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东北三省四市教研协作体2013届高三联合考试 数学文 (2013长春二模) 扫描版



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2013 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2013 年长春市高中毕业班第二次调研测试 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题

,每小题 5 分,共 60 分)
第 4 页 共 10 页

1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D 9.D 10.B 11.C 12.D 简答与提示: P ? {x | ?1 ? x ? 2} , Q ? {x |1 ? x ? 3} ,则 P ? Q ? (1, 2] . 故选 C. 1. C 2. 3.

4. 5. 6.

z1 1? i (1 ? i )( 3 ? i ) 3 ?1 3 ?1 3 ?1 ? ? ? ? i ,虚部为 . 故选 D. z2 4 4 4 3 ? i ( 3 ? i )( 3 ? i ) tan A ? tan B ) 1 B 由 tan A ? tan B ? tan A ? tan B ? 1,可得 ? ?1,即 tan( A ? B ? ? ,所以 1 ? tan A ? tan B 3? ? 2 A? B ? ,则 C ? , cos C ? ,故选 B. 4 4 2 B 初始值 n ? ?? s ? ? ,第 1 次循环后 n ? ?? s ? ? ,第 2 次循环后 n ? ?? s ??? ,第 3 次循环后 n ? ?? s ? ?? ,此时 s ? 30 ,因此不进入第 4 次循环,输出 n ? 4 .故选 B. B 由题意可知 p ? q 但 q ? p ,则 p 是 q 的必要不充分条件. 故选 B. / C 由 [20, 25) 的频率为 0.01 5? 0.05 [25,30) 的频率为 0.07? 5? 0.35 , ,又 [30, 35), ? [35, 40) , [40, 45] 的 人 数 成 等 差 , 则 其 频 率 也 成 等 差 , 又 [30, 45] 的 频 率 为 1 ? 0.05 ? 0.35 ? 0.6 ,则 [35, 40) 的频率为 0.2. 故选 C.
D

7. 8.

1 3 2 3 a3 A V ? 2? ? a ? a ? . 故选 A. 3 4 2 4 D 由 x( y ? mx ? m) ? 0 可知 x ? 0 , y ? m( x ? 1) ,
当直线 y ? m( x ? 1) 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切时, m ? ?
2 2

3 ,当 m ? 0 时,只有两个公共点, 3

因此 m ? (? 9. D

3 3 , 0) ? (0, ) . 故选 D. 3 3

S2013 ? 2013a1007 ? 2013 ,所以 a1007 ? 1 ,则 d ?

a1 ? a2013 ? 2012d ? ?2011 . 故选 D. 10. B 由函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (? x) ? 0 可知 f ( x) 以 (0, 0) 点为对称中心,又 g ( x) ? 2 ? x ? sin( x ? 1) ? x ? 1 ? sin( x ? 1) ? 1 可知 g ( x) 以 (?1,1) 点为对称中心,因此 ? a ? (?1,1) . 故选 B.
11. C 由题意可知:

a2013 ? a1007 ?2, 1006

b2 ? 2c ,则 b2 ? 2ac ,因此 c2 ? a2 ? 2ac , a 2 2 2 不等式两边同时除以 a 得: e ? 1 ? 2e ,即 e ? 2e ? 1 ? 0 , 解得 1 ? 2 ? e ? 1 ? 2 ,又双曲线的离心率 e ? 1 , e ? ( ?1 . , 故选1 2 ) C.
k>0


y



12. D 结合图像分析: 当 k ? 0 时, f [ f ( x)] ? ?1 ,

1 则 f ( x) ? t1 ? (??, ? ) 或 f ( x) ? t2 ? (0,1) ; k 对于 f ( x) ? t1 ,存在两个零点 x1 , x2 ;
对于 f ( x) ? t2 ,存在两个零点 x3 , x4 . 共计存在 4 个零点. 故选 D. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

1
t2

t1
x1 x3 O x2 t2 -1 t1

1
x4

x

6

14. (0,

1? 2 ] 2

15.

1 4?

16. 54

第 5 页 共 10 页

简答与提示:

13. 由题意可知 | b |2 ?2a ? b ? 0 ,又 | b |? 1 ,则 2a ? b ? 1 ,所以

?

? ?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? | a ? b |2 ?| a |2 ? | b |2 ?2a ? b ? 4 ? 1 ? 1 ? 6 ,因此 | a ? b |? 6 .

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? , 2 4 2 ? ? 2 因为 x ? (0, ) ,所以 sin(2 x ? ) ? ( ? ,1] , 4 2 2 1? 2 所以 f ( x) 的值域为 (0, ]. 2 1 15. 如图所示:落在阴影部分内的概率为 . 4? 16. 设棱柱高为 2x (0 ? x ? 3)
14.

f ( x) ? (1 ? tan x) cos 2 x ?

y
1

1 2

x

O

则底面积 S ? 6 ?

