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平面向量数量积的坐标表示



平面向量数量积的坐标表示(1)

下面研究怎样用 a和b 的坐标表示a ? b. 设两个非零向量 ? ? ? a ? x1 i ? y1 j
a

=(x1,y1), b=(x2,y2),则 ? ? ? b ? x2 i ? y2 j,

? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1 i ? y1 j )

? ( x2 i ? y2 j ) ?2 ? ? ? ? ?2 ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 i ? j ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2

故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1

B(x2,y2)

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .

b

j

a
i

o

x

根据平面向量数量积的坐标表示,向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。

?2 ? ? 2 2 1.若 a ? ( x, y) ,则 | a | ? ________;| x ?y a |? _________. x2 ? y 2

??? ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) | AB |? _________________.

? ? 2.若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ),则 ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 a ? b ? _____________. ? ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 a // b ? _____________. ? ? ) 3.若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2,则

x1 y2 ? x2 y1

? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b ?? 2 cos ? ? ? ?? 2 2 2 | a || b | x1 ? y1 ? x2 ? y2

? ? ? ? ?? b的 例1.设 a ? (3, ?1), b ? (1, ?2) ,求 a ? b及 a、 夹角θ的余弦值

? ? ? ? ? 变式:(1)在 a b方向上的投影; a在a +b方向上的投影; ? ? ? ? (2)a ? b ? a-b ? ? (3) a ? 2b ? ? ? ? (4)求a +3b与a-b的夹角余弦值; ? ? ? ? ? ? ? (5)a ? c / / b, a ? b ? c, 求c

?

?? ? ?

?

?

?

? ? ? ? ?? b的 例1.设 a ? (3, ?1), b ? (1, ?2) ,求 a ? b及 a、 夹角θ ,

? (6)求与b垂直的单位向量; ? ? ? ? ? (7) d ? ( ?2, ? ), 若a与d夹角为钝角,求?的范围; ? ? ? d与b夹角为锐角,求?的范围;

? ? ? ? ? ? (8)若x ? a ? (t ? 3)b与y ? ?ka ? tb垂直,求k关于t的 函数关系式k ? f (t )

例 2、设平面上有两个向量 a=(cos α,sin α) (0° ≤α<360° ),

? 1 3? b=?- , ?. ? 2 2?
(1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小.

例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形 状,并给出证明。
?? ? ?? ? 变式:已知?ABC为直角三角形, AB=(1,3), AC=(2,k), 求k.

例 4(2012· 江苏)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2, BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上, → → → → 若AB· AF= 2,则AE· BF的值是________.

练习
(2012· 上海)在矩形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1, → → |BM| |CN| 若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且满足 = , → → |BC| |CD| → → 则AM· AN的取值范围是________.

练习2:以原点和A(5,2)为两 个顶点作等腰直角三角形OAB, ?B=90?,求点B的坐标.
y 3 7 B 答案:B的坐标为( , ) 2 2 7 3 或( , ? ) 2 2 O

A x

? ? 例3.已知 a ? ? 1, 2 ? , b ? ? ?3, 2 ? , ? ? ? ? (1)当k为何值时k a ? b 与 a ? 3 b 平行 ? ? ? ? ? (2)当k为何值时k a ? b 与 a ? 3 b 垂直 ? ? ? ? ? (3)当k为何值时k a ? b 与 a ? 3 b 的模相等 ?

平面向量数量积的坐标表示(2)

知识回顾
? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2i ? y2 j ) ? x1 x2 ? y1 y2
? ? 2 2 2 2 a ? x1 ? y1 , b ? x2 ? y2 .

A、B两点间的距离公式:已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),
AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ,

(1) a // b ? x1y2 ? x2 y1 ? 0 (2) a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

练习
? ? ? ? ? ? 1. 已知a ? (sin ? ,cos? ), b ? ( 3,3),a a? // b b, 则? ? _____

2. 已知 A(7,1)、B(1,4),
??? ? 3 ??? ? 若点P在线段AB的延长线上,且 AP ? PB , 2 求点P坐标。

3.已知 a=(1, 2),b=(-2,n),a 与 b 的夹角是 45° . (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c.

例 1(1)(2012· 江苏)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2, BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上, → → → → 若AB· AF= 2,则AE· BF的值是________.

坐标法

向量问题

(2)(2012· 上海)在矩形 ABCD 中, 边 AB、 AD 的长分别为 2、 1, → → |BM| |CN| 若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且满足 = , → → |BC| |CD| → → 则AM· AN的取值范围是________.

