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(北师大版)数学必修1全套教案 41页



北师大版高一数学必修(Ⅰ)第一章《集合》全部教案
扶风县法门高中 姚连省

第一课时 高中入学第一课 (学法指导) 一、课 题: 高中入学第一课 (学法指导)

二、教学目标:了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求,了解新课程标准的基本思路,了解 高考意向,掌握高中数学学习基本方法,激发学生学习数学兴趣,强调布置有关数学学习要求和

安排。 三、教学过程: (一) 、欢迎词: 1、祝贺同学们通过自己的努力,进入高一级学校深造。希望同学们能够以新的行动, 圆满完成高中三年的学习任务,并祝愿同学们取得优异成绩,实现宏伟目标。2、同学 们军训辛苦了,收获应是:吃苦耐劳、严肃认真、严格要求。3、我将和同学们共同学 习高中数学,暂定一年,?。4、本节课和同学们谈谈几个问题:为什么要学数学?如 何学数学?高中数学知识结构?新课程标准的基本思路?本期数学教学、 活动安排?作 业要求? (二) 、几个问题: 1.为什么要学数学:数学是各科之研究工具,渗透到各个领域;活脑,训练思维;计算机等高科 技应用的需要;生活实践应用的需要。 2.如何学数学: 请几个同学发表自己的看法 → 共同完善归纳为四点:抓好自学和预习;带着问题认真听课;独 立完成作业;及时复习。注重自学能力的培养,在学习中有的放矢,形成学习能力。 高中数学由于高考要求,学习时与初中有所不同,精通书本知识外,还要适当加大难度,即能够 思考完成一些课后练习册,教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料,如 订阅一份数学报刊,购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构: 书本:高一上期(必修①、②) ,高一下期(必修③、④) ,高二上期(必修⑤、选修系 列) ,高二下期(选修系列) ,高三年级:复习资料。 知识:密切联系,必修(五个模块)+选修系列(4 个系列,分别有 2、3、6、10 个模块) 能力:运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念: ①构建共同基础,提供发展平台; ②提供多样课程,适应个性选择; ③倡导积极主动、勇于探 索的学习方式;④注重提高学生的数学思维能力; ⑤发展学生的数学应用意识; ⑥与时俱进地 认识“双基” ; ⑦强调本质,注意适度形式化; ⑧体现数学的文化价值; ⑨注重信息技术与数
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学课程的整合; ⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排: 本期学习内容:高一必修①、②,共 72 课时,必修① 第一章 13 课时(4+4+3+1+1)+第二章 14 课 时(6+6+1+1)+第三章 9 课时(3+4+1+1);必修②第一章 8 课时(2+2+2+1+1)+第二章 10 课时 (3+3+3+1)+第三章 9 课时(2+3+3+1)+第四章 9 课时(2+4+2+1). 上课方式:每周新授 5 节,问题集中 1 节。 学习方式:预习后做节后练习;补充知识写在书的边缘; 6.作业要求: (期末进行作业评比) ① 课堂作业设置两本;② 提倡用钢笔书写,一律用铅笔、尺规作图,书写规范;③ 墨迹、错误 用橡皮擦擦干净,作业本整洁;④ 批阅用“?”号代表错误,一般点在错误开始处;⑤ 更正自 觉完成;⑥ 练习册同步完成,按进度交阅,自觉订正;⑦ 当天布置,当天第二节晚自习之前交 (若无晚自习,则第二天早读之前交) 。⑧ 每次作业按 90、80、70、60 四个等级评定,分别得分 5、4、3、2,每本作业本完成后自行统计得分并上交科代表审核、教师评定等级,得分 90%~98% 为优良等级,98%及以上为优秀等级; 7.介绍以往高一学生学习数学经验及教训。 (三) 、了解情况:初中数学开课情况;暑假自学情况;作图工具准备情况。 高中数学学习方法 进入高中以后,往往有不少同学不能适应数学学习,进而影响到学习的积极性,甚至成绩一 落千丈。出现这样的情况,原因很多。但主要是由于学生不了解高中数学教学内容特点与自身学 习方法有问题等因素所造成的。在此结合高中数学教学内容的特点,谈一下高中数学学习方法, 供同学们参考。 一、 高中数学与初中数学特点的变化 1、数学语言在抽象程度上突变。初高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、 通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及非常抽象的集合语言、逻辑运算语言、函数 语言、图象语言等。 2、思维方法向理性层次跃迁。高中学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初 中阶段大不相同。初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分 几步,因式分解先看什么,再看什么等。因此,初中学习中习惯于这种机械的,便于操作的定势 方式,而高中数学在思维形式上产生了很大的变化,数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。 这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。 3、知识内容的整体数量剧增。高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧 增加了,单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多,辅助练习、消化的课时相应地减
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少了。 4、知识的独立性大。初中知识的系统性是较严谨的,给我们学习带来了很大的方便。因为它便于 记忆,又适合于知识的提取和使用。但高中的数学却不同了,它是由几块相对独立的知识拼合而 成(如高一有集合,命题、不等式、函数的性质、指数和对数函数、指数和对数方程、三角比、 三角函数、数列等) ,经常是一个知识点刚学得有点入门,马上又有新的知识出现。因此,注意它 们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点。 二、如何学好高中数学 1、养成良好的学习数学习惯。 建立良好的学习数学习惯,会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是:多质 疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中,要把教师所传授的知识翻 译成为自己的特殊语言,并永久记忆在自己的脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心 上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。 2、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。 学好高中数学,需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数 学思想有以上几个:集合与对应思想,分类讨论思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变 换思想。有了数学思想以后,还要掌握具体的方法,比如:换元、待定系数、数学归纳法、分析 法、综合法、反证法等等。在具体的方法中,常用的有:观察与实验,联想与类比,比较与分类, 分析与综合,归纳与演绎,一般与特殊,有限与无限,抽象与概括等。 解数学题时,也要注意解题思维策略问题,经常要思考:选择什么角度来进入,应遵循什么原则 性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有:以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、 正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。 3、逐步形成 “以我为主”的学习模式。 数学不是靠老师教会的,而是在老师的引导下,靠自己主动的思维活动去获取的。学习数学 就要积极主动地参与学习过程,养成实事求是的科学态度,独立思考、勇于探索的创新精神;正 确对待学习中的困难和挫折,败不馁,胜不骄,养成积极进取,不屈不挠,耐挫折的优良心理品 质;在学习过程中,要遵循认识规律,善于开动脑筋,积极主动去发现问题,注重新旧知识间的 内在联系,不满足于现成的思路和结论,经常进行一题多解,一题多变,从多侧面、多角度思考 问题,挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”,只看书不做题不行,只埋头做题不总结积 累也不行。对课本知识既要能钻进去,又要能跳出来,结合自身特点,寻找最佳学习方法。 4、针对自己的学习情况,采取一些具体的措施。
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记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。记 录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补 上。 建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、 析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石 出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程 度。 经常对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目 了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题归纳于 同一知识方法。 数学课外书籍与报刊,参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓 展自己的知识面。 复习,强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用 上分类等,使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 在做题后进行一定的“反思”,思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什 么要这样想,是否还有别的想法和解法,本题的分析方法与解法,在解其它问题时,是否也用到 过。 无论是作业还是测验,都应把准确性放在第一位,通法放在第一位,而不是一味地去追求速 度或技巧,这是学好数学的重要问题。 对高中学生来说,学好数学,首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学,积极展开思维的翅膀,主 动地参与教育全过程,充分发挥自己的主观能动性,愉快有效地学数学。 其次要掌握正确的学习方法。锻炼自己学数学的能力,转变学习方式,要改变单纯接受的学 习方式,要学会采用接受学习与探究学习、合作学习、体验学习等多样化的方式进行学习,要在 教师的指导下逐步学会“提出问题—实验探究—开展讨论—形成新知—应用反思”的学习方法。 这样,通过学习方式由单一到多样的转变,我们在学习活动中的自主性、探索性、合作性就能够 得到加强,成为学习的主人。 在新学期要上好每一节课,数学课有知识的发生和形成的概念课,有解题思路探索和规律总 结的习题课,有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来学会数学知识,掌握学
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习数学的方法。 概念课:要重视教学过程,要积极体验知识产生、发展的过程,要把知识的来龙去脉搞清楚,认 识知识发生的过程,理解公式、定理、法则的推导过程,改变死记硬背的方法,这样我们就能从 知识形成、发展过程当中,理解到学会它的乐趣;在解决问题的过程中,体会到成功的喜悦。 习题课:要掌握“听一遍不如看一遍,看一遍不如做一遍,做一遍不如讲一遍,讲一遍不如辩一 辩”的诀窍。除了听老师讲,看老师做以外,要自己多做习题,而且要把自己的体会主动、大胆 地讲给大家听,遇到问题要和同学、老师辩一辩,坚持真理,改正错误。在听课时要注意老师展 示的解题思维过程,要多思考、多探究、多尝试,发现创造性的证法及解法,学会“小题大做” 和“大题小做”的解题方法,即对选择题、填空题一类的客观题要认真对待绝不粗心大意,就像 对待大题目一样,做到下笔如有神;对综合题这样的大题目不妨把“大”拆“小”,以“退”为 “进”,也就是把一个比较复杂的问题,拆成或退为最简单、最原始的问题,把这些小题、简单 问题想通、想透,找出规律,然后再来一个飞跃,进一步升华,就能凑成一个大题,即退中求进 了。如果有了这种分解、综合的能力,加上有扎实的基本功还有什么题目难得倒我们。 复习课:在数学学习过程中,要有一个清醒的复习意识,逐渐养成良好的复习习惯,从而逐步学 会学习。数学复习应是一个反思性学习过程。要反思对所学习的知识、技能有没有达到课程所要 求的程度;要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法,这些数学思想方法是如何运用的,运用过 程中有什么特点;要反思基本问题(包括基本图形、图像等),典型问题有没有真正弄懂弄通了, 平时碰到的问题中有哪些问题可归结为这些基本问题;要反思自己的错误,找出产生错误的原因, 订出改正的措施。 在新学期大家准备一本数学学习“病例卡”, 把平时犯的错误记下来, 找出“病 因”开出“处方”,并且经常拿出来看看、想想错在哪里,为什么会错,怎么改正,通过你的努 力,到高考时你的数学就没有什么“病例”了。并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行, 通过运用,达到深化理解、发展能力的目的,因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数 学习题,做到举一反三、熟练应用,避免以“练”代“复”的题海战术。 最后,要有意识地培养好自己个人的心理素质,全面系统地进行心理训练,要有决心、信心、 恒心,更要有一颗平常心。 四、教学反思:

