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导数的概念及运算复习讲义


导数的概念及运算
要点梳理
1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为______________, Δx=x2-x1, 若 Δy=f(x2)-f(x1), 则平均变化率可表示为________. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率______________=____________为函数 y=f(x)在 Δy x=x0 处的导数,记作 f′(x0),即 f′(x0)= lim =________________. →0 Δx Δx (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点______________处的 ____________.相应地,切线方程为________________. 3.函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)=____________为 f(x)的导函数,导函数有时也记作 y′. 4.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c (c 是常数) f(x)=x (α 是实数) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=a (a>0,a≠1) f(x)=ex f(x)=logax (a>0,a≠1) f(x)=ln x 5.导数运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=________;(2)[f(x)· g(x)]′=__________; f?x? ? (3)? ?g?x??′=__________ (g(x)≠0). 注意: 1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数;
1
x α

导函数 f′(x)=______ f′(x)=__________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________

(2)函数 y=f(x)的导函数, 是针对某一区间内任意点 x 而言的. 如果函数 y=f(x)在区间(a, b)内每一点 x 都可导,是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值 x0 都对应着一个确定的 导数 f′(x0). 这样就在开区间(a, b)内构成了一个新函数, 就是函数 f(x)的导函数 f′(x). 在 不产生混淆的情况下,导函数也简称导数. 2.曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0,y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点,切线斜率为 k=f′(x0)的切线,是 唯一的一条切线. (2)曲线 y=f(x)过点 P(x0,y0)的切线,是指切线经过 P 点.点 P 可以是切点,也可以不 是切点,而且这样的直线可能有多条.

基础自测
1 1.(课本改编题)f′(x)是函数 f(x)= x3+2x+1 的导函数,则 f′(-1)的值为________. 3 2.(课本精选题)如图,函数 y=f(x)的图像在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f′(5)=______. 3.已知 f(x)=x2+3xf′(2),则 f′(2)=________. 4.已知点 P 在曲线 f(x)=x4-x 上,曲线在点 P 处的切线平行于 3x-y=0,则点 P 的坐标为________. 1 1 5.已知曲线 y= x2-3ln x 的一条切线的斜率为- ,则切点的横坐标为( 4 2 1 A.-3 B.2 C.-3 或 2 D. 2

)

题型分类
题型一 利用导数的定义求函数的导数 例1 求函数 y= x2+1在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率. 探究提高 求函数 f(x)平均变化率的步骤: ①求函数值的增量 Δf=f(x2)-f(x1); Δf f?x2?-f?x1? ②计算平均变化率 = . Δx x2-x1 解这类题目仅仅是简单套用公式,解答过程相对简单,只要注意运算过程就可以了. 变式训练 1 利用导数的定义求函数的导数: 1 1 (1)f(x)= 在 x=1 处的导数;(2)f(x)= . x+2 x 题型二 导数的运算 例2 求下列各函数的导数: 1 1 2 (1)y=ex· x;(2)y=x?x +x +x3?; ln ? ?
2

1 x x (3)y=x-sin cos ;(4)y=( x+1)? -1?. 2 2 ? x ? 探究提高 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导, 这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;(2)有的函数虽然表面形式为函数的商 的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以 避免使用商的求导法则,减少运算量. 变式训练 2 求下列各函数的导数: x+x5+sin x (1)y= ;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3); x2 x 1 1 2x (3)y=-sin ?1-2cos 4?;(4)y= + ; ? 2? 1- x 1+ x cos 2x (5)y= . sin x+cos x 题型三 导数的几何意义 1 4 例 3 已知曲线 y= x3+ . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求斜率为 1 的曲线的切线方程. 探究提高 利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件: (1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率 可求切点的坐标. (2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点. 变式训练 3 已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线 y=x-3 相切,求实数 a、b、c 的值. 审题路线: 试题:设函数 y=x2-2x+2 的图像为 C1,函数 y=-x2+ax+b 的图像为 C2,已知过 C1 与 C2 的一个交点的两切线互相垂直. (1)求 a,b 之间的关系; (2)求 ab 的最大值. 审题路线图 C1 与 C2 有交点 ↓(可设 C1 与 C2 的交点为(x0,y0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)
3

两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率: k1=2x0-2,k2=-2x0+a ↓?等价转换?? (2x0-2)(-2x0+a)=-1 ↓ (交点(x0,y0)适合解析式) ?y0=x2-2x0+2 ? 0 ? ,即 2x2-(a+2)x0+2-b=0 0 2 ? ?y0=-x0+ax0+b ↓?注意隐含条件方程①②同解? 5 a+b= 2 ↓?消元? 5 5 25 ab=a?2-a?=-?a-4?2+ ? ? ? ? 16 5 25 ↓当 a= 时,ab 最大且最大值为 . 4 16 方法与技巧 1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意 f′(x0)与(f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处的导数值,不一定为 0;而(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数,而函数值 f(x0) 是一个常量,其导数一定为 0,即(f(x0))′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的 应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换 的等价性,避免不必要的运算失误. 失误与防范 1.利用导数定义求导数时,要注意到 x 与 Δx 的区别,这里的 x 是常量,Δx 是变量. 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 3.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者 包括了前者. 4. 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个, 这和研究直线与二次曲线相切时有差别. ①



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