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6 2k ?9 设A( xA , y A ), B( xB , yB ), 则x A ? xB ? , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ??? ? ??? ? 由OA ? OB ? 6得xA xB ? y A yB ? 6, 而 xA xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)
? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? (k 2 ? 1) ? 3k 2 ? 7 ? 2 . 3k ? 1 ?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

于是

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 13 1 ? 6, 即 ? 0. 解此不等式得 k 2 ? 或k 2 ? . 2 2 15 3 3k ? 1 3k ? 1



由①、②、③得

1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15
故 k 的取值范围为 (?1, ?

13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? )?( , )?( ,1) 15 3 2 2 3 15
x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

5)解: (I)设椭圆方程为 半焦距为 c, 则

a2 ? a , | A1F1 |? a ? c , c ? a2 ? c ? a ? 2(a ? c) ? ? 由题意,得 ? 2a ? 4 ,解得 a ? 2, b ? 3, c ? 1 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? (II)设 P( m, y0 ),| m |? 1 | MA1 |?
当 y0 ? 0 时, ?F 1 PF2 ? 0

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

当 y0 ? 0 时, 0 ? ?F1 PF2 ? ?PF1M ?

?
2

? 只 需 求 tan ?F1PF2 的 最 大 值 即 可 。 直 线 PF1 的 斜 率 K1 ?
K2 ? y0 , m ?1

y0 , 直 线 PF2 的 斜 率 m ?1

? tan ?F1PF2 ?|
2

2 | y0 | 2 | y0 | 1 K 2 ? K1 |? 2 ? ? 2 1 ? K1K2 m ? 1 ? y0 2 m2 ? 1? | y0 | m2 ? 1

当且仅当 m ?1 = | y0 | 时, ?F 1 PF 2 最大,
2 6)解: (Ⅰ)由抛物线 C 的方程 y ? ax ( a ? 0 )得,焦点坐标为 (0,

1 ) ,准线方程为 4a

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y??

1 . 4a

( Ⅱ ) 证 明 : 设 直 线 PA 的 方 程 为 y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) , 直 线 PB 的 方 程 为

y ? y0 ? k 2 ( x ? x0 ) .
点 P( x0 , y0 ) 和点 A( x1 , y1 ) 的坐标是方程组 ?

? ? y ? y0 ? k1 ( x ? x0 )? ① 的解.将②式代入① 2 y ? ax ?? ② ? ?

式得 ax2 ? k1 x ? k1 x0 ? y0 ? 0 ,于是 x1 ? x 0 ?

k1 k ,故 x1 ? 1 ? x 0 a a



又点 P( x0 , y0 ) 和点 B( x2 , y 2 ) 的坐标是方程组 ?

? ? y ? y0 ? k2 ( x ? x0 )? ④ 的解. 将⑤式代入 2 ?⑤ ? ? y ? ax     
k2 k ,故 x2 ? 2 ? x0 . a a


④式得 ax2 ? k 2 x ? k 2 x0 ? y0 ? 0 .于是 x2 ? x0 ? 由已知得, k 2 ? ??k1 ,则 x 2 ? ?

?
a

k1 ? x 0 .

设点 M 的坐标为 ( x M , y M ) ,由 BM ? ? MA ,则 x M ?

???? ?

????

x2 ? ?x1 . 1? ?

将③式和⑥式代入上式得 x M ? ∴线段 PM 的中点在 y 轴上.

? x0 ? ?x0 ? ? x0 ,即 xM ? x0 ? 0 . 1? ?

2 2 (Ⅲ)因为点 P(1,?1) 在抛物线 y ? ax 上,所以 a ? ?1 ,抛物线方程为 y ? ? x . 2 2 由③式知 x1 ? ?k1 ? 1 ,代入 y ? ? x 得 y1 ? ?(k1 ? 1) . 2 2 将 ? ? 1 代入⑥式得 x2 ? k1 ? 1 ,代入 y ? ? x 得 y2 ? ?(k 2 ? 1) .

因此,直线 PA 、 PB 分别与抛物线 C 的交点 A 、 B 的坐标为

A(?k1 ?1, ?k12 ? 2k1 ?1) , B(k1 ?1, ?k12 ? 2k1 ?1) .
于是 AP ? (k1 ? 2, k1 ? 2k1 ) , AB ? (2k1 ,4k1 ) ,
2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AP ? AB ? 2k1 (k1 ? 2) ? 4k1 (k12 ? 2k1) ? 2k1 (k1 ? 2)(2k1 ?1) .
因 ?PAB 为钝角且 P 、 A 、 B 三点互不相同,故必有 AP ? AB ? 0 . 求得 k 1 的取值范围是 k1 ? ?2 或 ?

??? ? ??? ?