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第二课时 一. 教学目标:

集合的含义及其表示(一)

l.知识与技能 :(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;(2)知道常用数集 及其专用记号;(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性;(4)会用集合语言表示有关数学对 象;(5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法: (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含 义.(2)让学生归纳整理本节所学知识. 二、教学重点:集合概念、性质; “∈” , “ ?”的使用 教学难点:集合概念的理解 三、课 型:新授课

四. 学法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地完成本节课的教 学目标. 五、教学过程 (一) 、引入课题 军训前学校通知:8 月 25 日 8 点,高一年级在操场集合进行军训动员;试问这个通知的对象 是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二) 对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题) ,即是一 些研究对象的总体。 研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论,它不仅是数学的一个基本分支,在数学中占 据一个极其独特的地位,如果把数学比作一座宏伟大厦,那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。 集合理论创始者是由德国数学家康托尔,他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。 (参看阅教 材中读材料 P17) 。 下面几节课中,我们共同学习有关集合的一些基础知识,为以后数学的学习打下基础。 (二) 、新课教学 “物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。 如:自然数的集合 0,1,2,3,?? 如:2x-1>3,即 x>2 所有大于 2 的实数组成的集合称为这个不等式的解集。 如:几何中,圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
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1、一般地,指定的某些对象的全体称为集合,标记:A,B,C,D,? 集合中的每个对象叫做这个集合的元素,标记:a,b,c,d,? 2、元素与集合的关系:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A , 的元素,就说 a 不属于集合 A, 记作 a?A 记作 a∈A ,a 不是集合 A

思考 1:列举一些集合例子和不能构成集合的例子,对学生的例子予以讨论、点评,进而讲解下 面的问题。 例:判断下列一组对象是否属于一个集合呢?(1)小于 10 的质数(2)著名数学家(3)中国的 直辖市(4)maths 中的字母(5)book 中的字母(6)所有的偶数(7)所有直角三角形(8)满足 3x-2>x+3 的全体实数(9)方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的实数解 评注:判断集合要注意有三点:范围是否确定;元素是否明确;能不能指出它的属性。 3、集合的中元素的三个特性: (1).元素的确定性:对于一个给定的集合,集合中的元素是确定 的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2).元素的互异性:任何一个给定的 集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。比如:book 中的字母构成的集合(3).元素的无序性:集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两 个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 4、数的集简称数集,下面是一些常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 有理数集 Q 正整数集 N*或 N+ 实数集 R 整数集 Z 注:实数的分类 5、集合的分类 原则:集合中所含元素的多少

①有限集 含有限个元素,如 A={-2,3} ②无限集 含无限个元素,如自然数集 N,有理数 ③空 集 不含任何元素,如方程 x +1=0 实数解集。专用标记:Φ (三) 、课堂练习 1、用符合“∈”或“?”填空:课本 P5 练习题 2、判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√” ,错误的填“×”
7
2

(1)所有在 N 中的元素都在 N*中( (2)所有在 N 中的元素都在Z中( (3)所有不在 N*中的数都不在 Z 中( (4)所有不在 Q 中的实数都在 R 中( )



× √ ) × √ ) ×



(5)由既在 R 中又在 N*中的数组成的集合中一定包含数 0( (6)不在 N 中的数不能使方程 4x=8 成立( (四) 、回顾反思 1、集合的概念 2、集合元素的三个特征 ) √

其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为:对于一个给定的集合,它的元素的意义是明确的. “集合中的元素必须是互异的”应理解为:对于给定的集合,它的任何两个元素都是不同的. 3、常见数集的专用符号. (五) 、作业布置 1.下列各组对象能确定一个集合吗?(1)所有很大的实数 (2)好心的人
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(3)1,2,2,3,

4,5.

(3)能

2.设 a,b 是非零实数,那么 【-2,0,2】

a a

?

b b

可能取的值组成集合的元素是

王新敞
奎屯

新疆

3.由实数 x,-x,|x|, x 2 ,?3 x 3 所组成的集合,最多含( (A)2 个元素 (B)3 个元素 (C)4 个元素 (D)5 个元素 4.下列结论不正确的是( A.O∈N B. ) C C.O ? Q ) A B.若 a∈Z,则 a ∈Z D.若 a∈R,则 3 a ? R
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王新敞
奎屯

新疆

A

2 ?Q

D.-1∈Z

5.下列结论中,不正确的是( A.若 a∈N,则-a ? N C.若 a∈Q,则|a|∈Q

6.求数集{1,x,x -x}中的元素 x 应满足的条件。 六、教学反思:

2

x ? 0,1, 2,

1? 5 2

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第三课时

集合的概念及其表示(二)

一、教学目标:掌握表示集合方法;了解空集的概念及其特殊性,渗透抽象、概括思想。 二、教学重点:集合的表示方法 教学难点:正确表示一些简单集合 三、课 型:新课

四、教学手段:讲授 五、教学过程 (一) 、创设情境 复习提问: 集合元素的特征有哪些?怎样理解, 试举例说明, 集合与元素关系是什么?如何用数不 符号表示? 那么给定一个具体的集合, 我们如何表示它呢?这就是今天我们学习的内容—集合的表 示 (板书课题) 我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用 列举法和描述法来表示集合 (二) 、新课讲解 1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法。 例:“中国的直辖市”构成的集合,写成{北京,天津,上海,重庆} 由“maths 中的字母” 构成的集合,写成{m,a,t,h,s} 由“book 中的字母” 构成的集合,写成{b,o,k} 注: (1) 有些集合亦可如下表示:从 51 到 100 的所有整数组成的集合: {51,52,53,?,100}所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,?} (2) a 与{a}不同:a 表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素。 比如: ? 与

??? 不同, ? ∈ ???