3 ? ( 9 ? x 2 ) 2 ,则 4

3 ( 9 ? x 2 ) 2 ? 2 x ? 3 3(9 ? x 2 ) x ? ?3 3 x3 ? 27 3 x , 4 2 令 V ' ? ?9 3x ? 27 3 ? 0 解得 x ? ? 3 , V ? Sh ? 6 ?
则 Vmax ? V ( 3) ? ?3 3 ? 3 3 ? 27 3 ? 3 ? 54 . 三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查利用数列性质与递推公式求取数列通项公式以及错位相减求和的 应用. 对考生的运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解:(1) 对于数列 {an } 有

3 Sn ? (an ? 1) ① 2 3 Sn ?1 ? (an ?1 ? 1)??????????(n ? 2) ② 2 3 ① ? ②得 an ? (an ? an ?1 ) 即 an ? 3an ?1 , 2 3 n ? 1 时, S1 ? (a1 ? 1) 得 a1 ? 3 , 2 n ?1 n ?1 n 则 an ? a1 ? q ? 3 ? 3 ? 3 ;
对于数列 {bn } 有: bn ?1 ? (2) 由(1)可知:

(4 分) (6 分)

1 n ?1 1 2? n bn ,可得 bn ? 4( ) ? 4 . 4 4

cn ? an log 2 bn ? 3n ? log 2 42?n ? 3n ? log 2 24?2 n ? 3n (4 ? 2n)
Tn ? 2 ? 3 ? 0 ? 3 ? (?2) ? 3 ? ? ? (4 ? 2n) ? 3
1 2 3 n

(8 分)

3Tn ? 2 ? 32 ? 0 ? 33 ? ? ? (6 ? 2n) ? 3n ? (4 ? 2n) ? 3n ?1 ?2Tn ? 2 ? 3 ? (?2) ? 32 ? (?2) ? 33 ? ? ? (?2) ? 3n ? (4 ? 2n) ? 3n ?1

? 6 ? (?2)(32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? (4 ? 2n) ? 3n?1
则 Tn ? ?3 ?

15 5 9(1 ? 3n ?1 ) ? (2 ? n) ? 3n ?1 ? ? ? ( ? n) ? 3n ?1 . 1? 3 2 2

(12 分)

18. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,对于随机事件出现情况的分析与统计等
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知识的初步应用. 本题主要考查学生对数据处理的能力. 【试题解析】解:记 4 名数学家分别为 a, b, c, d ,对应的著作分别为 A, B, C, D ,根据题意, 不同的连线方法共对应下列 24 种情况:

? a???b???c???d ? ? ? ? A??B??C??D ? ? a???b???c???d ? ? ? ? B?? A??C??D ? ? a???b???c???d ? ? ? ? C?? A??B??D ? ? a???b???c???d ? ? ? ? D?? A??B??C ?

? a???b???c???d ? ? ? ? A??B??D??C ? ? a???b???c???d ? ? ? ? B?? A??D??C ? ? a???b???c???d ? ? ? ? C?? A??D??B ? ? a???b???c???d ? ? ? ? D?? A??C??B ?

? a???b???c???d ? ? ? ? A??C??B??D ? ? a???b???c???d ? ? ? ? B??C?? A??D ? ? a???b???c???d ? ? ? ? C??B?? A??D ? ? a???b???c???d ? ? ? ? D??B?? A??C ?

? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? ?? ? ? A??C??D??B ? ? A??D??B??C ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? ?? ? ? B??C??D?? A ? ? B??D?? A??C ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? ?? ? ? C??B??D?? A ? ? C??D?? A??B ? ? a???b???c???d ? ? a???b???c???d ? ? ?? ? ? D??B??C?? A ? ? D??C?? A??B ? ? a???b???c??? d ? ? ? ? B??D??C ?? A ?

? a???b???c???d ? ? ? ? A??D??C??B ? ? a???b???c???d ? ? ? ? B??D??C?? A ? ? a???b???c???d ? ? ? ? C??D??B?? A ? ? a???b???c???d ? ? ? ? D??C??B?? A ?
(4 分)

其中恰好连对一条的情形有如下 8 种:

? a???b???c??? d ? ? a???b???c??? d ? ? a???b???c??? d ? ? ?? ?? ? ? A??C??D??B ? ? A??D??B??C ? ? B??C?? A??D ? ? a???b???c??? d ? ? a???b???c??? d ? ? ?? ? ? D?? A??C ??B ? ? D??B?? A??C ?
恰好连对两条的情形有如下 6 种:

? a???b???c??? d ? ? a???b???c??? d ? ? ?? ? ? C?? A??B??D ? ? C??B??D?? A ?