1 ? k1 ? 0 .又点 A 的纵坐标 y1 满足 y1 ? ?(k1 ? 1)2 ,故 2
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1 1 1 ? k1 ? 0 时, ?1 ? y1 ? ? .即 y1 ? (??, ?1) ? (?1, ? ) 4 2 4 p p 2 7)[解](1) 抛物线 y =2px 的准线为 x=- ,于是 4+ =5, ∴p=2. 2 2
当 k1 ? ?2 时, y1 ? ?1;当 ? ∴抛物线方程为 y =4x. (2)∵点 A 是坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0), ∴kFA= 则 FA 的方程为 y= ∴N 的坐标(
2

4 3 ;MN⊥FA, ∴kMN=- , 3 4

4 3 8 4 (x-1),MN 的方程为 y-2=- x,解方程组得 x= ,y= , 3 4 5 5

8 4 , ). 5 5

(1) 由题意得, ,圆 M.的圆心是点(0,2), 半径为 2, 当 m=4 时, 直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离. 当 m≠4 时, 直线 AK 的方程为 y=

4 (x-m),即为 4x-(4-m)y-4m=0, 4?m

圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d= ∴当 m>1 时, AK 与圆 M 相离; 当 m=1 时, AK 与圆 M 相切; 当 m<1 时, AK 与圆 M 相交.

2m ? 8 16 ? (m ? 4) 2

,令 d>2,解得 m>1

8)[解](1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P( x , y ),则 AP ={ x +6, y }, FP ={ x -4, y },由已知可得

??? ?

??? ?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
则 2 x +9 x -18=0, x =
2

3 或 x =-6. 2

由于 y >0,只能 x =

3 5 3 ,于是 y = . 2 2

∴点 P 的坐标是(

3 5 3 , ) 2 2

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是

m?6 2

.

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于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2.

椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有

5 4 9 d 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? x ? 4 x 2 ? 4 ? 20 ? x 2 ? ( x ? ) 2 ? 15 , 9 9 2 9 由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 2
9)解: (I)如图,设 M 为动圆圆心, ?

p ?p ? ,0 ? 为记为 F ,过点 M 作直线 x ? ? 的垂线, 2 ?2 ? p 的距离相等,由 2

垂足为 N ,由题意知: MF ? MN 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ? 抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ? 迹方程为 y 2 ? 2 px( P ? 0) ;

p ?p ? ,0 ? 为焦点, x ? ? 为准线,所以轨 2 ?2 ?

(II)如图,设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意得 x1 ? x2 (否则 ? ? ? ? ? )且 x1, x2 ? 0 所 以直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? b ,显然 x1 ?

y12 y2 , x2 ? 2 ,将 y ? kx ? b 与 2p 2p
由 p ?0 b 韦 达 定 理 知

y 2 ? 2 px( P ? 0) 联 立 消 去 x , 得 k 2 y? 2
y1 ? y2 ? 2p 2 pb , y1 ? y2 ? ① k k

p ?y 2

( 1 )当 ? ?

?
2

时,即 ? ? ? ?

?
2

时, tan? ? tan 所以 ?? 1

y1 y2 ? ? 1, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2

2 y12 y2 2 pb ? 4 p 2 所以 b ? 2 pk . 因此直线 AB 的方程可 ? y1 y2 ? 0 所以 y1 y2 ? 4 p 2 由①知: 2 k 4p

表示为 y ? kx ? 2Pk ,即 k ( x ? 2 P) ? y ? 0 所以直线 AB 恒过定点 ? ?2 p,0? (2)当 ? ?

?
2

时,由 ? ? ? ? ? ,得 tan ? ? tan(? ? ? ) =

tan ? ? tan ? = 1 ? tan ? tan ?

2p 2p 2 p( y1 ? y2 ) ? 2 pk , 将①式代入上式整理化简可得: tan ? ? ,所以 b ? 2 tan ? b ? 2 pk y1 y2 ? 4 p
此时,直线 AB 的方程可表示为 y ? kx ?

2p 2p ? ? ? 2 pk 即 k ( x ? 2 p) ? ? y ? ??0 tan ? tan ? ? ?
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所以直线 AB 恒过定点 ? ?2 p, 所以由(1) (2)知,当 ? ? 定点 ? ?2 p,

? ?

2p ? ? tan ? ?
时,直线 AB 恒过定点 ? ?2 p,0? ,当 ? ?

?
2

?
2

时直线 AB 恒过

? ?

2p ? ?. tan ? ?
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), F (c,0) a2 b2

10)解:设椭圆方程为

则直线 AB 的方程为 y ? x ? c ,代入

x2 y2 ? ? 1 ,化简得 a2 b2 (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 c 2 ? a 2b 2 ? 0 .

a 2c a 2 c 2 ? a 2b 2 令 A( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 , x x ? . 1 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2

由 OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3, ?1), OA ? OB 与 a 共线,得

??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?

?

3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0, 又 y1 ? x1 ? c, y2 ? x2 ? c , 3 ? 3( x1 ? x 2 ? 2c) ? ( x1 ? x 2 ) ? 0, ? x1 ? x 2 ? c. 2


2a 2 c 3c ? ,所以 a 2 ? 3b 2 . 2 2 2 a ?b

?c ? a2 ? b2 ?