(3) 集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的 顺序。 例 1(P4) 2、描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表

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示集合的方法。 格式:{x∈A| P(x)} 含义:在集合 A 中满足条件 P(x)的 x 的集合。 例:不等式 x ?1 ? ?2 的解集可以表示为: {x ? R | x ? 1 ? ?2} 或 {x | x ? ?3, x ? R} “中国的直辖市”构成的集合,写成{ x x 为中国的直辖市}; “maths 中的字母” 构成的集合,写成{ x x 为 maths 中的字母}; “平面直角坐标系中第二象限的点”{(x,y)| x<0 且 y>0} “方程 x +5x-6=0 的实数解”
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{x∈R| x +5x-6=0}={-6,1}

2

注: (1)在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分。如:{直角三角形}; {大于 10 的实数} (2)错误表示法:{实数集};{全体实数} 例 2(P5) 3、图示法: 文氏图(Venn 图):用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
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边界用直线还是曲线, 用实线还是虚线都无关紧要, 只要封闭并把有关元素和子集统统包含 在里边就行,但不能理解成圈内每个点都是集合的元素. 数轴法:{x∈R|3<x<10}、{x∈R|3≤x<10}、{x∈R|3≤x≤10} 可用数轴表示为: 但{x∈N|3<x<10}呢? 连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示 (三) 、例题讲解 例 1 解不等式 2x ? 3 ? 5 ,并把结果用集合表示. 解:由不等式 2x ? 3 ? 5 ,知 x ? 4 所以原不等式解集是 ?x ? R x ? 4? ? ?x x ? 4, x ? R? ? ?x x ? 4? 例 2 求方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解集 解:因为 x 2 ? x ? 1 ? 0 没有实数解, 所以 ?x x2 ? x ? 1 ? 0, x ? R? ? ?

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例 3 用描述法分别表示 (1)抛物线 y=x 上的点. (2)抛物线 y=x 上点的横坐标. (3)抛物线 y=x 上点的纵坐标. (四) 、课堂练习 练习:P5 2、3. (五) 、回顾反思 1.描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x +3x+2}与 {y|y= x +3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略, 例如:{整数},即代表整数集 Z。注意:这里的{ }已包含“所有”的意思, 所以不必写{全体整数}。写法{实数集},{R}是错误的。 2.列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要 注意,一般无限集,不宜采用列举法。 3.本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法,在认识集合时,应从两方面入手: (1)元素是什么? (2)确定集合的表示方法是什么?表示集合时,与采用字母名称无关。 (六) 、作业布置 作业:P6 A 组题:1,2,3,4,5 思考:P6 B 组题 六、教学反思:
2 2 2 2 2

?( x, y) y ? x ? ?x y ? x ? ?y y ? x ?
2 2 2

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第四课时 一. 教学目标: 1.知识与技能

集合的基本关系

(1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。 (3)能使用 venn 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法:让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本关系,体验其现实意义. 3.情感.态度与价值观 :(1)树立数形结合的思想 .(2)体会类比对发现新结论的作用. 二、教学重点:子集与空集的概念;用 Venn 图表达集合间的关系。 教学难点:弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别。 三、课 型:新授课

四.学法与教学用具 1.学法:让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论,发现集合间的基本关系 2.学用具:投影 仪. 五、教学过程 (一) 、引入课题 1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填以下空白: (1)0 N; (2) 2 Q; (3)-1.5 R

2、类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?(宣 布课题) (二) 、新课教学 1、 集合与集合之间的“包含”关系; A={1,2,3},B={1,2,3,4} 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合,我们说集合 B 包含集合 A; 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A B

?

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用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系

B

A

A ? B(或B ? A)
2、集合与集合之间的 “相等”关系;

A ? B且B ? A ,则 A ? B 中的元素是一样的,因此 A ? B
即 练习 3、结论:任何一个集合是它本身的子集 4、真子集的概念 若集合 A ? B ,存在元素 x ? B且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) 。 记作:A B(或 B A)

?A ? B A? B?? ?B ? A

A(B)

A? A

读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A)举例(由学生举例,共同辨析) 5、 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 6、结论: A ? B ,且 B ? C ,则 A ? C (三) 、例题讲解 例 1 化简集合 A={x|x-7≥2},B={x|x ? 5},并表示 A、B 的关系。 例 2 写出集合{0,1,2}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。 结论:集合 A 中元素的个数记为 n,则它的子集的个数为:2
n n n

真子集的个数:2 -1,非空真子集个数:2 -2(在后继学习中会对此结论加以证明) (四) 、课堂练习:P9 练习题 (五) 、归纳小结,强化思想 两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,同 时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法; (六)、作业布置 1、书面作业:习题 1.2 5 个小题 2、提高作业: (1)已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ≥ 2} ,且满足 A ? B ,求实

},B ? {平行四边形 },C ? {矩形} , 数 a 的取值范围。 ( 2 ) 设 集 合 A ? {四边形 D ? {正方形} ,试用 Venn 图表示它们之间的关系。(3)P10 B 组题
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六、教学反思:

第五课时 一. 教学目标:

交集与并集

1. 知识与技能: (1)理解两个集合的并集与交集的含义, 会求两个简单集合的交集与并集.(2) 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用 Venn 图表达集 合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法:学生通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观: (1)进一步树立数形结合的思想.(2)进一步体会类比的作用.(3)感受 集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确. 二、课 型:新授课 三、教学重点:集合的交集与并集的概念; 教学难点:集合的交集与并集 “是什么” , “为什么” , “怎样做” ; 四.学法与教学用具 1.学法:学生借助 Venn 图,通过观察.类比.思考.交流和讨论等,理解集合的基本运算. 2.教学用具:投影仪. 五、教学过程 (一) 、引入课题 我们两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加法运算,类比实数的加法运算,两个集合 是否也可以“相加”呢? 思考(P9 思考题) ,引入并集概念。 (二) 、新课教学 1、并集 一般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集 (Union) 记作:A∪B 读作: “A 并 B” A ? B

即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B} Venn 图表示:

A∪B 说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合(重复
-6-

元素只看成一个元素) 。 例题 1 求集合 A 与 B 的并集 ① ② A={6,8,10,12} B={3,6,9,12} A={x|-1≤x≤2} B={x|0≤x≤3}

(过度) 问题: 在上图中我们除了研究集合 A 与 B 的并集外, 它们的公共部分 (即问号部分) 还应是我们所关心的,我们称其为集合 A 与 B 的交集。 2、交集 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集 (intersection) 。 记作:A∩B 读作: “A 交 B”

即: A∩B={x|∈A,且 x∈B} 交集的 Venn 图表示

说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 例题 2 求集合 A 与 B 的交集 ③ ④ A={6,8,10,12} B={3,6,9,12} A={x|-1≤x≤2} B={x|0≤x≤3}

拓展:求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集(用彩笔图出) A(B) A B A B A B

BA

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集 3、例题讲解 例 3(P12 例 1):理解所给集合的含义,可借助 venn 图分析 例 4 P12 例 2) :先“化简”所给集合,搞清楚各自所含元素后,再进行运算。 4、 集合基本运算的一些结论: A∩B ? A,A∩B ? B,A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A A ? A∪B,B ? A∪B,A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A 若 A∩B=A,则 A ? B,反之也成立
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若 A∪B=B,则 A ? B,反之也成立 若 x∈(A∩B) ,则 x∈A 且 x∈B 若 x∈(A∪B) ,则 x∈A,或 x∈B (三) 、课堂练习(P13 练习) (四) 、归纳小结: 本节主要介绍并集与交集,1、并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组 成的集合,称为集合 A 与 B 的并集(Union)记作:A∪B 读作: “A 并 B” 即: A∪B={x|x

