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2[1].1.2离散型随机变量的分布列



高二数学 选修2-3

2.1.2离散型随机变 量的分布列(1)

肥城一中高二数学组

【温故知新】
1. 随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.

随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η等表示。

2、离散型随机变量
所有取值可以一一列

出的随机变量,称为离散 型随机变量。 如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值, 这样的随机变量叫做连续型随机变量.

若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数, 请把X取不同值的概率填入下表,并求判断下列事件发生 的概率是多少? (1){X是偶数};(2) {X<3}; 列成 表的 形式

X
P

1 1 6

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

6 1 6

1 解:P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6) ? 2 1 P(X<3)=P(X=1)+P(X=2) ? 分布列 3

【定义得出】
定义:概率分布列(分布列)
设离散型随机变量X可能取的值为 x1 , x2 ,? ? ?, xn X取每一个值xi (i=1,2,…,n) 的概率 P( X ? xi ) ? pi 则称表

X P

x1 p1

x2 p2

… …

xn pn

为随机变量X的概率分布列,简称X的分布列. 也可用 P(X=xi)= pi ,i=1,2,3 …n 表示X的分布列. 思考:根据随机变量的意义与概率的性质,你能得出分 布列有什么性质? 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质:

(1) pi ? 0, i ? 1,2,? ? ?, n

(2) p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? 1

2.概率分布还经常用图象来表示.(这有点类似于函数)

2.概率分布还经常用图象来表示. 可以看出 X 的取值 范围是{1,2,3,4,5,6}, p 0.2 它取每一个值的概 1 率都是 。
0.1

6

O

1

2

3

4

5

6 7 8

X

1、离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机 变量所刻画的随机现象。 2、函数可以用解析式、表格或图象表示,离散型随 机变量可以用分布列、等式或图象来表示。

练习1、随机变量X的分布列为

X
P

-1
0.16

0
a/10

1
a2

2
a/5

3
0.3

(1)求常数a;(2)求P(1<X<4) 解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有

a a 2 0.16 ? ? a ? ? 0.3 ? 1 10 5
9 3 a ? ? (舍)或 a ? 解得: 10 5
(2)P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=0.12+0.3=0.42

三、例题
例1 在掷一枚图钉的随机试验中,令
X= 1,针尖向上;

0,针尖向下。

如果针尖向上的概率为P,试写出随机变量X的分布列。 解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是 (1-P)。于是,随机变量X的分布列是

X P

0 1-p

1 p

像这样的分布列称为两点分布列。

注:两点分布又称0-1分布,或伯努利分布, 在两点分布中,X=1对应的试验结果为“成 功”,p=P(X=1) 称为成功概率
两点分布列应用事例: 1、抽取的奖卷是否中奖 X P 2、买回的一件产品 X P X P 0 1-p 0 1-p 0 1-p 1 p 1 p 1 p

是否为正品
3、投篮是否命中

练习2、袋子中有3个红球,2个白球,1个黑球,这些球 除颜色外完全相同,现要从中摸一个球出来,若摸到 黑球得1分,摸到白球得0分,摸到红球倒扣1分,试写 出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列.
解:因为只取1球,所以X的取值只能是1,0,-1

1 2 1 ? P ( X ? 1) ? , P ( X ? 0) ? ? , 6 6 3 3 1 P ( X ? ?1) ? ? 6 2
∴从袋子中随机取出一球

X P

1

0

-1

所得分数X的分布列为:

1 6

1 3

1 2

求离散型随机变量的概率分布的步骤:
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值 xi (i ? 1, 2,?); 2、求出各取值的概率 3、列成表格。

P(? ? xi ) ? pi ;

例2:在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求:
(1)取到的次品数X的分布列; (2)至少取到1件次品的概率.
解:(1)从100件产品中任取3件结果数为C100 ,
3

从100件产品中任取3件,其中恰有K件次品的结果为 k 3? k C5 ? C 95 那么从100件产品中任取3件, 其中恰 k 3? k C ? C 好有K件次品的概率为 p( X ? k ) ? 5 95 , k ? 0,1, 2, 3 3 C100

X

0
3 C50C95 3 C100
1 5

1
CC 3 C100
2 95
2 5

2
CC 3 C100
1 95

3
3 0 C5 C95 3 C100

P

结论:超几何分布
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n 件,其中恰有X件次品数,则事件{X=k}发生的概 率为 k n?k

CM ? C N ?M P( X ? k ) ? , k ? 0,1, 2,? , m n CN

其中m ? min{ M , n}, 且n ? N , M ? N , n, M , N ? N *
称分布列为 超几何分布
X P 0 1




m
m n ?m CM CN ?M n CN

1 n ?1 0 n ?0 C C CM CN M N ?M ?M n n C CN N

则称随机变量 X 服从超几何分布.