练习

()在正三角形 1 ABC中,D是边BC上的点,若AB=3, ??? ? ???? BD=1,AB ? AD ?
→ → → (2)如图,在△ABC 中,AD⊥AB,BC= 3 BD,|AD|=1, → → 则AC· AD等于( D ) 3 3 A.2 3 B. C. D. 3 2 3

1 (3)(2013浙江)设?ABC, P0是AB上一定点,满足P0 B ? AB, 4 ??? ? ??? ? ???? ???? 且对于边AB上任一点P,恒有PB ? PC ? P0 B ? P0C , 则 D A.?ABC ? 90
0

B.?BAC ? 90 C. AB ? AC

?

D. AC ? BC

(A)8 (B)4 (C)2 (D)1 8. (2011 年高考天津卷理科 14)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥
? ? ADC ? 90 BC, ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则

??? ? ??? ? | PA ? 3PB | 的最小值为

.
A D

坐标法

P

B

C

4.(2012· 浙江)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10, → → 则AB· AC=________.

5.(2012· 江西)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为 |PA|2+|PB|2 线段 CD 的中点,则 等于 |PC|2 A.2 B.4 C.5 D.10 ( )

例2、已知O, G, P在?ABC所在平面内一点 ??? ? ??? ? ???? () 1 OA ? OB ? OC , O是?ABC的 心; ??? ? ??? ? ???? ? (2) GA ? GB ? GC ? 0,G是?ABC的 心;
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3)若PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则P是?ABC的

心。

2)已知非零向量AB与 AC满足( AB ? AC

AB | AB | )

?

AC | AC |

) ? BC ? 0,

1 且 ? , 则?ABC为( | AB | ? | AC | 2
A、等腰三角形 C、等腰非等边三角形

B、等边三角形 D、三边均不等三角形

8.已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴的正半轴上, 3→ → → → 点 M 满足PA· AM=0,AM=- MQ,当点 A 在 x 轴上移动时,求动 2 点 解 :M 设 的轨迹方程. M ( x , y ) , A ( a, 0) , Q (0 , b ) ( b >0) , 解 : 设 M ( x , y ) , A ( a, 0) , Q (0 , b ) ( b >0) , 解 : 设 M ( x , y ) , A ( a, 0) , Q (0 , b ) ( b >0) , 解 : 设 M ( x , y ) , A ( a, 0) , Q (0 , b ) ( b >0) , 解: 设→ M(x,y),A ( a, 0) , Q (0 , b ) ( b >0) , → → → → → → → → 则PA = a, 3) , AM = ( x - a , y ) , MQ = ( - x , b - y ) → → → 则 PA =( ( a, 3) , AM = ( x - a , y )) , MQ = (( - xx , bb - yy ). . → → → 则 PA = ( a, 3) , AM = ( x - a , y , MQ = - , - ) 则 PA = ( a, 3) , AM = ( x - a , y ) , MQ = ( - x , b - y ). . 则 PA = ( a, 3) , AM = ( x - a , y ) , MQ = ( - x , b - y ) . → → → → 由PA · AM = 0 ,得 a ( x - a ) 3 y = 0. ① → → → → 由 PA · AM = 0 ,得 a ( x - a ))+ + 3 y = 0. ① → → 由 PA · AM = 0 ,得 a ( x - a + 3 y = 0. ① 由 PA · AM = 0 ,得 a ( x - a ) + 3 y = 0. ① 由→ PA · AM = 0 ,得 a ( x - a ) + 3 y = 0. ① 3 3 → 3 3 → → 3 3 由AM =- MQ ,得 ( x - a , y ) =- ( - x , b - y ) . → → 3 3 由 AM =- MQ ,得 ( x - a , y ) =- ( - x , b - y ) . → → 3 3 2 2 → → 由 AM =- MQ ,得 ( x - a , y ) =- ( - x , b - y ) 2 2 由 AM =- MQ ,得 ( x - a , y ) =- ( - x , b - y ). . 由AM=- MQ ,得 ( x - a , y ) =- ( - x , b - y ) . 2 2 2 2 2 2 x 3 x 3 x - a = x , a =- , x 3 x 3 x - a = x , a =- , x 3 2 2 x - a = x , a =- , 2 2 x - a = x , a =- , x - a = x , a =- , 2 2 2 2 ∴ ∴ 2 2 ∴ ∴ y 3 3 ∴ ∴ ∴ ∴ y. 3 3 ∴ y ∴ = y - b , b = y 3 3 y=2 y-2 b, b=3 .y y 3 3 3 3 2 2 3 y = y - b , b = ... y = y - b , b = y = y - b , b = 2 2 3 2 2 3 2 2 3 x x x 1 x ? ? x x 1x2 2. ? ? x + 把 a =- 代入 ① ,得- + 3 y = 0 ,整理得 y = x x x 1 x + 把 a=-2 代入 ① ,得- + 3 y = 0 ,整理得 y = x .2 x x x 1 ? ? 2 2 4 x 2. ? ? x x 1 2 2 2 4 2 x + ? ? ? ? 把 a =- 代入 ① ,得- + 3 y = 0 ,整理得 y = x x + 把 a =- 代入 ① ,得- + 3 y = 0 ,整理得 y = x .. x + 把 a=- 代入 ① ,得- + 3 y = 0 ,整理得 y = x 2 2 2 4 ? ? 2 2 2 4 2 2 2? 1 4 1x2 2. ? ∴ 动点 M 的轨迹方程是 y = 1 ∴动点 M 的轨迹方程是 y=4 x . 1 2 2 1 4 2 ∴ 动点 M 的轨迹方程是 y = x . ∴ 动点 = x .. ∴ 动点M M的轨迹方程是 的轨迹方程是y y = x 4 4 4

? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ?

三、解答题
7.如右图,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a, 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 → → → → PQ与BC的夹角 θ 取何值时BP· CQ的值 → → → → → ⊥AC → ,∴AB →· → =0. 解 : ∵ AB AC 最大?并求出这个最大值. 解:∵→ AB⊥→ AC,∴→ AB· AC=0. → → → → →

→ →, → →→ 解 : ∵ AB ⊥ AC ∴ AB · AC = 解 : ∵ AB ⊥ AC , ∴ AB · AC =0. 0. → → → → → → → → → → → 解:∵ AB ⊥ AC , ∴ AB · AC = 0. → → → → ∵AP AP=- =-AQ AQ, ,BP BP= =AP AP- -AB AB, ,CQ CQ= =AQ AQ- -AC AC, , ∵ → → → → → → → → → =-AQ → ,BP → =AP → -AB → ,CQ → =AQ → -AC →, → → → → → → → → ∵ AP ∵ AP =- AQ , BP = AP - AB , CQ = AQ - AC , → → → → → → ∵ AP AQ ,BP =AP -AB , =AQ-AC, →=- →= → → → →CQ ∴ BP · CQ ( AP - AB )· ( AQ - AC ) ∴→ BP· CQ=(→ AP-→ AB)· (→ AQ-→ AC) → → → → → → → → → →- → )· →→ →→ ∴ BP · CQ = ( AP AB ( AQ - AC ) ∴ BP · CQ = ( AP - AB )· ( AQ - AC ) → → → → → → → ∴ BP · CQ = ( AP - AB )· ( AQ - AC ) → → → → → → → = AP · AQ - AP · AC - AB · AQ + AB · AC =→ AP· AQ-→ AP· AC-→ AB· AQ+→ AB· AC → → → → → → → → → → → → →· → → →- → →+ → → = AQ AP · AC AB · AQ AB · AC =AP AP · AQ - AP · AC - AB · AQ + AB · AC → → → → → → → → → 2 - 2 = AP · AQ - AP · AC - AB · AQ + AB · AC →· → +AB →· → =-a2+AP → 2-AP =- a AC AP · ( AB - AC ) =-a - AP · AC + AB · AP =- a + AP · ( AB - AC ) → → → → → → → 2 2 2 → → +AB →· → =-a2 →· → -AC →) → → → → → → → 2 2 =- a - AP · AC AP + AP ( AB 1 =-a a2 -AP AP · AC +AB AB· · AP =- a+ +AP AP· · (AB AB- -AC AC) ) → → 2 2 =- 2 a 1PQ =- - · AC + AP ( → → 2+ 2cos =- a + · BC =- a a θ . =-a + PQ· BC=-a +a cos θ. 2→ → 2 2 2 1 2 1 2 2 → → 2 1 →· → =- =- BC =-a a2+ +2PQ PQ · BC =-a a2+ +a a2cos cos θ θ.. . =- a + PQ · BC =- a + a cos θ 2 故当 cos cos2 θ= =1 1,即 ,即 θ θ= =0 0, , 故当 θ 故当 cos θ = 1 ,即 θ = 0 , 故当 cos θ = 1 ,即 θ = 0 , → → → → 故当 cos θ = 1 ,即 θ = 0 → 与BC → 同向时,BP →, → 即 PQ · CQ 最大,最大值为 0. 0. 即→ PQ 与 BC 同向时, BP · CQ 最大,最大值为 → → → → 与BC → 同向时,BP →· → 最大,最大值为 0. → → → → 即 PQ CQ 即 PQ 与 BC 同向时, BP · CQ 最大,最大值为 0. 0. 即PQ与BC同向时,BP· CQ最大,最大值为

