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新化一中2015届高三理数综合训练——小题短卷(3)(word版含答案)



新化一中 2015 届高三综合训练

只要功夫深,铁杵磨成针!

新化一中 2015 届高三综合训练 ? 小题短卷(3)
1.已知集合 A= x x ? x ? 2 ? 0 ,集合 B 为整数集,则 A∩B=(
2

?

?

) D. ??1,0?

>
A. ??1,0,1, 2?

B. ??2, ?1,0,1?

C. ?0,1?

[解析] 由题意可知,集合 A= x ?1 ? x ? 2 ,其中的整数有-1,0,1,2,故 A∩B= ??1,0,1, 2? 。 2.在 x ?1 ? x ? 的展开式中,含 x 项的系数为(
6

?

?

3

)

A.30 B.20 C.15 D.10 6 3 6 2 [解析] x(1+x) 的展开式中 x 项的系数与(1+x) 的展开式中 x 项的系数相同,故其系数为 C2 6=15. 3.为了得到函数 y ? sin ? 2x ?1? 的图像,只需把函数 y ? sin 2 x 的图像上所有的点( A.向左平行移动 )

1 个单位长度 2

B.向右平行移动

1 个单位长度 2

C.向左平行移动 1 个单位长度

D.向右平行移动 1 个单位长度

1? [解析] 因为 y=sin(2x+1)=sin2? 只需要将 y=sin 2x 的图 ?x+2?,所以为得到函数 y=sin(2x+1)的图像, 1 像向左平行移动 个单位长度. 2 4.若 a>b>0,c<d<0,则一定有( A.

)

a b ? c d

B.

a b ? c d

C.

a b ? d c

D.

a b ? d c

1 1 1 1 a b a b [解析] 因为 c<d<0,所以 < <0,即- >- >0,与 a>b>0 对应相乘得,- >- >0,所以 < . d c d c d c d c 5.执行如图所示的程序框图,如果输入的 x,y∈R,那么输出 的 S 的最大值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3

?x ? y ? 1 ? [解析] 题中程序输出的是在 ? x ? 0 的条件下 S=2x+y 的 ?y ? 0 ?
最大值与 1 中较大的数.结合图像可得,当 x=1,y=0 时, S=2x+y 取得最大值 2,2>1,故选 C.

6.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 5 [解析] 当甲在最左端时,有 A5=120(种)排法;当甲不在最左端时,乙必须在最左端,且甲也不在最右 1 4 端,有 A1 24=96(种)排法,共计 120+96=216(种)排法.故选 B. 1A4A4=4× 7.平面向量 a =(1,2),b =(4,2),c ? ma ? b (m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m=( A.-2 B.-1 C.1 D.2 )

10

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[解析] c ? ma ? b =(m+4, 2m+2),由题意知

a?c a?c

?

b?c b?c

,即

a?c a

?

b?c b



亦即

?1, 2? ? ? m ? 4, 2m ? 2? ? ? 4, 2? ? ? m ? 4, 2m ? 2 ? ,即 5m+8=8m+20,解得 m=2。
12 ? 22 42 ? 22
2

8.如图 12,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点,设点 P 在线 段 CC1 上,直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 α,则 sin α 的取值范围是( ) A. ?

? 3 ? ,1? 3 ? ? ? 6 2 2? , ? 3 3 ? ?

B. ? D. ?

? 6 ? ,1? 3 ? ?

C. ?

?2 2 ? ,1? 3 ? ?

[解析] 连接 A1O, OP 和 PA1, 不难知∠ POA1 就是直线 OP 与平面 A1BD 所成的角(或其补角)设正方体棱 长为 2,则 A1O= 6. 6+2-12 3 (1)当 P 点与 C 点重合时,PO= 2,A1P=2 3,且 cos α= =- ,此时 α=∠ A1OP 为钝角, 3 2× 6× 2 sin α= 1-cos2α= 6 ; 3

6+6-8 1 (2)当 P 点与 C1 点重合时,PO=A1O= 6,A1P=2 2,且 cos α= = ,此时 α=∠ A1OP 为锐 2× 6× 6 3 2 2 角,sin α= 1-cos2 α= ; 3 6 2 2 (3)在 α 从钝角到锐角逐渐变化的过程中, CC1 上一定存在一点 P, 使得 α=∠ A1OP=90° .又因为 < , 3 3 6 故 sin α 的取值范围是? ,1?,故选 B. ?3 ? 9.已知 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? ,x∈ ? ?1,1? .现有下列命题:① f ? ? x ? ? ? f ? x ? ;② f ? = 2 f ? x ? ;③ A.①②③

f ? x ? ? 2 x 。 其中的所有正确命题的序号是(
B.②③ C.①③

? 2x ? 2 ? ? 1? x ?