例3 在某年级的联欢会上设计了一个 摸奖游戏,在一个口袋中装有大小相同 的10个红球和20个白球,一次从中摸出 5个球,至少摸到3个红球就中奖,求中 奖的概率.

P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5} ≈0.191

思考

若将这个游戏的中奖概率控制在55% 左右,应如何设计中奖规则?

游戏规则可定为至少摸到2个红球 就中奖.

例4、一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取 出3只,以X表示取出的3个球中的最小号码,试写出X的分 布列. 解: 随机变量X的可取值为 1,2,3. 当X=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它两 只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故有 2 3 注:在写出X的分布列 P(X=1)= C4 / C5 =3/5; 后,要及时检查所有 同理可得 P(X=2)=3/10;P(X=3)=1/10. 的概率之和是否为1. 2 3 因此,X 的分布列如下表所示 X 1 P 3/5 3/10 1/10 练习:将一枚骰子掷2次,求 随机变量两次掷出的最大点 数X的概率分布. X 1 P
1 36

2
3 36

3
5 36

4

5

6

7 9 11 36 36 36

小结:
离散型随机变量的分布列
设随机变量 ? 的所有可能的取值为 x1 , x2 , x3 ,? ? ?, xn ,? ? ?, ? 的每一个取值 x i (i ? 1,2,? ? ?) 的概率为 P(? ? xi ) ? pi ,则称表格

?

x1
p1

x2
p2

· · ·

xi
pi

· · ·

P

· · ·

· · ·

为随机变量 ? 的概率分布,简称 ? 的分布列.

注: 1、分布列的构成

⑴列出了随机变量

? 的所有取值.

⑵求出了 ? 的每一个取值的概率. 2、分布列的性质 ⑴ pi ? 0, i ? 1,2,? ? ? ⑵ p1 ? p2 ? ? ? ? ? 1

求离散型随机变量分布列的基本步骤: (1)确定随机变量的所有可能的值xi (2)求出各取值的概率P(X=xi)=pi (3)列出表格

定值

求概率

列表

课堂练习:
1、下列A、B、C、D四个表,其中能成为随机变量 ? 的 分布列的是(B )

A

?
P

0
0.6

1
0.3

B

?
P

0
0.9025

1
0.095

2
0.0025

C

?

0 1 2 … n
2 1 4
1 … 1 2 n ?1 8

D

?

2
1 3

1
1 3
i

2
1 3

P 1

P

?1? 2、设随机变量 ? 的分布列为 P(? ? i ) ? a? ? , i ? 1,2,3 ? 3? 则 的值为 . 27 13

a

课堂练习:
3、某一射手射击所得环数 ? 分布列为 X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22

0.88 则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率是_______

4

已知随机变量? 的分布列如下:

?

-2
1 12

-1
1 4
1

0
1 3

1
1 12

2
1 6

3
1 12

P

分别求出随机变量⑴ ?1 ? ? ;⑵ ? 2 ? ? 2 的分布列. 2 1 1 3 1 ? ? 1 ? 、0、 、1、 ⑴由 ?1 ? ? 可得 1 的取值为 、 解: 2 2 2 2 且相应取值的概率没有变化 ∴ ? 1 的分布列为:

?1

-1
1 12

1 ? 2
1 4

0
1 3

1 2
1 12

1
1 6

3 2
1 12

P

4

已知随机变量? 的分布列如下:

?

-2
1 12

-1
1 4
1 2

0
1 3

1
1 12

2
1 6

3
1 12

P

分别求出随机变量⑴ ?1 ? ? ;⑵ ? 2 ? ? 2 的分布列.

解:⑵由 ?2 ? ? 2 可得?2 的取值为0、1、4、9
P(?2 ? 0) ? P(? ? 0) ?