【1】如图,在平行四边形ABCD 中,点M是AB中点,点N在BD上, 且 BN ? 1 BD. 3 求证:M、N、C三点共线. 证明 : 令 AB ? a, BC ? b,
则 BD ? AD ? AB
? BN ? 1 BD ? 1 (a ? b). 3 3

D N A M B

C

? b ? a,

? MB ? 1 AB ? 1 a, 2 2

? ??? ? ???? ? ???? ???? 1 ??? 1 ? AB ? BD ? MN ? MB ? BN 2 3 ? ? ? ? ? ? 1 a ? 1 ( b ? a ) ? 1 a ? 1 b. 6 3 2 3 ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? 1 ??? MC ? MB ? BC ? 2 AB ? AD ? ? ? 1 a ? b. 2

???? ? ???? ? ? MC ? 3 MN .

所以M、N、C三点共线.

【6】在△ABC???? 中,AB =2,AC=4,O 是 ??? ? -6 △ABC的外心,则 AO ? BC 的值为______.

??? ? ??? ? ??? ? 解: 设 | OA |?| OB |?| OC |? r , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AO ? BC ? AO ? ( AC ? AB) ???? ???? ???? ??? ? ? AO ? AC ? AO ? AB ? ???? ???? M ?| AO | ? | AC | cos ? ???? ??? ? ? | AO | ? | AB | cos ?

?

N

【8】在 △ ABC 中, O 为中线 AM 上的一个动点,
??? ? ??? ? ??? ? 若 AM ? 2 ,则 OA ? (OB ? OC ) 的最小值是______. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? 解: OA ? (OB ? OC ) ? OA ? 2OM ? ?2 OA ? OM , ??? ? ???? ? OA ? OM 2 ??? ? ???? ? ? OA ? OM ≤ ( ) ? 1, 2 A

?2

??? ? ??? ? ??? ? OA ? (OB ? OC ) ≥ ?2.

??? ? 令 OA ? t , t ? ? 0, 2?,
则 ? 2 t ? 2 ? t ? ? 2 ? t ? 1 ? ? 2 ≥ ? 2.
2

O
B M C

? 三角形四心的向量形式
【1】O 是平面上的一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个动点,动点 P 满足:

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA ? ?( AB ? AC) , ? ? (0, ??) ,则点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的(
A. 垂心 B. 内心 C.重心 D.外心

C)

【2】O 是平面上的一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个动点,动点 P 满足:

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC ? ? OP ? OA ? ? ( ??? ? ??? ) , ? ? (0, ??) ,则点 P 的轨迹一定通过 | AB | cos B | AC | cos C
△ ABC 的(

A

) B.内心 C.重心 D.外心

A.垂心

? 三角形四心的向量形式
【3】O 是平面上的一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个动点,动点 P 满足:

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OB ? OC AB AC ??? ? ??? ? OP ? ? ?( ? ) ? ? (0, ??) ,则点 P 的轨迹一定通过 2 | AB | cos B | AC | cos C

△ ABC 的(

D)
B.内心 C.重心 D. 外心

A.垂心

【4】O 是平面上的一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个动点,动点 P 满足:

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC ??? ? ??? ? OP ? OA ? ? ( ? ) , ? ? (0, ??) ,则点 P 的轨迹一定通过 | AB | sin B | AC | sin C
△ ABC 的(
A.垂心

C)
B.内心 C.重心 D.外心

应用向量知识证明等式、求值
例3.如图ABCD是正方形,M是BC的中点,将正方形折 起 , 使点 A 与 M 重合,设折痕为 EF ,若正方形面积为 64,求△AEM的面积. 解:如图建立坐标系,设E(m,0). 由正方形面积为 64,可 ???? ? 得边长为8.由题意可得M(8,4),? AM ? (8,4). N???? 是AM 的中点,故 N(4,2). ???? ???? yF ? EN ? AN ? AE D C ? (4, 2) ? (m, 0) ? (4 ? m, 2). ???? ? ???? ? AM ? EN ,?(8,4) ? (4 ? m, 2) ? 0.

? 8(4 ? m) ? 4 ? 2 ? 0,

N A

M

解得:m=5, 即AE=5. ? S?AEM ? 1 AE ? BM ? 1 ? 5 ? 4 ? 10. 2 2

o

E

B

x



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