? a???b???c???d ? ? ? ? A??B??D??C ?

? a???b???c???d ? ? ? ? A??C??B??D ?

? a???b???c???d ? ? ? ? A??D??C??B ?

? a???b???c???d ? ? ? ? B?? A??C??D ?

? a???b???c???d ? ? ? ? C??B?? A??D ?

? a???b???c???d ? ? ? ? D??B??C?? A ?
(8 分)

全部连对的情形只有 1 种:

? a???b???c???d ? ? ? ? A??B??C??D ?
(1) 恰好连对 1 条的概率为

8 1 ? ; 24 3

(10 分)

(2) 得分不低于 6 分即全部连对或恰好连对 2 条的概率为

1? 6 7 ? . 24 24

(12 分)

19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面的垂直关系、二面角的求 法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要 求. 【试题解析】解:(1) 连结 BD 交 AC 于 O . 因为四边形 ABCD 为平行四边形,且 AB ? AD ,所以四边形 ABCD 为菱形, 则 AC ? BD 由直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,所以 BB1 ? 平面 ABCD , 可知 BB1 ? AC ,又 AC ? BD , 则 AC ? 平面 BB1 D1 D ,又 BD1 ? 平面 BB1 D1 D , 则 AC ? BD1 . (2) VD1 AB1C ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VB1 ABC ? VD1 ACD ? VAA1B1D1 ? VCC1B1D1 (6 分)

? VABCD ? A1B1C1D1 ? 4VB1 ABC ?
20.

3 3 1 3 3 2 ? ? 4? ? ? ? . 2 3 4 4 6 6

(12 分)

(本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力, 具体涉及到抛物线方程的求法、 直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中面积求取知识的综合知识. 本小题对考生的化归与 转化思想、运算求解能力都有很高要求.
第 7 页 共 10 页

【试题解析】解:(1) 设 D( x, y ) ,则由于菱形 ABCD 的中心 H 在 y 轴上,顶点 B 在 x 轴上, 所以 H (0, ) , B(? x, 0) ,而 A(1,0) ,所以 HA ? (1, ? ) , HB ? (? x, ? ) .

y 2

??? ?

y 2

??? ?

y 2

??? ??? ? ? y y y2 又 HA ? HB ,所以 HA ? HB ? (1, ? ) ? (? x, ? ) ? ? x ? ? 0 ,即 y 2 ? 4 x . 2 2 4 2 而 D 不可能在 x 轴上,所以顶点 D 的轨迹 E 的方程为 y ? 4 x ( x ? 0) . (5 分) (2) ①设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , M ( x0 , y0 ) (不妨令 y0 ? 0 ),则 N ( x0 , ? y0 ) , y ? y1 y ?y 4 则 k PQ ? 2 , ? 22 12 ? x2 ? x1 y2 y1 y1 ? y2 ? 4 4 4 4 同理 k PN ? , kQN ? y1 ? y0 y 2 ? y0 1 2 ? 而 kl ? y? |x ? x0 ? , x0 y0
因为 kl ? k PQ ,所以 所以 k PN ? kQN

4 2 ,因此 y1 ? y2 ? 2 y0 即 y2 ? y0 ? y0 ? y1 , ? y1 ? y2 y0 4 4 ? ? ? 0 ,即直线 PN 与 QN 的斜率之和为定值. y1 ? y0 y2 ? y0
(8 分)

3 3 3 ② 因为 M 点横坐标为 ,且纵坐标大于 0,所以 M ( , 3) , N ( , ? 3) . 4 4 4 由于 k PN ? kQN ? 0 ,且 MN ? x 轴,所以 MN 平分 ?PNQ ,
而 ?PNQ ? 60? ,所以 k PN ? ? 3 , kQN ? 3 . 从而直线 PN : y ? 3 ? ? 3( x ? ) ,即 y ? ? 3 x ? 直线 QN : y ? 3 ? 3( x ? ) ,即 y ? 3x ?

3 4

3 ; 4

3 4

7 3. 4

? y2 ? 4x ? 2 由? 3 消去 y 并整理得 48x ? 50 x ? 3 ? 0 , ? y ? ? 3x ? ? 4 3 3 1 所以 x1 ? ,即 x1 ? . 4 48 12 ? y2 ? 4x ? 2 同理 ? 7 3 消去 y 并整理得 48x ? 232 x ? 147 ? 0 ? y ? 3x ? ? 4 3 147 49 所以 x2 ? ,即 x2 ? . 4 48 12 1 因此 S PMQN ? MN ? | x2 ? x1 |? 3 | x2 ? x1 |? 4 3 为所求. 2
21.

