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2.3数学归纳法1



南浔中学高二数学备课组-学案

2.3 数学归纳法(一)
一、概念讲解 1、不完全归纳法:观察数列 ?an ? ,已知 a1 ? 1, a n ?1 ?

an ,求出前 4 项的值,并归纳 1 ? an

出通项公式: 。 2、多米诺骨牌:起源于中国的多米诺骨牌(domino)是一种用木制、骨 制的长方形骨牌

。玩时将骨牌按一定间距排列成行,轻轻碰倒第一枚 骨牌,其余的骨牌就会产生连锁反应,依次倒下。如今多米诺早已成 为是一项集动手、动脑于一体的运动。 思考:这个游戏中,能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么? 只要满足以下两个条件,所有多米诺骨牌就能全部倒下: ①第一块骨牌倒下; ②任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下。 3、完全归纳法(数学归纳法) :对于某些与正整数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证 明它的正确性: ①归纳奠基:先证明,当 n 取第一个值 n0 时,命题成立; ②归纳递推:再证明 。 二、例题讲解 例 1.用数学归纳法证明:已知 a1 ? 1, a n ?1 ?

an 1 ,求证 a n ? 。 n 1 ? an

1 ? 2 ? 3 ?? ? n ? 例 2. 用数学归纳法证明:
2 2 2 2

n(n ? 1)( 2n ? 1) 对于任意正整数都成立。 6

备注:用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项: ①明确首取值 n0 并验证真假; ②假设 n=k 时命题正确并写出命题形式;
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③分析“n=k+1 时”命题是什么, 并找出与“n=k”时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项。 ④明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的方法:乘法公式、因式分解、添拆项、 配方等,并用上假设。 例 3.已知数列

1 1 1 1 ,计算 S1 , S2 , S3 , S4 ,根据计算结果 , , ,? 1? 4 4 ? 7 7 ?10 (3n ? 2)(3n ? 1)

猜想 S n 的表达式,并证明。

三、限时训练 1. 用数学归纳法证明 1 ? a ? a ? ? ? a
2 n ?1

(a ? 1) ?

1 ? a n? 2 , 在验证 n=1 时, 左边为( 1? a
D.1 ? a ? a 2 ? a3

)

A.1

B.1? a

C.1? a ? a 2
)

2.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,在 第二步时,正确的证法是 ( A.假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立 C.假设 n=2k+1(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 D.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立 3. 若 f(n)=12+22+32+?+(2n)2, 则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是: f(k+1)=f(k)+__ ___. 4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被 9 整除”,要利用归纳假设证 n =k+1 时的情况,只需展开( ) A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 5.求证:当 n∈N*时,f(n)=32n 2-8n-9 能被 64 整除.


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