6a , 3

故离心率 e ?

c 6 ? . a 3

x2 y2 ? 2 ? 1 可化为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 . 2 a b ???? ? 设 OM ? ( x, y) ,由已知得 ( x, y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ),
2 2 (II)证明: (1)知 a ? 3b ,所以椭圆

? x ? ?x1 ? ?x2 , ? M ( x, y) 在椭圆上,? (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y2 ) 2 ? 3b 2 . ?? ? y ? ?x1 ? ?x2 . 2 2 2 2 2 2 2 即 ? ( x1 ? 3 y1 ) ? ? ( x2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b . ① 3c 2 3 2 2 1 2 , a ? c ,b ? c . 由(1)知 x1 ? x 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 a c ?a b 3 x1 x 2 ? ? c2 2 2 8 a ?b x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x 2 ? 3( x1 ? c)(x 2 ? c)
? 4 x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 )c ? 3c 2 3 2 9 2 c ? c ? 3c 2 2 2 ? 0. ?
2 2

又 x 1 ?3 y1 ? 3b , x2 ? 3 y2 ? 3b ,代入①得 ?2 ? ? 2 ? 1. 故 ?2 ? ? 2 为定值,定值为 1.
2 2 2 2

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11) 解:设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), F (c,0), a2 b2 x2 y2 则直线 AB 的方程为 y ? x ? c, 代入 2 ? 2 ? 1 a b 2 2 2 2 2 2 2 2 化简得 (a ? b ) x ? 2a cx ? a c ? a b ? 0 .
令 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 则 x1 ? x 2 ?

2a 2 c a 2 c 2 ? a 2b 2 , x x ? . 1 2 2 2 2 2 a ? b a ? b ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 由OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3, ?1), OA ? OB与a 共线,得

3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0. 又 y1 ? x1 ? c, y2 ? x2 ? c ∴ 3( x1 ? x2 ? 2c) ? ( x1 ? x2 ) ? 0
2a 2 c 3c 3c ? ,∴ a 2 ? 3b 2 ∴ x1 ? x2 ? 即 2 2 2 a ?b 2 6a ∴ c ? a 2 ? b2 ? 3 c 6 故离心率为 e ? ? . a 3 x2 y2 ? 2 ? 1 可化为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 . 2 a b ???? ? 设 OM ? ( x, y) ,由已知得 ( x, y) ? ? ( x1, y1 ) ? ? ( x2 , y2 )
2 2 (II)证明:由(I)知 a ? 3b ,所以椭圆

?

? x ? ? x1 ? ? x2 , ? ? y ? ? y1 ? ? y2 .
? M ( x, y) 在椭圆上, ? (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y2 ) 2 ? 3b 2 .

2 2 ?2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b 2 . ①

3 3 1 c, a 2 ? c 2 , b 2 ? c 2 . 2 2 2 2 2 2 2 a c ?a b 3 ? c2 ∴ x1 x2 ? 2 2 a ?b 8 ∴ x1 x2 ? 3 y1 y2 ? x1 ? x2 ? 3( x1 ? c)( x2 ? c) 3 9 ? 4 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 )c ? 3c 2 ? c 2 ? c 2 ? 3c 2 ? 0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又 x1 ? 3 y1 ? 3b , x2 ? 3 y2 ? 3b 又,代入①得 ? ? ? ? 1.
由(I)知 x1 ? x 2 ? 故 ? ? ? 为定值,定值为 1
2 2

12)解:如图,由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1),且 PQ⊥MN,直线 PQ、NM 中至少有一条存在斜率,不妨设 PQ 的斜率为 K,又 PQ 过点 F(0,1),故 PQ 的方程为 y y = kx +1 将此式代入椭圆方程得(2+ k ) x +2 kx -1=0 设 P、Q 两点的坐标分别为( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),则
2 2

M F P

Q

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O

N

x

?k ? 2k 2 ? 2 ?k ? 2k 2 ? 2 , x ? 2 2 ? k2 2 ? k2 8(1 ? k 2 )2 2 2 2 从而 | PQ | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (2 ? k 2 )2 x1 ?
亦即 | PQ |?

2 2(1 ? k 2 ) 2 ? k2

1 2 2(1 ? (1 ? ) 2 ) 1 k (1)当 k ≠0 时,MN 的斜率为- ,同上可推得 | MN |? 1 2 k 2 ? (? ) k 1 1 4(1 ? k 2 )(1 ? 2 ) 4(2 ? k 2 ? 2 ) 1 k ? k 故四边形面积 S ? | PQ || MN |? 1 2 2 (2 ? k 2 )(2 ? 2 ) 5 ? 2k 2 ? 2 k k 1 4(2 ? u ) 1 2 ? 2(1 ? ) 令u =k ? 2 得 S ? k 5 ? 2u 5 ? 2u 1 2 ∵ u = k ? 2 ≥2 k 16 当 k =±1 时 u =2,S= 且 S 是以 u 为自变量的增函数 9 16 ?S?2 ∴ 9 1 ②当 k =0 时,MN 为椭圆长轴,|MN|=2 2 ,|PQ|= 2 。∴S= |PQ||MN|=2 2 16 综合①②知四边形 PMQN 的最大值为 2,最小值为 。 9
2 2 13)解: (Ⅰ)∵抛物线 y ? 2 x ,即 x ?