(12 分)

(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述原函数的 单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求. 【试题解析】解:(1) 由 f ( x) ? ax ? bx ? cx ,可知 h( x) ? f '( x) ? 3ax ? 2bx ? c ;
3 2 2

第 8 页 共 10 页

由 f ( x) 在 (?2, f (?2)) 处切线方程为 3x ? y ? 4 ? 0 可知

f (?2) ? ?8a ? 4b ? 2c ? ?2 f '(?2) ? 12a ? 4b ? c ? 3
2 3

① ② ③.

又由 h?( x) ? 6ax ? 2b ,可知 h?(? ) ? ?4a ? 2b ? 0 由①②③解得 a ?

1 , b ? 1, c ? 1 , 2 1 3 2 即 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x ? x ? x . (5 分) 2 x 由题意, g ( x) ? kxe 与 y ? x 相切可知函数在原点处切线斜率为 1. x x 因为 g ?( x) ? k (e ? xe ) ,所以 g ?(0) ? k ? 1 . (7 分) (2)若 f ( x) ? g ( x) ? m ? 1 对任意 x ? [0, ??) 恒成立, 1 3 1 3 2 2 x x 即 x ? x ? x ? xe ? m ? 1 恒成立,则 m ? 1 ? xe ? x ? x ? x 恒成立, 2 2 1 3 2 1 2 x x 设 k ( x) ? xe ? x ? x ? x ? x(e ? x ? x ? 1) , 2 2 1 2 x x 令 p( x) ? e ? x ? x ? 1 , p?( x) ? e ? x ? 1 , 2 x x 再令 ? ( x) ? e ? x ? 1 , ? ?( x) ? e ? 1 ? 0 ,解得 x ? 0 . 所以当 x ? [0, ??) 时, ? ?( x) ? 0 ,所以 ? ( x) 在 [0, ??) 上单调递增, 所以 ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,即 p?( x) ? 0 ,所以 p ( x) 在 [0, ??) 上单调递增, 所以 p( x) ? p(0) ? 0 , 所以当 x ? [0, ??) 时, k ( x) ? 0 恒成立,且 k (0) ? 0 , 因此, m ? 1 ? 0 即可,则 m ? 1 . (12 分)
(本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到切割线定理以及三角形 等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力. 22. 【试题解析】解(1) 延长 BE 交圆 E 于点 M ,连结 CM ,则 ?BCM ? 90 ,
?

相似

又 BM ? 2BE ? 4 , ?EBC ? 30? ,所以 BC ? 2 3 ,

1 1 AC ,可知 AB ? BC ? 3 . 3 2 2 所以根据切割线定理 AF ? AB ? AC ? 3 ? 3 3 ? 9 ,即 AF ? 3 . (2) 过 E 作 EH ? BC 于 H ,则 ?EDH 与 ?ADF 相似, ED EH 1 从而有 ? ? ,因此 AD ? 3ED . AD AF 3
又 AB ?

(5 分) (10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面 直角坐标方程的互化、利用参数方程对曲线上点到直线距离的求取等内容. 本小题考查考生的 方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】解(1) 对于曲线 C1 有

? x ? cos ? x2 x ? ? ( )2 ? y 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ,即 C1 的方程为: ? y 2 ? 1 ; 3 ? 3 3 ? y ? sin ? ?
对于曲线 C2 有 ? sin(? ?

?
4

)?

2 ? (cos ? ? sin ? ) ? 4 2 ? ? cos? ? ? sin ? ? 8 2
第 9 页 共 10 页

? x ? y ? 8 ? 0 ,所以 C2 的方程为 x ? y ? 8 ? 0 .
为:

(5 分)

(2) 显然椭圆 C1 与直线 C2 无公共点,椭圆上点 P( 3 cos ? ,sin ? ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离

| 3 cos ? ? sin ? ? 8 | d? ? 2
当 sin(? ?

?

| 2sin(? ? ) ? 8 | 3 , 2
(10 分) 不等式证

?

3 1 ) ? 1 时, d 取最小值为 3 2 ,此时点 P 的坐标为 ( , ) . 3 2 2

24. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及 明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.

1 ? ? ?2 x ? 2??????? x ? ? 2 ? 1 5 5 1 ? 【试题解析】解 (1) 证明:由 f ( x) ?| x ? | ? | x ? | ? ?3?????????????? ? x ? 2 2 2 2 ? 5 ? ? 2 x ? 2???????? x ? 2 ? 得函数 f ( x) 的最小值为 3,从而 f ( x) ? 3 ? e ,所以 ln f ( x) ? 1 成立. (5 分) 5 5 5 (2) 由绝对值的性质得 f ( x) ?| x ? | ? | x ? a |?| ( x ? ) ? ( x ? a) |?| a ? | , 2 2 2 5 5 5 5 所以 f ( x) 最小值为 | ? a | ,从而 | ? a |? a ,解得 a ? ,因此 a 的最大值为 . 2 2 4 4
(10 分)

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