) D.①②

1? x [解析] f ? ?x ? ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? = ln =-f(x),故① 正确; 1? x 2x ? 2x ? 2x ? ? 2x ? ? 当 x∈? ?1,1? 时, = ln ?1 ? - ln ?1 ? 2∈? ?1,1? ,且 f ? ? ? 2 2 2 ? 1+x ? 1? x ? ? 1? x ? ? 1? x ?
2x 1+ 2 1+x2 1+x2+2x ?1+x? =2ln1+x=2[ln(1+x)-ln(1-x)]=2f(x),故② =ln =ln =ln? 正确; ? 2 2x 1+x -2x 1-x ?1-x? 1- 2 1+x

由① 知,f(x)为奇函数,所以|f(x)|为偶函数,则只需判断当 x∈?0,1? 时,f(x)与 2x 的大小关系即可. 记 g(x)=f(x)-2x,0≤x<1,即 g(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-2x,0≤x<1, 1 1 2x2 则 g′(x)= + -2= ,0≤x<1. 当 0≤x<1 时,g′(x)≥0, 即 g(x)在 ?0,1? 上为增函数, 1+x 1-x 1-x2 而 g(0)=0,所以 g(x)≥0,即 f(x)-2x≥0,x∈?0,1? ,于是|f(x)|≥2|x|正确. 综上可知,① ② ③ 都为真命题,故选 A。 10.已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐 标原点) ,则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.2 B.3
11

C.

17 2 8

D. 10

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1 ? → → 2 2 2 [解析] 由题意可知,F? OA· OB=y1y2+y2 1y2=2, ?4,0?.设 A(y1,y1),B(y2,y2),∴ 解得 y1y2=1 或 y1y2=-2.又因为 A,B 两点位于 x 轴两侧,所以 y1y2<0,即 y1y2=-2. y1-y2 1 2 2 当 y2 (x-y2 2(x-y1)= 1≠y2时,AB 所在直线方程为 y-y1= 2 1), y1-y2 y1+y2 令 y=0,得 x=-y1y2=2,即直线 AB 过定点 C(2,0). 1 1 1 1 1 1 于是 S△ ABO+S△ AFO=S△ ACO+S△ BCO+S△ AFO= × 2|y1|+ × 2|y2|+ × |y1|= (9|y1|+8|y2|)≥ × 2 9|y1|× 8|y2|=3, 2 2 2 4 8 8
2 当且仅当 9|y1|=8|y2|且 y1y2=-2 时,等号成立.当 y2 1=y2时,取 y1= 2,y2=- 2,则 AB 所在直线的方程

1 1 1 17 2 17 2 为 x=2,此时求得 S△ ABO+S△ AFO=2× × 2× 2+ × × 2= ,而 >3,故选 B。 2 2 4 8 8 11.在平面直角坐标系中,倾斜角为

? x ? 2 ? cos ? ? 的直线 l 与曲线 C: ? (α 为参数)交于 A,B 两点,且 4 ? y ? 1 ? sin ?
2 2

AB =2。以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极坐标方程是________.
[解析]曲线 C 的普通方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 ,它表示的图形为圆心在点 C ? 2,1? ,半径为 1 的圆, 而直线与圆相交所得的弦长 AB =2,所以直线 l 过圆心,于是直线的方程 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 ,

2 ) 。 ?? 4? 2 12.如图所示,已知 AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥BC,AB= 3 ,BC= 2 2 ,
相应的极坐标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 (或 ? cos ?? ? 则⊙O 的半径等于________. [解析]延长 AO 与圆相交于点 D,设 AO 与 BC 相交于点 E, 则由已知,可得 BE ?
E D

? ?

??

1 BC ? 2 , AE ? AB2 ? BE 2 ? 1 , 2 1 3 ? AE ? DE ? ? 。 2 2

由相交弦定理,得 BE ? CE ? AE ? DE ,即 DE ? 2 ,于是⊙O 的半径为 r ? 13.若关于 x 的不等式 ax ? 2 ? 3 的解集为 ? x ?