y 1 ,? p ? , 2 4

∴焦点为 F (0, ) ………………………………………………………1 分 (1)直线 l 的斜率不存在时,显然有 x1 ? x2 ? 0 ………………………………3 分 (2)直线 l 的斜率存在时,设为 k,截距为 b 即直线 l :y=kx+b 由已知得:
?y ? y ? 2 ? 1 ? k ? x1 x 2 ? b ……………5 分 2 ? 2 ? ? y1 y 2 ? ? 1 ? ? x1 ? x 2 k ?
2 2 ? ? ? ? 2 x1 2 x 2 ? k ? x 1 x 2 ? b 2 2 ? ?? 2 2 ? 2 x1 ? 2 x 2 ? ? 1 ? k x1 ? x 2 ?

1 8

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? ? 2 2 ? x 2 ? k ? x1 x 2 ? b ? x 1 ……………7 分 ? 2 ?? 1 ? ? x2 ? ? x 1 ? 2 k ?

1 1 2 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? b ? 0 ? b ? 4 4

即 l 的斜率存在时,不可能经过焦点 F (0, ) ……………………………………8 分 所以当且仅当 x1 ? x2 =0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F…………………………9 分 (Ⅱ)当 x1 ? 1, x2 ? ?3 时, 直线 l 的斜率显然存在,设为 l :y=kx+b………………………………10 分 则由(Ⅰ)得:
? ? 2 2 ? ? k ? x1 x 2 ? b ? ? x1 x 2 2 ? 1 ? x 1 ? x 2 ? ? 2k ? ?

1 8

? x1 ? x 2 k? ? b ? 10 ? ………………………11 分 ? 2 ?? 1 ? ? ? ?2 ? 2k ?

1 ? k? ? ? 4 …………………………………………13 分 ?? 41 ?b ? ? ? 4

所以直线 l 的方程为 y ?

1 41 x? 4 4

14)解: (Ⅰ) F ? l ? FA ? FB ? A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等, ∵抛物线的准线是 x 轴的平行线, y1 ? 0,y2 ? 0 ,依题意 y1,y2 不同时为 0 ∴上述条件等价于 y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? 0
2 2

∵ x1 ? x2 ∴上述条件等价于 x1 ? x2 ? 0 即当且仅当 x1 ? x2 ? 0 时, l 经过抛物线的焦点 F 。 (Ⅱ)设 l 在 y 轴上的截距为 b ,依题意得 l 的方程为 y ? 2 x ? b ;过点 A、B 的直线方程 可写为 y ? ?

1 1 x ? m ,所以 x1、x2 满足方程 2 x 2 ? x ? m ? 0 2 2 1 得 x1 ? x2 ? ? 4 1 1 A、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 ? ? ? 8m ? 0 ,即 m ? ? 4 32
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设 AB 的中点 N 的坐标为 ? x0,y0 ? ,则

1 1 1 1 ? x1 ? x2 ? ? ? , y0 ? ? x0 ? m ? ? m 2 8 2 16 1 1 5 5 1 9 ? m ? ? ? b ,于是 b ? ? m ? ? ? 由 N ? l ,得 16 4 16 16 32 32 x0 ?
即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为 ?

? 9 ? , ? ?? ? 32 ?

15)(Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为 ( x, y). 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得

| F1 P |? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? b 2 ? ? (a ? c 2 x) . a

b2 2 x a2

由 x ? a, 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. ………………………3 分 a a

证法二:设点 P 的坐标为 ( x, y). 记 | F1 P |? r1 , | F2 P |? r2 , 则 r1 ?

( x ? c) 2 ? y 2 , r2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 .

2 2 由 r1 ? r2 ? 2a, r1 ? r2 ? 4cx , 得 | F1 P |? r1 ? a ?

c x. a
c x ? 0. a

证法三:设点 P 的坐标为 ( x, y). 椭圆的左准线方程为 a ?

2 由椭圆第二定义得 | F1 P | ? c ,即 | F1 P |? c | x ? a |?| a ? c x | . a c a a a2 |x? | c

由 x ? ? a, 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. …………………………3 分 a a

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |?

1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2
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综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . …………………………7 分 解法二:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ? TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.
x? ? c ? x? , ? 2 设点 Q 的坐标为( x ?, y ? ) ,则 ? ? ? y ? y? . ? 2 ?

?x? ? 2 x ? c, 因此 ? ? y ? ? 2 y.
由 | F1Q |? 2a 得 ( x? ? c) 2 ? y ? 2 ? 4a 2 . 将①代入②,可得 x 2 ? y 2 ? a 2 .





综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . ……………………7 分 (Ⅲ)解法一:C 上存在点 M( x 0 , y 0 )使 S= b 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a2 , ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

2

③ ④
2 b2 . 所以,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c c

由③得 | y0 |? a ,由④得 | y 0 |?

