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对数概念


【问题情景】某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,

这种物质的剩留的质量是原来的84%,假设该物质最初的质量是1, 请写出经过x年这种物质的剩留量y关于时间的函数关系式: y=0.84x

由此,知道了经过的时间x,就能求出该物质的剩留量y;反过来,
如果知道了y的值,怎样求出相应的x的值呢? 比如:当y=0.5时,相应的x的值是多少呢?

0.84x=0.5→x=?
【思考】是否存在这样的实数x,使得 0.84x=0.5?
如果存在,x的值有几个?x等于多少呢?

问 题

0.84x=0.5→x=?
已知底和幂,如何求出指数?
如何用底和幂来表示出指数的问题.

推 广

解 决 新数——对数.

为了解决这类问题,引进一个

1、对数的定义 对数(logarithm) 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1?的b次幂等于N,
那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数,记作



a ?N
b

loga N ? b

loga N

N 叫做真数。 其中, a 叫做对数的底数,
【注意】零和负数没有对数哟

2、指数式与对数式的关系
指数 对数

b=N a 指数式
幂 底数 真数

N ?0

loga N ? b

对数式

a>0且a≠1 两个等式所表示的是a,b,N这三个量 之间的同一个关系,不同表示形式

loga N

写作
x

读作

底数 真数
0.84

0.84 ? 0.5 x ? log0.84 0.5 以0.84为底0.5的对数

0.5 3 7

2x ? 3

x ? log2 3

以2为底3的对数

2

1 x 1 ( ) ? 7 x ? log 1 7 以 为底7的对数 2 2 2

1 2

例1.将下列指数式化成对数式

指数式

对数式

2 ? 16
4

log2 16 ? 4
1 log 3 ? ?3 27
log5 20 ? a

3

?3

1 ? 27

5 ? 20
a

1 b ( ) ? 0.45 2

log1 0.45 ? b
2

例2.将下列对数式化成指数式

对数式

指数式

log5 125 ? 3
log 1 3 ? ?2
3

log10 a ? ?1.699

loge 5 ? b
(e ? 2.71828 ?)

3、两个特殊的对数:
常用对数:
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数, 为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作 lg N .

自然对数:
在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数,以e为底的对数叫自然对数. 为了简便,N的自然对数 loge N 简记作 ln N .

如 log10 3 ? lg 3.

loge 5 ? ln 5.

练习:求log(1-x)(x+2)中的x的取值范围.
解:根据题意可得 ?1 ? x ? 0 ? x ?1 ?? 2 ? x ? 1 ? ? ?1? x ? 1 ? ? x ? 0 ? ? ? x ? 2 ? 0 ? x ? ?2 ? x ? 0 ? ?

?x ? 2 ? x ? 1且x ? 0? ? x的取值范围为

例3 求出下列各式中 x 值: 2 (1) log 64 x ? ? (2) logx 8 ? 6 3 2 (3) lg100 ? x (4) ? ln e ? x
2 解:(1) ? log64 x ? ? 3 ? x ? 64
? 2 3

? 4

? ?

2 3 ?3

?4

?2

1 ? 16

解:(2) ? logx 8 ? 6
? x 6 ? 8, x ? 0 ?x ? 8 ? 2
1 6

? ?

1 3 6

?2 ? 2

1 2

例3 求出下列各式中 x 值:

(3) lg100 ? x
解: (3) ? lg100 ? x ?10 ? 100
x

(4) ? ln e ? x
2

解: (4) ? ? ln e ? x
2

? ln e ? ? x
2

又 ?10 ? 100 ?x ? 2
2

?e ? e ? x ? ?2
2

?x

【练习】求下列对数的值。

(1) log2 64
(3) log9 27

( 2) log

2

1 8

探究活动:
根据对数的定义,写出下列各对数的值(a ? 0,a ? 1) :

(1) log5 1 ?
(2) log3 1 ? (3) loga 1 ?
结论:

, (4) log5 5 ? , (5) log3 3 ? 提炼一般性结论 0 ,

, , 1 .

(6) loga a ?

a ? 0,a ? 1
思 考

底数的对数为1, 1的对数为0, 即 loga 1 ? 0 , 即 loga a ? 1 .

log

? ?1

探究: loga1=0,logaa=1

练习:求下列各式x的值
解:

学生活动
计算探究
(1) log 2 2 ? 3
3

;
;

(4)2log2 3 ?

3

;

(2) log3 3 ? -4

?4

(5)3

log3 2

?

2

.

(3) log5 5 ?
6

6 ; 提炼一般性结论

loga a ?
b

b

a

loga N

? N

a ? 0 , a ? 1 , b ? R ,N ? 0.

思考:
解:成立。此式为对数恒等式。

练习:求值 解:

数 学 也 励 志

log1.01 37.8 ? 365
log1.02 1377 .4 ? 365

回顾小结
基本知识: 对数的定义,常用对数,对数的简单性质, 学会了对数 和指数的互化以及对数的简单计算. 思想方法: 归纳、猜想、证明等方法,类比思想、方程思想、 函数与方程思想、数形结合思想.


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