∈A,或 x∈B}。两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素组成的 集合(重复元素只看成一个元素) 。2、交集:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所 组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集(intersection) 。记作:A∩B ,读作: “A 交 B”即: A∩B={x|∈A,且 x∈B}。两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元 素组成的集合。集合基本运算的一些结论要熟记。 (五) 、作业布置: 1、 书面作业:P13 习题 1.1,第 6-12 题 补充: (1)设 A={奇数}、B={偶数},则 A∩Z=A,B∩Z=B,A∩B= ? (2)设 A={奇数}、B={偶数},则 A∪Z=Z,B∪Z=Z,A∪B=Z

(3)集合A ? {n |

n m ?1 ? Z},B ? {m | ? Z},则A ? B ? __________ 2 2

5 (4)集合A ? {x | ?4 ? x ? 2},B ? {x | ?1 ? x ? 3},C ? {x | x ? 0,或x ? } 2 那么A ? B ? C ? __________ _____, A ? B ? C ? __________ ___;
2、提高作业: (1) 已知 X={x|x2+px+q=0,p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},且 【q=40,p=-14】

X ? A ? ?, X ? B ? X ,试求 p、q;
(2)

集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2,0,1},求 p、q

【P=1,q=0】 (3) A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A ? B ={3,7},求 B

【B={0,1,3,7}】 六、教学反思:

-8-

第六课时 一. 教学目标: 1. 知识与技能

全集与补集

(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 学生通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观 (1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用. (3)感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确. 二、教学重点:补集的概念. 教学难点:补集的有关运算. 三、课 型:新授课

四、教学手段:发现式教学法,通过引入实例,进而对实例的分析,发现寻找其一般结果, 归纳其普遍规律. 五、教学过程 (一) 、创设情境 1.复习引入:复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念;两集合的交集,并集. 2.相对某个集合 U,其子集中的元素是 U 中的一部分,那么剩余的元素也应构成一个集合, 这两个集合对于 U 构成了相对的关系,这就验证了“事物都是对立和统一的关系” 。集合中 的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系 .这就是本节课研究的话题 ——全集和 补集。 (二) 、新课讲解 请同学们举出类似的例子
-9-

如:U={全班同学} A={班上男同学}

B={班上女同学}

特征:集合 B 就是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合,可以用文氏图表示。 我们称 B 是 A 对于全集 U 的补集。 1、 全集 如果集合 S 包含我们要研究的各个集合,这时 S 可以看作一个全集。全集通常用字母 U 表示 2、补集(余集) 设 U 是全集,A 是 U 的一个子集(即 A ? U) ,则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫作“A 在 U 中的补集” ,简称集合 A 的补集,记作 ? U A ,即

? UA
U

A

? ? U A ? ?x | x ?U , 且x ? A
说明:补集的概念必须要有全集的限制

补集的 Venn 图表示:

练习: A ? ?1, 2? ,U1 ? ?1, 2,3? ,U 2 ? ?1, 2,3, 4? ,则 痧 4? 。 ?, U A ? ?3, U A ? ?3
1 2

3、基本性质 ① A ? (CU A) ? U , A ? (CU A) ? ? , CU (CU A) ? A ②痧 U U ? ?, U ? ? U

③ CU ( A ? B) ? CU A ? CU B , CU ( A ? B) ? CU A ? CU B 注:借助 venn 图的直观性加以说明 (三) 、例题讲解 例 1(P13 例 3) 例 2(P13 例 4) ①注重借助数轴对集合进行运算②利用结果验证基本性质 (四) 、课堂练习 1.举例,请填充(参考) (1)若 S={2,3,4},A={4,3},则 ? SA=____________. (2)若 S={三角形},B={锐角三角形},则 ? SB=___________. (3)若 S={1,2,4,8},A= ? ,则 ? SA=_______. (4)若 U={1,3,a +2a+1},A={1,3}, ? UA={5},则 a=_______ (5)已知 A={0,2,4}, ? UA={-1,1}, ? UB={-1,0,2},求 B=_______ (6)设全集 U={2,3,m +2m-3},a={|m+1|,2}, ? UA={5},求 m. (7)设全集 U={1,2,3,4},A={x|x -5x+m=0,x∈U},求 ? UA、m. 师生共同完成上述题目,解题的依据是定义
- 10 2 2 2

例(1)解: ? SA={2}

评述:主要是比较 A 及 S 的区别. 评述:注意三角形分类.

例(2)解: ? SB={直角三角形或钝角三角形} 例(3)解: ? SA=3
2

评述:空集的定义运用. 评述:利用集合元素的特征.

例(4)解:a +2a+1=5,a=-1± 5

例(5)解:利用文恩图由 A 及 ? UA 先求 U={-1,0,1,2,4},再求 B={1,4}. 例(6)解:由题 m +2m-3=5 且|m+1|=3 解之 m=-4 或 m=2 例(7)解:将 x=1、2、3、4 代入 x -5x+m=0 中,m=4 或 m=6 当 m=4 时,x -5x+4=0,即 A={1,4} 又当 m=6 时,x -5x+6=0,即 A={2,3} 故满足题条件: ? UA={1,4},m=4; ? UB={2,3},m=6. 评述:此题解决过程中渗透分类讨论思想. 2.P14 练习题 1、2、3、4、5 (四) 、回顾反思 本节主要介绍全集与补集,是在子集概念的基础上讲述补集的概念,并介绍了全集的概 念 1.全集是一个相对的概念,它含有与研究的问题有关的各个集合的全部元素,通常用“U” 表示全集.在研究不同问题时,全集也不一定相同. 2.补集也是一个相对的概念, 若集合 A 是集合 S 的子集, 则 S 中所有不属于 A 的元素组成的 集合称为 S 中子集 A 的补集(余集) ,记作 ?U A ,即 ?U A ={x| x ? S , 且x ? A }. 当 S 不同时, 集合 A 的补集也不同. (五) 、作业布置 1、 2、 P15 习题 4,5 用集合 A,B,C 的交集、并集、补集表示下图有色部分所代表的集合
2 2 2 2

3、思考:p16 B 组题 1,2 六、教学反思:

- 11 -

第七课时 一、课 型:新授课

集合复习课

二、教学目标: (1)掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质; (2)掌握集合的有关 术语和符号; (3)运用性质解决一些简单的问题。 三、教学重点:集合的相关运算。 教学难点:集合知识的综合运用。 四、教学过程: (一) 、复习回顾: 1. 提问:什么叫集合?元素?集合的表示方法有哪些? 2. 提问:什么叫交集?并集?补集?符号语言如何表示?图形语言如何表示? 3. 提问:什么叫子集?真子集?空集?相等集合?有何性质? 4. 交集、并集、补集的有关运算结论有哪些? 5. 集合问题的解决方法:Venn 图示法、数轴分析法。 (二) 、新课探究: (Ⅰ) 集合的基本运算: 例 1:设 U=R,A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求 A∩B、A∪B、C U A 、C U B、 (C U A)∩(C U B)、(C U A)∪(C U B)、C U (A∪B)、C U (A∩B)。 (学生画图→在草稿上写出答案→订正) 分析:用数轴进行分析,注意端点。 A∩B= x 0 ? x ? 5 ; C U A= x x ? ?5或x ? 5 ; (C U A)∩(C U B)= x x ? ?5或x ? 7 ; C U (A∪B)=

?

?

A∪B=

? x ?5 ? x ? 7? ;

?

?

C U B= x x ? 0或x ? 7 ;

?