2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分

c

2 当 a ? b 时, MF 1 ? (?c ? x0 ,? y0 ), MF 2 ? (c ? x0 ,? y0 ) , c

2 2 2 2 2 2 由 MF 1 ? MF2 ? x0 ? c ? y0 ? a ? c ? b ,

MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos?F1MF2 ,
S? 1 | MF1 | ? | MF 2 | sin ?F1 MF 2 ? b 2 ,得 tan?F1 MF2 ? 2. 2
2

解法二:C 上存在点 M( x 0 , y 0 )使 S= b 的充要条件是

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2 2 ? x0 ? y0 ? a2 , ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

③ ④

由④得 | y 0 |?

b2 b4 b2 b2 2 . 上式代入③得 x0 ? a 2 ? 2 ? (a ? )(a ? ) ? 0. c c c c

2 于是,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c
2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分

c

2 y0 y0 当 a ? b 时,记 k1 ? k F M ? , , k 2 ? k F2 M ? 1 c x0 ? c x0 ? c

由 | F1 F2 |? 2a, 知 ?F1 MF2 ? 90? ,所以 tan?F MF ?| k1 ? k 2 |? 2. …………14 分 1 2
1 ? k1k 2

16)(Ⅰ)证法一:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的

? y ? ex ? a, ? x ? ?c, a ? 2 ? 2 2 坐标分别是 (? ,0), (0, a). 由? x 得? y2 b 2 这里c ? a ? b . e ? 2 ? 2 ? 1, ? y ? . a b ? ?a
所以点 M 的坐标是( ? c,

b2 ). a

由 AM ? ? AB得(?c ?

a b2 a , ) ? ? ( , a). e a e

a ?a ?c ? ? ? ?e e 即? 2 ? b ? ?a ? ?a
分别是 ( ?

解得? ? 1 ? e 2

证法二:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标

a a a ,0), (0, a ). 设 M 的坐标是 ( x0 , y 0 ),由AM ? ? AB得( x0 ? , y 0 ) ? ? ( , a ), e e e
因为点 M 在椭圆上,所以
2 2 x0 y0 ? ? 1, a2 b2

a ? ? x0 ? (? ? 1) 所以 ? e ? ? y 0 ? ?a.

a [ (? ? 1)]2 (?a) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 即 e ? ? 1 , 所以 ? ? 1. a2 b2 e2 1 ? e2

e 4 ? 2(1 ? ? )e 2 ? (1 ? ? ) 2 ? 0,
(Ⅱ)当 ? ?

解得 e ? 1 ? ?
2

即? ? 1 ? e 2 .

3 1 时, c ? ,所以 a ? 2c. 4 2

由△MF1F2 的周长为 6,得 2a ? 2c ? 6.

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所以 a ? 2, c ? 1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3.

椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅲ)解法一:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角 形,必有|PF1|=|F1F2|,即

1 | PF1 |? c. 2

设点 F1 到 l 的距离为 d,由

1 | e(?c) ? 0 ? a | | a ? ec | | PF1 |? d ? ? ? c, 2 1 ? e2 1 ? e2
1 2 , 于是 ? ? 1 ? e 2 ? . 3 3



1 ? e2 1 ? e2

? e.

2 所以 e ?

即当 ? ?

2 时, △PF1F2 为等腰三角形. 3

解法二:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角形,必有 |PF1|=|F1F2|, 设点 P 的坐标是 ( x0 , y0 ) ,

1 ? y0 ? 0 ?? ? e ?x ?c 则? 0 ? y 0 ? 0 ? e x0 ? c ? a. ? 2 ? 2
由|PF1|=|F1F2|得 [

? e2 ? 3 x ? c, ? ? 0 e2 ? 1 解得? 2 ? y ? 2(1 ? e )a . 0 ? e2 ? 1 ?

(e 2 ? 3)c 2(1 ? e 2 )a 2 2 ? c ] ? [ ] ? 4c 2 , 2 2 e ?1 e ?1 (e 2 ? 1) 2 1 ? e 2 . 从而 e 2 ? . 2 3 e ?1
即当 ? ?

两边同时除以 4a ,化简得
2 于是 ?1 ? 1 ? e ?

2

2 . 3

2 时,△PF1F2 为等腰三角形. 3

17)(Ⅰ)证法一:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的

? y ? ex ? a, ? x ? ?c, a ? 2 ? 2 2 2 坐标分别是 (? ,0), (0, a). 由? x 得? y b 2 这里c ? a ? b . e ? 2 ? 2 ? 1, ? y ? . c b ? ?a
所以点 M 的坐标是( ? c,

b2 ). a

由 AM ? ? AB得(?c ?

a b2 a , ) ? ? ( , a). e a e

a ?a ?c ? ? ? ?e e 即? 2 ? b ? ?a ? ?a

解得? ? 1 ? e 2

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证法二:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标 分别是 ( ?

a a a ,0), (0, a ). 设 M 的坐标是 ( x0 , y 0 ),由AM ? ? AB得( x0 ? , y 0 ) ? ? ( , a ), e e e
因为点 M 在椭圆上,所以
2 2 x0 y0 ? ? 1, a2 b2

a ? ? x0 ? (? ? 1) 所以 ? e ? ? y 0 ? ?a.

a [ (? ? 1)]2 (?a) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 即 e ? ? 1 , 所以 ? ? 1. a2 b2 e2 1 ? e2

e 4 ? 2(1 ? ? )e 2 ? (1 ? ? ) 2 ? 0,

解得 e 2 ? 1 ? ?