P(?2 ? 4) ? P(? ? ?2) ? P(? ? 2) ? 1 ? 1 ? 1

1 3

P(?2 ? 1) ? P(? ? ?1) ? P(? ? 1) ?
1 12
12 6

1 1 ? ? 4 12

1 3

P(?2 ? 9) ? P(? ? 3) ?
∴ ?2 的分布列为:

4

?2

0
1 3

1
1 3

4
1 4

9
1 12

P

5、 一盒中放有大小相同的红,绿,黄色三种小球, 红球数是绿球数的两倍,黄球数是绿球数的一半, 现从中随机取出一球,若取出红球得1分,取出绿 球得0分,取出黄球得-1分,试写出从该盒内随机取出 一球所得分数ξ的分布列. 解:随机变量X的可取值为 1,0,-1. 设黄球的个数为n,则绿球的个数为2n, 红球的个数为4n,盒中球的个数为7n,所以 4n 4 2n 2 P(ξ=1)= 7 n= , P(ξ=0)= = , 7 7n 7 n
1 P(ξ=-1)= = . 7n 7

ξ

1

0

-1

所以从该盒中随机取出一球

所得分数ξ的分布列为:

P

4 7

2 7

1 7

例题5:从一批有10个合格品与3个次品的 产品中,一件一件地抽取产品,设各个产 品被抽到的可能性相同,在下列三种情况 下,分别求出直到取出合格品为止时所需 抽取的次数? 的分布列. ⑴每次取出的产品都不放回此批产品中;

⑵每次取出的产品都立即放回此批 产品中,然后再取出一件产品; ⑶每次取出一件产品后总以一件合 格品放回此批产品中.

例题5:
从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件一件地抽取产品,设各个产 品被抽到的可能性相同,在下列三种情况下,分别求出直到取出合格品为止 时所需抽取的次数 ? 的分布列. ⑴每次取出的产品都不放回此批产品中; ⑵每次取出的产品都立即放回此批产品中,然后再取出一件产品; ⑶每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中.

解:⑴ ? 的所有取值为:1、2、3、4.
“? ? 1” 表示只取一次就取到合格品



1 C10 P(? ? 1) ? 1 ? 10 C13 13

“? ? 2” 表示第一次取到次品,第二次取到合格品
2 1 A3 C10 5 ? P ( ? ? 3 ) ? ∴ 3 143 A13

“? ? 3” 表示第一、二次都取到次品,第三次取到合格品

1 1 5 C3 C ∴P(? ? 2) ? 210 ? 26 A13

∴ 随机变量? 的分布列为:
?

3 1 A3 C10 1 ? P ( ? ? 4 ) ? 同理可得 4 286 A13

1
10 13

2
5 26

3
5 143

4
1 286

P

例题5:
从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件一件地抽取产品,设 各个产品被抽到的可能性相同,在下列三种情况下,分别求出直到取 出合格品为止时所需抽取的次数? 的分布列. ⑴每次取出的产品都不放回此批产品中; ⑵每次取出的产品都立即放回此批产品中,然后再取出一件产品; ⑶每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中.

解:⑵ ? 的所有取值为:1、2、3、· · · ,n,· · · .
“? ? 1” 表示只取一次就取到合格品



1 C10 P(? ? 1) ? 1 ? 10 C13 13

“? ? 2” 表示第一次取到次品,第二次取到合格品 ∴P(? ? 2) ?
“? ? 3” 表示第一、二次都取到次品,第三次取到合格品
3 3 10 ? 3 ? 10 ? ? ?? ? ? 13 13 13 ? 13 ? 13
2

3 10 ? 13 13

∴ P(? ? 3) ?
?

?3? 同理可得 P(? ? n) ?? 13 ? ? ?

n ?1

?

10 13

∴ 随机变量? 的分布列为: 1
10 13

2
3 10 ? 13 13

3
? 3 ? 10 ? ? ? ? 13 ? 13
2

· · · · · ·

n
1 ?3? 0 ? ? ? 1 ?3 1 ?3
n ?1

· · · · · ·

P

例题5:
从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件一件地抽取产品,设 各个产品被抽到的可能性相同,在下列三种情况下,分别求出直到取 出合格品为止时所需抽取的次数? 的分布列. ⑴每次取出的产品都不放回此批产品中; ⑵每次取出的产品都立即放回此批产品中,然后再取出一件产品; ⑶每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中.

解:⑶ ? 的所有取值为:1、2、3、4.
“? ? 1” 表示只取一次就取到合格品



1 C10 P(? ? 1) ? 1 ? 10 C13 13

“? ? 2” 表示第一次取到次品,第二次取到合格品
72 3 2 12 ? 3 ? ? 13 13 13 13

“? ? 3” 表示第一、二次都取到次品,第三次取到合格品

3 11 33 ∴P(? ? 2) ? 13 ? 13 ? 13 2 3 2 1 13 6 ? ? ? ? 13 13 13 13 133

∴ P(? ? 3) ?
?

同理可得 P(? ? 4) ?

∴ 随机变量? 的分布列为: 1
10 13

2
33 13 2

3
72 13 3

4
6 133

P



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