?

?

?

(C U A)∪(C U B)= x x ? 0或x ? 5 C U (A∩B)=

?

?

? x x ? ?5或x ? 7? ;

?x x ? 0或x ? 5?
- 12 -

反思小结:不等式的交、并、补集的运算,用数轴进行分析,注意端点。 例 2:全集 U={x|x<10,x∈N ? },A ? U,B ? U,且(C U B)∩A={1,9},A∩B={3}, (C U A) ∩(C U B)={4,6,7},求 A、B。 分析: 全集 U={x|x<10,x∈N ? }={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 又由(C U B)∩A={1,9}得 1∈A 且 9∈A, 但 1,9 ? A∩B, 由(C U A)∩(C U B)={4,6,7} 得 4,6,7 ∈ CU ( A ? B) , ∴ A ? B ={1,2,3,5,8,9}, 又 A ∩ B={3} , ∴ A B U

A={1,3,9},B={2,3,5,8}。 反思小结:列举法表示的数集问题用 Venn 图示法、观察法。 (Ⅱ)集合性质的运用: 例 3:A={x|x 2 +4x=0},B={x|x 2 +2(a+1)x+a 2 -1=0}, 若 A∪B=A,求实数 a 的值。 分析:A={x|x 2 +4x=0}={-4,0},若 A∪B=A,则 B ? A, ∴当 B= ? 时,方程 x 2 +2(a+1)x+a 2 -1=0 无实数解, ∴△<0 即 4(a ? 1)2 ? 4(a2 ?1) ? 0 ∴ a ? ?1 当 B ? ? 时,若 B 中只有一个元素时△=0,∴a=-1,这时 B={0}. 若 B 中只有 2 个元素时,由韦达定理得 a=1,故所求实数 a 的值为 a=1,-1, a ? ?1 。 反思小结:注意 B 为空集可能性;一元二次方程已知根时,用代入法、韦达定理,要注意判 别式。 例 4:已知集合 A={x|x>6 或 x<-3},B={x|a<x<a+3},若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围。 分析: -3 o 6 x

∵A∪B=A,∴B ? A,∴a+3≤-3 或 a≥6,则 a≤-6 或 a≥6. 反思小结:不等式表示的集合,用数轴进行分析,注意端点。 (三)巩固练习: 1.已知 A={x|-2<x<-1 或 x>1},A∪B={x|x+2>0},A∩B={x|1<x≦3},求集合 B。 【B= x ?1 ? x ? 3 】 2.P={0,1},M={x|x ? P},则 P 与 M 的关系是 。 【M={ ? , ?0? , ?1? , ?0,1? },P∈M】 50 人

?

?

3.已知 50 名同学参加跳远和铅球两项测验,分别及格人数 为 40、31 人,两项均不及格的为 4 人,

- 13 -

那么两项都及格的为

人。

设两项都及格的为 x 人,则有 40-x+31-x+x=50-4 解得 x=25 4.满足关系{1,2} ? A ? {1,2,3,4,5}的集合 A 共有 答案:7 5.已知集合 A∪B={x|x<8,x∈N},A={1,3,5,6},A∩B={1,5,6}, 则 B 的子集的集合一共有多少个元素? 【A∪B={x|x<8,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7}∴B={0,1,2,4,5,6,7}】 6.已知 A={1,2,a},B={1,a },A∪B={1,2,a},求所有可能的 a 值。a=0, ? 2 .
2

个。

7.设 A={x|x -ax+6=0},B={x|x -x+c=0},A∩B={2},求 A∪B。 【{-1,2,3}】 8.集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2,0,1},求 p、q。 【P=1,q=0】 9. A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A ? B ={3,7},求 B。 【B={0,1,3,7}】 10.已知 A={x|x<-2 或 x>3},B={x|4x+m<0},当 A ? B 时,求实数 m 的取值范围。 【 m ? 8或m ? ?12 】 (四) 、归纳小结: 本节课是集合问题的复习课,系统地归纳了集合的有关概念,表示方法及其有关运算,并进 一步巩固了 Venn 图法和数轴分析法。 (五) 、作业布置: 1. 2. 课本 P14 习题 1.1 B 组题; 阅读 P14~15 材料。

2

2

五、课后反思:

第四章 法门高中

函数的应用 姚连省

第一课时§4.1.1 方程的根与函数的零点 一、教学目标

- 14 -

1、知识与技能:①理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的 关系,掌握零点存在的判定条件.②培养学生的观察能力.③培养学生的抽象概括能力. 2、过程与方法:①通过观察二次函数图象,并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点, 找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法.②让学生归纳整理本节所学知识. 3、情感、态度与价值观:在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 二、教学重点、难点 重点 零点的概念及存在性的判定. 三、学法与教法 1、学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,从 而完成本节课的教学目标。2、教法:探究交流,讲练结合。 四、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 1、提出问题:一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象 有什么关系?2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象: (用投影仪给出)①方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2x ? 3
2
2 2

难点 零点的确定.

2 ② 方 程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与 函 数 y ? x ? 2x ? 1 , ③ 方 程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与 函 数
2 2

y ? x 2 ? 2x ? 3

师:引导学生解方程,画函数图象,分析方程的根与图象和 x 轴交点坐标的关系,引出零点 的概念. 生:独立思考完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流. 师:上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样? (二)互动交流 研讨新知 函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函 数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点.

- 15 -

函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f ( x) 的图 象与 x 轴交点的横坐标. 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零 点. 函数零点的求法:求函数 y ? f ( x) 的零点:①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并 利用函数的性质找出零点. 1.师:引导学生仔细体会左边的这段文字,感悟其中的思想方法. 生:认真理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索其求法:①代数法; ②几何法. 2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结概括形成结论. 二次函数的零点:二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,
2

二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次
2

函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程

ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.
3.零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图象:
2

① 在区间 [?2,1] 上有零点______; f (?2) ? _______,f (1) ? _______, f (?2) ·f (1) _____0 (<或>=) .② 在区间 [2,4] 上有零点______; f ( 2) · f ( 4) ____0(<或>=) . (Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

① 在区间 [ a, b] 上______(有/无)零点; f ( a ) · f (b) _____0(<或>=) . ② 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点; f (b) · f (c) _____0(<或>=) .
- 16 -

③ 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; f (c) · f ( d ) _____0(<或>=) . 由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给定区间上是否存在零点? 生:分析函数,按提示探索,完成解答,并认真思考. 师:引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否 存在之间的关系. 生:结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析. 师:引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用. (三) 、巩固深化,发展思维 1.学生在教师指导下完成下列例题 例 1、求函数 f(x)=㏑ x+2x -6 的零点个数。 问题: (1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数?(2)判断函数的单调性,由单调性 你能得该函数的单调性具有什么特性? 例 2.求函数 y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ,并画出它的大致图象. 师:引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象,结 合图象对函数有一个零点形成直观的认识. 生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后利用函数单 调性判断零点的个数. 2.P97 页练习第二题的(1) 、 (2)小题 (四) 、归纳整理,整体认识:1、请学生回顾本节课所学知识内容有哪些,所涉及到的 主要数学思想又有哪些;2、在本节课的学习过程中,还有哪些不太明白的地方,请向老师 提出。 (五) 、布置作业: P102 页练习第二题的(3) 、 (4)小题。 五、教后反思:

第二课时§4.1.2 用二分法求方程的近似解 一、教学目标
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1、知识与技能:(1)解二分法求解方程的近似解的思想方法,会用二分法求解具体方程的 近似解; (2)体会程序化解决问题的思想,为算法的学习作准备。 2、过程与方法: (1)让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想; (2)让学生归纳 整理本节所学的知识。 3、情感、态度与价值观:①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在, 使学生更加热爱数学;②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。 二、 教学重点、难点 重点:用二分法求解函数 f(x)的零点近似值的步骤。 难点:为何由︱a - b ︳< 三、 学法与教法 1、想-想。2、教法:探究交流,讲练结合。 四、教学过程 (一) 、创设情景,揭示课题 提出问题: (1) 一元二次方程可以用公式求根, 但是没有公式可以用来求解放程 ㏑ x+2x-6=0 的根; 联系函数的零点与相应方程根的关系,能否利用函数的有关知识来求她的根呢? (2)通过前面一节课的学习,函数 f(x)=㏑ x+2x-6 在区间内有零点;进一步的问题是, 如何找到这个零点呢? (二) 、研讨新知 一个直观的想法是: 如果能够将零点所在的范围尽量的缩小, 那么在一定的精确度的要 求下,我们可以得到零点的近似值;为了方便,我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所 在的范围。 取区间(2,3)的中点 2.5,用计算器算得 f(2.5)≈-0.084,因为 f(2.5)*f(3)<0,所 以零点在区间(2.5,3)内; 再取区间(2.5,3)的中点 2.75,用计算器算得 f(2.75)≈0.512,因为 f(2.75)*f(2.5) <0,所以零点在(2.5,2.75)内; 由于(2,3) , (2.5,3) , (2.5,2.75)越来越小,所以零点所在范围确实越来越小了; 重复上述步骤,那么零点所在范围会越来越小,这样在有限次重复相同的步骤后,在一定的 精确度下, 将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值, 特别地可以将区间的 端点作为零点的近似值。例如,当精确度为 0.01 时,由于∣ 2.5390625 - 2.53125 ∣
- 18 -

? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)?

=0.0078125<0.01,所以我们可以将 x=2.54 作为函数 f(x)=㏑ x+2x-6 零点的近似值,也 就是方程㏑ x+2x-6=0 近似值。 这种求零点近似值的方法叫做二分法。 1.师:引导学生仔细体会上边的这段文字,结合课本上的相关部分,感悟其中的思想方法. 生:认真理解二分法的函数思想,并根据课本上二分法的一般步骤,探索其求法。 2.为什么由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)? 先由学生思考几分钟,然后作如下说明: 设函数零点为 x0,则 a<x0<b,则:0<x0-a<b-a,a-b<x0-b<0; 由于︱a - b ︳< ? ,所以︱x0 - a ︳<b-a< ? ,︱x0 - b ︳<∣ a-b∣< ? , 即 a 或 b 作为零点 x0 的近似值都达到了给定的精确度 ? 。 (三) 、巩固深化,发展思维 1、学生在老师引导启发下完成下面的例题 例 2.借助计算器用二分法求方程 2 +3x=7 的近似解(精确到 0.01) 问题:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的? 师: 引导学生在方程右边的常数移到左边, 把左边的式子令为 f(x),则原方程的解就是 f (x) 的零点。 生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后利用二分法 求解. (四) 、归纳整理,整体认识 在师生的互动中,让学生了解或体会下列问题: 1、本节我们学过哪些知识内容?2、你认为学习“二分法”有什么意义?3、在本节课的学 习过程中,还有哪些不明白的地方? (五) 、布置作业: P102 习题 3.1A 组第四题,第五题。 五、教后反思:
x

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第三课时§4.2.1 函数模型的应用实例(Ⅰ) 一、 教学目标: 1. 知识与技能:能够找出简单实际问题中的函数关系式,初步体会应用一次函数、二 次函数模型解决实际问题. 2.过程与方法:感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会一次函数、二次函数 模型在数学和其他学科中的重要性. 3.情感、态度、价值观:体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题 的实用价值. 二、 教学重点与难点: 1.教学重点:运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题. 2. 教学难点:将实际问题转变为数学模型. 三、 学法与教法 1. 学法:学生自主阅读教材,采用尝试、讨论方式进行探究. 2. 教法:自主阅读、尝试、讨论法。 四、 教学过程 (一)创设情景,揭示课题 引例: 大约在一千五百年前, 大数学家孙子在 《孙子算经》 中记载了这样的一道题: “今 有雏兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?”这四句的意思就是:有若干 只有几只鸡和兔?你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗?你有什么更好的方 法?老师介绍孙子的大胆解法: 他假设砍去每只鸡和兔一半的脚, 则每只鸡和兔就变成了 “独 脚鸡”和“双脚兔”. 这样, “独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差,就是 兔子数,即:47-35=12;鸡数就是:35-12=23. 比例激发学生学习兴趣,增强其求知欲望. 可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题. (二)结合实例,探求新知 例 1. 某列火车众北京西站开往石家庄,全程 277km,火车出发 10min 开出 13km 后, 以 120km/h 匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系式, 并求 火车离开北京 2h 内行驶的路程. 探索:
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1)本例所涉及的变量有哪些?它们的取值范围怎样; 2)所涉及的变量的关系如何? 3)写出本例的解答过程. 老师提示:路程 S 和自变量 t 的取值范围(即函数的定义域) ,注意 t 的实际意义. 学生独立思考,完成解答,并相互讨论、交流、评析. 例 2.某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价 20 元,茶杯每只定价 5 元,该商店制定 了两种优惠办法: 1)本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述? 2)本例涉及到几个函数模型? 3)如何理解“更省钱?” ; 4)写出具体的解答过程. 在学生自主思考,相互讨论完成本例题解答之后,老师小结:通过以上两例,数学模 型是用数学语言模拟现实的一种模型,它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出 来,并用数学语言来表达,这一过程称为建模,是解应用题的关键。数学模型可采用各种形 式,如方程(组) ,函数解析式,图形与网络等 . 课堂练习 1 某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租为 20 元,每天都客满. 公司 欲提高档次,并提高租金,如果每间客房日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间. 若不考 虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高? 引导学生探索过程如下: 1)本例涉及到哪些数量关系? 2)应如何选取变量,其取值范围又如何? 3)应当选取何种函数模型来描述变量的关系? 4) “总收入最高”的数学含义如何理解? 根据老师的引导启发,学生自主,建立恰当的函数模型,进行解答,然后交流、进行评析. [略解:] 设客房日租金每间提高 2 x 元, 则每天客房出租数为 300-10 x , 由 x >0, 且 300-10 x >0 得:0< x <30 设客房租金总上收入 y 元,则有:

y =(20+2 x )(300-10 x )
=-20( x -10) + 8000(0< x <30)
2

- 21 -

由二次函数性质可知当 x =10 时, ymax =8000. 所以当每间客房日租金提高到 20+10×2=40 元时,客户租金总收入最高,为每天 8000 元. 课堂练习 2 要建一个容积为 8m ,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价 每平方米分别为 120 元和 80 元,试求应当怎样设计,才能使水池总造价最低?并求此最低 造价. (三)归纳整理,发展思维. 引导学生共同小结,归纳一般的应用题的求解方法步骤: 1) 合理迭取变量,建立实际问题中的变量之间的函数关系,从而将实际问题转化为 函数模型问题: 2)运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答; 3)将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解; 4)在将实际问题向数学问题的转化过程中,能画图的要画图,可借助于图形的直观 性,研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时,注意实际问题对变量范围的限制. (四)布置作业:教材 P120 习题 3.2(A 组)第 3 、4 题: 五、教后反思:
3

- 22 -

第四课时 4 .2 .2 函数模型的应用实例(Ⅱ) 一、 教学目标 1. 知识与技能:能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题. 2. 过程与方法:进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法,对给定的函数 模型进行简单的分析评价. 二、 教学重点 重点 利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 难点 将实际问题转化为数学模型,并对给定的函数模型进行简单的分析评价. 三、 学法与教法 1. 学法:自主学习和尝试,互动式讨论. 2. 教法:尝试、讨论法 四、 教学过程 (一)创设情景,揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的,但需我们利用问题中的数据及 其蕴含的关系来建立. 对于已给定数学模型的问题, 我们要对所确定的数学模型进行分析评 价,验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. (二)实例尝试,探求新知 例 1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. 1)写出速度 v 关于时间 t 的函数解析式; 2)写出汽车行驶路程 y 关于时间 t 的函数关系式,并作图象; 3)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; 4)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立汽车行驶这 段路程时汽车里程表读数 s 与时间 t 的函数解析式,并作出相应的图象. 本例所涉及的数学模型是确定的,需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模 型,此例分段函数模型刻画实际问题. 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题,把握函数模型的特征. 注意培养学生的读图能力,让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式. 例 2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有效控 制人口增长提供依据. 早在 1798,英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模
- 23 -