即? ? 1 ? e 2 .

(Ⅱ)解法一:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角 形,必有|PF1|=|F1F2|,即

1 | PF1 |? c. 2

设点 F1 到 l 的距离为 d,由

1 | e(?c) ? 0 ? a | | a ? ec | | PF1 |? d ? ? ? c, 2 1 ? e2 1 ? e2
1 2 , 于是 ? ? 1 ? e 2 ? . 3 3



1 ? e2 1 ? e2

? e.

2 所以 e ?

即当 ? ?

2 时, △PF1F2 为等腰三角形. 3

解法二:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角形,必有 |PF1|=|F1F2|, 设点 P 的坐标是 ( x0 , y0 ) ,

1 ? y0 ? 0 ?? ? e ?x ?c 则? 0 ? y 0 ? 0 ? e x0 ? c ? a. ? 2 2 ?
由|PF1|=|F1F2|得 [

? e2 ? 3 x ? c, ? ? 0 e2 ? 1 解得? 2 ? y ? 2(1 ? e )a . 0 ? e2 ? 1 ?

(e 2 ? 3)c 2(1 ? e 2 )a 2 2 ? c ] ? [ ] ? 4c 2 , 2 2 e ?1 e ?1 (e 2 ? 1) 2 1 ? e 2 . 从而 e 2 ? . 2 3 e ?1
即当 ? ?

两边同时除以 4a ,化简得
2 于是 ?1 ? 1 ? e ?

2

2 . 3

2 时,△PF1F2 为等腰三角形. 3
2 2

18)(I)解法 1:依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 3, 代入3x ? y ? ? ,整 理得
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(k 2 ? 3) x 2 ? 2k (k ? 3) x ? (k ? 3) 2 ? ? ? 0.



设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则x1 , x2是方程 ①的两个不同的根,

? ? ? 4[? (k 2 ? 3) ? 3(k ? 3) 2 ] ? 0
且x1 ? x 2 ?



2k (k ? 3) .由N (1,3) 是线段 AB 的中点,得 k2 ?3

x1 ? x 2 ? 1,? k (k ? 3) ? k 2 ? 3. 2
解得 k=-1,代入②得, ? >12,即 ? 的取值范围是(12,+ ? ). 于是,直线 AB 的方程为 y ? 3 ? ?( x ? 1),即x ? y ? 4 ? 0. 解法 2:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则有
2 2 ? ?3x1 ? y1 ? ? , ? 3( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0. ? 2 2 ? 3 x ? y ? ? 2 ? 2

依题意, x1 ? x2 ,? k AB ? ?

3( x1 ? x2 ) . y1 ? y 2

? N (1,3)是AB的中点,? x1 ? x 2 ? 2, y1 ? y 2 ? 6, 从而k AB ? ?1. 又由N (1,3)在椭圆内 , ? ? 3 ? 12 ? 3 2 ? 12. ? ?的取值范围是 (12,??). 直线AB的方程为y ? 3 ? ?( x ? 1),即x ? y ? 4 ? 0.

AB,? 直线CD的方程为y ? 3 ? x ? 1,即x ? y ? 2 ? 0. 代 (II)解法 1:? CD垂直平分
入椭圆方程,整理得

4 x 2 ? 4 x ? 4 ? ? ? 0.



又设C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ),CD的中点为M ( x0 , y0 ),则x3 , x4是方程③的两根,
? x3 ? x 4 ? ?1, 且x0 ? 1 3 即M (? , ). 2 2
于是由弦长公式可得

1 1 3 ( x3 ? x 4 ) ? ? , y 0 ? x 0 ? 2 ? , 2 2 2

1 | CD |? 1 ? (? ) 2 ? | x3 ? x4 |? 2(? ? 3). k



将直线 AB 的方程 x ? y ? 4 ? 0, 代入椭圆方程得
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4 x 2 ? 8x ? 16 ? ? ? 0.
同理可得



| AB |? 1 ? k 2 ? | x1 ? x 2 |? 2(? ? 12) .



