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湖北省武汉市第十二中学等部分重点中学2014-2015学年度下学期高一期末测试数学试卷


武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期高一期末测试

数学试卷
命题学校:武汉第十二中学 余智敏 审题人:陈贤才
一、 选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. 不等式 3x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集是(
2

) C. ? ??, ? ? ? ?1, ?? ?

A. ? ? ,1?

? 1 ? ? 3 ?

B. ?1, ?? ?

? ?

1? 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

1? 3?

2.如右下图是一几何体的直观图、主视图和俯视图,则该几何体的侧视图是

侧视图 A 3.已知 a ? 0, b ? 0 ,则 6 ab ? A. 10 B. 12 2

侧视图 B )

侧视图 C

侧视图 D

3 3 ? 的最小值是( a b
C.12 D.20

4.长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? AA 1 ? 2, AD ? 1,则异面直线 BC1与AC 所成角的余 弦值为( A. ) B.

10 10
2 3

1 5

C.

10 5
3

D.

1 2
) ④a ? b
2

5.如果 a ? 0 ? b 且 a ? b ? 0 ,那么以下不等式正确的个数是( ①a b ?b A.1 ② B.2

1 1 ?0? a b
C.3

③ a ? ab D.4

2

2

6. ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,则 cos C 的最小值为(



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A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

7. 在正项等比数列 ?an ? 中 3a1 , A.3 或-1 B.9 或 1

1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 2016 2017 等于 2 a2014 ? a2015
C.1 D.9

8. 在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 1, B ?

?
6

,则 ?ABC 的面积等于(



A.

3 2

B.

3 3 或 2 4

C.

3 4

D.

3 或 3 2

9. 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? ( A. ? )

1 7 ,对于任意的 n ? N * , an ?1 ? an (1 ? an ) ,则 a999 ? a 888 = 7 2
C. ?

2 7

B.

2 7

3 7

D.

3 7

10.在函数 y ? f ( x) 的图象上有点列 ( xn , yn ) ,若数列 ?xn ? 是等差数列,数列 ? yn ? 是等比数 列,则函数 y ? f ( x) 的解析式可能为( A . f ( x) ? 2 x ? 1 B . f ( x) ? 4 x
2

) C. f ( x) ? log3 x D. f ( x ) ? ( ) l A

3 4

x

11.如图, 直线 l ? 平面 ? , 垂足为 O, 已知边长为 2 2 的等边三角形 ABC 在空间做符合以下条件的自由运动:① A ? l ,② C ? ? ,则 B,O 两点 间的最大距离为( ) A. 6 ? 2 C. 6 ? 2 B. 2 6 ? 2 了 D. 2 6 ? 2

B

?

O

C

12. 一艘轮船从海面上从 A 点出发,以 40nmile/h 的速度沿着北偏东 30° 的方向航行,在 A 点正西方有一点 B,AB=10nmile,该船 1 小时后到达 C 点并立刻转为南偏 东 60°的方向航行, 3 小时后到达 D 点,整个航行过程中存在不同的三点到 B 点的距离构 成等比数列,则以下不可能成为该数列的公比的数是( A. )

3 4

B. 2

C. 6

D. 10

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a2 ? a14 ? a15 ? 24 ,则 a8 =___________.. 14. ?ABC 中, 角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c , 若 a2 ? b2 ? 3bc,sin C ? 2 3sin B , 则 A=___________. 15.若 a ? 2, a ? 3, a ? 4 是钝角三角形的三边长,则 a 的取值范围是___________.