型:

y ? y0ert
其中 t 表示经过的时间, y0 表示 t ? 0 时的人口数, r 表示人口的年均增长率. 下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料: (单位:万人) 年份 人数 年份 人数 1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001) , 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型, 并检验所得模型与实际 人口数据是否相符; 2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口将达到 13 亿? 探索以下问题: 1)本例中所涉及的数量有哪些? 2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种模型需要几个因素? 3)根据表中数据如何确定函数模型? 4)对于所确定的函数模型怎样进行检验,根据检验结果对函数模型又应做出如何评 价? 如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数,用的是何种计算方法? 本例的题型是利用给定的指数函数模型 y ? y0ert 解决实际问题的一类问题,引导学生认识 到确定具体函数模型的关键是确定两个参数 y0 与 t . 完成数学模型的确定之后,因为计算较繁,可以借助计算器. 在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时, 可引导学生利用计算器或计算机作出 所确定函数的图象, 并由表中数据作出散点图, 通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合 程度,并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式. 引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测,实质上是通过求一个对数值 来确定 t 的近似值. 课堂练习:某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 1 万件,1.2 万件, 1950 55196 1955 1951 56300 1956 1952 57482 1957 1953 58796 1958 1954 60266 1959

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1.3 万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产 品的月产量 t 与月份的 x 关系,模拟函数可以选用二次函数或函数

y ? abx ? c(其中a, b, c为常数) .已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上哪个
函数作为模拟函数较好,并说明理由. 探索以下问题: 1)本例给出两种函数模型,如何根据已知数据确定它们? 2)如何对所确定的函数模型进行评价? 本例是不同函数的比较问题,要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型. 引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是 4 月份产量的吻合程度,这也是对函数模 评价的依据. 本例渗透了数学思想方法,要培养学生有意识地运用. (三). 归纳小结,发展思维. 利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法; 1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系; 2)利用待定系数法,确定具体函数模型; 3)对所确定的函数模型进行适当的评价; 4)根据实际问题对模型进行适当的修正. 从以上各例体会到:根据收集到的数据,作出散点图,然后通过观察图象,判断问题 适用的函数模型, 借助计算器或计算机数据处理功能, 利用待定系数法得出具体的函数解析 式,再利用得到的函数模型解决相应的问题,这是函数应用的一个基本过程. 图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式. 在实际应用时,经常需要将 函数对应关系的一种形式向另一种转化. (四)布置作业:教材 P120 习题 32(A 组)第 6~9 题. 五、教后反思:

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第五课时§4.2.3 函数模型的应用实例(Ⅲ) 一、教学目标 1、知识与技能:能够收集图表数据信息,建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法:体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法,体会函数拟合的思 想方法。 3、情感、态度、价值观:深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应 用及其重要价值。 二、教学重点、难点:重点:收集图表数据信息、拟合数据,建立函数模解决实际问题。 难点:对数据信息进行拟合,建立起函数模型,并进行模型修正。 三、学法与教法:1、学法:学生自查阅读教材,尝试实践,合作交流,共同探索。2、教法: 探究交流,讲练结合。 四、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 2003 年 5 月 8 日,西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略 数学模型”研究项目,马知恩教授率领一批专家昼夜攻关,于 5 月 19 日初步完成了第一批 成果,并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数,并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算 仿真,结果指出,将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说,就全国而论,菲非 典病人延迟隔离 1 天,就医人数将增加 1000 人左右,推迟两天约增加工能力 100 人左右; 若外界输入 1000 人中包含一个病人和一个潜伏病人,将增加患病人数 100 人左右;若 4 月 21 日以后,政府示采取隔离措施,则高峰期病人人数将达 60 万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据,建立了非典流行趋势预测 动力学模型和优化控制模型,并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程,实际上就是对收集来的数据信息进行拟合,从而找到近似 度比较高的拟合函数。 (二)尝试实践 探求新知
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例 1.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 (身高:cm;体重:kg) 身高 体重 身高 体重 60 6.13 120 20.92 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15.02 160 47.25 110 17.50 170 55.05

1) 根据表中提供的数据,建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未 成年男性体重与身高 ykg 与身高 xcm 的函数模型的解析式。 2)若体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么这个地 区一名身高为 175cm ,体重为 78kg 的在校男生的体重是事正常? 探索以下问题: 1)借助计算器或计算机,根据统计数据,画出它们相应的散点图; 2)观察所作散点图,你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近? 3) 你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重 ykg 与身高 xcm 的函数关系比 较合适? 4)确定函数模型,并对所确定模型进行适当的检验和评价. 5)怎样修正所确定的函数模型,使其拟合程度更好? 本例给出了通过测量得到的统计数据表,要想由这些数据直接发现函数模型是困难的, 要引导学生借助计算器或计算机画图,帮助判断. 根据散点图,利用待定系数法确定几种可能的函数模型,然后进行优劣比较,选定拟 合度较好的函数模型.在此基础上, 引导学生对模型进行适当修正, 并做出一定的预测. 此外, 注意引导学生体会本例所用的数学思想方法. 例 2. 将沸腾的水倒入一个杯中,然后测得不同时刻温度的数据如下表: 时间(S) 温度(℃) 时间(S) 温度(℃) 60 86.86 360 53.03 120 81.37 420 52.20 180 76.44 480 49.97 240 66.11 540 45.96 300 61.32 600 42.36

1)描点画出水温随时间变化的图象; 2)建立一个能基本反映该变化过程的水温 y (℃)关于时间 x( s) 的函数模型,并作出其图
- 27 -

象,观察它与描点画出的图象的吻合程度如何. 3) 水杯所在的室内温度为 18℃, 根据所得的模型分析, 至少经过几分钟水温才会降到室温? 再经过几分钟会降到 10℃?对此结果,你如何评价? 本例意图是引导学生进一步体会,利用拟合函数解决实际问题的思想方法,可依照例 1 的过程,自主完成或合作交流讨论. 课堂练习:某地新建一个服装厂,从今年 7 月份开始投产,并且前 4 个月的产量分别 为 1 万件、1 .2 万件、1.3 万件、1.37 万件. 由于产品质量好,服装款式新颖,因此前几个月 的产品销售情况良好. 为了在推销产品时,接收定单不至于过多或过少,需要估测以后几个 月的产量,你能解决这一问题吗? 探索过程如下:1)首先建立直角坐标系,画出散点图;2)根据散点图设想比较接近 的可能的函数模型: 一次函数模型: f ( x) ? kx ? b(k ? 0); 二次函数模型: g ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0); 幂函数模型: h( x) ? ax ? b(a ? 0); 指数函数模型: l ( x) ? ab x ? c ( a ? 0, b >0, b ? 1 ) 利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型;由 于尝试的过程计算量较多,可同桌两个同学分工合作,最后再一起讨论确定. (三)归纳小结,巩固提高. 通过以上三题的练习,师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法,指 出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型, 是解决实际问题的重要思想方法. 利用函 数思想解决实际问题的基本过程如下:
收 集 数 据 画 散 点 图 选 择 函 数 模 型 求 函 数 模 型 用 函 数 模 型 解 决 实 际 问 题 在 于
1 2

检 验

符合

实际

不符合实际 (四)布置作业:教材 P120 习题 32(B 组)第 2、3 题: 五、教后反思:

- 28 -

第六课时 函数的应用小结 一、教学目标:1、理解方程的根与函数零点的关系,会用二分法函数求函数零点。2、巩固 常见函数模型的应用。3、通过本章学习逐步认识数学,学会用数学方法认识世界、改造世 界。4、复习巩固函数的应用,进一步深化利用函数思想解决实际问题的方法。 二、重难点:重点:利用二分法求方程的近似解。 难点:应用数学模型解决实际问题。 三、教学方法:讲练结合,探析归纳。 四、教学过程 (一) 、本章知识结构:

(二) 、回顾与思考,知识梳理 1、函数与方程的紧密联系,体现在函数 y=f(x) 的零点与相应方程 f(x)=0 的实数根的联 系上。 你能说说二次函数的零点与一元二次方程的根的联系吗?另外, 如果函数图像在区间 [a , b] 上是连续不断的,那么在什么条件下,函数在 (a , b) 内有零点? 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与

x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零

点.要尽量结合函数图像进行,体会数形结合的思想。 2、二分法求方程近似解的常用方法。你能说说用二分法求方程近似解的一般步骤吗? 二分法及步骤:对于在区间 [a ,b] 上连续不断,且满足 f ( a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) , 通过不断地把函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法.