?当? ? 12时, 2(? ? 3) ? 2(? ? 12).,? | AB |?| CD | .
假设在在 ? >12,使得 A、B、C、D 四点共圆,则 CD 必为圆的直径,点 M 为圆心.点 M 到直 线 AB 的距离为

1 3 |? ? ?4| | x ? y0 ? 4 | 3 2 d? 0 ? 2 2 ? . 2 2 2
于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得



AB 2 9 ? ? 12 ? ? 3 CD 2 | ? ? ? ?| | . 2 2 2 2 2 | CD | 故当 ? ? 12 时,A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心, 为半径的圆上. 2 | MA | 2 ?| MB | 2 ? d 2 ? |
(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得: A、B、C、D 共圆 ? △ACD 为直角三角形,A 为直角 ?| AN | 2 ?| CN | ? | DN |,即

| AB | 2 | CD | | CD | ) ?( ? d )( ? d ). 2 2 2 ? ? 12 . 由⑥式知,⑧式左边= 2 (
由④和⑦知,⑧式右边= (



2(? ? 3) 3 2 2(? ? 3) 3 2 ? )( ? ) 2 2 2 2
2 ? 9 ? ? 12 ? , 2 2

?

? ?3

∴⑧式成立,即 A、B、C、D 四点共圆 解法 2:由(II)解法 1 及 ? ? 12 .

? CD垂直平分AB,? 直线CD方程为y ? 3 ? x ? 1, 代入椭圆方程,整理得
4 x 2 ? 4 x ? 4 ? ? ? 0.


将直线 AB 的方程 x ? y ? 4 ? 0, 代入椭圆方程,整理得

4 x 2 ? 8x ? 16 ? ? ? 0.
解③和⑤式可得



x1 , 2 ?

2 ? ? ? 12 ?1? ? ? 3 , x3, 4 ? . 2 2

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不妨设 A(1 ? 1 ? ? 12,3 ? 1 ? ? 12), C ( ? 1 ? ? ? 3 , 3 ? ? ? 3 ), D( ? 1 ? ? ? 3 , 3 ? ? ? 3 ) 2 2 2 2 2 2 ∴ CA ? (

3 ? ? ? 12 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? ? 12 , ) 2 2

DA ? (

3 ? ? ? 12 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? ? 12 , ) 2 2

计算可得 CA ? DA ? 0 ,∴A 在以 CD 为直径的圆上. 又 B 为 A 关于 CD 的对称点,∴A、B、C、D 四点共圆. (注:也可用勾股定理证明 AC⊥AD) 19)(I)解法一:直线 l : y ? 3x ? 3 3 , ① 过原点垂直 l 的直线方程为 y ? ? 解①②得 x ?

3 x, ② 3

3 . 2

∵椭圆中心(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,

?

a2 3 ? 2 ? ? 3. c 2

∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

? c ? 2, a 2 ? 6, b 2 ? 2.

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 6 2



解法二:直线 l : y ? 3x ? 3 3 .
p ?q ? 3? ?2 3 ? 2 2 ? 设原点关于直线 l 对称点为(p,q) ,则 解得 p=3. ? q ? 3 ? ? ?1. ? p ?

∵椭圆中心(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,

?

a2 ? 3. c

∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

? c ? 2, a ? 6, b ? 2.
2 2

x2 y2 ? ? 1. 故椭圆 C 的方程为 6 2



(II)解法一:设 M( x1 , y1 ) ,N( x 2 , y 2 ).

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当直线 m 不垂直 x 轴时,直线 m : y ? k ( x ? 2) 代入③,整理得

(3k 2 ? 1) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0,
? x1 ? x2 ? ? 12k 2 12k 2 ? 6 , x ? x ? , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
12k 2 2 12k 2 ? 6 2 6 (1 ? k 2 ) ) ? 4 ? ? , 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

| MN |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 (?

点 O 到直线 MN 的距离 d ?

| 2k | 1? k 2

? OM ? ON ?

4 4 cos ?MON 6 cot ?MON , 即 | OM | ? | ON | cos ?MON ? 6 ? 0, 3 3 sin ?MON 4 2 4 ?| OM | ? | ON | sin ?MON ? 6 ,? S ?OMN ? 6.?| MN | ?d ? 6, 3 3 3
即4 6 | k | 整理得 k 2 ?

k 2 ?1 ?

4 6 (3k 2 ? 1). 3

1 3 ,? k ? ? . 3 3
2 6. 3

当直线 m 垂直 x 轴时,也满足 S ?OMN ? 故直线 m 的方程为 y ?

3 2 3 x? , 3 3

或y??

3 2 3 x? , 或 x ? ?2. 3 3 3 2 3 x? , 3 3

经检验上述直线均满足 OM ? ON ? 0 .所以所求直线方程为 y ?

或y??

3 2 3 x? , 或 x ? ?2. 3 3

解法二:设 M( x1 , y1 ) ,N( x 2 , y 2 ). 当直线 m 不垂直 x 轴时,直线 m : y ? k ( x ? 2) 代入③,整理得

(3k ? 1) x ? 12k x ? 12k ? 6 ? 0, ? x1 ? x2 ? ?
2 2 2 2

12k 2 , 3k 2 ? 1

∵E(-2,0)是椭圆 C 的左焦点,
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∴|MN|=|ME|+|NE|
2 2 2 2 = e( a ? x1 ) ? e( a ? x2 ) ? c ( x1 ? x2 ) ? 2a ? 2 ? (? 12k ) ? 2 6 ? 2 6 (k ? 1) . c c a 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 6

以下与解法一相同. 解法三:设 M( x1 , y1 ) ,N( x 2 , y 2 ). 设直线 m : x ? ty ? 2 ,代入③,整理得 (t 2 ? 3) y 2 ? 4ty ? 2 ? 0.