(高一) 《数学》试卷

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16. 设 l,m,n 为三条不同的直线,α 、β 为两个不同的平面,给出下列四个判断: ①若 l⊥α ,m⊥l,m⊥β ,则α ⊥β ; ②若 m?β ,n 是 l 在β 内的射影,n⊥m,则 m⊥l; ③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ④若球的表面积扩大为原来的 16 倍,则球的体积扩大为原来的 32 倍; 其中正确的为___________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。 17 (本题满分 10 分) 已知 a ? 0 ,解关于 x 的不等式 ax2 ? (a ? 2) x ? 2 ? 0 。

18. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ?1 .在△ABC 中,角 A, B,C 所对的边是 a,b,c,满足 f(A)=1 (I)求角 A 的值; (Ⅱ)若 sinB=3sinC,△ABC 面积为 .求 a 边的长。

19. (本题满分 12 分)在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB∥DE,AB⊥AD,△ ACD 是 正三角形,AD=DE=2AB=2, BC ? 5 ,F 是 CD 的中点。 (Ⅰ)求证 AF∥平面 BCE; (Ⅱ)求多面体 ABCDE 的体积.

(高一) 《数学》试卷

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20.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,首项 a1 ? 1 ,且对于任意 n ? N? , 都有 nan?1 ? 2Sn (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

5 1 ,且数列的前 n 项之和为 Tn ,求证: Tn ? 12 an ?1an ?3

21.(本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是梯形, PA⊥底面 ABCD, 其中 BA⊥AD,AD∥BC, AC 与 BD 交于点 O,M 是 AB 边上的点,且 BM ? 知 PA=AD=4,AB=3,BC=2. (Ⅰ)求平面 PAD 与平面 PMC 所成锐二面角的正切值; (Ⅱ)已知 N 是 PM 上一点,且 ON∥平面 PCD,求

1 BA ,已 3

PM 的值. PN

22 .(本小题满分 12 分)已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 4(a3 ? a4 ) ,数列 ?bn ? 满足

bn ? 3 ? 2log2 an 。
(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ; bn

2 (Ⅲ)若 ? ? 0 ,求对所有的正整数 n 都有 2? ? k? ? 2 ? a2nbn 成立的 k 的范围。

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武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期高一期末测试

数学试卷答案
一、 选择题
ABCB CCDB DDCD

二、 填空题
13. 6 14.

? 6

15. (?1,1)

16. ①②

三、解答题
17 解:原式可化为: (ax ? 2)( x ? 1) ? 0 方程 (ax ? 2)( x ? 1) ? 0 的两根为: x1 ? 当 a<-2 时,∵1> ...............1 分

?2 , x2 ? 1 ..............3 分 a
或 x>1}.

,∴其解集为{x| x<

当 a=-2 时,∵

=1,且原不等式可化为 ( x ? 1)2 ? 0 ,其解集为 x ? 1 >1,∴其解集为{x|x<1 或 x> 或 x>1} } ..............9 分

当-2<a<0 时,∵

综上所述:当 a<-2 时,{x| x< 当 a=-2 时, x x ? 1

?

?
} .............. 10 分 sin2x+ cos2x)=2sin(2x+ ).............. 3 分

当-2<a<0 时,{x|x<1 或 x> 18 解: (I)f(x)=

sin2x+cos2x=2(

由 f(A)=1,得到 2sin(2A+ )=1, 即 sin(2A+ )= , ∵A 为三角形的内角, ∴2A+ = ,即 A= .............. 6 分

(Ⅱ)利用正弦定理化简 sinB=3sinC 得:b=3c, ∵S△ABC= bcsinA= 即 ×3c2= ,
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解得:c=1, ∴b=3, 由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=9+1-3=7, 则 a= ..............12 分 19(Ⅰ)证明:取 CE 中点 P,连接 FP、BP, ∵F 为 CD 的中点,∴FP∥DE,且 FP= 又 AB∥DE,且 AB= ∴AB∥FP,且 AB=FP, ∴ABPF 为平行四边形, ∴AF∥BP. 又∵AF?平面 BCE,BP?平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE. (II)解:∵直角梯形 ABED 的面积为 ∴四棱锥 C﹣ABDE 的体积为 = =3,C 到平面 ABDE 的距离为 .即多面体 ABCDE 的体积为 . , .