- 29 -

给定精度 ? ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如下: (1) .确定区间 [a , b] ,验 证 f ( a ) · f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; (2) .求区间 (a , b) 的中点 x1 ; (3) .计算 f ( x1 ) :① 若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点;②若 f ( a ) · f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 ;③若 f ( x1 ) · f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; (4) .判断是 x0 ? (a, x1 ) ) 否达到精度 ? ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零点近似值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2~4. 3、不同函数模型能刻画现实世界不同的变化规律。例如,指数函数、对数函数以及幂函数 就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型。 你能说说这三种函数模型的增长差异 吗?你能举例说明直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义吗? 在区间 (0 , +?) 上,尽管函数 y ? a (a ? 1) 、 y ? loga x (a ? 0) 和 y ? x (n ? 0) 都
x n

是增函数, 但它们的增长速度不同而且不在同一个 “档次” 上。 随着 x 的增大,y ? a x (a ? 1) 的 增 长 速 度 越 来 越 快 , 会 超 过 并 远 远 大 于 y ? xn (n ? 0) 的 增 长 速 度 , 而

y ? loga x (a ? 0) 的增长速度则会越来越慢。因此,总会存在一个 x0 ,当 x ? x0 时,应有
loga x ? xn ? a x 。

4、函数模型的应用,一方面是利用已知函数模型解决问题;一方面是建立恰当的函数模型, 并利用所得函数模型解释有关现象, 对某些发展趋势进行预测。 你能结合实例说明应用函数 模型解决问题的基本过程吗? 收集数据 画散点图

不 符 合 实 际

选择函数模型 求函数模型 检验
- 30 -

用函数模型解释实际问题

5、用函数模型解决问题的过程中,往往涉及复杂的数据处理。在处理复杂数据的过程中, 需要大量使用信息技术。因此在函数应用的学习中要注意充分发挥信息技术的作用。 (三) 、例题讲析: 1、函数、方程的有关问题 由于函数的零点、方程的根、函数的图象与 x 轴的交点之间有着本质的联系,函数问题可转 化为方程问题,方程的问题可转化为函数问题。 例 1、已知函数 f ( x) ? x ?
?1

1 2 x ? 2 ,试利用函数的图象判断 f ( x) 有几个零点,并利用判 2

断区间内是否有零点的方法确定各零点所在的范围(各区间长度不超过 1) 。 (学生先思考、讨论,再回答。教师根据实际,可以提示引导:把一个不易作出的函数图象 转化为两个容易作出的函数图象。 ) 解析:由 f ( x ) =0 ,得 x
?1

1 1 ? ? x 2 ? 2 ,令 y1 ? x ?1 , y2 ? ? x 2 ? 2 ,其中抛物线定点为 2 2

(0,2) ,与 x 轴交于点(-2,0) , (2,0) 。作出两个函数的图像可得有 3 个交点,从而 f ( x ) 有 3 个零点。 由 f ( x ) 知 x≠0, f ( x ) 图象在 (??,0),(0, ??) 上分别是连续曲线。

13 1 1 1 1 1 ? 0, f (?2) ? ? ? 0, f ( ) ? ? 0, f (1) ? ? ? 0, f (2) ? ? 0 即 6 2 2 8 2 2 1 f (?3)?f (?2) ? 0, f ( )?f (1) ? 0, f (1)?f (2) ? 0 ,所以,3 个零点分别在区间(-3,-2) , 2 1 ( ,1) , (1,2)内。 2
且 f (?3) ? 2、数学建模思想 例 2、某商店如果将进价为 8 元的商品按每件 10 元售出,每天可销售 200 件,现在提高售 价以赚取更多利润.已知每涨价 0.5 元,该商店的销售量会减少 10 件,问将售价定为多少 时,才能使每天的利润最多?最大利润为多少? 解:设每件售价定为 x 元,则比原价提高了(10-x)元,于是销售件数减少了 =20×(x-10)件.即每天销售价数为 200-20(x-10)=400-20x 件. ∴每天所获利润为:y=(400-20x) (x-8)=-20x +560x-3200=-20(x-14) +720
- 31 2 2

x ? 10 ×10 0 .5

故当 x=14 时,有 ymax=720.答:售价定为每件 14 元时,可获最大利润,其最大利润为 720 元. 例 3、某工厂今年一月、二月、三月生产某种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件.为 了估计以后每个月的产量, 以这三个月的产品数量为依据, 用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份数 x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 y=a·b +c(其中 a、b、c 为常 数) .已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好?请 说明理由. 解:设 y1=f(x)=px +qx+r(p≠0)则
2 x

? p ? q ? r ? 1, ? p ? ?0.05 ? ? 2 ? 4 p ? 2q ? r ? 1.2,解得?q ? 0.35 ∴f(x)=-0.05x +0.35x+0.7 ? 9 p ? 3q ? r ? 1.3. ? r ? 0.7 ? ?
?ab ? c ? 1, ? f(4)=-0.05×4 +0.35×4+0.7=1.3 再设 y2=g(x)=ab +c,则 ?ab2 ? c ? 1.2, ?ab3 ? c ? 1.3. ?
2 x

? a ? ? 0 .8 ? x 4 解得 ?b ? 0.5 ∴g(x)=-0.8×0.5 +1.4,g(4)=-0.8×0.5 +1.4=1.35∵1.35 与 ?c ? 1.4 ?
1.37 较接近.∴用 y=-0.8×0.5 +1.4 作模拟函数较好. 例 4、某公司生产一种电子仪器的固定成本为 2 万元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,
x

1 2 ? ?400x ? x (0 ? x ? 400) 已知总收益满足函数 R(x)= ? ,其中 x 是仪器的月产量. (1)将 2 ? (x ? 400) ?80000
利润表示为当月产量的函数 f(x) ; (2)求每月生产多少台仪器时,公司所获利润最大?最 大利润为多少元?(总收益=总成本+利润) 解 :( 1 ) 设 月 产 量 为 x 台 , 则 总 成 本 为 20000 + 100x, 从 而 f ( x ) =

? 1 2 ?? x ? 300x ? 20000 ? 2 ? ?60000? 100x
-20000=-

(0 ? x ? 400) ( x ? 400)

(2)当 0≤x≤400 时,f(x)=-

1 2 x +300x 2

1 2 (x-300) +25000∴当 x=300 时, [f(x) ]max=25000,当 x>400 时,f(x) 2

为减函数.∴f(x)<60000-100×400<25000∴当 x=300 时, [f(x) ]max=25000,答:每 月生产 300 台仪器时,利润最大,最大利润为 25000 元.

- 32 -

(四) 、课堂小结:1、复习巩固;2、规律总结;3、思想升华。 (五) 、作业布置: 复习题四 A 组:1、2 五、教学反思: B 组:1 C 组:1

- 33 -



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