? y1 ? y 2 ?

4t ?2 , y1 y 2 ? 2 , t ?3 t ?3
2

| y1 ? y 2 |? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? (
? OM ? ON ?

4t 2 8 ) ? 2 ? 2 t ?3 t ?3

24t 2 ? 24 . (t 2 ? 3) 2

4 4 cos ?MON 6 cot ?MON , 即 | OM | ? | ON | cos ?MON ? 6 ? 0, 3 3 sin ?MON 4 2 ?| OM | ? | ON | sin ?MON ? 6 ,? S ?OMN ? 6. 3 3

S ?OMN ? S ?OEM ? S ?OEN ?

1 | OE | ? | y1 ? y 2 |? 2

24t 2 ? 24 . (t 2 ? 3) 2



24t 2 ? 24 2 6 ,整理得 t 4 ? 3t 2 . = (t 2 ? 3) 2 3

解得 t ? ? 3, 或 t ? 0. 故直线 m 的方程为 y ?

3 2 3 3 2 3 x? , 或 x ? ?2. x? ,或 y ? ? 3 3 3 3

经检验上述直线均满足 OM ? ON ? 0. 所以所求直线方程为 y ?

3 2 3 3 2 3 x? , 或 x ? ?2. x? ,或y ? ? 3 3 3 3

20)解: (I)W1={(x, y)| kx<y<-kx, x<0},W2={(x, y)| -kx<y<kx, x>0}, (II)直线 l1:kx-y=0,直线 l2:kx+y=0,由题意得

| k 2 x2 ? y 2 | | kx ? y | | kx ? y | ? d2, ? ? d2 , 即 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1
由 P(x, y)∈W,知 k x -y >0, 所以
2 2 2

k 2 x2 ? y 2 ? d 2 ,即 k 2 x2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0 , 2 k ?1
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所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 k 2 x2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0 ; (III)当直线 l 与 x 轴垂直时,可设直线 l 的方程为 x=a(a≠0) .由于直线 l,曲线 C 关于 x 轴对称, 且 l1 与 l2 关于 x 轴对称, 于是 M1M2, M3M4 的中点坐标都为 ( a, 0) , 所以△OM1M2, △OM3M4 的重心坐标都为(

2 a,0) ,即它们的重心重合, 3

当直线 l1 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=mx+n(n≠0) . 由?

?k 2 x2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0 ,得 (k 2 ? m2 ) x2 ? 2mnx ? n2 ? k 2d 2 ? d 2 ? 0 y ? mx ? n ?
2 2

由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点,可知 k -m ≠0 且 △= (2mn)2 ? 4(k 2 ? m2 ) ? (n2 ? k 2 d 2 ? d 2 ) >0 设 M1,M2 的坐标分别为(x1, y1),(x2, y2), 则 x1 ? x2 ?

2mn , y1 ? y2 ? m( x1 ? x2 ) ? 2n , k ? m2
2

设 M3,M4 的坐标分别为(x3, y3),(x4, y4), 由?

? y ? kx ? y ? ?kx n ?n , x4 ? 得 x3 ? 及? k ?m k ?m ? y ? mx ? n ? y ? mx ? n
2mn ? x1 ? x2 , k ? m2
2

从而 x3 ? x4 ?

所以 y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2, 于是△OM1M2 的重心与△OM3M4 的重心也重合.

x ? x2 ? x? 1 ? ? 3 (21)解: (I)设△AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 3 ?
∵OA⊥OB ∴ kOA ? kOB ? ?1 ,即 x1 x2 ? y1 y 2 ? ?1 ,……(2)
2 2 又点 A,B 在抛物线上,有 y1 ? x1 , y 2 ? x2 ,代入(2)化简得 x1 x2 ? ?1

…(1)

∴y?

y1 ? y 2 1 2 1 1 2 2 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? [(x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] ? ? (3x) 2 ? ? 3x 2 ? 3 3 3 3 3 3
2 3

2 所以重心为 G 的轨迹方程为 y ? 3 x ?

(II)S ?AOB ?

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 | OA || OB |? ( x12 ? y12 )( x 2 ? y2 )? x12 x 2 ? x12 y 2 ? x2 y1 ? y12 y 2 2 2 2

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由(I)得

S ?AOB ?

1 6 1 1 1 6 6 x1 ? x2 ?2 ? 2 x16 ? x2 ?2 ? 2 (?1) 6 ? 2 ? ? 2 ? 1 2 2 2 2

6 6 当且仅当 x1 即 x1 ? ? x2 ? ?1 时,等号成立。 ? x2

所以△AOB 的面积存在最小值,存在时求最小值 1;

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