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一题多解专题一:一元二次不等式恒成立问题


一题多解专题一:一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题的两种解法 (1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题. (2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解. 例 1. 设函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 2 ,对于满足 1<x<4 的一切 x 值,都有 f(x)>0,求实数 a 的 取值范围. 【解析】法一:当 a>0 时, f ( x) ? a ( x ? ) ? 2 ?
2

1 a

1 ,由 x∈ (1,4),f(x)>0 得 a

? 1 1? ? 4 ?1 ?1 ? ? a ? ?1 ? ?4 或? 或 ?a ?a 1 ? 1 ? ? f (1) ? a ? 2 ? 2 ? 0 ? f ( ) ? 2 ? ? 0 ? ? f (4) ? 16a ? 8 ? 2 ? 0 a ? a
1 ? ?1 ? a ? 1 ?a ? ? a ? 1 ? 1 1 ?4 ? 4 所以 ? 或? 或? ,所以 a ? 1 或 ? a ? 1 ,即 a ? 。 2 2 ?a ? 0 ? a ? 1 ?a ? 3 ? ? 8 2 ? ?
当 a<0 时, ?

? f (1) ? a ? 2 ? 2 ? 0 ,解得 a∈ ? ; ? f (4) ? 16a ? 8 ? 2 ? 0
f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.

当 a=0 时, f ( x) ? ?2 x ? 2 ,

综上可得,实数 a 的取值范围是 a ? 法二:由 f(x)>0, 即 ax ? 2 x ? 2 ? 0 ,x∈ (1,4),
2

1 。 . 2

2 2 ? 在(1,4)上恒成立. x2 x 1 2 2 1 1 2 1 1 1 令 g ( x) ? ? 2 ? ? ?2( ? ) ? , ? ( ,1) ? g ( x ) max ? g ( 2) ? , 2 x x x 2 2 x 4 1 1 所以要使 f(x)>0 在(1,4)上恒成立,只要 a ? 即可. 故 a 的取值范围为 a ? . 2 2
则有 a ? ? 针对性练习: 1.已知不等式 m x -2x-m+1<0. (1)若对所有的实数 x 不等式恒成立,求 m 的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|≤2 的一切 m 的值都成立,求 x 的取值范围. 解析 (1)不等式 m x -2x-m+1<0 恒成立, 即函数 f(x)= m x -2x-m+1 的图象全部在 x 轴下方.
2 2 2

(i) 当 m=0 时,1-2x<0 不恒成立; (ii) 当 m≠0 时, 函数 f(x)=mx2-2x-m+1 为二次函数, 需满足图象开口向下且
? ?m<0, 方程 mx2-2x-m+1=0 无解,即? 则 m 无解. ?Δ=4-4m?1-m?<0, ?

综上,不存在这样的 m,使不等式恒成立. (2) 设 f(m)=( x -1)m+(1-2x), 当 x -1=0 时,即 x=±1 时,检验得 x=1 时符合题意, 当 x ≠1 时,则 f(m)是以 m 为自变量的一次函数,其图象是一条直线,由题意知该 直线当-2≤m≤2 时的线段在 x 轴下方,
?f?-2?<0, ?-2x2-2x+3<0, ? ? ∴? 即? 2 ?f?2?<0, ? ? ?2x -2x-1<0, ②
2 2 2



-1- 7 -1 + 7 1- 3 1+ 3 解①,得 x< 或 x> , 解②,得 <x< . 2 2 2 2 -1+ 7 1+ 3 由①②,得 <x< ,且 x≠1. 2 2 综上,x 的取值范围为?x?
? ?
3 2

? ?

? ?-1+ 7 <x<1+ 3? ? 2 ? ? 2 ?

2.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? 1 在区间(-∞,-2]上单调递增,在区间[-2,2]上单调 递减,且 b≥0. (1)求 f(x)的表达式; (2)设 0<m≤2,若对任意的 x1、x2∈[m-2,m]不等式|f(x1)-f(x2)|≤16m 恒成立,求实 数 m 的最小值. 解析 (1)由题意知 x=-2 是该函数的一个极值点. ∵f′(x)=3x2+2bx+c,∴f′(-2)=0,即 12-4b+c=0. 又 f(x)在[-2,2]上单调递减, ∴f′(x)=3x2+2bx+c 在[-2,2]上恒有 f′(x)≤0. ∴f′(2)≤0,即 12+4b+c≤0. ∴12+4b+4b-12≤0. ∴b≤0,又 b≥0,∴b=0,c=-12,f(x)=x3-12x+1. (2)∵f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 0<m≤2,而当 m-2≤x≤m 时,0<m≤x+2<m+2,m-4≤x-2≤m-2≤0, ∴f′(x)≤0,x∈[m-2,m]. 因此 f(x)为[m-2,m]上的减函数, ∴对任意 x1,x2∈[m-2,m]都有|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=f(m-2)-f(m) 4 4 =-6m2+12m+16≤16m, ∴m≥ ,即 mmin= . 3 3


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