20 解: (Ⅰ)解法一:由 nan+1=2Sn① 得当 n≥2 时, (n﹣1)an=2Sn﹣1②, 由①﹣②可得,nan+1﹣(n﹣1)an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an, 所以 nan+1=(n+1)an, 即当 n≥2 时, ,

所以



将上面各式两边分别相乘得,





(n≥3) ,

又 a2=2S1=2a1=2,所以 an=n(n≥3) , 此结果也满足 a1,a2,
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故 an=n 对任意 n∈N+都成立.…(7 分) 解法二:由 nan+1=2Sn 及 an+1=Sn+1﹣Sn, 得 nSn+1=(n+2)Sn, 即 ,

∴当 n≥2 时, 式也适合 S1) , ∴对任意正整数 n 均有 ,

(此

∴当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n(此式也适合 a1) , 故 an=n.…(7 分) (Ⅱ)依题意可得:? bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an?1an ?3 (n ? 1)(n ? 3) 2 n ? 1 n ? 3

?Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ) 2 2 4 3 5 4 6 n n ? 2 n ?1 n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? ( ? ? ? ) ? ? ( ? ) ? .............12 分 2 2 3 n ? 2 n ? 3 2 2 3 12

21 解: (1)连接 CM 并延长交 DA 的延长线于 E,则 PE 是平面 PMC 与平面 PAD 所成二面角的棱, 过 A 作 AF 垂直 PE 于 F,连接 MF. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥MA, 又 MA⊥AD,∴MA⊥平面 PAD, ∵AF⊥PE,∴MF⊥PE, ∴∠MFA 是平面 PMC 与平面 PAD 所成锐二面角的平面角…(3 分) ∵BC=2,AD=4,BC∥AD,AM=2MB ∴AE=4,又 PA=4,∴AF= ∴tan∠MFA= = , …(6 分)

所以平面 PMC 与平面 PAD 所成锐二面角的正切为 (2)连接 MO 并延长交 CD 于 G,连接 PG ∵ON∥平面 PCD,∴ON∥PG 在△ BAD 中∵ ∴ ,又

∴MO∥AD …(9 分)

又在直角梯形 ABCD 中,MO=OG= ,

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∵ON∥PG∴PN=MN,∴

PM ? 2 …(12 分) PN

22 解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q,由 a1 ? 2, a2 ? 4(a3 ? a4 ) 可得

2q ? 4 ? (2q 2 ? 2q 3 ), q ?

1 1 ,故数列 ?an ? 是以 2 为首项, 为公比的等比数列, 2 2

1 ? an ? 2?( ) n ?1 ? 22? n ; bn ? 3 ? log 2 an ? 2n ? 1, 2

? ?bn ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列。?an ? 22?n , bn ? 2n ?1. ............4 分
(Ⅱ)? cn ?

an 1 ? (2n ? 1)2n?2 ?Tn ? ?1 ? 1? 3 ? 2 ? 5 ? ... ? 2n?2 (2n ? 1) ③ bn 2

2Tn ? 1?1 ? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? ... ? 2n?2 (2n ? 3) ? 2n?1 (2n ?1) ④
③-④得 ?Tn ?

1 ? 1 ? 2(1 ? 2 ? ... ? 2n ? 2 ) ? 2 n ?1 (2n ? 1) 2

?

1 1 ? 2n ?1 3 ? 2? ? 2n ?1 (n ? 1) ? ? ? 2n ?1 (3 ? 2n) 2 1? 2 2
3 ? (2n ? 3)2n ?1 ............8 分 2

?Tn ?

(Ⅲ)证明由(Ⅰ)知 a2nbn ? 22?2n (2n ?1)

?a2(n?1)bn?1 ? a2nbn ? 2?2n (2n ?1) ? 22?2n (2n ?1) ? 2?2n (5 ? 6n) ? 0
? 数列 ?a2nbn ? 为单调递减数列;? 当 n ? 1 时, a2nbn ? a2b1 ? 1 。即 a2 nbn 最大值为 1
2 由 2? ? k ? ? 2 ? 1 可得 k ? ? 2? ? 1, k ? 2? ?
2

1

?

,而当 ? ? 0 时, 2? ?

1

?

?2 2

当且仅当 ? ?

2 时取等号,故 k ? (??, 2 2) 2

............12 分

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