?

? [解析] 由于 ax ? 2 ? 3 ? ?3 ? ax ? 2 ? 3 ? ?1 ? ax ? 5 , 1 5 1°当 a ? 0 时, 不等式的解为 ? ? x ? ,与题设不符; a a

5 1? ? x ? ? ,则 a=________. 3 3?

5 ?5 ?? ? 5 1 ?a 3 2°当 a ? 0 时, 不等式的解为 ? x ? ? ,对照题设条件,可知 ? ,即有 a ? ?3 。 a a 1 1 ?? ? ? ? a 3
14.设 f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈ ? ?1,1? 时, f ? x ? = ?
2 ? ??4 x ? 2, x, ? ?

? ?1 ? x ? 0 ? , ? 0 ? x ? 1?

则f?

?3? ? =________. ?2?
2 ? 3 ? ? 1? ? 1? ?-1? +2=1。 2 - - = f = f =- 4 ? ? 2? ? 2 ? ? 2? ? 2?

[解析] 由题意可知, f ?

15.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y), 则 PA ? PB 的最大值是________.
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[解析] 由题意可知,定点 A(0,0),B(1,3),且两条直线互相垂直,则其交点 P(x,y)落在以 AB 为直 径的圆周上,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10. ∴ |PA||PB|≤ |PA|2+|PB|2 =5,当且仅当|PA|=|PB|时等号成立. 2

16.以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 φ(x)组成的集合:对于函数 φ(x), 存在一个正数 M, 使得函数 φ(x)的值域包含于区间[-M, M]. 例如, 当 φ1(x)=x3, φ2(x)=sin x 时, φ 1(x)∈A, φ 2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B; ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ x (x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B. x +1
2

其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) [解析] 若 f(x)∈ A,则 f(x)的值域为 R,于是,对任意的 b∈ R,一定存在 a∈ D,使得 f(a)=b,故① 正确. 取函数 f(x)=x(-1<x<1), 其值域为(-1, 1), 于是, 存在 M=1, 使得 f(x)的值域包含于[-M, M]=[- 1,1],但此时 f(x)没有最大值和最小值,故② 错误. 当 f(x)∈ A 时,由① 可知,对任意的 b∈ R,存在 a∈ D,使得 f(a)=b,所以,当 g(x)∈ B 时,对于函数 f(x) +g(x),如果存在一个正数 M,使得 f(x)+g(x)的值域包含于[-M,M],那么对于该区间外的某一个 b0∈ R, 一定存在一个 a0∈ D,使得 f(a0)=b-g(a0),即 f(a0)+g(a0)=b0?[-M,M],故③ 正确. x 对于 f(x)=aln(x+2)+ 2 (x>-2),当 a>0 或 a<0 时,函数 f(x)都没有最大值.要使得函数 f(x)有 x +1 最大值,只有 a=0,此时 f(x)= x (x>-2). x +1
2

?-1,1?,所以存在正数 M=1,使得 f(x)∈[-M,M],故④ 易知 f(x)∈ 正确. ? 2 2? 2
17.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐; 每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没 有出现音乐则扣除 200 分(即获得 ?200 分) .设每次击鼓出现音乐的概率为

1 ,且各次击鼓出现音乐相互 2

独立. (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列. (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了。 请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. [解析](1)X 可能的取值为 10,20,100,-200.
1 2 2 1?1 3 2 ?1? ? ?1? ? 1? 3 根据题意,有 P(X=10)=C1 3× 2 × 1-2 = ,P(X=20)=C3× 2 × 1-2 = , ? ? ? ? 8 ? ? ? ? 8 3 0 0 1?3 1 0 ?1? ? ?1? ? 1? 1 P(X=100)=C3 3× 2 × 1-2 = ,P(X=-200)=C3× 2 × 1-2 = . ? ? ? ? 8 ? ? ? ? 8

所以 X 的分布列为: X P 10 3 8 20 3 8 100 1 8 -200 1 8

(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3),则 1 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= . 8 1?3 1 511 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1-P(A1A2A3)=1-? ?8? =1-512=512.
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511 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 . 512 3 3 1 1 5 (3)由(1)知,X 的数学期望为 EX=10× +20× +100× -200× =- . 8 8 8 8 4 这表明,获得分数 X 的均值为负. 因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.

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